1/2가 물리적으로 맞는 답인 느낌이 드는게, 나머지 두개의 풀이는 공간을 원 안으로 한정하고 있음. random radius 풀이는 공간에 직선이 먼저 있었고, 원이 무작위로 생성될 때 P(A) = 직선과 원이 닿을 확률, P(A & B) = 현의 길이가 1.732r 보다 클 확률로 정의해서 P(B|A) = P(A & B)/P(A)가 성립함.
고쳐주셔서 감사합니다! ---- 제목의 '미해결 문제'라는 표현이 오독의 여지가 큰 거 같습니다. 베르트랑 역설은 '무작위로 현을 긋는다'라는 표현이 잘 정의되지 않기 때문에 생기는 역설이지, 그 문제 자체가 미해결인 것은 아닙니다. 이것은 마치 'x + y = 3을 만족하는 두 자연수 x, y를 구하시오'라는 문제의 해답이 (1, 2), (2, 1)로 두 개가 있다고 이 문제가 미해결 문제인 것은 아닌 것과 같은 이치입니다. 문제 제목을 더 정확하게 수정해주시면 감사하겠습니다.
3가지의 방법은 각각의 방법으로 각 선분들의 가중치를 임의로 정하고 있는데 2:26의 그림이 정말 잘 보여주네요 랜덤미들포인트 는 원의 면적에서 한 점을 현의 중점으로 잡았으니 1-3 그림에서 고르게 분포된게 보이고 그에 비해 1-1과 1-2는 중심에 가중치가 좀더 높네요 즉 현의 길이가 긴 선분이 더 많아지므로 1/4보다 더 확률이 커지구요 주목할만한 점은 2-2의 그림이 아랫줄의 그림중 가장 고르게 분포되었다는 점입니다. 원의 중점에서 현을 일정한 거리마다 그었을테니 빗금그리듯 색깔이 일정하게 칠해지겠지요 2번만이 현실에서 존재하니, 원이 균일하게 색칠되는 2번이 가장 적절한 가중치 선정법이었나 보네요 저는 원의 둘레의 서로 다른 두점을 랜덤으로 정하는게 맞지 않을까 해서 1번이였는데 틀렸네요
2번 방법에 대한 고찰을 조금만 해보자면 2번은 사실 반대로 한 직선이 있고 그 위에 랜덤하게 원을 그렸을때의 (원의 중심이 평면상에 골고루 존재)에서의 상황과 같네요 원을 지나는 한 선분을 랜덤하게 고른다면, 선을 지나는 원을 랜덤하게 고르는 것과 같은 확률과 같아야함으로 2번이 더 현실에 맞는 가중치이다... 맞을까요? 사실 1번 방식은 원의 둘레 위의 두점을 랜덤하게 잡은것과 같은데 원 위의 두점이 아니라 원밖의 두점을 랜덤하게 정한다면? 2번과 같죠 완전 랜덤하게 하지 않은, 원위의 두점이라는 제한을 두면서 원의 테두리부분에서 현의 중점의 가중치가 올라가면서 1/2보다 조금 낮은 1/3이 된것 같네요
1번처럼 3번도 숨은 불필요한 규칙을 빼고 랜덤성을 높여서 2번으로 귀결시킬수 있을까요? 사실 미들포인트가 원의 중심에서 거리가 달라져도 같은 갯수 만큼 있다고 한다면 2번과 같습니다. 근데 이미 2:26에서 1-3의 그림은 또 다른 원리로 균형을 이루고 있기 때문에 1번처럼 랜덤성의 확장으로 2번으로 귀결시키기는 힘들것 같네요 어쩌면 랜덤 엔드포인트를 고른제가 가장 현실성 없는 답을 고른것 같습니다 오히려 1번의 1-1그림은 반지름이 절반인 원을 원위의 한점을 중심으로 한바퀴 돌린 분포와 같은데 이걸 원이 아니라 직선이면 2번이 되고 부채꼴을 돌리면 3번이 되네요
확률밀도가 다르게 주어지기 때문이네요. (해당 경우의 수)/(전체 경우의 수)는 확률이 이산적일 때, 각 경우의 확률이 같다는 전제에서 나온 공식입니다. 하지만 문제의 상황처럼 연속적인 확률에서는 이 문제가 복잡해집니다. 이때는 경우라는 말을 쓸 수도 없죠. 연속적인 상황에서 경우 하나의 확률은 0이니까요. 그래서 우리는 확률밀도의 개념을 사용합니다. 단위구간 당 확률이라고 생각하면 되는데요. 이 구간이라는 걸 정하는게 복잡합니다. 연속적인 경우들을 빠짐없이 나타내는 파라미터를 잡는 것이 하나가 아니니까요. 패러미터를 어떻게 잡냐에 따라 주어진 두 상태의 간격이 달라집니다. 바로 영상에 나온 난제의 상황인 것이죠. 랜덤엔드포인트의 경우에는 종점과 시점이 이루는 중심각이 패러미타가 되겠고, 두번째 그 뭐시기 수평하게 하는 것은 원의 중점에서 현까지의 수직길이, 3번째는 중점의 위치가 패러미타가 되어 확률밀도를 다르게 책정하는 것입니다.
첫 번째 풀이는 원을 정무한각형으로 간주하여 현을 정무한각형의 대각선이라고 해석했을 경우, 두 번째 풀이는 한 평면에서 원과 직선이 두 교점을 가질 때, 두 교점을 이은 선분이 현이라고 해석했을 경우 나오게 되는 것 같네요. 현이란 개념을 어떻게 받아들이냐에 따라서 현의 밀도가 달라지게 되겠죠. 1:18 이 장면에서 보면 두 번째 해석 입장에서는 이등분된 반지름의 각 부분과 직교하는 현의 개수가 위:아래 1:1이 되죠. 그래서 확률도 1/2이고요. 그런데 같은 장면도 첫 번째 해석의 입장에서 보자면 이등분된 반지름의 아랫부분과 직교하는 현이 윗부분과 직교하는 현보다 2배 많습니다. 즉 확률이 1/3이 되죠. 현에 대한 해석이 확고하다면 다른 풀이를 채용해도 결과는 같게 나오는 것이고, 영상에서 나온 세 가지 답은 풀이과정이 다르기 이전에 현에 대한 정의가 달랐기에 나오게 된 것 같습니다. (의식적으로 현을 어떠하게 정의하지 않았더라도, 영상에서 나온 것과 같은 풀이를 따라가게 된다면 암묵적으로 현에 대한 정의를 기저에 놓고 있는 상태가 되는 셈이죠.) 이렇게 받아들이는 게 맞을까요? 제 이해가 반드시 올바르다고 장담은 못하겠네요. 그리고 세 번째 풀이에서는 현을 어떻게 정의했다고 봐야 할까요? 제 수학적 소양으로는 명쾌하게 설명하질 못하겠네요.
세번째가 정확하게 확률을 계산하지는 못하겠지만 한점을 찍엇을때 그 점이 저 원안에 등장할 확률로만 따지면 1/4 이 맞겠지만 그 점이 선분의 중점일 확률이라고 생각하면 다른 점들은 모두 한가지의 선분만 존재하지만 원의 중심점의경우 원의 중심점을 선분의 중점이 되는 경우는 많음 따라서 그 경우의 수에의해 1/4 에서 1/3 로 좁혀질수 있다고 생각함
원에서 현을 선택하려면 원주에서 무작위로 점 2개를 뽑아서 그걸 이은 선분을 만드는 게 공평하다고(모든 현이 선택될 확률이 같다고) 생각하는데 이런 제 관점에서 보기에는 random endpoint 해법이 맞는 것 같습니다. +댓글을 작성하고 보니 애초에 현을 어떻게 무작위로 선택하느냐가 각 해법의 이름이네요. random endpoint(현의 시작점을 고정해두고 끝점을 원주에서 무작위로 선택)/random radius(원의 중심에서 현까지의 거리를 무작위로 선택)/random midpoint(현의 중점을 원 내부에서 무작위로 선택)
위키피디아에 보니까 우리나라 판에는 역설만 설명하고 말던데 다른 버전으로 보니까 최대무지의 원리에 의해 2가 맞다고 하는 의견이 있다고 나오네요. 원의 크기를 말하지 않았고 임의의 원에 그냥 현을 긋는다고만 말했기 때문에 주어진 조건에 의해서만 답이 나와야 한다는 원리. 원 안의 임의의 작은 원에서도 현의 분포밀도가 같아야 하고 그렇게 되는 건 2번 밖에 없다. 3번의 방식은 현의 중점의 분포가 일정하고 1번의 방식은 둘 다 일정하지 못하다. 쌍둥이 패러독스도 그렇게 우리말만으로 검색을 해서는 얻을 수 있는 정보의 한계가 확실히 느껴지네요
아주 재미있는 내용이긴 하지만 매우 직관적인 방법으로 2번이 타당한 풀이임을 보일 수 있을 것 같습니다. 원주상의 한 점을 고정하고 다른 원주상의 점을 이어 선분을 만드는 경우에 대해 전사건을 전부 도식화 하면 까맣게 칠해진 원이 만들어지겠죠. 그런데 이 원을 구성하는 선의 밀집도는 시작점과 그 반대 지름 위치에 있는 곳으로 갈 수록 옅어지는 형태의 비대칭이됩니다. 다른 말로 표현하자면 공간 혹은 평면상에 존재하는 선분에 대하여 확률밀도가 균일하지 않다는 이야기로 볼 수 있습니다. 이해를 돕기 위해 다른 개념을 도입하자면 고정된 한 점에서 180~0도로 바꿔가면서 그은 선분들을 이용해 구분구적법을 행하기 위해서는 직사각형의 미소면적을 가정하는 것이 아니라 삼각형의 미소면적을 정의해야하기 때문에 극한일때의 양쪽이 비대칭이 되고, 이는 선분의 정의와는 다른 개념이 된다고 볼 수 있습니다. 내접원의 안쪽에 선분의 중심이 존재하는 것을 이용하는 것은 아이디어는 훌륭하나 '틀린 풀이'로 보는 것이 옳습니다. 이유인 즉슨, 내접원의 안쪽에 선분의 중심이 존재하기만 하면 항상 정삼각형의 한변보다 긴 길이가 되는 것은 맞지만, 외접원안에 존재할 수 있는 모든 좌표점에 대해 이를 중심으로 가지는 선분이 반드시 하나 존재하는 것이 아니기 때문입니다. 만약 외접원 안의 모든 점에 대해 각 점을 중심으로 하는 선분이 단 한개로 정의된다면, 한 점이 한 선분을 대표하는 치환적 개념을 사용할 수 있고, 선분의 확률에 대한 개념을 점의 갯수에 대한 개념으로 바꾸어 생각할 수 있으므로 면적을 기반으로 근사를 할 수 있습니다. 하지만 외접원안의 임의의 점을 중심으로 하는 선분은 위치에 따라서 여러개가 될 수 있습니다. 바로 중심점 때문입니다. 원의 중심에서는 180도 이내의 모든 방향으로 선분이 존재할 수 있으며, 다른 점에서는 임의의 한 점을 중점으로 갖는 선분이 반드시 하나로 귀결됩니다. 이 또한 확률밀도가 균일하지 않은데, 면적을 구성하는 점을 균일한 요소로 가정을 했기 때문에 틀린 풀이로 볼 수 있습니다. 다만 내접원의 아이디어를 활용하여, 확률밀도의 불균일성을 해결하기 위해, 모든 점이 하나의 선분을 대표하도록하는 전제조건을 만든다면 바른 풀이를 적용 할 수 있습니다. 다시말해, 중심점의 비대칭적 요소의 해소를 위해 중심점이 대표하는 선분 하나만을 정하고, 이 특성(해당 선분과 평행한)을 갖는 선분들에 대한 비율을 확인하는 방법입니다. 임의위치의 점을 중점으로 하는 선분은 해당점과 원의 중점을 잇는 선상의 수직선에서만 발생하기 때문에, 임의 점을 대표하는 선분과 평행한 선분은 원의 중심에서부터 임의의 점을 지나 원의 둘레까지 잇는 지름길이만큼의 선분 상에서만 발생하고, 때문에 이 방법은 결과적으로 임의반지름 풀이법과 같은 결과가 나오겠죠. 만약 특정 각도에서 평행한 선분들이 다양한 각도의 선분들에 대한 확률까지 전부 대표할수 없다라고 생각된다면, 해당 비율의 도해를 회전시키는 것으로 모든 방향에 대한 대칭성을 보일 수 있으므로, 특정 각도 조건의 평행선들을 통한 반지름길이를 이용한 특정 예제는 모든 각도를 대표하는 확률로써 균일밀도를 보임을 입증 가능합니다. 따라서 3가지 풀이법이 모두 맞지만, 물리적인 해는 한가지인 패러독스가 아니라, 1번 풀이는 선분의 특성을 무시한 접근이며, 3번 풀이는 아이디어는 좋았으나 풀이를 잘못 적용한 예라고 볼 수 있을것 같습니다.
갑자기 든 생각인데 두 현 사이의 "거리"를 아래 방법에 따라 계산한 다음 여기에 맞춰서 "밀도"를 구하면 어떻게 될까요? 1. 두 현 L1, L2 중 어느 하나의 양 끝점을 각각 0, 1에 대응시키고, 현 위의 각 점을 실수선 위의 실수에 대응시킵니다. 2. 다른 하나의 현에도 1을 적용합니다. 이때 어느 끝점을 0으로 두느냐에 따라 두 가지 경우가 발생합니다. 3. f:[0, 1]→R을 f(x)는 두 현 각각의 점 "x"끼리 이은 선분의 길이로 정의합니다. 4. ∫[0, 1]f(x)dx가 될 수 있는 두 값 중에서 작은 쪽을 두 현 사이의 "거리"로 정의하고 이를 u(L1, L2)라고 합니다. 이때 이 함수는 삼각부등식을 만족합니다. 증명은 세 현을 그렸을 때 세 현의 x점들을 잇고 거리를 구하면 삼각부등식이 성립하기 때문입니다.(0, 1의 스위칭 문제는 오히려 삼각부등식을 만족하게 하기에 유리합니다.) 이걸 어떻게 잘 쓰면 현들의 밀도 함수를 정의할 수 있을 거 같긴 한데 이 다음을 모르겠네요 ㅜㅡ
2:23 확률의 정의가 부족해 일어나는 역설같습니다. 수학적 확률의 정의는 특정사건 경우의수/전경우의수 이지만 여기서 중요한 조건이 붙습니다. 바로 모든 경우의 수가 같은 기대값을 가져야한다는 거죠. 쉽게 말해서 도박에서 이길확률은 이기거나 지거나 두가지 경우의 수 중에서 이기는 경우의 수인 1/2가 아닙니다. 두 경우의 수가 같은정도로 기대되지 않기 때문이죠. 대표적으로 확률문제에서 H를 쓰게되면 오류가 생기게 됩니다. 해당 문제에서도 2:23 장면에서 현실에서 무작위로 선을 그리라고 하면 가운데 그림처럼 그려지겠죠. 그러나 첫번째 풀이와 세번째 풀이대로 본다면 원의 중앙에서 더 멀리 있을 것이라고 더 높은 정도로 기대됩니다.(첫번째와 세번째 그림에서 가운데부분이 더 비어있는 것을 보면 알 수 있습니다.) 물론 해당 풀이의 관점에서 본다면 각각의 선들이 같은 기대값을 가지는 건 맞지만 두번째 관점에서 봤을때는 첫번째와 세번째에 그려진 선들이 같은 정도로 기대되지 않는다는거죠. 어떻게 임의로 선을 그릴것인가에 대한 문제같습니다.
저는 전부 답이 될수있다고 생각합니다. 세번째는 첫번째와 두번째 모두를 포괄해보이네요... 하지만 두번째만 현실에서 적용된다는건 중력이 있을때잖아요. 이 말은 중력이 상쇄되지않는 그러한 현실에서만 적용된다는겁니다. 그럼, 모든 중력이 상쇄되어 potential difference가 0이 되는 지점에서는 1, 3번도 가능할 수 있다는 말이 되기에 2번만이 허용가능하다고 하는건 성급하다 봅니다. 그리고 실제 수학에선 가능하다 하더라도 현실은 여러가지 조건들이 존재하는 해를 원해서 수학에서의 이론보다 현실에서의 데이터는 더 제한적으로 나타납니다. 예를 하나 들자면, 물리에서 양자장론에서는 SM 이라고 입자들을 정리해놓고 그 입자들간에 상호작용하는것을 다루는 표준모형이 있습니다. 여기에 입자들중 up, down, strange 쿼크들은 Lie group에서 특정 조건에 대한 해에 해당합니다. 결론은... gravitational potential 에 대해 차이가 존재하면 2번, 차이가 없어서 중력이 작용하지 않는다면 3번이라고 생각합니다. + 2:21 이 그래프에 대한 설명을 적어주실수 있을까요? 위와 아래가 각각 어떤것을 나카내는지 궁금하네요.
P(A)=n(A)/n(S)가 일단 성립을 하려면 상식적으로 n(X)라는 연산도구가 가치가 같은 경우의 수의 개수를 찾는 용도로 쓰일 때만 성립해야함 음... 좀더 직관적으로 설명하자면 경우의 수의 밀도가 같아야지 저 공식을 사용할 수가 있음 영상에서의 패러독스에서는 원주의 길이에 따른 확률 밀도가 동등할 때와 반지름의 길이에 따른 확률 밀도가 동등할 때와 원의 넓이에 따른 확률 밀도가 동등할 때 이렇게 3가지 경우로 계산을 하게 됨 먼저 원주의 길이에 따른 확률 밀도에서는 한 점을 고정시키고 중심각이나 원주의 길이가 변수가 됨 반지름의 길이에 따른 확률 밀도에서는 중심각을 고정시키고 원의 중심으로부터의 거리가 변수가 됨 원의 넓이에 따른 확률 밀도에서는 고정된 변수가 없이 원 안의 점의 위치가 변수가 됨 임의의 현의 길이가 내접하는 정삼각형의 한 변의 길이보다 클 확률을 따질 때에는 보통은 중심각을 변수로 두지 않기 때문에 원의 중심으로부터의 거리에 따른 확률이 동등할 때로 가정하여 계산하는 것이 저도 가장 합리적이라고 생각함 보충 설명 하자면 원주의 길이에 따른 확률 밀도가 동등하다는 말은 원주의 길이가 1일 확률밀도와 0일 확률밀도와 0.5일 확률밀도와 3.14일 확률밀도가 같다는 맥락입니다. (반지름1에 원주의 길이는 0이상 6.28...이하라고 가정) 마찬가지로 원의 중심으로부터의 거리에 따른 확률 밀도가 동등하다는 것은 원의 중심으로부터의 거리가 0일 때 0.1일 때 0.5일 때에서의 확률밀도가 같다는 맥락입니다
구간 [a,b]에 속하는 실수인 변수 x에 대해서 확률밀도함수가 f(x)라면 변수 x가 구간 [c,d]에 속할 확률은 P(A)=integral[c,d](f(x)dx)/integral[a,b](f(x)dx)로 정의하는 것이 P(A)=n(A)/n(S)로 정의하여 푸는 것보다 더 합리적이지 않을까 싶네요
구간 [r=0,r=1]사이의 반지름 r=e^x이고 중심각을 고정시켜 x에 따라서 확률을 동등하게 따질 수 있다고 치면 [-inf,ln(e^0.5)]구간에서 조건을 충족시키지 못하고 (ln(e^0.5),0]구간에서 조건을 충족시키므로 조건을 충족시킬 확률은 (0-(-ln(e^0.5)))/(0-(-inf)) = 0.5/inf = 0 즉, 현의 길이가 내접하는 정삼각형의 한 변의 길이보다 클 확률은 0입니다 ㅎㅎ
깔끔하게 삼각형 모양이 중력방향임. 주사위를 던지면 모서리로 서지 않는 이유. 하나 더 추가하면 스마트폰을 누워서 보느냐로 옆으로 누워서 보느냐 앉아서 보느냐의 확률. 옆으로 보면 삼각형이 다시 중력 방향으로 돌아가는데 옆이란 말이 또한 확률로 정해져 왼쪽 오른쪽을 벡터 방향으로 알수있음. 중력을 상수로 보면 특이하게 머리 속에서 확률로 그려짐. 방에서 누워서 이리저리 보는데 기하 확률이 몸으로 느껴지네요. 하나 더 있는데 동치는 아니고 누워서 본다에요. 적어도 이래도 중력 방향으로 1/2이네요. 제가 적어도 상하 관계 차원 안에 있으면 답도 1/2이겠죠. 마지막꺼는 하늘쪽 보면서 누운거에요. 스마트폰이 무거운거보니 레이님 말이 맞네요. 옆으로 다시 누우려고 하는데 ......... 생각을 확장하니 그림을 2차원 폐곡선으로 만들고 삼각형을 나선으로 환원하니 모든 힘을 등가로 만들수 있네요 .
음... 지나가던 수학과 박사과정 학생입니다... 이 영상을 포함해 몇몇 영상이 제대로 된 지식을 전달하지 않고, "봐도 잘 모르겠는데 멋져 보이는" 내용이라 보기 많이 불편하네요.. 솔직히 말씀드리면 해당 유튜버님도 본인 영상의 내용을 잘 모르시고 만드시는 것 같습니다. 예를 들면 2:23 "수학적으로는 존재하나 우리가 사는 세상에서는 존재할 수 없는 확률" 과같은 표현을 꼽을 수 있는데요. 얼핏 들으면 참 멋진 표현입니다만, 수학과 지망생이거나 학부 저학년 시절에 쉽게 할 수 있는 오해죠. 조금 거북하게 들리실 수 있지만, 수학이라는 학문에 대한 전반적인 이해가 부족한 표현입니다... 수학은 "현실에 존재하는 것을 설명"하는 것에 중점을 둔 학문이 아닙니다. 예를 들면, 확률은 세상에 "존재"하나요? 확률은 세상의 어떤 것들을 설명하는 모델에서 쓰이는 언어로써 적용할 수 있으나, 이것이 실존한다고 오해하여서는 안됩니다. 세상에 존재하는 것들과 별개로, 확률은 독립적으로 존재하는 수학적 개념입니다. (물론 이러한 필요에 의해 확률 이론이 태동하고 발전하게 되었음은 분명함에도 불구하고 말이죠.) 덧붙여, (알고 있는데 고의로 오해를 조장한 것인지, 모르셨는지는 모르겠지만) 해당 문제는 0:27 "임의의 현을 그릴 때" 라는 표현을 잘 정의하지 않아 생기는 문제입니다. 즉, 현의 확률 분포를 어떤 것을 선택하냐의 문제이고, 현이 어느 분포를 따르냐에 따라 세 풀이 모두 정답이 될 수 있습니다. 언급하신대로 2:14 "특정 물리 시스템에서"는 어느 한 분포가 적절한 선택일 수 있으나, 이것만이 "현실에 존재하는" 확률이고, 나머지는 아닌 것이 아닙니다. 다시 한 번 말씀드리지만 이는 큰 오해입니다. 실재하는 것과 이를 설명하는 모델, 그리고 이를 기술하는 수학적 개념을 혼동하면 안됩니다. 그리고 당연하게도, 2:28 "현재 수학계에서 이 문제에 대한 논의가 진행중"일 수가 없습니다. 문제가 잘 정의되지 않아서 생기는 자명한 오류이고, 해결책 또한 명확합니다. 어떤 물리적 상황에서 어떤 확률 분포가 적절한지는 해당 시스템을 기술하는 과학/공학자들이 고민해야 할 문제입니다. 그 과정에서 수학적 도구들이 필요할 수 있으나, 그것이 이 문제의 본질이 아님은 분명합니다. 만약 이것을 모두 알고 계심에도 영상을 이렇게 만드셨다면, 멋져보이기 위해 사실을 왜곡한 것입니다. 이는 잘 모르는 시청자들에게 오해를 살 수 있으므로 좋지 않습니다. 게다가 **"수학"** 채널이라면, 더더욱 그래서는 안됩니다.
우선 정확하지 않은 내용으로 영상을 만들게되어 죄송합니다. 이 내용은 제가 학부시절 배운 확률과통계 '교육'에 초점이 맞추어진 내용을 바탕으로 수학적 개념을 설명하다보니 교수학적변환에서 표현이 명확하지 못했습니다. (영상 관련된 내용은 블로그에 정리해두었습니다. 다만 추가적으로 다른 내용과 연결하다보니 자의적인 해석이 들어간 것 같습니다.) [수학은 "현실에 존재하는 것을 설명"하는 것에 중점을 둔 학문이 아닙니다. 예를 들면, 확률은 세상에 "존재"하나요? 확률은 세상의 어떤 것들을 설명하는 모델에서 쓰이는 언어로써 적용할 수 있으나, 이것이 실존한다고 오해하여서는 안됩니다. 세상에 존재하는 것들과 별개로, 확률은 독립적으로 존재하는 수학적 개념입니다.] 위 말씀에는 충분히 공감하고 있습니다. 수학에 흥미가 있을 소재를 찾다보니 제 능력밖에 것을 설명하고 과한 해석이 들어갔습니다. 앞으로는 이 점을 유의해서 영상을 제작하도록 하겠습니다. 귀한 시간 내주셔서 감사합니다.
기하학적으로 생각해야 하는 거 아닌가요? 일단 간단하게 반지름이 1인 단위 원을 놓고 생각하면 전 사건의 경우의 수는 원 위의 두 점을 택한 것과 같게 될 것입니다. 이때 두 점 A,B 에 대해 선분 AB와 BA는 같으므로 2 를 나눠줘야겠죠. 그럼 전 사건은 {(2π)^2}/2 가 되겠죠. 그리고 각 점 A(x,y)와 B(x',y')를 이은 선분의 길이가 단위 원의 내접 삼각형의 한 변의 길이 보다 긴 경우만 생각하면 확률을 구할 수 있을 것이라고 생각됩니다. 정리하자면 -1≤x,x',y,y'≤1 과 √(x^2+y^2)=√(x'^2+y'^2)=√1=1 를 만족하는 x,x',y,y'에 대해 √3≤√{(x-x')^2}+{(y-y')^2}를 만족하는 (x,y),(x',y')의 구간을 구할 수 있으면 가장 확실한 답이 나올거 같습니다. 계산은 뭐... 지금 풀어볼까 했는데 노트에 남는 여백이 없네요.
이게 아무래도 선을 놓는 방식이 완전한 무작위가 아니여서 일듯. 예를 들어서 내가 초 하나를 무한한 평면 위에 일정 거리로 놓은 상태에서 초에서 나오는 ray들을 projection 시킨다면 완전한 랜덤처럼 보이지만 결국에는 r->oo인 점에 가는 projection은 적을 것임. 우리가 무작위로 고르는 것 자체가 모순이 있다는 것으로 받아들이면 되는 문제같음
2번이 맞음 1번은 한 선분 끝점이 삼각형의 꼭짓점 위에 존재하는 경우에만 성립함. 선분의 양 끝점 2개가 모두 삼각형의 꼭짓점이 아닌 곳에 위치하는 경우를 고려하지 않음 3번은 선분의 중점이 가운데 작은 원에 위치할 확률이 원 밖에 위치할 확률보다 높음. 간단하게 생각해보면, 선분의 중점이 원의 둘레 근처에 위치하려면 선분의 양 끝점이 거의 이웃하다시피하는 경우밖에 없음. 그러나 원의 중심에 선분의 중점이 위치하는 경우는 수도 없이 많음.
이론적으론 가능한 확률이지만 현실 세계에선 반영되지 않는 실세계에서 쓸모없는 확률이란것 같네요.. 현실에선 중력의 영향을 항상 받으니까 원 내부의 물질이 상대적으로 아래로 쏠려서 밀도의 차이 등 여러 변수의 작용으로 나머지 두 확률은 존재할 수 없다는걸 말하는 것 같네요.
음..난 3번이라고 생각했는데 임의의 현이 있다고 할 때 그 현이 삼각형 변 길이보다 작으려면 현의 중점이 변보다 안쪽에 있어야 함. 편의상 한 변을 잡고 그 변에 평행한 현을 가정하면 현의 중점에 대응되는 변 위의 점이 있을 것이고, 이는 변의 중점임. 즉 변의 중점보다 안쪽에 현의 중점이 위치해야 하고, 이를 모든 방향으로 확장하면 변의 중점이 그리는 원의 자취 안쪽에 현의 중점이 있어야 됨. 이때 그려진 원의 넓이는 원래 원의 1/4이므로, 현의 길이가 변의 길이보다 클 확률은 1/4이다.
오 썸네일만 보고 이렇게 푸는거 아닐까 하고 나머지 두개 궁금해서 들어왔는데 생각했던 방법이 들어있어서 놀랐고 실제로 쓰이는 방법도 그거라해서 두번놀람 생각했을때 가로선 하나만 두고 저 도형 자체를 움직여서 겹치는 부분이 삼각형보다 길어지는 부분은 저 삼각형 부분의 밑변부터 도형을 180도 뒤집은 역삼각형의 윗변까지로 두고 그 사이의 범위로 지나는 모든 평행선들의 집합이 내접하는 삼각형의 한변의 길이보다 긴 현의 길이의 집합이라 보고, 다른각도로 돌린다 한들 원이기에 똑같다 생각했는데
갑자기 뜬금 없는 건데 현실 세계에서는 중력 영향을 받아서 1/2로 확률이 나온다고 하든데 그러면 유클리드 공간에서의 확률과 비유클리드 공간에서의 확률도 달라질 수 있는 건가요? 지구는 따지고 보면 절대적인 평면이 아니라 중력의 영향으로 인해 굽어진 건데 아무리 곡률이 미비하다고 해서 확률이 1/2인 것은 조금 납득하기 어렵습니다 만약 그렇다면 저 문제도 시전되는 공간에 대해서 규명을 해야 한다고 생각합니다 그리고 3가지 방식은 나름대로 논리를 펼쳤다고 생각되지만 점 선 면, 이들 이루는 차원들의 갯수가 다른데 각 값들이 출현한 확률이 동일하고 보기는 어렵습니다 두서 없이 제 생각을 적었네요
모름지기 확률을 따질 때, 분모가 되는 전체 사건을 구성하는 각 사건이 서로 배반이면서 그 합이 전체 사건이어야 합니다. 이해하기 쉽게 말하자면 여러 사람이 한 원에 달려들어서 현을 그리는데 각 사람마다 취할 수 있는 원 위의 두 점이 서로 겹치지 않고, 이렇게 무수한 사람들이 현을 그렸을 때 그 결과가 원의 면적을 전부 뒤덮을 수 있어야 한다는 겁니다. 이렇게 따져보면 제대로 된 풀이는 random radius법만 가능하다는 것을 알 수 있습니다. random endpoint법은 기준점을 단 한 점으로 고정하고 있어 각 사건이 기준점을 공유하기 때문에 배반이 아니고 random midpoint에서는 현의 중간이 작은 원의 내부만 지나기만 하면 어떤 경우든 상관 없기 때문에 각 사건에서 두 점 모두 배반이 아닌 경우가 섞이게 됩니다.
해당 설명은 빈도주의적 확률론과 관련이 있는 것 같아요. 실제 현실에서 무수히 많은 시행으로 확률이 결정되니까, 다같이 선을 그린다던지 하는 접근을 생각하셨을 것 같아요. 다만 이 경우에도 한 점으로부터 그리든 원에 접하지 않도록 하든 표본 공간에 모두 포함되는 사건이 맞습니다. 예를 들어 주사위를 두 번 굴려서 나오는 표본 공간을 정의할 때 {(1,1), (1,2), ...}에서 앞 두 원소가 서로 처음에 1이 나왔기 때문에 상호 배반이 되지않아 해당 표본 공간은 틀렸다라는 것이 모순이라는 것과 같습니다. 애초에 두 원소는 동시에 일어날 수 없기 때문이죠. 다만 여기서 쟁점은, 각 표본점에 대한 확률이 동일하냐는 것입니다. 저도 함부로 이를 증명할 머리가 있지 않기 때문에 그냥 빈도주의를 타고 있습니다...
현실세계, 즉 물리법칙을 해당 문제에 적용했을 때 단순 확률 외에도 다른 물리법칙을 준수하는 해답은 2번뿐이라는 얘기 수학은 우리 현실세계 외의 모든 확장가능한 차원에 대한 해답을 주기 때문에 답이 여러개인 경우는 수학에서 종종 볼수있음 그중에서 우리 현실세계에 부합하는 해를 "하나의 공리계"로 취급하여 발전해가는것이 물리수리학임
두번째 해법은 언뜻 보기에 합당한 것 같지만 원 둘레의 점의 조성을 따져보면 직선의 길이와 현의 개수가 선형적 관계에 있다는 진술이 틀렸음을 알 수 있지 않나요? 이해가 쉽게 이산적으로 중심에서의 길이가 같은 점을 같은 간격으로 나열한다면 원의 중심으로 다가갈 수록 점의 조성이 줄어든다는 사실을 알 수 있어요. 따라서 직선의 길이비가 아닌 점의 조성비로 따지면 2번 주장이 틀렸음을 알 수 있어요. 그리고 3번 주장은 터무니없는게 애초에 원의 면적을 차지하는게 오로지 현밖에 없다는 가정 하에서 한 주장같은데, 현이 아니라 원 내부의 두 점을 이은 직선도 원의 면적에 기여할 수 있다는 점에서 3번 주장 역시 틀렸음을 알 수 있어요. 게다가 한 점을 고정한채 내부의 원에 접하는 점을 경계로 하여 호의 길이비로 확률을 구하면 역시 1/3이 나와요
궁금한게 있는데 Random Midpoint 해법에서 현의 중점이 정삼각형에 내접하는 원 내부에 존재할 때만 주어진 문제의 조건을 만족하게 되는데 원 내부의 임의의 점과 현이 일대일 대응이 되지 않아 정확한 확률을 구하기 힘들지 않을까요? 아니면 그런 경우는 전체에 비해 매우 작아서 무시 가능할 정도로 관련이 없나요?
1/2가 물리적으로 맞는 답인 느낌이 드는게,
나머지 두개의 풀이는 공간을 원 안으로 한정하고 있음.
random radius 풀이는 공간에 직선이 먼저 있었고, 원이 무작위로 생성될 때 P(A) = 직선과 원이 닿을 확률, P(A & B) = 현의 길이가 1.732r 보다 클 확률로 정의해서 P(B|A) = P(A & B)/P(A)가 성립함.
고쳐주셔서 감사합니다!
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제목의 '미해결 문제'라는 표현이 오독의 여지가 큰 거 같습니다.
베르트랑 역설은 '무작위로 현을 긋는다'라는 표현이 잘 정의되지 않기 때문에 생기는 역설이지, 그 문제 자체가 미해결인 것은 아닙니다.
이것은 마치 'x + y = 3을 만족하는 두 자연수 x, y를 구하시오'라는 문제의 해답이 (1, 2), (2, 1)로 두 개가 있다고 이 문제가 미해결 문제인 것은 아닌 것과 같은 이치입니다.
문제 제목을 더 정확하게 수정해주시면 감사하겠습니다.
수학은 참 흥미로운 것 같아요 이런 고민들이 모여 수학이 이렇게 발전이 된 거 겠죠?
그고민이 없었어야했는데...
제발 그만 좀 발전해줬으면....
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ댓글들 진짜ㅋㅋㅋㅋ
오일러하고 가우스 두명만 없었어도 지금 학교에서 배우는 내용이 반이상 사라질텐데 쩝
아실지 모르겠지만, 적분의 개념은 기원전 때부터 사용했습니다. 그 이유는 땅의 면적을 구하기 위해...
즉 수학은 수 천년 이상 늘 사용한 학문이라서 항상 따라옵니다.
"라면 끓이는 3분동안의 최고의 선택"
"특이한 취향"
그만큼 팬이라는거지~
광고가 포함되어 3분 5초가 되어
라면이 쫄았습니다.
3가지의 방법은 각각의 방법으로 각 선분들의 가중치를 임의로 정하고 있는데 2:26의 그림이 정말 잘 보여주네요
랜덤미들포인트 는 원의 면적에서 한 점을 현의 중점으로 잡았으니 1-3 그림에서 고르게 분포된게 보이고
그에 비해 1-1과 1-2는 중심에 가중치가 좀더 높네요 즉 현의 길이가 긴 선분이 더 많아지므로 1/4보다 더 확률이 커지구요
주목할만한 점은 2-2의 그림이 아랫줄의 그림중 가장 고르게 분포되었다는 점입니다.
원의 중점에서 현을 일정한 거리마다 그었을테니 빗금그리듯 색깔이 일정하게 칠해지겠지요
2번만이 현실에서 존재하니, 원이 균일하게 색칠되는 2번이 가장 적절한 가중치 선정법이었나 보네요
저는 원의 둘레의 서로 다른 두점을 랜덤으로 정하는게 맞지 않을까 해서 1번이였는데 틀렸네요
2번 방법에 대한 고찰을 조금만 해보자면 2번은 사실 반대로 한 직선이 있고 그 위에 랜덤하게 원을 그렸을때의 (원의 중심이 평면상에 골고루 존재)에서의 상황과 같네요
원을 지나는 한 선분을 랜덤하게 고른다면, 선을 지나는 원을 랜덤하게 고르는 것과 같은 확률과 같아야함으로 2번이 더 현실에 맞는 가중치이다... 맞을까요?
사실 1번 방식은 원의 둘레 위의 두점을 랜덤하게 잡은것과 같은데 원 위의 두점이 아니라 원밖의 두점을 랜덤하게 정한다면? 2번과 같죠
완전 랜덤하게 하지 않은, 원위의 두점이라는 제한을 두면서 원의 테두리부분에서 현의 중점의 가중치가 올라가면서 1/2보다 조금 낮은 1/3이 된것 같네요
1번처럼 3번도 숨은 불필요한 규칙을 빼고 랜덤성을 높여서 2번으로 귀결시킬수 있을까요? 사실 미들포인트가 원의 중심에서 거리가 달라져도 같은 갯수 만큼 있다고 한다면 2번과 같습니다.
근데 이미 2:26에서 1-3의 그림은 또 다른 원리로 균형을 이루고 있기 때문에 1번처럼 랜덤성의 확장으로 2번으로 귀결시키기는 힘들것 같네요
어쩌면 랜덤 엔드포인트를 고른제가 가장 현실성 없는 답을 고른것 같습니다 오히려 1번의 1-1그림은 반지름이 절반인 원을 원위의 한점을 중심으로 한바퀴 돌린 분포와 같은데
이걸 원이 아니라 직선이면 2번이 되고 부채꼴을 돌리면 3번이 되네요
ㄹㅇ 현자네
와우 통찰력이 대단하네요 첫번째 두번째 댓글에서 많은 도움 얻고 갑니다 ^^
세번째 댓글은 제 지능의 한계로 이해가 잘 안되네요
뭔소리여 대체
이해가 안 가네 ㅋㅋㅋㅋ
찾아봤더니 가무한과 실무한을 혼용해서 생긴 오류라거나 그런거일줄 알았더니 아예 고전적 확률의 정의를 공리적으로 확장을 해서 해결 해버리네요... 김이 샌다ㅠㅠ
확률 정의 엄밀하게 안해서 생긴 문제지
미해결
저도 이생각했습니다. 정말 아쉬운 영상입니다.
확률에 대한 부분을 다루는 영상임을 모르고 보았으나, 꽤 흥미로운 영상이었습니다. 이해가 안되는 부분도 있었으나, 친절하게 설명해주시니, 여러번 보니 , 이해하게 되었습니다 =) 더 좋은 영상 앞으로도 기대하겠습니다.
확률밀도가 다르게 주어지기 때문이네요.
(해당 경우의 수)/(전체 경우의 수)는 확률이 이산적일 때, 각 경우의 확률이 같다는 전제에서 나온 공식입니다.
하지만 문제의 상황처럼 연속적인 확률에서는 이 문제가 복잡해집니다. 이때는 경우라는 말을 쓸 수도 없죠. 연속적인 상황에서 경우 하나의 확률은 0이니까요. 그래서 우리는 확률밀도의 개념을 사용합니다. 단위구간 당 확률이라고 생각하면 되는데요. 이 구간이라는 걸 정하는게 복잡합니다. 연속적인 경우들을 빠짐없이 나타내는 파라미터를 잡는 것이 하나가 아니니까요. 패러미터를 어떻게 잡냐에 따라 주어진 두 상태의 간격이 달라집니다. 바로 영상에 나온 난제의 상황인 것이죠.
랜덤엔드포인트의 경우에는 종점과 시점이 이루는 중심각이 패러미타가 되겠고, 두번째 그 뭐시기 수평하게 하는 것은 원의 중점에서 현까지의 수직길이, 3번째는 중점의 위치가 패러미타가 되어 확률밀도를 다르게 책정하는 것입니다.
이것에 극명하게 보이는 것이 02:27 의 그림입니다. 위쪽 그림에서는 3번째가 균등해보이고, 아래뽁
쪽 그림에서는 2번째가 균등해 보이죠?
확률을 균등하게 하는 패러미터가 서로 다르기 때문입니다.
유딩: 이게뭐야
초딩: 이게뭐야
중딩: 이게뭐야
고딩: 이게뭐야
대딩: 이게뭐야
직딩: 이게뭐야
Ray: 뿌ㅡ듯
ray가 뭐죠?
@@이동우-z1x 이 영상 올린 유튜버요
@@Hirowoon !
이건 멍멍이~
@@엔츄핀 ?
예전 imo에 나왔다는 확률 문제나 뷔퐁의 바늘 문제에 익숙해서 당연히 1번 풀이를 예상했는데, 다른 식의 풀이에 다른 답도 전부 가능하다는게 신기하네요
고전 확률의 정의가 엄밀하지 않아서 자명하지 않은거고 해석학 기반의 현대 확률론에서는 저 현상이 자명하지 않나요? 답이 3개가 아니라 sigma algebra를 서로 다르게 선언한 다른 probabililty space 가 아닌지..
고전 확률의 정의가 엄밀하지 않은게 ㄹㅇ
그러게요 영상 속에 많은 오류가 있어 보입니다
그 현대 확률론이 괴델의 정리 이후로 공리계를 확장한다는 개념으로 성립한거라, sigma algebra라는게 현실세계에서 답이 1개가 되는 이유는 아니죠.
첫 번째 풀이는 원을 정무한각형으로 간주하여 현을 정무한각형의 대각선이라고 해석했을 경우,
두 번째 풀이는 한 평면에서 원과 직선이 두 교점을 가질 때, 두 교점을 이은 선분이 현이라고 해석했을 경우 나오게 되는 것 같네요.
현이란 개념을 어떻게 받아들이냐에 따라서 현의 밀도가 달라지게 되겠죠.
1:18 이 장면에서 보면 두 번째 해석 입장에서는 이등분된 반지름의 각 부분과 직교하는 현의 개수가 위:아래 1:1이 되죠. 그래서 확률도 1/2이고요.
그런데 같은 장면도 첫 번째 해석의 입장에서 보자면 이등분된 반지름의 아랫부분과 직교하는 현이 윗부분과 직교하는 현보다 2배 많습니다. 즉 확률이 1/3이 되죠.
현에 대한 해석이 확고하다면 다른 풀이를 채용해도 결과는 같게 나오는 것이고, 영상에서 나온 세 가지 답은 풀이과정이 다르기 이전에 현에 대한 정의가 달랐기에 나오게 된 것 같습니다. (의식적으로 현을 어떠하게 정의하지 않았더라도, 영상에서 나온 것과 같은 풀이를 따라가게 된다면 암묵적으로 현에 대한 정의를 기저에 놓고 있는 상태가 되는 셈이죠.)
이렇게 받아들이는 게 맞을까요? 제 이해가 반드시 올바르다고 장담은 못하겠네요.
그리고 세 번째 풀이에서는 현을 어떻게 정의했다고 봐야 할까요? 제 수학적 소양으로는 명쾌하게 설명하질 못하겠네요.
저랑 같은 생각을 하시는 분이 계셨네요.. 저도 이 말 쓸려고 했습니다. 2번째 풀이에서도 1/3이 나올 수 있다는 것!
세번째 풀이는 현의 중점을 취하고 원의 중점과 이은 선의 수직이 되는 현을 정의한 것이라고 생각합니다.
세번째가 정확하게 확률을 계산하지는 못하겠지만 한점을 찍엇을때 그 점이 저 원안에 등장할 확률로만 따지면 1/4 이 맞겠지만 그 점이 선분의 중점일 확률이라고 생각하면 다른 점들은 모두 한가지의 선분만 존재하지만 원의 중심점의경우 원의 중심점을 선분의 중점이 되는 경우는 많음 따라서 그 경우의 수에의해 1/4 에서 1/3 로 좁혀질수 있다고 생각함
확통 시험 하루전 최악의 선택
-원의 현이 내접한 정사각형의 한 변의 길이보다 길 확률은?-
@@yee8494
1/4
1/루트2
1/2
너무 유용한 영상이에요. 이해가 잘 되었습니다, 감사합니다:)
답:1/2
사건의 경우의 수/전체 경우의 수
전체 경우의 수는 '삼각형의 변보다 현이 길다'와 '삼각형의 변보다 현이 길지 않다'이니 2가지, 사건의 경우의 수는 전체 경우의 수중 '삼각형의 변의 길이가 현의 길이보다 길다' 1가지이니 고로, 1/2에요
로지컬임?ㅋㅋㅋ
씹 ㄱㅋㅋㄱㄱㄱㅋㄱㅋ
같다도 있어서 1/3 아닐까요
@@Ssu_cu '같다'와 '같지 않다'로 하죠 ㅎㅎ
주머니에 파란 구슬 1개 빨간 구슬 2개가 있을때 무작위로 꺼내면 파란색일 확률이 1/2이에요. 왜냐하면 파란 구슬 아니면 빨간 구슬이기 때문이에요
무한을 무한으로 나눈건데 여기서 무한을 정의하는 방법이 달라서 답이 다 다르게 나오는듯
저도 같은 생각중이긴한데
맞는 말씀이시네요.
원에서 현을 선택하려면 원주에서 무작위로 점 2개를 뽑아서 그걸 이은 선분을 만드는 게 공평하다고(모든 현이 선택될 확률이 같다고) 생각하는데 이런 제 관점에서 보기에는 random endpoint 해법이 맞는 것 같습니다.
+댓글을 작성하고 보니 애초에 현을 어떻게 무작위로 선택하느냐가 각 해법의 이름이네요.
random endpoint(현의 시작점을 고정해두고 끝점을 원주에서 무작위로 선택)/random radius(원의 중심에서 현까지의 거리를 무작위로 선택)/random midpoint(현의 중점을 원 내부에서 무작위로 선택)
썸넬 보고 한 눈에 1번, 3번 풀이법만 떠올리고는 뭐가 맞는 거지..? 하고 있었는데 2번이 갑툭튀해서는 유일한 현실적 솔루션이라니.. 수학이란 참 알다가도 모를 학문이군요... ㅎ
위키피디아에 보니까 우리나라 판에는 역설만 설명하고 말던데 다른 버전으로 보니까 최대무지의 원리에 의해 2가 맞다고 하는 의견이 있다고 나오네요. 원의 크기를 말하지 않았고 임의의 원에 그냥 현을 긋는다고만 말했기 때문에 주어진 조건에 의해서만 답이 나와야 한다는 원리. 원 안의 임의의 작은 원에서도 현의 분포밀도가 같아야 하고 그렇게 되는 건 2번 밖에 없다. 3번의 방식은 현의 중점의 분포가 일정하고 1번의 방식은 둘 다 일정하지 못하다.
쌍둥이 패러독스도 그렇게 우리말만으로 검색을 해서는 얻을 수 있는 정보의 한계가 확실히 느껴지네요
아주 재미있는 내용이긴 하지만 매우 직관적인 방법으로 2번이 타당한 풀이임을 보일 수 있을 것 같습니다.
원주상의 한 점을 고정하고 다른 원주상의 점을 이어 선분을 만드는 경우에 대해 전사건을 전부 도식화 하면 까맣게 칠해진 원이 만들어지겠죠. 그런데 이 원을 구성하는 선의 밀집도는 시작점과 그 반대 지름 위치에 있는 곳으로 갈 수록 옅어지는 형태의 비대칭이됩니다. 다른 말로 표현하자면 공간 혹은 평면상에 존재하는 선분에 대하여 확률밀도가 균일하지 않다는 이야기로 볼 수 있습니다.
이해를 돕기 위해 다른 개념을 도입하자면 고정된 한 점에서 180~0도로 바꿔가면서 그은 선분들을 이용해 구분구적법을 행하기 위해서는 직사각형의 미소면적을 가정하는 것이 아니라 삼각형의 미소면적을 정의해야하기 때문에 극한일때의 양쪽이 비대칭이 되고, 이는 선분의 정의와는 다른 개념이 된다고 볼 수 있습니다.
내접원의 안쪽에 선분의 중심이 존재하는 것을 이용하는 것은 아이디어는 훌륭하나 '틀린 풀이'로 보는 것이 옳습니다.
이유인 즉슨, 내접원의 안쪽에 선분의 중심이 존재하기만 하면 항상 정삼각형의 한변보다 긴 길이가 되는 것은 맞지만, 외접원안에 존재할 수 있는 모든 좌표점에 대해 이를 중심으로 가지는 선분이 반드시 하나 존재하는 것이 아니기 때문입니다.
만약 외접원 안의 모든 점에 대해 각 점을 중심으로 하는 선분이 단 한개로 정의된다면, 한 점이 한 선분을 대표하는 치환적 개념을 사용할 수 있고, 선분의 확률에 대한 개념을 점의 갯수에 대한 개념으로 바꾸어 생각할 수 있으므로 면적을 기반으로 근사를 할 수 있습니다. 하지만 외접원안의 임의의 점을 중심으로 하는 선분은 위치에 따라서 여러개가 될 수 있습니다. 바로 중심점 때문입니다. 원의 중심에서는 180도 이내의 모든 방향으로 선분이 존재할 수 있으며, 다른 점에서는 임의의 한 점을 중점으로 갖는 선분이 반드시 하나로 귀결됩니다. 이 또한 확률밀도가 균일하지 않은데, 면적을 구성하는 점을 균일한 요소로 가정을 했기 때문에 틀린 풀이로 볼 수 있습니다.
다만 내접원의 아이디어를 활용하여, 확률밀도의 불균일성을 해결하기 위해, 모든 점이 하나의 선분을 대표하도록하는 전제조건을 만든다면 바른 풀이를 적용 할 수 있습니다. 다시말해, 중심점의 비대칭적 요소의 해소를 위해 중심점이 대표하는 선분 하나만을 정하고, 이 특성(해당 선분과 평행한)을 갖는 선분들에 대한 비율을 확인하는 방법입니다. 임의위치의 점을 중점으로 하는 선분은 해당점과 원의 중점을 잇는 선상의 수직선에서만 발생하기 때문에, 임의 점을 대표하는 선분과 평행한 선분은 원의 중심에서부터 임의의 점을 지나 원의 둘레까지 잇는 지름길이만큼의 선분 상에서만 발생하고, 때문에 이 방법은 결과적으로 임의반지름 풀이법과 같은 결과가 나오겠죠. 만약 특정 각도에서 평행한 선분들이 다양한 각도의 선분들에 대한 확률까지 전부 대표할수 없다라고 생각된다면, 해당 비율의 도해를 회전시키는 것으로 모든 방향에 대한 대칭성을 보일 수 있으므로, 특정 각도 조건의 평행선들을 통한 반지름길이를 이용한 특정 예제는 모든 각도를 대표하는 확률로써 균일밀도를 보임을 입증 가능합니다.
따라서 3가지 풀이법이 모두 맞지만, 물리적인 해는 한가지인 패러독스가 아니라, 1번 풀이는 선분의 특성을 무시한 접근이며, 3번 풀이는 아이디어는 좋았으나 풀이를 잘못 적용한 예라고 볼 수 있을것 같습니다.
특정 현 주변에서 다른 현들의 "밀도"를 어떻게든 정의해서 구하면 될 거 같긴 한데...... 아예 "밀도"를 공리적으로 정의한다던가요. 근데 이게 말이 쉽지......
저도 똑같은 생각. 1번 풀이와 3번풀이는 다른 현들의 밀도를 고려하지 않음. 2번 풀이가 밀도와 상관없이 구하는 풀이라 현실에도 성립하는듯
오 생각해보니 먼소린지 이해가네요 감사ㅎㅎ
1번 문제에서 밀도를 생각한다면 한 꼭짓점에서 원 둘레의 무한한 점에 각각 선을 잇는다고 생각할 수 있을 것 같고,
그렇게 된다고 하면 결국 호의 길이로써 확률을 정의해야하고 그래도 120/360이 되서 1/3로 같은 확률이 나오는 것 아닌가요..?
@@jerry-jh5nz 답글 추가.
갑자기 든 생각인데 두 현 사이의 "거리"를 아래 방법에 따라 계산한 다음 여기에 맞춰서 "밀도"를 구하면 어떻게 될까요?
1. 두 현 L1, L2 중 어느 하나의 양 끝점을 각각 0, 1에 대응시키고, 현 위의 각 점을 실수선 위의 실수에 대응시킵니다.
2. 다른 하나의 현에도 1을 적용합니다. 이때 어느 끝점을 0으로 두느냐에 따라 두 가지 경우가 발생합니다.
3. f:[0, 1]→R을 f(x)는 두 현 각각의 점 "x"끼리 이은 선분의 길이로 정의합니다.
4. ∫[0, 1]f(x)dx가 될 수 있는 두 값 중에서 작은 쪽을 두 현 사이의 "거리"로 정의하고 이를 u(L1, L2)라고 합니다.
이때 이 함수는 삼각부등식을 만족합니다. 증명은 세 현을 그렸을 때 세 현의 x점들을 잇고 거리를 구하면 삼각부등식이 성립하기 때문입니다.(0, 1의 스위칭 문제는 오히려 삼각부등식을 만족하게 하기에 유리합니다.)
이걸 어떻게 잘 쓰면 현들의 밀도 함수를 정의할 수 있을 거 같긴 한데 이 다음을 모르겠네요 ㅜㅡ
해석적관점으로 계산해본다면? 단위원 x^2+y^2=1과 직선 ax+by+c=0이 만났을때를 가정해보고 계산한다면 (R^2공간에서 임의로 뽑은 직선이므로 확률밀도가 동일할 것), 기울기가 정해진 직선과 원의 관계니까 2번 풀이를 따라가서 1/2가 나올듯
그게 해석학적 관점이었구나
저도 이게 맞다고 봅니다 현이 아니라 임의의 직선을 뽑아야 확률을 구할수있을듯
2:23
확률의 정의가 부족해 일어나는 역설같습니다.
수학적 확률의 정의는
특정사건 경우의수/전경우의수 이지만
여기서 중요한 조건이 붙습니다.
바로 모든 경우의 수가 같은 기대값을 가져야한다는 거죠.
쉽게 말해서 도박에서 이길확률은 이기거나 지거나 두가지 경우의 수 중에서 이기는 경우의 수인 1/2가 아닙니다.
두 경우의 수가 같은정도로 기대되지 않기 때문이죠.
대표적으로 확률문제에서 H를 쓰게되면 오류가 생기게 됩니다.
해당 문제에서도 2:23 장면에서 현실에서 무작위로 선을 그리라고 하면 가운데 그림처럼 그려지겠죠. 그러나 첫번째 풀이와 세번째 풀이대로 본다면 원의 중앙에서 더 멀리 있을 것이라고 더 높은 정도로 기대됩니다.(첫번째와 세번째 그림에서 가운데부분이 더 비어있는 것을 보면 알 수 있습니다.)
물론 해당 풀이의 관점에서 본다면 각각의 선들이 같은 기대값을 가지는 건 맞지만
두번째 관점에서 봤을때는 첫번째와 세번째에 그려진 선들이 같은 정도로 기대되지 않는다는거죠.
어떻게 임의로 선을 그릴것인가에 대한 문제같습니다.
그을 수 있는 모든 선은 2번 풀이에서 회전만 시킨거라 생각해서 2번 풀이처럼 2분의 1이라 생각했는데 현실에선 2번이 적용된다니 기분이 좋네요
저는 전부 답이 될수있다고 생각합니다. 세번째는 첫번째와 두번째 모두를 포괄해보이네요... 하지만 두번째만 현실에서 적용된다는건 중력이 있을때잖아요. 이 말은 중력이 상쇄되지않는 그러한 현실에서만 적용된다는겁니다. 그럼, 모든 중력이 상쇄되어 potential difference가 0이 되는 지점에서는 1, 3번도 가능할 수 있다는 말이 되기에 2번만이 허용가능하다고 하는건 성급하다 봅니다.
그리고 실제 수학에선 가능하다 하더라도 현실은 여러가지 조건들이 존재하는 해를 원해서 수학에서의 이론보다 현실에서의 데이터는 더 제한적으로 나타납니다.
예를 하나 들자면, 물리에서 양자장론에서는 SM 이라고 입자들을 정리해놓고 그 입자들간에 상호작용하는것을 다루는 표준모형이 있습니다. 여기에 입자들중 up, down, strange 쿼크들은 Lie group에서 특정 조건에 대한 해에 해당합니다.
결론은... gravitational potential 에 대해 차이가 존재하면 2번, 차이가 없어서 중력이 작용하지 않는다면 3번이라고 생각합니다.
+ 2:21 이 그래프에 대한 설명을 적어주실수 있을까요? 위와 아래가 각각 어떤것을 나카내는지 궁금하네요.
P(A)=n(A)/n(S)가 일단 성립을 하려면
상식적으로 n(X)라는 연산도구가 가치가 같은 경우의 수의 개수를 찾는 용도로 쓰일 때만 성립해야함
음... 좀더 직관적으로 설명하자면 경우의 수의 밀도가 같아야지 저 공식을 사용할 수가 있음
영상에서의 패러독스에서는
원주의 길이에 따른 확률 밀도가 동등할 때와
반지름의 길이에 따른 확률 밀도가 동등할 때와
원의 넓이에 따른 확률 밀도가 동등할 때
이렇게 3가지 경우로 계산을 하게 됨
먼저 원주의 길이에 따른 확률 밀도에서는 한 점을 고정시키고 중심각이나 원주의 길이가 변수가 됨
반지름의 길이에 따른 확률 밀도에서는 중심각을 고정시키고 원의 중심으로부터의 거리가 변수가 됨
원의 넓이에 따른 확률 밀도에서는 고정된 변수가 없이 원 안의 점의 위치가 변수가 됨
임의의 현의 길이가 내접하는 정삼각형의 한 변의 길이보다 클 확률을 따질 때에는
보통은 중심각을 변수로 두지 않기 때문에
원의 중심으로부터의 거리에 따른 확률이 동등할 때로 가정하여 계산하는 것이 저도 가장 합리적이라고 생각함
보충 설명 하자면
원주의 길이에 따른 확률 밀도가 동등하다는 말은 원주의 길이가 1일 확률밀도와 0일 확률밀도와 0.5일 확률밀도와 3.14일 확률밀도가 같다는 맥락입니다. (반지름1에 원주의 길이는 0이상 6.28...이하라고 가정)
마찬가지로 원의 중심으로부터의 거리에 따른 확률 밀도가 동등하다는 것은 원의 중심으로부터의 거리가 0일 때 0.1일 때 0.5일 때에서의 확률밀도가 같다는 맥락입니다
구간 [a,b]에 속하는 실수인 변수 x에 대해서
확률밀도함수가 f(x)라면
변수 x가 구간 [c,d]에 속할 확률은
P(A)=integral[c,d](f(x)dx)/integral[a,b](f(x)dx)로
정의하는 것이 P(A)=n(A)/n(S)로 정의하여 푸는 것보다 더 합리적이지 않을까 싶네요
확률 밀도 함수(?)라기 보다는 조건에 성립하면 함숫값이 1이고 조건에 성립하지 않으면 함숫값이 0인 함수라고 하는게 맞네요
그냥 밀도함수라고 부르는게 맞으려나 integral(-inf~inf)f(x)dx=1인게 확률밀도함수
구간 [r=0,r=1]사이의 반지름 r=e^x이고 중심각을 고정시켜 x에 따라서 확률을 동등하게 따질 수 있다고 치면 [-inf,ln(e^0.5)]구간에서 조건을 충족시키지 못하고 (ln(e^0.5),0]구간에서 조건을 충족시키므로
조건을 충족시킬 확률은 (0-(-ln(e^0.5)))/(0-(-inf)) = 0.5/inf = 0 즉, 현의 길이가 내접하는 정삼각형의 한 변의 길이보다 클 확률은 0입니다 ㅎㅎ
구간 [S=0, S=ㅠ] 사이에서 S=ㅠsinx의 x에 따라 조건을 충족시킬 확률이 동등하다고 따지자면 x가 구간 [0, ㅠ/6]에서 조건에 성립하지 않고 (ㅠ/6, ㅠ/2]에서 조건에 성립하므로 확률이 2/3으로도 나옵니다
깔끔하게 삼각형 모양이 중력방향임. 주사위를 던지면 모서리로 서지 않는 이유. 하나 더 추가하면 스마트폰을 누워서 보느냐로 옆으로 누워서 보느냐 앉아서 보느냐의 확률. 옆으로 보면 삼각형이 다시 중력 방향으로 돌아가는데 옆이란 말이 또한 확률로 정해져 왼쪽 오른쪽을 벡터 방향으로 알수있음. 중력을 상수로 보면 특이하게 머리 속에서 확률로 그려짐. 방에서 누워서 이리저리 보는데 기하 확률이 몸으로 느껴지네요. 하나 더 있는데 동치는 아니고 누워서 본다에요. 적어도 이래도 중력 방향으로 1/2이네요.
제가 적어도 상하 관계 차원 안에 있으면 답도 1/2이겠죠.
마지막꺼는 하늘쪽 보면서 누운거에요. 스마트폰이 무거운거보니 레이님 말이 맞네요. 옆으로 다시 누우려고 하는데 .........
생각을 확장하니 그림을 2차원 폐곡선으로 만들고 삼각형을 나선으로 환원하니 모든 힘을 등가로 만들수 있네요 .
음... 지나가던 수학과 박사과정 학생입니다... 이 영상을 포함해 몇몇 영상이 제대로 된 지식을 전달하지 않고, "봐도 잘 모르겠는데 멋져 보이는" 내용이라 보기 많이 불편하네요..
솔직히 말씀드리면 해당 유튜버님도 본인 영상의 내용을 잘 모르시고 만드시는 것 같습니다.
예를 들면 2:23 "수학적으로는 존재하나 우리가 사는 세상에서는 존재할 수 없는 확률" 과같은 표현을 꼽을 수 있는데요.
얼핏 들으면 참 멋진 표현입니다만, 수학과 지망생이거나 학부 저학년 시절에 쉽게 할 수 있는 오해죠. 조금 거북하게 들리실 수 있지만, 수학이라는 학문에 대한 전반적인 이해가 부족한 표현입니다...
수학은 "현실에 존재하는 것을 설명"하는 것에 중점을 둔 학문이 아닙니다. 예를 들면, 확률은 세상에 "존재"하나요?
확률은 세상의 어떤 것들을 설명하는 모델에서 쓰이는 언어로써 적용할 수 있으나, 이것이 실존한다고 오해하여서는 안됩니다.
세상에 존재하는 것들과 별개로, 확률은 독립적으로 존재하는 수학적 개념입니다.
(물론 이러한 필요에 의해 확률 이론이 태동하고 발전하게 되었음은 분명함에도 불구하고 말이죠.)
덧붙여, (알고 있는데 고의로 오해를 조장한 것인지, 모르셨는지는 모르겠지만) 해당 문제는 0:27 "임의의 현을 그릴 때" 라는 표현을 잘 정의하지 않아 생기는 문제입니다. 즉, 현의 확률 분포를 어떤 것을 선택하냐의 문제이고, 현이 어느 분포를 따르냐에 따라 세 풀이 모두 정답이 될 수 있습니다. 언급하신대로 2:14 "특정 물리 시스템에서"는 어느 한 분포가 적절한 선택일 수 있으나, 이것만이 "현실에 존재하는" 확률이고, 나머지는 아닌 것이 아닙니다. 다시 한 번 말씀드리지만 이는 큰 오해입니다.
실재하는 것과 이를 설명하는 모델, 그리고 이를 기술하는 수학적 개념을 혼동하면 안됩니다.
그리고 당연하게도, 2:28 "현재 수학계에서 이 문제에 대한 논의가 진행중"일 수가 없습니다. 문제가 잘 정의되지 않아서 생기는 자명한 오류이고, 해결책 또한 명확합니다. 어떤 물리적 상황에서 어떤 확률 분포가 적절한지는 해당 시스템을 기술하는 과학/공학자들이 고민해야 할 문제입니다. 그 과정에서 수학적 도구들이 필요할 수 있으나, 그것이 이 문제의 본질이 아님은 분명합니다.
만약 이것을 모두 알고 계심에도 영상을 이렇게 만드셨다면, 멋져보이기 위해 사실을 왜곡한 것입니다.
이는 잘 모르는 시청자들에게 오해를 살 수 있으므로 좋지 않습니다. 게다가 **"수학"** 채널이라면, 더더욱 그래서는 안됩니다.
우선 정확하지 않은 내용으로 영상을 만들게되어 죄송합니다. 이 내용은 제가 학부시절 배운 확률과통계 '교육'에 초점이 맞추어진 내용을 바탕으로 수학적 개념을 설명하다보니 교수학적변환에서 표현이 명확하지 못했습니다. (영상 관련된 내용은 블로그에 정리해두었습니다. 다만 추가적으로 다른 내용과 연결하다보니 자의적인 해석이 들어간 것 같습니다.)
[수학은 "현실에 존재하는 것을 설명"하는 것에 중점을 둔 학문이 아닙니다. 예를 들면, 확률은 세상에 "존재"하나요? 확률은 세상의 어떤 것들을 설명하는 모델에서 쓰이는 언어로써 적용할 수 있으나, 이것이 실존한다고 오해하여서는 안됩니다. 세상에 존재하는 것들과 별개로, 확률은 독립적으로 존재하는 수학적 개념입니다.]
위 말씀에는 충분히 공감하고 있습니다. 수학에 흥미가 있을 소재를 찾다보니 제 능력밖에 것을 설명하고 과한 해석이 들어갔습니다. 앞으로는 이 점을 유의해서 영상을 제작하도록 하겠습니다. 귀한 시간 내주셔서 감사합니다.
@@Ray수학 과한 해석을 넘어 잘못된 내용이 있는뎅,,, 세가지 방법 모두 조건에 따라 실험가능한, '현실적으로 존재하는' 답입니다만
문제의 조건이 제대로 정의되지 않았기 때문에 발생하는 해프닝이란 생각이드네요. 굳이 하나의 확률만이 정답이라 특정하고 싶다면, 제시된 방법중 어떤 방법으로 현을 그을것이다 라는 조건을 넣으면 좋을 것 같습니다.
항상 좋은영상 감사합니다
확률이란 전체 사건 대비 특정 사건이 일어날 수 있는 가능성이고, 사건이란시행이나 실행의 결과인데 여기에는 어떠한 시행이나 실행이 없으므로 확률이란 게 존재할 수 없습니다. 따라서 애초에 ~~ 확률은? 이라는 말을 쓴 것 자체가 올바르지 못한 용어입니다.
와 이 분 영상 보면서 이것만큼 신기하다고 느낀 영상이 없는듯 ㄷㄷㄷㄷ
밀도의 차이 때문일 거 같은데 논의 중이라니... 쉽지 않다 ㅠ
나도 밀도의 차이인거 같은데 그 뒤로 영상에서 뭔 개소리 하는지 모르겠음 ㅜㅜ
기하학적으로 생각해야 하는 거 아닌가요? 일단 간단하게 반지름이 1인 단위 원을 놓고 생각하면 전 사건의 경우의 수는 원 위의 두 점을 택한 것과 같게 될 것입니다. 이때 두 점 A,B 에 대해 선분 AB와 BA는 같으므로 2 를 나눠줘야겠죠. 그럼 전 사건은 {(2π)^2}/2 가 되겠죠. 그리고 각 점 A(x,y)와 B(x',y')를 이은 선분의 길이가 단위 원의 내접 삼각형의 한 변의 길이 보다 긴 경우만 생각하면 확률을 구할 수 있을 것이라고 생각됩니다. 정리하자면 -1≤x,x',y,y'≤1 과 √(x^2+y^2)=√(x'^2+y'^2)=√1=1 를 만족하는 x,x',y,y'에 대해 √3≤√{(x-x')^2}+{(y-y')^2}를 만족하는 (x,y),(x',y')의 구간을 구할 수 있으면 가장 확실한 답이 나올거 같습니다. 계산은 뭐... 지금 풀어볼까 했는데 노트에 남는 여백이 없네요.
혹시 (x/(y+z))+(y/(z+x))+(z/(x+y))=4의 정수해 구하는 영상 만들어 주실 수 있나요?
(4, -1, 11)이라는데.. 타원곡선을 제가 할 능력이 될지는 모르겠어요.. T_T www.quora.com/How-do-you-find-the-positive-integer-solutions-to-frac-x-y+z-+-frac-y-z+x-+-frac-z-x+y-4
이거 그 80자리수의 자연수 해가 나온다는 그 문제 아닌가요
@@졸지마" 그건 서로 다른 세 자연수"라는 가정이 붙음
중력으로인한 변화는 모르겠지만
Random End 적분식을 만들어 구해보면 원의 넓이와 다르다는 오류
Random Radius 적분식을 만들어 구해보면 원의 넓이와 같다
Random Mid 원 이외의 점을 지나는 선도 삼각형의 한변보다 길수 있다는 오류
적분은 어떻게 계산한건가요?
그리고 원 이외의 점을 지나는 선이 삼각형의 한 변 보다 길어지는 예가 있나요?
대학교에서 교수님이 알려주신 거 여기서 하나씩 보니까 반갑네
이게 아무래도 선을 놓는 방식이 완전한 무작위가 아니여서 일듯. 예를 들어서 내가 초 하나를 무한한 평면 위에 일정 거리로 놓은 상태에서 초에서 나오는 ray들을 projection 시킨다면 완전한 랜덤처럼 보이지만 결국에는 r->oo인 점에 가는 projection은 적을 것임. 우리가 무작위로 고르는 것 자체가 모순이 있다는 것으로 받아들이면 되는 문제같음
저는 직관적으로 3번 풀이를 보고 1/4라고 생각했는데, 이렇게나 다른 풀이가 나올 지는 몰랐네요
마지막에 실제로 시뮬레이션해본 걸 보고 어째서 2번이 현실에서 성립하는 지는 알 것 같습니다
신기하네요
2번 풀이를 생각하긴 했는데 다른 풀이들도 있다는게 신기하네요
근데 왜 현실에서는 2번만 성립하는 걸까요? 신기하네요
자연수의 무한합, 비유클리드 기하학에 대해 찾아보시면 이런 경우가 생각보다 많고, 현실세계는 그 중 단 하나의 해답에 해당되는 공리계임을 알 수 있습니다.
선이 그려지는 간격을 미분했을때 점과 점으로 할래 점과 각도로할래 통과하는 어느한점으로 뭉칠래 차이지뭐... 각 그리는방식에 따라 일정 간격 일정각도로 대충그려보면 골고루 색칠한걸로 보이는건 두번째 방법일듯.
첫번째는 모든 벡터가 공통된 한 점을 지난다는 조건
두번째는 모든 벡터가 평행하다는 조건
세번째는 모든 벡터가 모든 방향으로 존재한다는 조건
그래서 결론은?
하지만 원은 대칭성이 있는디요
두번 째 풀이에선 동일한 선이 동시에 의미 없이 존재가능하기에 오류라고 생각함 점 A를 지나는 선과 점 B를 지나는 선이 동일 할수 있기때문에
2번이 맞음
1번은 한 선분 끝점이 삼각형의 꼭짓점 위에 존재하는 경우에만 성립함.
선분의 양 끝점 2개가 모두 삼각형의 꼭짓점이 아닌 곳에 위치하는 경우를 고려하지 않음
3번은 선분의 중점이 가운데 작은 원에 위치할 확률이 원 밖에 위치할 확률보다 높음.
간단하게 생각해보면, 선분의 중점이 원의 둘레 근처에 위치하려면 선분의 양 끝점이 거의 이웃하다시피하는 경우밖에 없음.
그러나 원의 중심에 선분의 중점이 위치하는 경우는 수도 없이 많음.
썸네일 보고 1번 풀이 생각하고 들어와서 바로 나오길레 오! 맞췄네 ㅎㅎ 하고 보고 있었는데, 2번에서 1/2입니다 하는 순간 엥? 했다...
그리고 중력이 나오는 순간 이해를 포기했다...
진찌 신기하네요 나중에 학교에 가서 아는척좀 하겠습니다
갑자기 중력이 등장한것부터 뇌정지
갑자기 중력이 왜 튀어나오는지.. 설명 좀 해죠!
중력... 또 너야?!
이론적으론 가능한 확률이지만 현실 세계에선 반영되지 않는 실세계에서 쓸모없는 확률이란것 같네요..
현실에선 중력의 영향을 항상 받으니까 원 내부의 물질이 상대적으로 아래로 쏠려서 밀도의 차이 등 여러 변수의 작용으로 나머지 두 확률은 존재할 수 없다는걸 말하는 것 같네요.
*중력*
무연근같은건가
따라서 1/2 = 1/3 = 1/4 이에요.
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 어디서 많이 봤눈데
“중력 100배”
하 언조비카이~
500배인데 선넘노 ㅋㅋㅋ
@@mg24420-q 게이야... 이렇게 신성한 데 와서 일베짓 하고 다니니까 좋노
음..난 3번이라고 생각했는데
임의의 현이 있다고 할 때 그 현이 삼각형 변 길이보다 작으려면 현의 중점이 변보다 안쪽에 있어야 함.
편의상 한 변을 잡고 그 변에 평행한 현을 가정하면 현의 중점에 대응되는 변 위의 점이 있을 것이고, 이는 변의 중점임.
즉 변의 중점보다 안쪽에 현의 중점이 위치해야 하고, 이를 모든 방향으로 확장하면 변의 중점이 그리는 원의 자취 안쪽에 현의 중점이 있어야 됨.
이때 그려진 원의 넓이는 원래 원의 1/4이므로, 현의 길이가 변의 길이보다 클 확률은 1/4이다.
죄송합니다 죄송합니다 죄송합니다 죄송합니다죄송합니다 죄송합니다 죄송합니다 죄송합니다죄송합니다 죄송합니다 죄송합니다 죄송합니다
복붙하셨네요 정성 0점입니다.
각각의 방법에서 현의 길이에 따른 확률분포가 다르니 확률계산에서 분모가 바뀌는 꼴이고 당연히 다르게 계산되지 역설이라고 할 정도는 아닌듯ㅋㅋㅋ random endpoint는 짧은 현들이 차지하는 비율이 random radius 방법보다 훨씬 높음
오 썸네일만 보고 이렇게 푸는거 아닐까 하고 나머지 두개 궁금해서 들어왔는데 생각했던 방법이 들어있어서 놀랐고 실제로 쓰이는 방법도 그거라해서 두번놀람
생각했을때 가로선 하나만 두고 저 도형 자체를 움직여서 겹치는 부분이 삼각형보다 길어지는 부분은 저 삼각형 부분의 밑변부터 도형을 180도 뒤집은 역삼각형의 윗변까지로 두고 그 사이의 범위로 지나는 모든 평행선들의 집합이 내접하는 삼각형의 한변의 길이보다 긴 현의 길이의 집합이라 보고, 다른각도로 돌린다 한들 원이기에 똑같다 생각했는데
갑자기 뜬금 없는 건데 현실 세계에서는 중력 영향을 받아서 1/2로 확률이 나온다고 하든데 그러면 유클리드 공간에서의 확률과 비유클리드 공간에서의 확률도 달라질 수 있는 건가요? 지구는 따지고 보면 절대적인 평면이 아니라 중력의 영향으로 인해 굽어진 건데 아무리 곡률이 미비하다고 해서 확률이 1/2인 것은 조금 납득하기 어렵습니다 만약 그렇다면 저 문제도 시전되는 공간에 대해서 규명을 해야 한다고 생각합니다
그리고 3가지 방식은 나름대로 논리를 펼쳤다고 생각되지만 점 선 면, 이들 이루는 차원들의 갯수가 다른데 각 값들이 출현한 확률이 동일하고 보기는 어렵습니다
두서 없이 제 생각을 적었네요
중력의 영향이라는 것이 곡률등을 얘기하는 게 아니라, 다른 물리적 보존법칙을 만족하는 해가 2분의1 하나뿐이라는 것을 얘기한 겁니다
모름지기 확률을 따질 때, 분모가 되는 전체 사건을 구성하는 각 사건이 서로 배반이면서 그 합이 전체 사건이어야 합니다. 이해하기 쉽게 말하자면 여러 사람이 한 원에 달려들어서 현을 그리는데 각 사람마다 취할 수 있는 원 위의 두 점이 서로 겹치지 않고, 이렇게 무수한 사람들이 현을 그렸을 때 그 결과가 원의 면적을 전부 뒤덮을 수 있어야 한다는 겁니다.
이렇게 따져보면 제대로 된 풀이는 random radius법만 가능하다는 것을 알 수 있습니다.
random endpoint법은 기준점을 단 한 점으로 고정하고 있어 각 사건이 기준점을 공유하기 때문에 배반이 아니고
random midpoint에서는 현의 중간이 작은 원의 내부만 지나기만 하면 어떤 경우든 상관 없기 때문에 각 사건에서 두 점 모두 배반이 아닌 경우가 섞이게 됩니다.
해당 설명은 빈도주의적 확률론과 관련이 있는 것 같아요. 실제 현실에서 무수히 많은 시행으로 확률이 결정되니까, 다같이 선을 그린다던지 하는 접근을 생각하셨을 것 같아요.
다만 이 경우에도 한 점으로부터 그리든 원에 접하지 않도록 하든 표본 공간에 모두 포함되는 사건이 맞습니다. 예를 들어 주사위를 두 번 굴려서 나오는 표본 공간을 정의할 때 {(1,1), (1,2), ...}에서 앞 두 원소가 서로 처음에 1이 나왔기 때문에 상호 배반이 되지않아 해당 표본 공간은 틀렸다라는 것이 모순이라는 것과 같습니다. 애초에 두 원소는 동시에 일어날 수 없기 때문이죠.
다만 여기서 쟁점은, 각 표본점에 대한 확률이 동일하냐는 것입니다. 저도 함부로 이를 증명할 머리가 있지 않기 때문에 그냥 빈도주의를 타고 있습니다...
확률에 중력은 또 뭐임ㅋㅋ
현실세계, 즉 물리법칙을 해당 문제에 적용했을 때 단순 확률 외에도 다른 물리법칙을 준수하는 해답은 2번뿐이라는 얘기
수학은 우리 현실세계 외의 모든 확장가능한 차원에 대한 해답을 주기 때문에 답이 여러개인 경우는 수학에서 종종 볼수있음
그중에서 우리 현실세계에 부합하는 해를 "하나의 공리계"로 취급하여 발전해가는것이 물리수리학임
@ᄋᄋ 앗...
1:11 1:11 근데 이거 1/2맞나요?
1:11 1:11 원의 지름보다 안쪽으로 가면 다시 작아지잖아요 아 그것도 포함해서 1/2인간가..
길이가 아닌 대응하는 점을 보시면 이해가 될 거에요
애초에 1/2이 아님
패러독스는 말 그대로 말장난이에요
셋다 정답이 아니라 셋다 오답임
반원을 기준으로 1/2 이니, 남은 반원에서도 1/2 이라고 생각하고 1/2이라 말한거에요
@@zzeozzeo 그말 출처좀
@@zzeozzeo 개소리하지말고 지나가라
이렇게 간단한 문제에 답이 세개나 나온다는게
이제껏 느꼈던 수학의 매력과 달라서 충격적이네
지금까지 느꼈던 매력은 뭔가요?
@@부계정-f8n 언제나 정해진 답이 딱딱 나오는 매력..아닐까요 많은 사람들이 국어 문학같은거랑 다르게 답이 확실하게 정해진 것에 매력을 느끼니까요
@@user-be4vj4rn8j 흠 저는 수학의 매력은 정답이 정해지는 부분이 아니라고 생각해요.
저는 수학의 매력은 어떻게 푸는 지에서 온다고 생각해요
@@부계정-f8n 저도 그렇게 생각합니다 그런데 중고등학교 단계에서는 답이 딱 나오는거에 매력을 느끼는 학생들이 많아가지고 원댓 작성자 분도 그렇게 생각하시는 건 아닐까 생각했어요 실제로 고등학교 수학같은걸 상상하고 수학과 왔다가 실망하는 분들이 되게 많다고 그러고
@@user-be4vj4rn8j 포스텍 수학과 지인도 님이랑 비슷한 말 하더라구요
다만 저는 공대생이라 미적분과 공업수학을 배우면서 느꼈던 재미가 수능수학과 크게 다르지 않았습니다
이거 재미있었어요 아직 기억합니다
답이 몇개든 답이 뭔지 난 모르겠다는게 팩트..
두번째 해법은 언뜻 보기에 합당한 것 같지만 원 둘레의 점의 조성을 따져보면 직선의 길이와 현의 개수가 선형적 관계에 있다는 진술이 틀렸음을 알 수 있지 않나요? 이해가 쉽게 이산적으로 중심에서의 길이가 같은 점을 같은 간격으로 나열한다면 원의 중심으로 다가갈 수록 점의 조성이 줄어든다는 사실을 알 수 있어요. 따라서 직선의 길이비가 아닌 점의 조성비로 따지면 2번 주장이 틀렸음을 알 수 있어요. 그리고 3번 주장은 터무니없는게 애초에 원의 면적을 차지하는게 오로지 현밖에 없다는 가정 하에서 한 주장같은데, 현이 아니라 원 내부의 두 점을 이은 직선도 원의 면적에 기여할 수 있다는 점에서 3번 주장 역시 틀렸음을 알 수 있어요. 게다가 한 점을 고정한채 내부의 원에 접하는 점을 경계로 하여 호의 길이비로 확률을 구하면 역시 1/3이 나와요
혹시 수학교육과이신가요? 수학교과론에서 봤던 내용들이랑 균등수렴 같은게 보여서 궁금해서 여쭤봐요 ㅎ
고3 선생님이라고 하시네요 ㅎㄹ
그렇군요 감사합니다ㅎ
궁금한게 있는데 Random Midpoint 해법에서 현의 중점이 정삼각형에 내접하는 원 내부에 존재할 때만 주어진 문제의 조건을 만족하게 되는데 원 내부의 임의의 점과 현이 일대일 대응이 되지 않아 정확한 확률을 구하기 힘들지 않을까요?
아니면 그런 경우는 전체에 비해 매우 작아서 무시 가능할 정도로 관련이 없나요?
원 안으로만 특정하면 대응 가능하죠 원의 중심을 제외한다면
와 정말 그렇네요
랜덤 래디우스로 첫 접근했는데 엔드포인트 풀이가 쉬워서 놀랬고 미드포인트는 생각지도 못한방법이라 그렇구나 했다가 전부 확률이 다르다는것에서 부랄을 탁치고갑니당
현을 원의 중심을 경유하는 벡터로 설정하면 한 점을 고정했을 때 해당 점에서 원의 중점까지의 벡터를 a벡터 원의 중점에서 나머지 점까지의 벡터를 b벡터라고 하면 a벡터를 고정했을 때 1/3이 나오지 않나요?
2번방법에서 원 가장자리에 가까운 현에서의 원과 현의 접점 극소점빈도와 원 중앙에 가까운 현의 극소점 빈도수가 차이날거 같아서 2번은 아닐거 같다고 막연히 생각했는데
중력 작용이 있다면 가장자리 극소점의 밀도가 높아져서 물리적 솔루션에 이용되는걸까요? 궁금하네요
그렇게치면 1 2 3다 안댐
근데 원에 내접하는 정삼각형의 한변은 무조건 지름의 (3^1/2)/2니까 확률은
1-(3^1/2)/2 이어야 하는 거 아닌가요?
각 케이스의 등장확률이 정말 연속적인지 증명된건가요?
1번풀이만 생각하고 들어왔는데 혼란스럽네요 ㅁㅊ
세 결과를 구하는데 조건이 붙었는데 그 조건마다의 확률이니 다 더해야하고 겹치는 확률도 구해서 빼야하는게 정확한 정답 아닌가?
이거 수학 선생님 앞에서 설명해도 되겠다
Aㅏ 수학 못하는 얘들도 포함
말이 어려워서 이해를 못 하겠어요 ㅜㅜ 결론은 무작위로 선을 그었을 때 삼각형 변보다 길 확률은 1/2인가요...? 그렇다면 왜 다른 두 방법은 현실에선 성립하지 않는 건가요? ㅜㅜ 이론상 전혀 문제가 없어보이는데...
한마디로 “무수히 많은 현” 을 정의하는 방식의 차이입니다
답이 세개이고, 현실에서 적용가능한건 두번째 풀이뿐이라고 매우매우 쉽게 설명해주고 있고, 이게 학계에서 통용되고 있음에도 뭐는 오류다 뭐는 틀렸다 하는 자격 없는 똑똑이들이 존나 많네 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
임의에 현에 대한 기준에 따라 답이 달라지는듯
썸네일만 보고 당연히 0.5 아닌가 했는데 신기하네요
차원을 늘렸을때 1,3번 풀이는 답이 바뀌고 2번 풀이는 답이 불변함 ㄷㄷ
차원을 늘리면 문제가 어떻게 바뀌는거예요?? 원이 구가 되는건 그려지는데 삼각형은 어떤 모양이 되나요? 단순하게 삼각뿔로 바꿔도 되는건가...???
내가 이래서 확통을 안한거지 ㄹㅇㅋㅋ
나만 확통보다 미적이 쉽냐..??
@@growlhowl8180 난 확통은 모르겠고 수1보다는 미적이 훨 나은듯;; 수1 격자점문제같은 킬러는 손도 못대겠는데 미적킬러는 앵간히 할만 함
@@뭉탱탱님유리게슝해요 격자점은 ㄹㅇ 나오면 어지간히 쉬운거 아니면 그건 시간 안에 푸는 거 포기해야함 ㅋㅋㅋ
@@chaffle7265 근데 요즘에는 15 22에서 격자점문제 절대 안나오잖음 쉬운4점에서나 나오지 않나
@@growlhowl8180 격자점이 귀찮을 뿐이지 난이도 자체로만 보면 그리 높지 않긴하죠
근데 글고보니 요새 격자점 문제가 안보이네....
"빛 수학"
1,2 번은 너무 특수한 상황 아닐까요? 3번이 일반적인 상황같은데...
첫번째는 겹치는 구간이 존재하지 않노
이건 무조건 어딘가에서 오류가 있는것. 말이 안됨. 무한대에대한 개념에서 오류가생긴게 아닌가 싶음
맞아요. 확률론이나 수학도 학문일 뿐입니다 우리가 정한 체계임 온전할수없음 특히 확률개념은 시각에따라 다르죠
그니까 내가 눈감고 삼천만번 그으면 1/2에 가깝다는 거죠? 지금 하러 갑니다?
ruclips.net/video/1BIJP2CLRrk/видео.html
이분 설명보니까 공리적확률로 확장시켜서 풀린문제 같은데 아직 미해결이라뇨
특히 마지막 증명은 더 이상함. 아무리 생각해도 현의 중점이 저 안에 존재할 확률을 저렇게 구하는게 맞나 싶음
수학적인 확률정의로는 마즘
@@jj-dn6vr 만약 그렇다면 그 갯수의 차이를 계량할 수 있는 새로운 확률 정의가 필요하다고 생각함
아니 당연히 1/3 아니야? 하고 들어왔는데 이게 뭐노 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
심지어 현실에서는 1/2가 정답이라고? 돌아버리겠네 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
이게 그 변동 확률인지 뭔지 하는건가요?
변동확률 해 명 해
ㄴㅇㄱ
와 썸네일보고 당연히 1/3아닌가 하고왔는데 신기하당
이 문제의 답이 3개라는건 아주 자명한 사실이햐
답: 1/3
영상보기전 머릿속으로 암산했는데 1/3나옴...
썸넬만 보고 1/3으로 예측해봄
신은 주사위놀이를 하지 않는다구~
영상 초반에 혼자 풀어보고 1/3 인데? 하고 영상봤는데 어? 1/2 이네 어? 1/4인데? 뭐지? ㅋㅋㅋㅋㅋ
알고보니 그냥 단순하게 생각했어야 될 문제일지도 (?)
단순하게 풀려고 했더니 안풀리게 되버렸다
중력? 아.. 아... 찰과상타박상...
공리적 확률..
뭔가 시야가 확 트이는 느낌..
답이 3개지만 답이 1개라는것에 소름ㄷ
이거는 선이고요 이거는 선을 두번 그은겁니다 (?)
초반 조건과 풀이가 완전히 다른것같습니다...