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備忘録50V【 ルジャンドルの定理 】n！に含まれる 素因数pの個数は,[ n/p¹ ]＋[ n/p² ]＋[ n/p³ ]＋ ･･･ で得られる.
最初に倍してない開始2での商から割る数を倍していった時の商を引いて行ったら決まった数になったりしないのかな？
しりとりでル攻めされた時に使ってたので助かります！！
整数問題で当たり前にやってた手順なのにルジャンドルの定理なんて名前がついてたのは知らんかった
よくよく考えたら数Aで習ったやつを小難しくしてるだけで、受験から2年経った今の頭でも途中から「あああああ！」って理解した
きれいな定理やわー
無限和の形の式になってますが、意味的には「できるところまで何回も足す」ってことですね。
10進数をn進数に変換する際に、剰余ではなく商に着目し、和を求める、とすると理解しやすかったです
そうだ、nCm=n!/m!(n-m)!が必ず整数になることの証明でこれが出てきたんだった。高校生の時は、どこかに割り切れないn,mの組み合わせがあるんじゃないかって不思議だったんだよね。
9:42どちらかというとおろちんtvなのよ
最近見た問題でこれを使うやつだと「2以上の自然数nについてn!のn乗根が有理数でないことを示せ」とか面白いですよ、大学入試レベルなので是非考えてみてください
ウィルソンの定理「2以上の整数pについて、pが素数⇔(p-1)!≡-1(mod p)」も是非。
大数の今月号で使ったやつだからとてもタイムリー！
この手の問題解くときこのやり方で解いてたら、実際に定理があったんだな
大学への数学で昔出てきて結構苦戦したの覚えてる
初コメです受験勉強の合間にいつも見ています！昨日高校最後の行事である球技大会があったのですが、その休み時間に黒板でルジャンドル予想とルジャンドルの定理について語って、たくみさんのルジャンドル予想の動画も是非って勧めてたらちょうど同じ日に定理のほうの動画が出てめちゃくちゃびっくりしました😳奇跡のシンクロでした😳あと先日北大で講演会をされたと思うんですが、私札幌に住んでいて申込までしたのに模試があって断念せざるを得ませんでした…会えなくてとても残念です…第一志望に合格して大学生になって、いつか必ずお会いしようという気持ちで頑張りたいと思います🔥
中学受験でも使われるような話ですねちゃんとした定理の名前がついているのは初めて知りました
多分できる人は自然とやってますね。俺でも勝手にやってたし。名前がついてたのは初めて知りました。
標準問題精巧であったけど定理の名前があるとは知らなかった
すごくシンプルでスッキリした定理ですが、もしもこの定理が物理などの分野で応用されている例などがあれば、知りたいです！
まじで信じて貰えないと思うけど、この定理使って今まで入試問題解いてた。整数部分だけ見れば良いからガウス記号で良くね？指数でかくして行けば整数部分0になるから無限までのシグマ取ればよくね？って思って作って使ってたけど、名前ついてたことにびっくり。
ぶっちゃけそう。名前ついてることは知らなくても、普通にこの式を導けと言われたら結構の人が作れるはず。
テキストに定理自体は乗ってたけどルジャンドルの定理って言うんだ
大学入試で素数pに対して、(p^n)!をpで何回割ることができるかという問題が出題されたことがあるというのを見たことがあり、等比数列の和になることを思い出しました。ルジャンドルさんには、ルジャンドル変換でお世話になってます(笑)
これpじゃなくても上手く表現すれば10で割り切るやつ(階乗の桁数求めるやつ)でも定理作れそう40で割り切れる回数とかが表現難しそう
子供の時に思い付いたものの商だけを取り出す事を式にする方法もそれを発展的に使う方法も全く知らずあははーすげーで済ませてただから成長して適当に触った本にルジャンドルの定理って名前で載ってて、しかもそれがやや難解なチェビシェフの定理の証明に使われてるのを知ってビックリした記憶
高校受験で使いました、めっちゃ便利
これ式を丸暗記している人もいるんだろうなぁ。私のイメージは、4:27～の図。イメージで覚える派です。同じ派閥はどの程度いるのだろうか？
当たり前すぎて、逆に証明の方法が思いつかないやつ。
有名な話ですが、a(k)=[n/p^k] としたとき、a(k+1)=[a(k)/p] です。これを使うと、「p で割って切り捨て」を繰り返すだけでいいので、計算効率が上がります。
@火花 動画にある 20! が 2 で何回割れるかを例にすると、[x] を床関数として[20/2] = 10, [10/2] = 5, [5/2] = 2, [2/2] = 1, [1/2] = 0これら全て足して 10+5+2+1=18 が得られます。つまり、常に 2 で割って小数点以下を切り捨てるだけで良いということだと思います。
ルジャンドルの定理でいつも思うけど、Legendreがルジャンドルと読めない
ラグランジュとルジャンドルが干渉しますからね
@@sabak7390 つまりどういう事ですか？
レジェンド…り？あれ？てなるｗ
フランス語読みしないといけないですからねえ
末尾に0が並ぶか(p=5を考える)や東大のコンビネーションの問題(確か2016Ckが初めて偶数になるk)なんかもこれを使うとすぐ解けるので、本当に便利なんだけど、名前だけがどうしても覚えられない……
この前"マスターオブ整数"でみたやつだ📚
解法への道に載ってたなあ、ルジャンドルの定理って言うんや
ルジャンドルの肖像画って101匹わんちゃんの悪役に似てる気する
合成数mで割る場合はmの素因数それぞれの個数調べないといけないからちょっと面倒ですかねmを素因数分解した時に各素因数の指数が全部1だったら1番大きい素因数の数調べればいいけど指数が2以上の素因数がある場合は予想だけじゃ間違えるから調べること増えて面倒そう
これ名前あったんですね。初等整数論講義では2行で説明が終わっていましたね笑
高校入試でありがちなやつ
この肖像画、素人が修復した壁画クオリティだけど大丈夫そ？
ルジャンドルと聞いただけでビビリましたが、説明を聞いて2回目にしてよく分かりました。今週の整数の理解に一歩近づけそうです🎉
わざわざ名前付ける必要もないような定理なのに何でルジャンドルの名前がついてるんだろう
こんな数学の授業を高校時代に受けられたらもっと楽しめたのになぁ😅
ちょうど今日整数問題解く時に調べたやつだ。こんな偶然あるのか...今日もお疲れ様です。
今日もありがとうございます。🍬🤱🍭🤱🍛🤱🍝🤱
解法は知ってるけど人の名前は知らんかった
Pが10とかになってる時ってどうなるんですか
10は素数じゃないからできないよ
含まれている素因数は2より5の方が少ないのでp＝5の時と一緒になるのではないでしょうか。間違ってたらすみません。
末尾の0の個数とかだね
数え落としが生じますね。10や100は見つかりますが、20や30などpの素因数以外が含まれるものが検出できません。
@@T.N-x8p そんなことないと思いますよ。[n/pⁿ]は「n以下のpⁿの倍数の個数」を表すため、例えばn=99、p=10だと[n/p]=[9.9]=9, [n/p²]=0（以下ゼロ）というふうに、10,20,30…,80,90の全9個を数え切れています。20や30が無視されるわけではありません。
これ確か10だったら1の位が0になるみたいな問題にできたきがす
ルジャンドル関数ですね！
マスターオブ整数に乗ってた気がする
・0が並ぶ問題の決定版【今週の整数#20】 → ruclips.net/video/W3WruHbqjd8/видео.html
追加・ルジャンドル予想 → ruclips.net/video/YNmRhCNvBbg/видео.html
一度聞いたら色が付いて見える授業のシリーズ・一度聞いたら忘れない余弦定理の授業 → ruclips.net/video/2kZNmm4AG7I/видео.html・一度聞いたら忘れない漸化式の授業 → ruclips.net/video/ogiogJgDCnc/видео.html・一度聞いたら忘れない1/6公式の授業【積分公式の感覚的理解】 → ruclips.net/video/-Mh26tY9wX0/видео.html・一度聞いたら忘れない『ルジャンドルの定理』の授業 → 本動画・一度聞いたら忘れない区分求積法の授業 → ruclips.net/video/IpDwmTGmCyo/видео.html
質問です。pの部分は素数ではないといけないのですか？
素数じゃないといけないです。例えば3!=6は6で一回割り切れますが、ルジャンドルの式をp=6でそのまま使おうとするといきなり[3/6]=0になってまるで6で一回も割り切れないような結果が出てきます。
この定理のキモは abがpの倍数ならば、a bどちらかがpの倍数って事ですな？
ルジャンドル de アンパンマン。
うぽつです＿|＼○＿！！
高一になったばっかだけど大変面白かった。
当たり前にやってたけど、名前があったんだね
いち
備忘録50V
【 ルジャンドルの定理 】
n！に含まれる 素因数pの個数は,
[ n/p¹ ]＋[ n/p² ]＋[ n/p³ ]＋ ･･･
で得られる.
最初に倍してない開始2での商から割る数を倍していった時の商を引いて行ったら決まった数になったりしないのかな？
しりとりでル攻めされた時に使ってたので助かります！！
整数問題で当たり前にやってた手順なのにルジャンドルの定理なんて名前がついてたのは知らんかった
よくよく考えたら数Aで習ったやつを小難しくしてるだけで、受験から2年経った今の頭でも途中から「あああああ！」って理解した
きれいな定理やわー
無限和の形の式になってますが、意味的には「できるところまで何回も足す」ってことですね。
10進数をn進数に変換する際に、剰余ではなく商に着目し、和を求める、とすると理解しやすかったです
そうだ、nCm=n!/m!(n-m)!が必ず整数になることの証明でこれが出てきたんだった。高校生の時は、どこかに割り切れないn,mの組み合わせがあるんじゃないかって不思議だったんだよね。
9:42どちらかというとおろちんtvなのよ
最近見た問題でこれを使うやつだと
「2以上の自然数nについてn!のn乗根が有理数でないことを示せ」
とか面白いですよ、大学入試レベルなので是非考えてみてください
ウィルソンの定理
「2以上の整数pについて、
pが素数⇔(p-1)!≡-1(mod p)」
も是非。
大数の今月号で使ったやつだからとてもタイムリー！
この手の問題解くときこのやり方で解いてたら、実際に定理があったんだな
大学への数学で昔出てきて結構苦戦したの覚えてる
初コメです受験勉強の合間にいつも見ています！昨日高校最後の行事である球技大会があったのですが、その休み時間に黒板でルジャンドル予想とルジャンドルの定理について語って、たくみさんのルジャンドル予想の動画も是非って勧めてたらちょうど同じ日に定理のほうの動画が出てめちゃくちゃびっくりしました😳奇跡のシンクロでした😳
あと先日北大で講演会をされたと思うんですが、私札幌に住んでいて申込までしたのに模試があって断念せざるを得ませんでした…会えなくてとても残念です…第一志望に合格して大学生になって、いつか必ずお会いしようという気持ちで頑張りたいと思います🔥
中学受験でも使われるような話ですね
ちゃんとした定理の名前がついているのは初めて知りました
多分できる人は自然とやってますね。俺でも勝手にやってたし。名前がついてたのは初めて知りました。
標準問題精巧であったけど定理の名前があるとは知らなかった
すごくシンプルでスッキリした定理ですが、もしもこの定理が物理などの分野で応用されている例などがあれば、知りたいです！
まじで信じて貰えないと思うけど、この定理使って今まで入試問題解いてた。
整数部分だけ見れば良いからガウス記号で良くね？
指数でかくして行けば整数部分0になるから無限までのシグマ取ればよくね？
って思って作って使ってたけど、名前ついてたことにびっくり。
ぶっちゃけそう。
名前ついてることは知らなくても、普通にこの式を導けと言われたら結構の人が作れるはず。
テキストに定理自体は乗ってたけどルジャンドルの定理って言うんだ
大学入試で素数pに対して、(p^n)!をpで何回割ることができるかという問題が出題されたことがあるというのを見たことがあり、等比数列の和になることを思い出しました。ルジャンドルさんには、ルジャンドル変換でお世話になってます(笑)
これpじゃなくても上手く表現すれば10で割り切るやつ(階乗の桁数求めるやつ)でも定理作れそう
40で割り切れる回数とかが表現難しそう
子供の時に思い付いたものの商だけを取り出す事を式にする方法もそれを発展的に使う方法も全く知らずあははーすげーで済ませてた
だから成長して適当に触った本にルジャンドルの定理って名前で載ってて、しかもそれがやや難解なチェビシェフの定理の証明に使われてるのを知ってビックリした記憶
高校受験で使いました、めっちゃ便利
これ式を丸暗記している人もいるんだろうなぁ。
私のイメージは、4:27～の図。イメージで覚える派です。
同じ派閥はどの程度いるのだろうか？
当たり前すぎて、逆に証明の方法が思いつかないやつ。
有名な話ですが、a(k)=[n/p^k] としたとき、a(k+1)=[a(k)/p] です。これを使うと、「p で割って切り捨て」を繰り返すだけでいいので、計算効率が上がります。
@火花 動画にある 20! が 2 で何回割れるかを例にすると、[x] を床関数として
[20/2] = 10, [10/2] = 5, [5/2] = 2, [2/2] = 1, [1/2] = 0
これら全て足して 10+5+2+1=18 が得られます。
つまり、常に 2 で割って小数点以下を切り捨てるだけで良いということだと思います。
ルジャンドルの定理でいつも思うけど、
Legendreがルジャンドルと読めない
ラグランジュとルジャンドルが干渉しますからね
@@sabak7390
つまりどういう事ですか？
レジェンド…り？あれ？てなるｗ
フランス語読みしないといけないですからねえ
末尾に0が並ぶか(p=5を考える)や東大のコンビネーションの問題(確か2016Ckが初めて偶数になるk)なんかもこれを使うとすぐ解けるので、本当に便利なんだけど、名前だけがどうしても覚えられない……
この前"マスターオブ整数"でみたやつだ📚
解法への道に載ってたなあ、ルジャンドルの定理って言うんや
ルジャンドルの肖像画って101匹わんちゃんの悪役に似てる気する
合成数mで割る場合はmの素因数それぞれの個数調べないといけないからちょっと面倒ですかねmを素因数分解した時に各素因数の指数が全部1だったら1番大きい素因数の数調べればいいけど指数が2以上の素因数がある場合は予想だけじゃ間違えるから調べること増えて面倒そう
これ名前あったんですね。
初等整数論講義では2行で説明が終わっていましたね笑
高校入試でありがちなやつ
この肖像画、素人が修復した壁画クオリティだけど大丈夫そ？
ルジャンドルと聞いただけでビビリましたが、説明を聞いて2回目にしてよく分かりました。今週の整数の理解に一歩近づけそうです🎉
わざわざ名前付ける必要もないような定理なのに何でルジャンドルの名前がついてるんだろう
こんな数学の授業を高校時代に受けられたらもっと楽しめたのになぁ😅
ちょうど今日整数問題解く時に調べたやつだ。こんな偶然あるのか...
今日もお疲れ様です。
今日もありがとうございます。🍬🤱🍭🤱🍛🤱🍝🤱
解法は知ってるけど人の名前は知らんかった
Pが10とかになってる時ってどうなるんですか
10は素数じゃないからできないよ
含まれている素因数は2より5の方が少ないのでp＝5の時と一緒になるのではないでしょうか。
間違ってたらすみません。
末尾の0の個数とかだね
数え落としが生じますね。
10や100は見つかりますが、20や30などpの素因数以外が含まれるものが検出できません。
@@T.N-x8p そんなことないと思いますよ。
[n/pⁿ]は
「n以下のpⁿの倍数の個数」
を表すため、例えばn=99、p=10だと
[n/p]=[9.9]=9, [n/p²]=0（以下ゼロ）
というふうに、10,20,30…,80,90の全9個を数え切れています。20や30が無視されるわけではありません。
これ確か10だったら1の位が0になるみたいな問題にできたきがす
ルジャンドル関数ですね！
マスターオブ整数に乗ってた気がする
・0が並ぶ問題の決定版【今週の整数#20】 → ruclips.net/video/W3WruHbqjd8/видео.html
追加
・ルジャンドル予想 → ruclips.net/video/YNmRhCNvBbg/видео.html
一度聞いたら色が付いて見える授業のシリーズ
・一度聞いたら忘れない余弦定理の授業 → ruclips.net/video/2kZNmm4AG7I/видео.html
・一度聞いたら忘れない漸化式の授業 → ruclips.net/video/ogiogJgDCnc/видео.html
・一度聞いたら忘れない1/6公式の授業【積分公式の感覚的理解】 → ruclips.net/video/-Mh26tY9wX0/видео.html
・一度聞いたら忘れない『ルジャンドルの定理』の授業 → 本動画
・一度聞いたら忘れない区分求積法の授業 → ruclips.net/video/IpDwmTGmCyo/видео.html
質問です。
pの部分は素数ではないといけないのですか？
素数じゃないといけないです。例えば3!=6は6で一回割り切れますが、ルジャンドルの式をp=6でそのまま使おうとするといきなり[3/6]=0になってまるで6で一回も割り切れないような結果が出てきます。
この定理のキモは abがpの倍数ならば、a bどちらかがpの倍数って事ですな？
ルジャンドル de アンパンマン。
うぽつです＿|＼○＿！！
高一になったばっかだけど大変面白かった。
当たり前にやってたけど、名前があったんだね
いち