おはようございます。 動画の後半の方法に気づきましたけど、そこまでたどり着くまでに色々と考えました。 (I) 動画の前半の方法。鈴木先生が良く使う同型にして関数で評価。 (II) (log3)/(√3) vs (log5)/(√5) として、無理関数と対数関数の増加する程度から比較する方法。 ただし (II) の考えを使うためには、関数の特徴が現れるのには x が十分大きくなければならないかな…と考えて断念しました。 このときに(log3)/(√3) と (log5)/(√5) の概算値を常用対数を使って求めており、どちらが大きいかの見当がつきましたので、動画の最後の方法で安心して比較することができました。 ザッとで良いから近似値を出して結論から迎えに行くと、闇雲に式変形をしなくて済みますね。 ご説明ありがとうございました。
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π^2が10に近いことを利用して似たような問題作れないですか
面白そうな問題なのに、できなかった〜！しばらくノートにぐちゃぐちゃやっていましたが、諦めて動画を見てしまいました！
何度も動画を見直して、解法を身につけたいと思います！
おはようございます。
動画の後半の方法に気づきましたけど、そこまでたどり着くまでに色々と考えました。
(I) 動画の前半の方法。鈴木先生が良く使う同型にして関数で評価。
(II) (log3)/(√3) vs (log5)/(√5) として、無理関数と対数関数の増加する程度から比較する方法。
ただし (II) の考えを使うためには、関数の特徴が現れるのには x が十分大きくなければならないかな…と考えて断念しました。
このときに(log3)/(√3) と (log5)/(√5) の概算値を常用対数を使って求めており、どちらが大きいかの見当がつきましたので、動画の最後の方法で安心して比較することができました。
ザッとで良いから近似値を出して結論から迎えに行くと、闇雲に式変形をしなくて済みますね。
ご説明ありがとうございました。
極めて近接した値ではないようなので、次のようにして比較しました。
3^(√5)13.63
（5^13 ぐらいは気合いで計算。開平３回。その都度小数点以下は切り捨て。）
これで、
3^(√5)5^(3/2) とやっちゃうと、うまくいかないんですね。
他に良い方法はいくらでもありそうですが、計算力で突っ切りました。
毎日、問題を解かせていただいています。
サムネイル等に日付を入れてくれるとすごく助かります。
両方√3乗して指数が√15〈4、と3だからそれで比較したけど大丈夫？
おはようございます。大小比較の方法は、とても奥深いです。貫太郎先生のエレガントな数学的発想にも、敬服しました。感謝します。
常用対数をとって、無理数と対数の不等式評価で答えを出しました。速く解くことは重視していませんので、いつも自分なりの解き方で楽しんでいます。
確かに秒殺ですね！
自分はいつものように関数を考えてゴリゴリ。。。
両方√3乗して指数が√15〈4、と3だからそれで比較したけど大丈夫？って聞こうと思ったけど後半でやってたわ
log2,log3 の値から近似計算をして解いた後に、最後の解法を思い付きました。
かなりのおじさんですが、楽しく拝見しております。
おはようございます。後半のスキルはいいですね😃
なるほど〜
おはようございます。
私は、加減より乗除の計算の方が検算しやすいと思っているので、単に大きな数の処理に対数を用いることに、それほどメリットを感じない（あくまで個人の感想です）のですが、こと対数微分法に関しては「この発見、天才かよ！（失礼）」と言葉遣いまで変えてしまうほど感動しています。
まぁ対数そのものが天才的発明ですよね。
歴史的経緯は全然違うのに、結果としてまるで1/xの積分に解を与えるために登場したかのようでもあるし。
@@smbspoon-me-baby さん、そうですね。
"歴史的経緯" ということに関して言えば、"e" の定義の一つが複利計算に基づくというのが私の好きなエピソードです。
数学者の頭の中にあった "孤高のe" が、「資金運用の世界」なんていう俗世に降りてきたような…
サムネでパッと問題をみた瞬間
貫太郎さんが最後にやった両方をルート3乗して比較したのですが、、、実際のテストや試験の論述問題でこれをやったら減点なんですかね？？
なんの問題もないと思いますよ！どちらも正であることは自明なので両方√3乗しても大小関係は変わりませんし
対数関数の微分によりグラフの概形から大小比較出来るのはもうパターン化しているので、あとはどのタイミングで使うかで受験も戦い方が違うと思います。
相変わらず「態度のデカいほう」で選んでますが、
相変わらず正解にはたどり着けませんので、マネはしないでください。
両方に√15をかけると15√3と15√5になるてのはだめですかね
？
√3と√5は指数ですよ？
だから√15をかけてもそんな風にはなりません
おはようございますです。
よくありそうな大小比較が出ました
といってもこれが 3^5 と 5^3 だったら例の方法なんでしょうけど
……って別に√が付いてても数字が揃えばいけるかな?
3^(1/√3) vs 5^(1/√5)
f(x) = x^(x^(-1/2))
……これの導関数求めるんかい……
f'(x) = -(x^(-3/2 + x^(-1/2))(ln(x)-2))/2
極大値は出す気力がないけど、この場合 指数は0にはならないから 導関数が0になるのは ln(x)-2=0 の時だけということで
x=e^2 を境に増加→減少
ということは3も5も7.3より小さいから大小関係が確定
そして動画視聴
はさみうちするテだと整数の整数乗に持ち込めるんね……
と、導関数計算で脳内の糖分すっとばした頭でコメント書いてます(現在進行形)
@@electromagnezone88 さん
そこなんですよね
関数の増減 vs はさみうち
だと、手法としてはどっちも有りだとは思いますけど、計算ミスを誘発しない点で圧倒的に後者に軍配が上がりますね。
上のコメントで書いた「これの導関数求めるんかい」は 実際そう思いましたし、(さらっと1行で書いてますけど)この導関数を計算するのにかなりミスっています。
(尤も、f(x)が常時正、xの定義域が正の時点で y'=(2-ln(x))y/(2x√x) まで変形すれば 極大値(e^2, e^{2/e}) は確定するけど)
前半のやり方で解きましたが，eの近似値が与えられていないので，
e^2の値に関する論証をしました。
eのそもそもの定義としては，
「x = 0において，指数関数y = a^xの接線の傾きが1となる時，a = eとする」
なので，まず，関数y = 2^xを考えた時に，この関数は(0 , 1)と(1 , 2)を通り，これら2点を結んだ直線の傾きが1となることから，
x = 0における接線の傾きは明らかに1より小さく，e > 2と分かる。
∴e^2 > 4 ①
一方，動画のとおり
関数y = x^(1/√x)はx = e^2で極大値（最大値）をとる ②
すなわち，
x = 4での関数y = x^(1/√x)の微分値は正 ③
①～③より
3^(1/√3) < 4^(1/√4) ④
ここで，
4^(1/√4) = 16^(1/√16) = 2 ⑤
①～⑤より
3^(1/√3) < 4^(1/√4) = 16^(1/√16) < 5^(1/√5)
nice
@@智之-u1r さん
ありがとうございます😄
@@智之-u1r さん
16を使ってるのが、なんかすごいです😆⤴️
ざっくりいうと4より大きなところで増加から減少に転じ、なおかつ4と16の高さが同じなら、そりゃ5のほうが高い。という論法なんですね。e^2＞5すら使わないのはすごいです！
@@smbspoon-me-baby さん
仰るとおりの論法です。
この論法が思いつく前は
e = 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + …… > 2.5
より
e^2 > 6.25
を使おうかと思ったんですが，何かインチキ臭い感じがして，別の方法はないか？と考えたら，これが思い浮かびました😄
もちろん，貴殿のようにマクローリン展開を論拠にするなら素晴らしいんですが，そこまでするのも面倒だったもんで😅
@@smbspoon-me-baby さん
貴殿のコメントを読む前に返信してしまったので，階乗の逆数和を使うのがインチキ臭いと書いてしまいましたが，貴殿の解法を否定しているわけではなく，
貴殿のようにマクローリン展開を論拠にすれば何の問題もなくて，私はそれが面倒で避けちゃったというだけの話で，他意はありません🙏
自然対数を取り、係数調節により、f=logx/xとして、x=√3と√5の場合を大小比較により解きました。瞬殺解法ではないですね。
おはようございます。√３乗は失念してました、もっと大きい√１５、√３０、√４５、√６０で勝負してました。関数の増減関係より、e^2より小さい７までと、８以上では大小関係が逆転するんですね。明日もよろしくお願いします。
角度っぽいですねw(√がなければ)
いつものように函数を考えました。
函数を考えても、秒殺は無理でも焚殺ぐらいなら･･･。
両者の指数を操作することだけを考えていたので、片方だけを操作する発想が出てきませんでした。
頭が固いです。
本日も勉強になりました。ありがとうございました。
Tシャツで昼の買い出しまだ４月
難しいことは、わからないので、√３乗で出しました。対数微分法でも出せるようになりたいものです。どうも、ありがとうございました。
風邪をひかないようにしないと。
両方の平方根をとって，f(x)= x^x 以前にも出てましたが，この関数で考えました．
満足していたのですが，「eの近似値 を自明としてよいのか．．．．」と，少し自信なくしました．
何を自明(定義、あるいはそこから導かれる容易な定理や系)とするかで√5＜eの示し方は変わりそうです。
KTさんのように、e^xのx＝0での微分係数が1であることから示してもよし、マクローリン展開からe＞2.5であることから示してもよし、さらにはe自体の定義と(1+1/n)^nの単調増加を自明とするなら、そこからも示せるかと思いますね。
ちなみに最後のだと、e＞(1+1/2)^2＞√5です。
@@smbspoon-me-baby ありがとうございます．
ふと思ったのですが、無理数乗は高校ではちゃんと定義されていないので、高校数学までしか習得していない自分にはこの問題は考えられないかもしれません。
対数をとれば計算できるものに帰着させられるというのも変な感じがします…。
まぁ実質大学初年度の問題でしょうね。ならばeの評価も自分自身ですべきです。簡単なことですし。
無理数乗が定義されてないと、そもそも指数関数自体が成り立たないので、一応「定義されてる」っていう設定になってるんじゃないでしょうか？
なので、高校時代の自分は、無理数乗がハッキリしてないのに、指数関数の連続性は言えるんだろうか？と疑問に思ってました。
@@vacuumcarexpo さん
でも、あの定義でもイメージとしては有理数での値を求めて、無理数の場合は有理数からなる近似列（任意）を持ってきて、そこでの値の極限値ですよね？
きっと微積分学の大学1年の教科書にはちゃんと「その極限値は近似列の取り方には依らない」という当たり前で難しいことが書かれているんでしょうが、今さらそんなモノを読み返す気力もなく…。
ルベーグ先生に叱られそうですけど、性質の良い関数は有理数上で定義できたら「勝ち」も同然ですよね。
もっと性質の良い関数は正則関数。あれはもう一致の定理の条件とか超楽じゃないですか…今すぐには思い出せないけど。www
必要ならその都度ググる。ググっても出てこない「理解」の部分が数学の学習だと、私は思うのです。
@@smbspoon-me-baby ご返信ありがとうございます。
オジサン、もうパンクした❗基本的にヒネた中二なんで理解を越えた。
「マサノリ」関数とか分からん（笑）。
無理数は、限りなく近い循環小数で上下挟めるから、有理数乗が定義出来れば、それで定義出来るし、連続性も示せるだろうというフワッとした認識のみです。
動画の文字で言えば、途中で
x^2 = s と変換し、いつもの式にしました。
学校行く前トイレで見てます
近くにいい数あります、というのはいいですね。
物件の話みたいで面白いです。
それにしても、汲めどもつきぬ発想力ですね。
前半のやり方で解きました
20秒くらいで最後のやり方には辿り着きました。
f(x)=x^(1/√ x)
を使い、動画と同じように解きました。
√ 3 乗はユニークですね。
な～るほど…
割とシンプルに考えていいんだ…
√3乗してしまう…というのは意外と思いつかないかも。
ただ、素直に近似値取ろうと思うと、３の富士山麓鸚鵡鳴く乗VS５の人並みに奢れや乗と言うことなので、結局小数点以下の数が問題に。
考えてみたら、両方とも無理数で乗じているので、その場合の値はどうなるか？という問題と捉えたら、これはこれで面白そう？な問題ですね。
両方を１５乗は数字が大きくなりすぎました。
関数しか思いつきませんでした。
数学全然分かりませんが、√3√3√5と√3√5√5なら、後者の方が大きいんだろうな。と思いました。
後者だと秒殺ですね。ありがとうございました。
ヨシッ❗
解けないと悔しいので今日は粘った。
カンニングっぽいけど昔の動画で似たような問題探して、それ見て予習してから解いた。
関数使って解けたよ。
やっため〜🎶😊
両方√3乗して指数が√15〈4、と3だからそれで比較したけど大丈夫？
両方√3乗して指数が√15〈4、と3だからそれで比較したけど大丈夫？