"even function (짝함수, 우함수)" : y축에 대해 대칭인 꼴의 함수, 상수함수, cos(x), x^2, 1 + 2(x^4) 등이 있습니다 만족해야하는 가장 기본적인 성질은, 다음의 두가지 입니다. (1) f(x)가 even function일 때, f(-x)=f(x) (2) g(x), h(x), p(x)가 각각 모두 even function 일 때, 이들의 '선형결합' : a*g(x)+b*h(x)+c*p(x) 의 결과도 even function 입니다. 위의 성질(2)는 x대신 -x를 넣어도 성질(1) 때문에 전체적인 함수의 함수값도 동일하다는 점을 통해 쉽게 유도해낼 수 있습니다. 이때, '선형결합(linear combination)'이란, 각각을 '기저' 로 삼을 수 있을 때 그 기저들에 어떠한 상수들을 곱해주고 그들을 다 더해주는 연산 결과를 말합니다. "odd function (홀함수, 기함수)" : 원점에 대해 대칭인 꼴의 함수, -x, sin(x), x^3 등이 있습니다 만족해야하는 가장 기본적인 성질은, 다음의 두가지 입니다. (1) f(x)가 odd function일 때, f(-x)=-f(x) (2) g(x), h(x), p(x)가 각각 모두 odd function 일 때, 이들의 '선형결합' : a*g(x)+b*h(x)+c*p(x) 의 결과도 odd function 입니다. 위의 성질(2)는 x대신 -x를 넣어보면 성질(1) 때문에 전체적인 함수의 함수값에 -부호가 붙는다는 점을 통해 쉽게 유도해낼 수 있습니다. 따라서 even function은 sin과 같은 odd function들의 합으로 표현할 수 없고, 오직 cos과 같은 even function 들의 합으로만 표현할 수 있는 것 입니다. odd function은 오직 sin과 같은 odd function들의 합으로만 표현가능 합니다. :)
안녕하세요. '왜 진행파의 속력이 v=fλ일까'라는 의문을 가졌었는데요, 누군가는 '속력은 이동거리를 시간으로 나눈 거니까 v=λ/T 이고, 주기의 역수가 진동수니까 v=fλ 이다'라고 개념적인 설명을 하더군요. 이 설명에 대해 코멘트 해주실 수 있을까요? 영상 10:35 에서, 파동방정식에 주기 T를 넣어도 위상이 0이 되려면 v=fλ여야 한다는 설명도 와닿고 개념적인 설명도 와닿는데, 무언가 명쾌하게 요약이 안 되는 심정이여서 조언 구합니다.
좋은 질문이신데, 답변을 드려 보겠습니다 원래 파수의 의미는 '단위 길이당 파동이 반복되는 횟수' 라서, 마치 진동수 처럼 횟수의 개념이라서 그렇습니다 진동'수'도 사실 Hz의 단위 (시간 단위의 역수 개념) 를 갖기 때문에 그와 비슷하게 생각하셔도 좋을 것 같아요 :) 다만 진동수는 시간 축(t) 파수는 변위 축(x)에 해당하는 물리량 입니다
강의 잘 보고 있습니다! 궁금한 점이 있어 질문 남깁니다. 질문사항은 SIN 함수와 COS 함수가 기저함수인 이유입니다. 푸리에 전환 영상을 보고 왔는데 사인 코사인 함수가 기저 함수로 설정할 수 있는 이유가 테일러급수를 통해 임의의 급수를 모두 표현 할 수 있기 때문인가요?
혹시 sin cos인 이유가 전자가 파동성을 가진다는 특성으로부터 전자의 운동을 파동을 표현하는 함수인 sin과 cos으로 일반화 할 수 있기 때문인가요? 그리고 sin과 cos으로 일반화하다보니 오일러방정식을 통해 exp함수로 간단하게 표현이 가능해진 것이고... 제가 이해한 과정이 맞을까요'?..
네, 전체적으로 보면 맞는 말씀입니다. 아래와 같이 더 자세히 설명드려 볼게요 :) 테일러전개와 같이, 특정한 형태의 기저함수로 전개를 하는 다른 경우 중에서도 푸리에 급수 전개는 대표적인 예가 됩니다. 기저함수로 전개를 한다는 것은 '근사(approximation)'를 이용하고자 할 때, 언제나 가능합니다. 다만 그 전개의 결과가 단지 근사시킨 함수로서의 의미를 갖는 것이 아니라 (가령, f(x)를 무한급수로 전개할 때) [ f(x) = 급수로 전개한 결과 ] 와 같이 '오차 없이 일치하는 표현식' 을 얻기 위한 것이라면, 이야기가 조금 달라집니다. 이때는 기저함수의 '직교성' (orthogonality) 성질 뿐 아니라 'completeness' 의 성질도 만족시켜야 합니다. 즉, 전개시킨 결과가 어떠한 오차 없이, 함수 f(x)를 표현하는 기저가 completeness의 성질이 있다면, 그러한 f(x)를 해당 기저로 전개할 수가 있는 것이죠. 위의 제 설명은 '많은 함수들 중에서도 cos 및 sin으로 전개할 수 있는 이유' 에 대한 답변은 아니지만 한편으로는 그러한 전개를 '믿고' 사용할 수 있는 이유를 설명드린 부분이에요 :) (기억하기로는, 수리물리학 외에도 공업수학 교재에 이러한 설명이 한 챕터 정도로 있습니다. f(x)에 '전개한 결과'를 뺄셈한 함수가 0인지 아닌지를 분석하는 등의 내용)
다른 예로 덧붙여 설명드리자면, 전개하기 위한 기저 함수로는 상황에 따라 여러가지가 쓰일 수 있어요! 예를 들어서 .. 전자기학에서 전위(V) 함수를 구해야 할 때 구면 대칭적인 상황에서는 르장드르 다항식으로 전개하는 경우도 있고, 원통 대칭적인 상황에서는 베셀 함수로 전개하는 경우 등등이 있겠습니다. 그리고 V(x,y,z)을 표현하기 위해 그러한 기저함수들을 편하게 사용할 수 있는 이유는, 사실 그들의 completeness한 성질이 이미 스튀름-리우빌 이론 (sturm-liouville theory)에 의해서 잘 알려져 있기 때문이에요 :)
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"even function (짝함수, 우함수)" : y축에 대해 대칭인 꼴의 함수,
상수함수, cos(x), x^2, 1 + 2(x^4) 등이 있습니다
만족해야하는 가장 기본적인 성질은, 다음의 두가지 입니다.
(1) f(x)가 even function일 때, f(-x)=f(x)
(2) g(x), h(x), p(x)가 각각 모두 even function 일 때,
이들의 '선형결합' : a*g(x)+b*h(x)+c*p(x) 의 결과도 even function 입니다.
위의 성질(2)는 x대신 -x를 넣어도
성질(1) 때문에 전체적인 함수의 함수값도 동일하다는 점을 통해
쉽게 유도해낼 수 있습니다.
이때, '선형결합(linear combination)'이란, 각각을 '기저' 로 삼을 수 있을 때
그 기저들에 어떠한 상수들을 곱해주고
그들을 다 더해주는 연산 결과를 말합니다.
"odd function (홀함수, 기함수)" : 원점에 대해 대칭인 꼴의 함수,
-x, sin(x), x^3 등이 있습니다
만족해야하는 가장 기본적인 성질은, 다음의 두가지 입니다.
(1) f(x)가 odd function일 때, f(-x)=-f(x)
(2) g(x), h(x), p(x)가 각각 모두 odd function 일 때,
이들의 '선형결합' : a*g(x)+b*h(x)+c*p(x) 의 결과도 odd function 입니다.
위의 성질(2)는 x대신 -x를 넣어보면
성질(1) 때문에 전체적인 함수의 함수값에 -부호가 붙는다는 점을 통해
쉽게 유도해낼 수 있습니다.
따라서 even function은 sin과 같은 odd function들의 합으로 표현할 수 없고,
오직 cos과 같은 even function 들의 합으로만 표현할 수 있는 것 입니다.
odd function은 오직 sin과 같은 odd function들의 합으로만 표현가능 합니다.
:)
대학교 강의보다 훨씬 좋아요.. 새로운 관계식 나올 때마다 앞선 고ㅓㄴ계 언급해주시고 단위도 정리해주셔서 더욱 이해하기 쉽네요
설명드린 부분이 조금이나마 도움되어 드렸다면 다행입니다 :) 댓글 감사합니다
이렇게만 양자역학 수업을 듣는다면 얼마나 좋을까요….진짜 재밌게 들을수 있을텐데
ㅎㅎ 말씀 정말 감사해요
ㅎㅎ 오늘도 좋은 영상 정말 감사드려요!
매번 좋은 댓글 감사드립니다 ㅎ.ㅎ
감사합니다.
댓글 감사드립니다 : )
감사합니다...감사합니다...정말 감사합니다...
감사합니다...감사합니다...저도 감사합니다...
안녕하세요. '왜 진행파의 속력이 v=fλ일까'라는 의문을 가졌었는데요, 누군가는 '속력은 이동거리를 시간으로 나눈 거니까 v=λ/T 이고, 주기의 역수가 진동수니까 v=fλ 이다'라고 개념적인 설명을 하더군요. 이 설명에 대해 코멘트 해주실 수 있을까요? 영상 10:35 에서, 파동방정식에 주기 T를 넣어도 위상이 0이 되려면 v=fλ여야 한다는 설명도 와닿고 개념적인 설명도 와닿는데, 무언가 명쾌하게 요약이 안 되는 심정이여서 조언 구합니다.
형 강의 더 올려줘 형은 갓이야
🩵
wave number를 왜 wave number라고 하는지 이해가 안가네요. 파장은 m단위인데 1m에 (1/lammda) cycle이 있기 때문인걸까요
좋은 질문이신데, 답변을 드려 보겠습니다
원래 파수의 의미는 '단위 길이당 파동이 반복되는 횟수' 라서, 마치 진동수 처럼
횟수의 개념이라서 그렇습니다
진동'수'도 사실 Hz의 단위 (시간 단위의 역수 개념) 를 갖기 때문에 그와 비슷하게 생각하셔도 좋을 것 같아요 :)
다만 진동수는 시간 축(t)
파수는 변위 축(x)에 해당하는 물리량 입니다
정의를 떠나서 원래라면 number라는 것은 무차원이어야 맞긴 하죠 :) 실제로 (이미 잘 아실 것 같지만) 양자역학이 아니더라도 어떤 물리 계산을 할 때, 이렇게 차원을 비교해서 계산하는 것이 중요하더라구요
강의 잘 보고 있습니다!
궁금한 점이 있어 질문 남깁니다.
질문사항은 SIN 함수와 COS 함수가 기저함수인 이유입니다.
푸리에 전환 영상을 보고 왔는데 사인 코사인 함수가 기저 함수로 설정할 수 있는 이유가 테일러급수를 통해 임의의 급수를 모두 표현 할 수 있기 때문인가요?
혹시 sin cos인 이유가 전자가 파동성을 가진다는 특성으로부터 전자의 운동을 파동을 표현하는 함수인 sin과 cos으로 일반화 할 수 있기 때문인가요? 그리고 sin과 cos으로 일반화하다보니 오일러방정식을 통해 exp함수로 간단하게 표현이 가능해진 것이고...
제가 이해한 과정이 맞을까요'?..
네, 전체적으로 보면 맞는 말씀입니다.
아래와 같이 더 자세히 설명드려 볼게요 :)
테일러전개와 같이, 특정한 형태의 기저함수로 전개를 하는 다른 경우 중에서도
푸리에 급수 전개는 대표적인 예가 됩니다.
기저함수로 전개를 한다는 것은 '근사(approximation)'를 이용하고자 할 때, 언제나 가능합니다. 다만 그 전개의 결과가 단지 근사시킨 함수로서의 의미를 갖는 것이 아니라
(가령, f(x)를 무한급수로 전개할 때) [ f(x) = 급수로 전개한 결과 ] 와 같이 '오차 없이 일치하는 표현식' 을 얻기 위한 것이라면, 이야기가 조금 달라집니다.
이때는 기저함수의 '직교성' (orthogonality) 성질 뿐 아니라 'completeness' 의 성질도 만족시켜야 합니다.
즉, 전개시킨 결과가 어떠한 오차 없이, 함수 f(x)를 표현하는 기저가 completeness의 성질이 있다면, 그러한 f(x)를 해당 기저로 전개할 수가 있는 것이죠.
위의 제 설명은 '많은 함수들 중에서도 cos 및 sin으로 전개할 수 있는 이유' 에 대한 답변은 아니지만
한편으로는 그러한 전개를 '믿고' 사용할 수 있는 이유를 설명드린 부분이에요 :)
(기억하기로는, 수리물리학 외에도 공업수학 교재에 이러한 설명이 한 챕터 정도로 있습니다. f(x)에 '전개한 결과'를 뺄셈한 함수가 0인지 아닌지를 분석하는 등의 내용)
다른 예로 덧붙여 설명드리자면, 전개하기 위한 기저 함수로는 상황에 따라 여러가지가 쓰일 수 있어요! 예를 들어서 .. 전자기학에서 전위(V) 함수를 구해야 할 때
구면 대칭적인 상황에서는 르장드르 다항식으로 전개하는 경우도 있고,
원통 대칭적인 상황에서는 베셀 함수로 전개하는 경우 등등이 있겠습니다.
그리고 V(x,y,z)을 표현하기 위해 그러한 기저함수들을 편하게 사용할 수 있는 이유는, 사실 그들의 completeness한 성질이
이미 스튀름-리우빌 이론 (sturm-liouville theory)에 의해서 잘 알려져 있기 때문이에요 :)
또한, 답글에 쓰신 부분은 적절한 말씀이에요. 보통 파동을 수학적으로 표현할 때 exp함수를 사용하며, 그래서 전자가 갖는 wave number(k)가 계수로 들어가죠. 오일러 등식을 이용하면 cos이나 sin으로서 표현되는 것도 맞는 말씀이구요 :)
@@bosstudyroom 답변 감사합니다! 마지막에 wave number 말씀하신 부분에서 exp함수를 사용하므로써 k가 계수로 들어가는 이유가 미분했을 경우 차수가 내려오기 때문이죠?