Un numero misterioso: π

Scheda didattica dell’attività: Un numero misterioso: π
Contesto:
Urbano, storico, geometrico, numerico, rivolto ad un pubblico di studenti del terzo anno della scuola secondaria di I grado
Strumenti:
Per la prima attività sarà necessario avere degli oggetti di forma circolare, un metro da sarto e una calcolatrice, oltre ad un foglio e una penna per segnare i risultati ottenuti. Per la seconda attività invece consigliamo l’utilizzo di un software di geometria dinamica (ad esempio Geogebra), poiché i calcoli a mano sarebbero molto laboriosi.
Obiettivi:
● Comprendere il significato della formula del π, ed essere in grado di ricondurla ad un contesto reale
● Risolvere problemi relativi all’approssimazione di aree (in particolare del cerchio)
● Saper sfruttare conoscenze pregresse per la risoluzione di problemi più complessi
● Sviluppare capacità di analizzare situazioni e formulare congetture
Nuclei concettuali:
● Nuclei tematici: Numeri e algoritmi, Spazio e figure,
● Nuclei trasversali: Misurare, Risolvere e porsi problemi,
Argomentare, congetturare, dimostrare
Nodi concettuali:
Il numero π, cerchio e circonferenza, aree di cerchio e rettangolo, teorema di Pitagora, approssimazioni numeriche, poligoni inscritti e circoscritti, i numeri razionali e irrazionali, grandezze incommensurabili
Metodologia:
Partendo dall’idea che tutti conosciamo le formule della circonferenza e area del cerchio, si esplicita π trovando una nuova formula e la si cerca di analizzare più a fondo, sfruttando delle situazioni concrete in un contesto urbano, cercando di comprendere in prima istanza da dove derivi. Segue la presentazione di un procedimento per poter trovare una stima del pi greco, con l’utilizzo di conoscenze pregresse.
Descrizione dell’attività:
L’attività prevede che gli studenti abbiano già acquisito una certa abilità nell’affrontare i problemi connessi al misurare grandezze ed alla rappresentazione dei dati sperimentali. Tale attività dà un significato alle formule in cui compare π, che spesso vengono ricordate mnemonicamente, senza che gli studenti si rendano conto di quanto “sia grande π”.
Prima fase: Gli studenti conoscono già π come simbolo, ma non hanno forse ancora approfondito i problemi ad esso connessi. In seguito ad un input (documentario, oppure lettura del passo del libro L’uomo che sapeva contare di Malba Tahan) si ragiona sul fatto che sarebbe interessante capire da cosa derivi la formula π = C/d.
Passo del libro L’uomo che sapeva contare:
“... la domanda fu questa: è possibile per un esperto geometra trovare l’esatto rapporto tra la circonferenza e il diametro del cerchio?
Così rispose l’Uomo Che Contava: “Non è possibile calcolare esattamente una circonferenza, pur conoscendone il diametro. Il rapporto tra le due misure è un numero ben determinato, ma non siamo in grado di conoscerne il vero valore. Gli antichi cultori dell’astrologia credevano che la circonferenza fosse tre volte il diametro, ma le cose non stanno così. Archimede il greco trovò che, se la misura della circonferenza è di 22 cubiti, il suo diametro deve misurarne circa 7. Ma i matematici indiani non sono d’accordo, e il grande al-Kwarizmi ha af ermato che la regola di Archimede è ben lungi dall’essere esatta”.
Facendo leva sull’idea che il π ha in realtà una storia costruttiva nasce l’idea di prendere l’iniziativa e ‘scoprirlo’ nella realtà, andando a verificare la formula.
Seconda fase: Viene proposta una fase operativa, perché attraverso la “manipolazione” si possa constatare quali difficoltà si incontrano nel ricavare un’approssimazione di π: utilizzando un metro da sarto, si cercano oggetti circolari per la città (o si utilizzano degli oggetti circolari in classe). Si misura per ogni oggetto circonferenza e diametro, si segnano tutti i risultati in un foglio. In un secondo
momento si fa il calcolo del rapporto tra circonferenza e diametro per scoprire che dà sempre all’incirca lo stesso numero. Questo numero è π. Ovviamente misurandolo con degli strumenti poco precisi ciò che risulterà sarà una sua stima.
Terza fase: Abbiamo trovato un modo per approssimare π sfruttando la formula relativa alla lunghezza della circonferenza. Ma c’è un modo per trovare una stima sempre più precisa? Dopo aver fatto un accenno al metodo di esaustione di Archimede, si propone e si illustra un metodo molto simile per la stima del π, il metodo dei rettangoli, nel quale si dà una stima dell’area del cerchio (e di conseguenza del π) sfruttando la costruzione di rettangoli inscritti e circoscritti.
Domanda finale, che apre alla riflessione: “Quanti rettangoli servirebbero per approssimare con precisione assoluta il vero valore del π?”

[@flaviomazzarino3037]

Grazie ragazzi ora sto provando a fare il calcolo con 4096 rettangoli e sono proprio curioso di vedere che numero mi uscirà, peccato che ad ogni errore di calcolo perdo due settimane di lavoro ma vi farò sapere