O que é uma DERIVADA?
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- Опубликовано: 25 июл 2023
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Derivada é um dos conceitos mais importantes do cálculo, e dos mais úteis também. Neste vídeo, continuando a série sobre Cálculo iniciada com o vídeo de limites, vamos explorar o lado intuitivo do que significa uma derivada, para então falar na sua definição rigorosa usando limites. Também vamos calcular na prática algumas derivadas simples de forma analítica, e no final vamos ter uma outra visão sobre o que é uma derivada, além da tradicional visão de inclinação da reta tangente: na verdade, a derivada é a transformação linear que melhor aproxima a função em torno de um ponto dado.
📚*Leitura recomendada*
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- Stewart: Cálculo (Volume 1)
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- Stewart: Cálculo (Volume 2)
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- Apostol: Cálculo - Volume 1: Cálculo com funções de uma variável, com uma introduçâo à Àlgebra Linear
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- Apostol: Cálculo II: Cálculo com funções de várias variáveis e Álgebra Linear, com aplicações às equações diferenciais e às probabilidades
amzn.to/3njA3zP
- Spivak: Calculus
amzn.to/3lNfJX2
- Courant: Introduction to Calculus and Analysis (Volume I)
amzn.to/42NvTRc
- Courant: Introduction to Calculus and Analysis (Volume II/1)
amzn.to/3LVaRtD
- Courant: Introduction to Calculus and Analysis (Volume II/2)
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🔴 LIMITE: a Ideia Fundamental do Cálculo • LIMITE: a Ideia Fundam...
🔴 POR QUE CÁLCULO É TÃO DIFÍCIL? (Ou não) • POR QUE CÁLCULO É TÃO ...
Roteiro, apresentação e edição: Daniel Nunes
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Hoje (26/07/2023) completa uma semana que meu professor de calculo diferencial faleceu.
O último terço do semestre teve Derivadas como assunto ministrado.
Assistir a esse video, em especial com a reflexão final, fez lembrar muito dele, pois era exatamente o que ele dizia ser a dificuldade de muitos ao estudarem cálculo na faculdade.
Grande Professor Luís Andrés Rosso Cerón. Professor genial. Descanse em paz.
Descanse em paz
Série Cálculo:
EP 1: Limites ✅
EP 2; Derivadas ✅
EP 3: Integrais (Carregando)
Poderia fazer um vídeo como esse sobre integral? Tenho muita dificuldade na integração. Obrigado!
Mano só encare como o inverso da integração. Isso me ajudou muito a entendê-las melhormente.
Acho que é o próximo ou um dos próximos kkk
Ele já não fez um próximo desse assunto? Sobre medida e integração (isso é sobre integral?)
@@JPN-SS isso é muito errado, já que integração existe por si só. um conceito muito melhor de se ter em mente é que é um conjunto de somas diferenciais, juntar diversos pedaços infinitesimais regidos por uma função
@@jancer_teixeiraerrado não é, de fato é a inversa da derivação, dependendo do contexto uma definição ou outra é melhor
Derivada é uma área da matemática que serve para aterrorizar os alunos da área de exatas e este terror não tem limites. :)
O terror tende ao infinito
Defeciência do Ensino Médio.... No meu tempo do 2o. grau estudei limites, derivadas e até mesmo integral, claro, noções. Quando entrei para a Universidade Federal de Viçosa-MG, foi "mamão com açúcar" estudar Matemática.
Verdade @@irufkal
Por favor, faz uma serie de pré calculo abordando esses temas essenciais para o ensino superior! Sua didática é sem dúvida uma das melhores e uma serie assim permitiria ao publico mais leigo a abstrair mais dos seus vídeos.
Ótimo vídeo e muito obrigado pela dedicação. 👏👏
Up
Up
Esse canal é sensacional, comecei a estudar cálculo não tem nem dois dias e sou agraciado com esse presente, baita vídeo!
Seguindo nesses conceitos, e indo pra minha área que é Ciência da Informação, os conceitos de derivada, equação da reta e erro da tangente discutidos muito bem nesse vídeo, são as bases para o treinamento de um perceptron que é um neurônios de uma deep learning. Ele frequentemente é representado como uma equação de reta dessas pois para cada valor de input, é multiplicado um peso w e somado um bias b... Ou seja a saída dele que pode ser representada pela variável s pode ser descrita como s = iw + b que é exatamente a equação da reta na forma reduzida (y = ax+b) e por ter 2 variáveis alterações, o w e o b, contamos ele, numa simplificação de quantos parâmetros tem um modelo de ia, como 2 parâmetros treinaveis. Para termos uma ideia de quanto isso é importante em IA, o modelo do ChatGPT 4 tem aproximadamente 170 trilhões de parâmetros.
Parte1/2
A “invenção” do Cálculo é, geralmente, atribuída a Newton e a Leibniz. No entanto, o surgimento do Cálculo como conhecemos hoje foi resultado da evolução de uma ideia que remonta desde os antigos gregos que a usavam para encontrar valores de áreas e volumes de figuras e sólidos de formatos não triangulares ou retangulares (círculo e esfera, p.e.).
A palavra cálculo é o diminutivo de calx, que em latim significa pedra. Atualmente o Cálculo é uma abreviação de Cálculo Diferencial e Integral.
A palavra Derivada veio da expressão Fonction Dérivée da obra Théorie des fonctions analytiques (Teoria das Funções Analíticas) de Joseph Louis Lagrange, publicada em 1797.
Na verdade, o Cálculo é uma engenhosa criação do intelecto humano que não é exatamente um novo ramo da Matemática. É sim um novo método de lidar com as ideias de infinito, função e o conceito de variação aplicada à Álgebra, à Geometria e à Trigonometria por meio da (ferramenta) Geometria Analítica.
A grande dificuldade no aprendizado das ideias do Cálculo reside na forma equivocada como seus conceitos são definidos e ensinados em livros didáticos e em sala de aula.
A função é o objeto de estudo do Cálculo. No entanto, há um problema no ensino sobre o que é e o que significa uma função. Existe uma dificuldade de entendimento da definição atual de função porque ela é definida em termos de pares ordenados da teoria (formal) dos conjuntos. Este conceito evolui desde a antiguidade e só mereceu atenção rigorosa no campo da análise matemática que fundamenta o Cálculo. Euler definia uma função como expressão analítica. Então qual é a diferença de uma expressão algébrica tipo y = 2x + 10 para a notação atual de função f(x) = 2x + 10? Bem, é similar à comparação entre substantivo e verbo, entre estática e dinâmica, por exemplo. A função dinamiza uma variação, um gráfico em movimento. Você não pode visualizar a função como uma fórmula algébrica com algum “x” inteiro (ou racional, por exemplo) que dá uma solução à equação.
A definição formal e abstrata de função foi adotada no ensino moderno e nos livros apenas no século XX após a consolidação da Teoria dos Conjuntos (de George Cantor) e da aritmetização da análise matemática divulgada pelo grupo de matemáticos franceses de pseudônimo Nicolas Bourbaki (1939). Estes por sua vez se basearam na descrição de Dirichlet (1837). Mas a palavra função surgiu pela primeira vez - em 1673 - em um manuscrito de Leibniz intitulado O método inverso das tangentes, ou sobre funções (Methodus tangentium inversa, seu de functionibus).
Outra grande confusão é definir o conceito de derivada com a interpretação da reta tangente a uma curva usando o conceito do quociente (razão/taxa) da variação de uma reta secante deslizante "misturada" com o conceito de limite sem exatamente dar uma explicação inteligível da relação valor do coeficiente angular (tangente) com o valor da derivada. Por que usar uma reta tangente a uma curva? E por que é difícil entender o que é uma reta tangente em um único ponto em uma determinada curva? Ora, quem vê a reta desenhada tangendo a curva observa que ela não toca somente um ponto. Não faz sentido e não é convincente (Descartes conseguiu um modo engenhoso de explicar essa tangente. Explico mais a frente). E o que é exatamente um ponto? E a linha e a linha reta? As definições descritas no livro Os Elementos (página 97 do livro traduzido por Irineu Bicudo) responde:
• Ponto é aquilo de que nada é parte;
• E linha é comprimento sem largura;
• E linha reta é a que está posta por igual com os pontos sobre si mesma.
Deu para entender estas três definições?
A definição da linha reta pode ser traduzida como uma disposição uniforme e unidimensional de pontos.
Para se compreender essas definições é necessário entender o conceito de abstração.
Num sentido mais geral, abstração [do latim tardio abstractione] é um processo mental de se obter ou extrair uma ou mais partes de uma totalidade complexa, seja ela elemento da realidade ou da própria imaginação.
Assim, a partir da abstração é criado um modelo mental no qual se pode manipulá-lo ou transformá-lo independentemente da realidade, ou de parte dela, que ele representa.
No sentido matemático, abstração é uma representação simbólica ou figurativa de um modelo mental criado a partir de uma realidade ou de um elemento constituinte da realidade do qual se extrai apenas determinadas propriedades ou características relevantes.
Então, estes entes geométricos são abstrações de formas de objetos (elementos ou coisas) concretos (reais) que a mente humana criou para obter uma percepção de parte do mundo que nos cerca.
Portanto, se eles são abstrações da mente humana: o ponto e a reta não têm medida finita, ou seja, são intrinsecamente por definição imensuráveis, adimensionais: ponto sem tamanho e reta sem largura. Claro que podemos definir uma medida finita a uma reta qualquer através de uma associação com um valor escalar. Esse é o comprimento.
Por isso não faz sentido ao visualizarmos um gráfico de uma curva com uma reta tangente afirmando-se que ela toca a curva em um único ponto. O que visualizamos na verdade é que essa tangente toca vários pontos.
Afinal, o que é esse ponto que os professores e autores de livros de Cálculo afirmam que toca a curva em um único ponto da curva utilizado para definir a derivada e seu valor atrelado ao conceito de limite? Isso acaba causando uma confusão cognitiva nos discentes ao primeiro contato com a definição de derivada.
Existe um modo mais engenhoso de explicar esse ponto único da reta tangente a uma curva?
Sim, existe. Ele foi imaginado por Descartes nos seus momentos de devaneios iniciais na gênese da Geometria Analítica. A grande ideia dessa nova ferramenta que ela passou a considerar um ponto como uma coordenada no sistema cartesiano que usamos hoje (cartesiano veio do nome latinizado do nome francês Rene Descartes: Renatus Cartesius. Use o Google tradutor para conferir, afinal o latim era a língua científica da época dele e de Newton)
Descartes imaginou um círculo cujo raio é interceptado por uma reta perpendicular ele (formando 90 graus, lembra?). Essa interceptação pode se dar em um ponto (reta coincidente, ou sobreposta, com a linha da circunferência) ou em dois pontos (reta não coincidente que corta a circunferência em dois semiarcos). Vamos agora emprestar a ideia dele, não o método, e vamos denominar esse ponto coincidente de ponto de referência. Agora usando um gráfico cartesiano da função quadrática f(x) = x2 + 5 ou f(x) = - x2 + 5 (forma uma parábola) e vamos imaginar que existe um círculo qualquer C cuja circunferência percorra todo o gráfico (por dentro ou por fora, tanto faz) de modo que a linha desta coincida com a linha da curva da parábola (pense numa roda em movimento de skate quando um skatista desce na rampa em formato U) e que exista uma reta perpendicular ao raio interceptando-o no ponto de referência e que sempre acompanha o movimento do círculo (ou da roda do skate). Então, o raio do círculo (ou da roda do skate) sempre será perpendicular a esta reta que acompanha o movimento dele. Por conseguinte, esta reta perpendicular é a reta tangente à curva do gráfico. Essa nova denominação de ponto de referência tem uma recepção cognitiva mais intuitiva. Ou seja, o que se movimenta na curva é esse ponto de referência que pertence também à reta perpendicular ao raio da circunferência que acompanha o movimento desse ponto.
Mas, o que tem a ver essa tal reta tangente com uma curva?
Bem, imagine um gráfico de uma parábola (gerada por uma função quadrática) ou de uma onda senoidal (gerada por uma função de arco seno). Como podemos saber se a curva está em algum estágio crescente ou decrescente, ou até mesmo em um estágio máximo (crista da curva) ou em um estágio mínimo?
Se traçarmos algumas retas tangentes em alguns pontos de referência de uma curva que “acompanham” a subida e a descida da curva, o sinal do coeficiente angular dessa reta nos informará esses movimentos da curva. Ou seja, a reta nos informará se a curva está em estágio crescente - coeficiente angular positivo - ou em estágio decrescente - coeficiente angular negativo. No caso da crista da curva, o coeficiente admite valor zero. Não confundir coeficiente angular (ou declividade) com a inclinação da reta. Inclinação é a medida angular da reta em relação a um eixo de referência. Coeficiente angular é o valor calculado a partir da tangente da inclinação da reta.
A função nos permite modelar a variação entre grandezas, como por exemplo a aceleração de foguete ou de um meteoro, a taxa de crescimento populacional de uma amostra de bactérias, a taxa de decaimento radioativo. E dá para calcular essa taxa (ou razão) de crescimento ou decrescimento usando somente a matemática sem o Cálculo? Não, pois as funções formam gráficos e modelam taxas de variação entre grandezas de que podem ser de forma não linear (não é constante). Na natureza, e no universo, praticamente não existe variações lineares. Então como medimos (calculamos) essa variação ponto a ponto? Ou como dizem os físicos, a variação instantânea?
Segue na Parte2/2
Sensacional. Gosto muito dos seus vídeos. Parabéns pelo empenho e dedicação!
Nunca havia ouvido falar de Análise não padrão. Agradeço por sempre me fazer aprender algo!
Que deleite de vídeo, espero ansiosamente pelo vídeo sobre integrais!
esse assunto é muito profundo.
Sensacional! Simplesmente assim!!!
Que conteúdo sensacional mano, meus parabéns
O conteúdo do canal é realmente excelente, com um roteiro maravilhoso e uma edição impecável.
Parabéns pelo trabalho!
14:20 tinha esse problema, fiz exatamente a recomendação do vídeo e de fato ajuda muito
Impressionante como você trata de maneira intuitiva assuntos que não são fáceis de sintetizar... Fantástico!!!
Pode fazer... Esse conteúdo é top... Estamos aqui para assisti-lo... Glória
Que vídeo necessário aos estudantes de exatas... Por conteúdos como esse que meu tempo no ytb vale a pena
video sensacional. O senhor mistura muito bem a intuiçao com o rigor matematico, é um otimo professor
Sou formado em Matemática e que vídeo sensacional pra todo estudante assistir!!! Parabéns pelo trabalho Daniel e pela didática em desmistificar esses conceitos que assustam as pessoas!!
Análise não padrão parece interessante.
Faz um vídeo sobre hipereais e dps um sobre cálculo não padrão.
Talvez falar dos surreais tembem seja interessante também.
Só não sei se o assunto não seria compelxo demais para o canal. Um vídeo sobre construção dos números reais é algo mais simples e dar noções da construção dos hipereais e sureais (já que a construção por série de Cauchy lembra bastante a construção dos hipereais e o corte de Dedekind lembra bastante os sureais)
maravilhosa explicação
Admiro muito, mas muito mesmo quem possui esses conhecimentos, estou estudando pq quero ficar igual, acho lindo.
Um vídeo sobre derivadas seria muito bem vindo!
QUE VÍDEO SATISFATÓRIO! Em um vídeo entendi mais do que estudando há três semanas.
Parabéns Daniel. Seu canal é muito Bom, Keep Walking. Quem sabe um dia o sistema de ouça e volte a ensinar matemática bem para nossas crianças no ensino médio.
Mais um vídeo fenomenal.
Abri o vídeo só pra olhar e me surpreendi com a qualidade. Tá excelente. Merece mais views!
Bora algoritmo, impulsionar está canal cada vez mais!
Ancioso para ver a definição das integrais!
Só Deus sabe o quanto eu esperei esse vídeo, muito obrigado. Comecei a acompanhar seu canal quando eu entrei na faculdade, agr já tô pagando cálculo 3 kkk. E hj eu tmb sou monitor de cálculo vetorial, mas ajudo o pessoal com Cálculo 1 tmb
Um vídeo sobre Integrais seria muito interessante, sua didática é muito boa
Mais uma vez, meus parabéns pelo conteúdo de altíssima qualidade!
Minha sugestão é fazer um vídeo sobre algum tema dentro da análise complexa.
Muito obrigado pelo vídeo, este é um tema que venho estudando recentemente❤
Sensacional!!!Parabéns,Daniel!!
Podia ter um curso de matemática básica aqui. Ajudaria muitas pessoas. 🎉
Parabéns, a Matemática é linda é essencial para o avanço da Ciência e dá Humanidade. Saber que pessoas como você são capazes de oferecer conteúdos de qualidade como esse a outrem, me faz acreditar em um futuro melhor 🖖🏻
Justo no dia em que decidi ir atrás de uma explicação mais visual!!! Te amo cara.
Excelente vídeo! Parabéns
Agora precisamos de um vídeo sobre integrais!
Fantástico!!!
deveria fazer um vídeo sobre analise não padrão e explicar essa noção de infinitésimos...
linda aula mestre!
Concordo com o que foi dito no final
Já ansioso para vídeo da integral🤩
Explicação ótima
faz um video sobre integral
Muito bom mestre!!!
Seus vídeos são ótimos!!!
Professor, estou cursando química no primeiro semestre, comecei a ver cálculo nessa terça😅, bem no período que você começou a soltar esses vídeos. Conheci teu canal pelo vídeo do porquê de estudar matemática🙃
Excelente.
Que viagem. O cara é muito bom. Parabéns pelo canal.
Boa aplicação da didática.
Parabéns!!!!
Muito bom! Depois faz um video sobre intregral, por favor!
professor, já que tocou neste assunto de falta de base em matemática, poderia fazer um vídeo motivação/guia sobre como aprender e por onde começar aprender matemática de fato? eu sempre tive dificuldade em aprender, apesar de ter notas boas, sempre decorei apenas para passar e nunca aprender; além de ter tido um ensino médio ruim com lacunas importantes devido a estrutura do ensino público. essa vontade de aprender nunca saiu de mim e decidi que irei aprender
Desculpe me intrometer, mas busque materiais sobre História da Matemática (este canal disponibiliza muitos conteúdos). Conhecer a origem e motivação dos descobridores ajuda a vislumbrar caminhos
@@marciorjusto Não está se intrometendo de maneira nenhuma, irmão! Muito obrigado! Me deu uma luz. Eu sempre tive mesmo curiosidade de saber de onde vem isso tudo, porque nas escolas isso nos é simplesmente dado do nada sem nenhum contexto e o ensino fica muito robotizado. Saber as origens de tudo torna muito mais excitante
@@adriellima108 Tem um documentário da BBC em 4 episódios chamado Story of Maths onde o apresentador mostra os principais conceitos e personagens ao longo da História. É simples e rápido de assistir
Tem um livro da autora Anne Rooney e também há um podcast chamado SciCast. Junto com os conteúdos deste canal, certamente vc vai descobrir muitas coisas interessantes (e quem sabe, aquelas fórmulas começarão a fazer sentido)
@@marciorjusto Quê isso, irmão. Nem sei como agradecer tanta fonte de conhecimento. Muito obrigado! Me incentivou muito a superar esse obstáculo na vida.
Maravilhoso!! Faz sobre integral!
Excelente!
Fala sobre P = NP
Up
Up
Farei
Se existisse um conteúdo tão bom assim na época que eu fazia Ciências da Computação na UFPE entre 2003 e 2004, talvez não tivesse abandonado o curso. Depois fiz vestibular de novo e me formei em Direito pela mesma UFPE - o fato de ser bom em exatas me ajudou muito na antiga “primeira fase”. Hoje, aos 40 anos, concursado e depois de 10 anos de serviço público na justiça do trabalho, terminei chefiando um setor que mexe com cálculos trabalhistas de grandes conjuntos de processos, que demandam muito Excel inclusive. Acho que a veia de exatas nunca me abandonou. Parabéns pelos vídeos, vai ajudar muito as novas gerações!!!
Quem dera já existisse o Tem Ciência na minha época da faculdade...
Excelente vídeo!
Excelente
Pow, além do vídeo sobre integral, seria interessante fazer alguns vídeos sobre tópicos de pré-calculo, nem que sejam alguns shorts com algum desafio ou dando alguma dica rápida sobre algum tópico a ser estudado na matéria.
Sei que é meio básico, mas queria ver sua explicação sobre sistema de equação. Eu gosto de como você consegue demonstrar a aplicação do cálculo
Mais um espetáculo de Cálculo. Muito obrigado, Daniel! 😃👍🏻
A cada vídeo que passa, tenho me convencido de que meu conhecimento é ínfimo... 🤔
Eu já tenho essa certeza em mim.
Melhor canal do YT
Salvou mt cara, tmj
Nota A+ com louvor no quesito pedagógico. Irretocável. Apesar de ter estudado até Cálculo III na faculdade e Cálculo Numérico, não me lembro de ter ouvido o conceito de Análise Padrão.Acho que estava dormindo.kkk Parabéns Daniel.
Sou apaixonado pela matemática
Ótimo vídeo!
Perfeito
Daniel, acho que uma galera tem dificuldade pra intepretar a linguagem de livros matemáticos, até os mais simples. Tem algo que pode ser feito pra facilitar isso? Seria bacana um video ou postagem sobre o assunto. Abraço
Up
História da Matemática, Compreensão de Padrões e Interpretação: acho que isso faz muita falta em nosso ensino mundial
FALE SOBRE iNTEGRAL..
A idéia de usar infinitesimais para explicar a derivada, nos conduz, com mais facilidade, para os conceitos da física quântica que não trata as coisas de forma linear, mas sim de através do uso do conceito de quantas de energia..
Muito bom
Falou tudo. A base fraca do nosso ensino fundamental e médio faz os alunos chegarem no curso superior perdidos.
Eu fui testemunha de algo que com certeza outros colegas aqui dos comentários também já testemunharam. Turmas de Calculo I que entram 50 alunos e passam no fim do semestre uns 3.
Uma parte menor dos reprovados tenta de novo enquanto mais ou menos uns 30 desistem.
Aqui no nosso país os estudantes vão desde cedo adquirindo um certo pavor pela matemática, e o pior, sem perceber que essa é uma ferramenta indispensável para toda a vida e que ela é capaz de transformar a vida de uma pessoa tanto socialmente como economicamente.
Um aluno disposto a compreender um livro de base sobre Calculo, como o do Stewart, tem nas mãos um passaporte para a ascensão social. Perdemos muitas capital humano por ter um conhecimento tão pouco desenvolvido em ciências exatas.
E os poucos alunos que conseguem vencer essa barreira dura do nosso aprendizado (inegavelmente, sendo a maioria destes, alunos de classe média) em poucos anos compram uma passagem e vão utilizar os seus conhecimentos desenvolvidos aqui em um outro país.
fera demais
Vídeo incrível
Salve Daniel
otima explanação ... gostei demais. Por favor podes fazer para integral ? Sofri muito quando precisei aprender ...
Abraços
Massa d+
Excelente, faz de integral po!!
demais essa matemática...
Pulei todo o ensino médio por causa da pandemia, não fazia ideia de nada disso, obrigado por me mostrar
Te contar que umas 3 semanas atrás esse vídeo salvaria minha vida
Parte2/2
O pensamento da variação instantânea é outra ideia que é difícil entrar na cabeça dos alunos. Agora imagine ao seguinte: nos filmes de película (não digital) exibido nos cinemas antigos os movimentos de um personagem advém da taxa de 24 fotografias por segundo. Então, a variação instantânea nesse caso teria como resultado uma fotografia, embora o conceito de variação seria o passo de uma fotografia para a fotografia seguinte. Mas como não existe o movimento desse passo, pois a fotografias são estáticas e existem individualmente, obtém-se somente a fotografia captada num determinado tempo do movimento (1/24 de segundo). É apenas a interpretação do cérebro humano que projeta o movimento das fotografias passadas sequencialmente num determinado ritmo captável ao olho humano. Nesse exemplo fica fácil de entender como obter o resultado da velocidade instantânea do filme de projeção de película, pois as películas são o que os matemáticos denominam de grandezas discretas, ou seja, o filme é formado por fotografias bem identificas univocamente, é finita em si, não se divide em infinitas imagens. É aí que o “bicho pega”, pois na natureza e no universo tudo é movimento, é variação com grandezas que se dividem ao infinito, ou seja, são contínuas, não discretas. Aí que surge a ideia do uso de função para modelar matematicamente os fenômenos naturais ou até artificiais (lembra do foguete?).
A função modela movimento, variação, dinamicidade. A função produz gráficos cartesianos. Gráficos cuja variação pontual (do ponto de referência) pode ser calculado utilizando o conceito de derivada. A derivada nos informa a taxa ou razão de variação da função num determinado momento ou num determinado ponto (na verdade, de um ponto para outro). Esse ponto percorre o gráfico e pertence também à reta tangente à curva desse gráfico. Bem, agora que já entendemos o que significa que é uma reta tangente a uma curva, podemos racionar como calcular a variação pontual (ou instantânea, segundo os físicos) num determinado momento de variação de um ponto para outro no gráfico. Mas como vamos calcular a variação num ponto da curva se só identificamos somente este ponto tangente, e este sendo estático, não tem variação? Aí é que vem o “pulo do gato”. Como estamos lidando com grandezas contínuas que variam do infinitamente pequeno ao infinitamente grande, podemos pegar esse ponto de referência e o ponto seguinte com valor próximo ao infimamente pequeno. Não temos ideia de qual pequeno seja esse segundo ponto em relação ao primeiro. Leibniz os chamava de infinitesimais). O problema de se utilizar o conceito de infinitesimais é que eles são apenas uma ideia, uma abstração sem definição de forma. Daí veio a ideia de limite que possui definição formal (Cauchy criou a ideia de limite e Weierstrass o definiu formalmente). Se a derivada determina a taxa ou razão de duas grandezas próxima ao infinitamente pequeno e o conceito de limite chega tão próximo ao infinito, mas nunca chegar nele, então podemos calcula-la utilizando este conceito. É o chamado valor limite ou limite da função.
Um exemplo de valor limite 1 é o somatório infinito 0,9 = 0,09 + 0,009 + 0,0009 + ... Ou seja, o limite de 0,999... (com reticências que define infinitude) é 1 (utilize a forma algébrica que você provar isso ou use a fórmula da PG infinita S = a1 / (1 - r)).
Então, é por isso que os livros didáticos e professores adotam a expressão de limite para definir (e calcular) a derivada de um ponto num gráfico cartesiano utilizando o artifício da reta secante que se movimenta até que ela se torne tangente à curva tocando-o apenas um ponto. Este artifício de movimentar uma reta secante que intercepta a curva em mais de um ponto em direção ao nosso ponto de referência (que é ponto da verdadeira tangente, lembram?) permite que ele chegue tão infinitamente próximo quanto possível (até o valor limite) de forma que se possibilite calcular a diferença entre os dois pontos e de forma que se permita calcular a variação entre eles. Se eles coincidissem, o ponto da tangente e o ponto da secante, não haveria variação. E adivinhem, o cálculo da taxa de variação é o mesmo cálculo para se determinar o coeficiente angular (declividade) da reta tangente. Daí a confusão cognitiva que os alunos têm de relacionar o valor da tangente com o valor da derivada. Confundem a interpretação geométrica (deveria ser algébrica-geométrica) com o uso gráfico cartesiano da função.
O uso da ideia de limite foi genial. Enquanto, com o uso do conceito de infinitésimos fazia-se necessário desprezar valores no cálculo final da fórmula da taxa ou razão da variação, com o uso da ideia de limite, o desprezo dá lugar ao valor limite, mas inalcançável.
Daí o uso atual da formula da taxa ou razão de variação entre dois valores de uma função:
Derivada de uma função f(x) = limite [f(x) - f(x0)] / [x - x0] quando x - x0 tende um a valor infimamente pequeno.
Ou na notação mais usual que utiliza a letra “h” que simplifica a fórmula. Este passa a ser o acréscimo de valor infinitamente pequeno. Então, a derivada de uma função f(x) = limite [f(x + h) - f(x)] / h quando h tende um a valor infimamente pequeno.
A ideia do infinito, seja ele o infinitamente pequeno ou infinitamente grande, não cabe na mente humana. Talvez porque somos seres finitos; não vivemos para sempre. Não faz sentido para nós não encontrarmos um início e um fim.
É dessa ideia de infinito que o grego Zenão criou seus famosos paradoxos (Aquiles e a tartaruga, p.e.) e Eudoxo criou o seu método da Exaustão que foi utilizado por Arquimedes para calcular áreas e volumes de figuras.
Depois dos gregos é que surgiu o termo infinitesimal para designar um valor infinitamente pequeno. Galileu e Cavalieri o utilizaram para dar base a formulação de suas teorias físicas e matemáticas.
O conceito de infinito foi relacionado com o de limite e este, por sua vez, foi idealizado e formalizado por Cauchy e Karl Weierstrass.
Excelente explicação! Mas ainda assim são muitas informações para explicar sucintamente aos alunos.
Primeiro: Uma função modela a influência da evolução de um fenômeno sobre a evolução de outro. (Ou causa e efeito)
Segundo: Quando essas evoluções são contínuas, como saber se um dos fenômenos está impactando muito ou pouco o outro no momento atual? Usando a derivada a partir da função (ou seja, a regra que rege a relação entre esses fenômenos)
Faz um vídeo da integral iria ser mt interessante
O que falou sobre a base de matemática do ensino médio é pura realidade. Fiz ciência da computação na década de 2000, já nos meus trinta e poucos anos. Nesse curso tem muito calculo, foi triste ver pessoas que tinham acabo de sair do ensino médio e os professores terem que ensinar equação do segundo grau porque ou foi mal ministrado ou não tinham noção alguma do que era isso.Enfim, é o resultado do método adotado por vários governos nossos, federal, estadual e municipal em não reprovar os alunos. Creio que hoje não tenha melhorado.
Olha, que eu saiba, a reprovação continua a existir nos diversos níveis de ensino. O problema não está na avaliação, mas no método, no processo de ensino
Esperando o vídeo sobre axioma da escolha
Faz um vídeo sobre Bases de Gröbner, por favor
Quando eu estudei calculo infinitesimal, a derivada era definida como sendo o acréscimo da função dividida pelo acréscimo da variável quando a variável tende para zero dy/dx
x-->.0 o que,, no fundo, é a mesma coisa.
Fala sobre a conjectura de Collatz, por favor
Faz um vídeo sobre Integral⚡
"O planeta é aproximadamente plano". Uma afirmação aproximadamente perigosa nos dias de hoje.
Manchete do dia: "professor de matemática com doutorado admite que no limite a Terra é plana"
eles só esquecem (convenientemente) da parte do zoom
Daniel, faz um vídeo sobre números Dedekind! seria legal.
Já esperando o de integrais
Pode fazer também de integral e até mesmo cálculo de funções de múltiplas variáveis.
Incrível. Uma outra maneira de pensar é que a derivada está relacionada com vetor ou vetores que definem a melhor aproximação linear para a função no ponto especificado. A aproximação linear da curva de uma função de uma variável é uma reta, e aderivada indica a direção do vetor diretor desta reta passando pelo ponto. Na superfície de uma função de duas variáveis, suas derivadas parcias indicam a direção do par de vetores diretores linearmente independentes que definem o plano tangente como a melhor aproximação linear no ponto especificado.
Cara, eu tava pensando numa ideia de vídeo pra ti. Podia fazer um sobre os Axiomas e como são feitas as provas dos Teoremas a partir deles, pq tipo, como provaram que a soma do quadrado dos catetos era igual à hipotenusa com simples leis que diziam que por dois pontos passa apenas uma reta ou então que é possível fazer um círculo com um simples ponto e qualquer raio?
E obrigado por sempre trazer esses conteúdos incríveis pro RUclips 😎😎👌👌
Oi, Segundo dizem os axiomas de Euclides não eram rigorosos. Hilbert propôs 20 axiomas para a Geometria Euclidiana em 3D. No meu curso estudei os axiomas de Hilbert (2D), os axiomas de Birkhoff, e uma construção com vetores, mas os axiomas de Euclides só foram citados. Abraço.
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