Парабола, эллипс, гипербола - уравнение при вершине | Лекции по аналитической геометрии
HTML-код
- Опубликовано: 31 май 2024
- Мы уже познакомились с такими кривыми второго порядка (хотя нигде их такими не называли) как парабола ( • Парабола | Элементы ан... ), эллипс ( • Эллипс | Элементы анал... ) и гипербола ( • Гипербола | Лекции по ... ).
Сегодня мы увидим, что эти кривые можно задать одним уравнением на плоскости, которое не зависит от выбора системы координат, а также, что в надлежащим образом выбранной системе координат эти кривые задаются одним и тем же уравнением, называемым уравнением при вершине. А после этого мы сможем понять, почему эти кривые получили такие названия.
Парабола - от др.-греч. παραβολή - «сравнение, сопоставление, подобие, приближение»
Эллипс - от др.-греч. ἔλλειψις - недостаток
Гипербола от др.-греч. ὑπερβολή - «переход; чрезмерность, избыток; преувеличение»
В качестве литературы рекомендуется книга П.С.Александрова Лекции по аналитической геометрии.
Лекции по аналитической геометрии смотрите в плейлисте Элементы Аналитической геометрии • Элементы Аналитической...
читает Игорь Тиняков для канала Элементарная Математика
#парабола #эллипс #гипербола #уравнениепривершине #аналитическаягеометрия
То самое чувство, когда в 20 лет узнал, почему эти кривые так называются. Большое спасибо за ваши видео!
Пожалуйста!)
Когда в 2 раза по 20 узнал...
Спасибо вам!!! И за китайскую теорему об остатках - отдельное большое спасибо, всё никак не собирался вас поблагодарить. Вы щедры и великодушны. Ура!
у видео про китайскую теорему такая обложка, что не всякий и поймет, что она там скрывается, но пусть так будет...
🙏🏻
Отличная лекция ! Молодец! Очень увлекательно !
С удовольствием посмотрю сегодня вечером. Несколько видео этого автора смотрел - все с наслаждением - получил удовольствие. Спасибо вам за ваш труд!
Пожалуйста!)
Почему я только сейчас нашёл этот канал?!
да это все из-за ютуба: не дает в рекомендациях...
Ничего себе элементарная математика 😮, я думал элементарная это когда в корзине было 5 яблок, потом положили 2 яблока и взяли 3, сколько осталось. А тут какие то акадэмические теоремы😅
Вы не ошиблись! это приблизительно то же самое
Спасибо! В универе, например, про историю названий этих кривых не рассказывали.
но уравнение при вершине было же?
@@elemath Да, конечно было, и преобразования от произвольной СК к канонической: все как полагается. С названиями, я думаю, так вышло, потому что начали часы обрезать и пришлось чем-то жертвовать, а доцент был прекрасен)
😮
ага
а если перевернуть (преобразовать) систему координат таким образом, чтоб парабола имела привычный (школьный) вид y=x^2 с ветвями вверх, то какими будут уравнения асимптот для гиперболы, построенной при этой же вершине?
На первый взгляд показалось, что это y=x, но присмотревшись увидел, что эта прямая сечёт же даже параболу, а гиперболу значит и подавно..
нарисуйте на этой картинке основной прямоугольник гиперболы. Асимптота пройдет через его центр и вершину (или две противоположные), координаты которых легко определить, равно как и уравнение самой прямой. А после в уравнении прямой сделайте замену х на у, у на -х (поменяйте оси ролями).
Такое преобразование делали, когда обратную функцию изучали - симметрия относительно y=x.
Вопрос. Вы акцентируете внимание на том, что сначала вводится определение того, что принято называть параболой и что якобы для этого нам не нужна декартовая прямоугольная система координат (ДПСК). Возможно, я неверно понял Ваши слова насчёт отсутствия ДПСК, тогда поправьте меня.
Но если я правильно понял Вас, то как же мы без ДПСК ищем расстояние между двумя точками? Ведь в определении параболы присутствует термин "расстояние" между некоторыми геометрическими объектами, которое в итоге сводится к длине отрезка, то есть к расстоянию между двумя точками.
А расстояние можно искать по разным метрикам (формулам): по евклидовой метрике, по метрике Чебышева, по метрике городских кварталов. В школьной геометрии мы, конечно, выбираем евклидовую метрику (раз и навсегда, до 11 класса) и не возвращаемся к этому вопросу. Но даже евклидовая метрика вводится с опорой на координаты точек. А откуда возьмутся координаты, если нет ДПСК?
В общем, мой вопрос в том, верно ли вообще утверждать, что парабола существует вне ДПСК? Ведь по логике, вложенность определений такая:
Парабола -> Расстояние -> Метрика (формула, задающее расстояние) -> Координаты точек -> ДПСК.
То есть если нет ДПСК, то нет координат точек, нет метрики, нет расстояния, нет параболы. Или в данном случае терминологическое дерево строится как-то иначе, то есть без привлечения "метрики"?
Да, и спасибо за видео! Я с интересом посмотрел.
на самом деле при определении параболы (равно как и других кривых) мы не ищем численные значения расстояний, а лишь только замечаем, что они равны. Для этого не нужна СК, не нужно уметь вычислять длины. Можно обойтись, например, ниткой. Расстояние будет равно куску нитки, а чему равно оно числено мы не знаем (пока не приложим эту нитку к линейке=СК).
@@elemathу меня немного в другом вопрос. Хотелось бы понять, как выглядит понятийно-терминологическая система (не знаю, есть ли такой термин, но точнее не могу придумать название).
Я понимаю, что есть понятия, у которых нет строгого определения и мы их как бы "интуитивно" понимаем: точка, прямая, плоскость, число, множество.
А затем, опираясь на эти "интуитивно понятные" термины строим уже строгие определения: отрезок, треугольник, четырёхугольник, параллелограмм и т.д.
То есть мой вопрос не в том, как отмерить равные отрезки на практике, а как построить непротиворечивую терминологическую систему. И требуется ли в ней всё-таки ДПСК или же не требуется.
@yakovlichevau ну хорошо...
есть прямая и точка вне ее. найдем все точки, которые равноудалены от них. появляется парабола. никакой СК для этого не нужно.
У греков СК не было, она появилась много столетий позднее...
что про круг то не сказали когда е=0? Или я запутался окончательно ...
да вроде как говорил.
мог случайно удалить при монтаже, но не должен был...
@@elemath в начале есть, а вот в конце при общей формуле, нет
@Vitalie к концу лекции лектор похоже сдулся, а внимательный и дотошный зритель должен теперь сам справиться с этой простой задачей.
А зачем нужна аналитическа геометрия для первой задачи? Нельзя просто составить уравнение S = mn? Где m - это известная сторона, а n - неизвестная
так у греков ее и не было...
у нас есть!