J'adore tes petits défis réguliers vraiment j'aime me creuser le tête pour trouver la solution à chaque fois, continue à sortir des calculs intéressants aussi souvent que possible !
J'avais procédé autrement. En réécrivant tout sous forme de puissances de 2, on obtient 2^3x +2^2=2^2x + 2^x+2, soit 2^3x-2^2x=2^x+2-2^2, soit (2^2x)(2^x -1)=(2^2)(2^x -1). Du coup, soit 2^x -1=0, et x=0, soit 2^2x=2^2, et x=1.
J'y suis arrivé en n'utilisant que les propriétés des puissances, soit en écrivant que l'égalité proposée est égale à (2^3)^x + 2^2 = (2^2)^x+(2^2)2^x, en faisant passer la deuxième partie de l'égalité dans la première partie, en factorisant et on obtient soit 2^x-1=0, soit (4^(x-1)-1)=0.
Je remarque qu'on a des puissances de 2 partout, je simplifie comme ceci : 2^3x+2^2 = 2^2x+2^(x+2) Donc on cherche à faire correspondre 2 sommes de 2 puissances de 2, il faut donc avoir 2 fois les mêmes des deux côtés. Si tu écrivais tout ça en binaire, ça sera la position de deux "1" de chaque côté, qui doivent être identiques (cette image ne vaut que pour x entier mais on se représente le truc). Donc j'ai soit { 3x=2x, 2=x+2 } => x=0 soit { 3x=x+2, 2=2x } => x=1 C'était facile pour un informaticien :D
Oui je suis d'accord que c'est un peu lourd, mais j'entends trop souvent "2^x=1 donc x=0" sans justifier qu'il n'y a pas d'autres solutions. Et après on s'étonne d'entendre "x^2=4 donc x=2" ...
@@Matazart 2^x étant strictement croissante sur IR (donc injective, comme d'ailleurs rappelé dans d'autres vidéos :) ), la solution évidente suffit. Mais oui il vaut mieux préciser (ou passer par le ln) que s'y arrêter
Avant de regarder: (2^x)³ + 2² = (2^x)² + 4•2^x X³ - 2X²-4X+4 = 0, X = 2^x Formule cardan -> une solution réelle Factorisation par (x-racine) -> identification du polynôme de degré 2, puis discriminant Enfin avec mes trois racines (si delta >0), je fais le changement de variable inverse. Et grâce au log je trouve les solutions. Edit: Wow je suis trop nul, j'ai fait apparaitre un 2 devant X² et donc j'ai pas trouvé la solution évidente (1), parce que je l'avais testé avant de parle de la formule de cardan.
Au contraire, le but c'est que tu ai compris et ai essayé avant ! Perso je m'étais trompé aussi mais pas comme ça, haha... La méthode était quand même super ingénieuse je trouve.
![Chino Pacas - Modo Capone (with Drake & Fuerza Regida) [Video Oficial]](http://i.ytimg.com/vi/zjv8TQ0gBkg/mqdefault.jpg)
J'adore tes petits défis réguliers vraiment j'aime me creuser le tête pour trouver la solution à chaque fois, continue à sortir des calculs intéressants aussi souvent que possible !
Merci pour ce commentaire chaleureux ! Je vais essayer de sortir une vidéo tous les jours pour ce mois de décembre 😉
J'ai essayé de suite x = 0 et x = 1. Parce que l'énoncé supposait que les solutions étaient simples. Merci pour le vrai développement !
tes vidéos sont vraiment géniales continue comme ça, les animations sont super bien maitrisées. Je n'ai rien a dire, BRAVO !!
Merci à toi 😊
1 est une première solution et pour ce qui est des autres je ne sais pas encore
J'avais procédé autrement. En réécrivant tout sous forme de puissances de 2, on obtient 2^3x +2^2=2^2x + 2^x+2, soit 2^3x-2^2x=2^x+2-2^2, soit (2^2x)(2^x -1)=(2^2)(2^x -1). Du coup, soit 2^x -1=0, et x=0, soit 2^2x=2^2, et x=1.
J'y suis arrivé en n'utilisant que les propriétés des puissances, soit en écrivant que l'égalité proposée est égale à (2^3)^x + 2^2 = (2^2)^x+(2^2)2^x, en faisant passer la deuxième partie de l'égalité dans la première partie, en factorisant et on obtient soit 2^x-1=0, soit (4^(x-1)-1)=0.
Je remarque qu'on a des puissances de 2 partout, je simplifie comme ceci : 2^3x+2^2 = 2^2x+2^(x+2)
Donc on cherche à faire correspondre 2 sommes de 2 puissances de 2, il faut donc avoir 2 fois les mêmes des deux côtés. Si tu écrivais tout ça en binaire, ça sera la position de deux "1" de chaque côté, qui doivent être identiques (cette image ne vaut que pour x entier mais on se représente le truc).
Donc j'ai soit { 3x=2x, 2=x+2 } => x=0
soit { 3x=x+2, 2=2x } => x=1
C'était facile pour un informaticien :D
Quand tu as besoin que 2^x soit égal à 1 ou 2, ce n'est peut-être pas la peine de passer par ln() pour trouver x
Oui je suis d'accord que c'est un peu lourd, mais j'entends trop souvent "2^x=1 donc x=0" sans justifier qu'il n'y a pas d'autres solutions. Et après on s'étonne d'entendre "x^2=4 donc x=2" ...
@@Matazart 2^x étant strictement croissante sur IR (donc injective, comme d'ailleurs rappelé dans d'autres vidéos :) ), la solution évidente suffit. Mais oui il vaut mieux préciser (ou passer par le ln) que s'y arrêter
Oui pour la personne qui a étudié un tout petit peu de maths, c'est complètement évident. Mais je m'efforce de ne pas induire en erreur les débutants.
ca m'a pris 2 secondes meme sans faire de calcul on voit que 1 et 0 sont solutions
0 et 2 sont solutions évidentes
1+4=1+4
8+4=8+4
mais en existe-t-il d'autres ?
On a le droit de contester le titre?
Avant de regarder:
(2^x)³ + 2² = (2^x)² + 4•2^x
X³ - 2X²-4X+4 = 0, X = 2^x
Formule cardan -> une solution réelle
Factorisation par (x-racine) -> identification du polynôme de degré 2, puis discriminant
Enfin avec mes trois racines (si delta >0), je fais le changement de variable inverse. Et grâce au log je trouve les solutions.
Edit:
Wow je suis trop nul, j'ai fait apparaitre un 2 devant X² et donc j'ai pas trouvé la solution évidente (1), parce que je l'avais testé avant de parle de la formule de cardan.
Au contraire, le but c'est que tu ai compris et ai essayé avant ! Perso je m'étais trompé aussi mais pas comme ça, haha... La méthode était quand même super ingénieuse je trouve.
Tout à fait d'accord, le plus important c'est d'avoir cherché avant de regarder la solution 😉
8^x+4=4^x+2^(x+2)
2^3^x+4=2^2^x+4*2^x
2^x=y
y^3+4=y^2+4y
y^3-y^2-4y+4=0
y.0=1
(y-1)(y²-4)=0
y.1=2
y.2=-2
x=ln(y)/ln(2)
x.0=0
x.1=1
x.2 € C
e^i.pi =-1
2e^i.pi =-2
e^(i.pi+ln(2)) =-2
ln(-2)=i.pi+ln(2)
x.2=i.pi/ln(2)+1