Kannst DU die Fläche berechnen? - Mathe RÄTSEL Geometrie
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- Опубликовано: 1 авг 2024
- Mathe Rätsel Geometrie Kreisring
In diesem Mathe Lernvideo erkläre ich (Susanne) wie man die Fläche des Kreisrings berechnen kann. Wir verwenden die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises und nutzen den Satz des Pythagoras, um die Lösung der Aufgabe zu finden. Mathematik einfach erklärt.
0:00 Einleitung - Mathe Rätsel Geometrie
0:35 Flächeninhalt Kreisring
2:53 Satz des Pythagoras
5:47 Bis zum nächsten Video :)
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@MathemaTrick hi, ich hab eine neue Serie gestartet und rechne deine Aufgaben blind ohne deine Videos angeschaut zu haben. Ich will dabei mein Wissen testen und schauen, ob ich es richtig gerechnet hab. Darf ich aus deinen Videos "ein" Anfangsbild herausnehmen und es dann in meinen Videos verwenden?
Gruß Mathematik Livestream
Viele Deiner Aufgaben/Lösungen sind spannender als jeder Krimi. Ich bin 75 Jahre auf diesem Planeten und schaue Deine Videos mit Begeisterung an. Vielen Dank und weiter so.
Wow 75😳
Indeed, I studied German and this level of math in junior high school. At 66 now these videos are such a treat!
Hallo du Liebe! Du könntest ja darauf eingehen, dass es unendlich viele Kreisringe gibt, die diese Lösung haben, aber anders aussehen und mal ein Beispiel zeigen. Trotzdem: Sehr schön!
Hallo Susanne,
Sehr schön die Erklärung mit den beiden Kreisen und dem 20 cm langen Tangentenabschnitt.
Meine intuitive Lösung war, den Radius des inneren Kreises gegen 0 gehen zu lassen. Dann werden die 20 cm automatisch zum Durchmesser des großen Kreises mit Fläche 100*Pi. Viele Grüße Berthold
Danke für diese schöne Aufgabe ! Ich hatte keine Geduld mich ranzumachen die Aufgabe selbst zu lösen. Ich dachte auch , dass noch eine Information in der Anzeige vergessen wurde . Ich musste sofort meine Neugierde befriedigen. Diese Aufgabe besticht durch ihre Sparsamkeit an vorgegebener Information. Wie einfach und toll Mathematik sein kann !
So einfach, aber darauf kommen, ist die Kunst. Klasse, Susanne, was du so immer aus dem Hut zauberst.
So einfach geht das! Und ich habe mich über das gleichseitige Dreieck und die Winkelfunktionen hin gequält. Großer Umweg, gleiches Ergebnis.
Phantastisch! Beglückend! Mathematik wird mir Ihnen sooo einfach!!!
Vielen Dank, ich bin alleine nicht auf die Lösung gekommen. Deine Aufgaben halten mich geistig echt fit. Allerdings würde sich mein alter Mathelehrer im Grab umdrehen, weil das wichtigste für ihn immer war, dass man Einheiten von Anfang an mit in die Gleichungen nimmt.
Vermutlich war ein es Mathelehrer an einer Berufsschule ;-)
Ja,so einen Mathelehrer hätte ich auch gerne gehabt! Macht richtig Spaß mit Dir!
Da sieht man, wie wichtig es ist, einen Lehrer zu haben, der sowas mit Begeisterung vermitteln kann! Klasse, mehr davon bitte!
Ich liebe einfach Geometrie, ich schaue nun schon eine ganze Weile deine Videos und sie machen mir richtig Freude. Wirklich toll, dass Du das machst.
Hey Tom, dankeschön, freut mich riesig, dass dir meine Videos so gut gefallen!! 😍
Verblüffend einfach! Ich hatte vermutet das so Gemeinheiten wie Sinus, Tangens etc. benötigt würden. Stattdessen nur Pythagoras. Und natürlich Nachdenken.
Schönes Beispiel. Guter Rechenweg. Danke!
So schnell! Super interessant!!!
👍👍👍 einfach superspannend und ich wäre nicht dahintergekommen, dazu hätt's so ein mathe professorin wie dich gebraucht in meiner schulzeit!
Super schöne Aufgabe. Du bringst einfache tolle Aufgaben. +++
Faszinierend, dass sich das so wegkürzt.
Ich hätte mir auch so eine nette Lehrerin gewünscht 🤗. Sie erklärt es echt gut.
Danke, das ist eine Erfrischung am Wochenende.
Mathematik kann so schön sein
Währe ich nie drauf gekommen. Tolle Lösung !
Bitte für den Radius die Variable "z" verwenden. Damit ergibt sich für die Kreisfläche Pi*z*z=A
Dann aber bitte alle 314,16 Pizzas am Stück aufessen. 😊
Ach ja, das Ganze natürlich noch im Quadrat, also 314,16² Pizzas wegfuttern. 😇
Pizza im Quadrat wegfuttern? Nee, danke, die Kartons esse ich nicht mit.
Was hat es mit den ganzen Buchstaben im video auf sich?
Cool. Liebe deine Videos! Vielen Dank und noch Gesundes Neues… (falls das nicht zu spät ist 😊)
Die Fläche eines Kreisrings, dessen äußere Peripherie von den Enden eines Stabes berührt und dessen innere Peripherie eine Tangente desselben Stabes ist, ist also identisch mit der Fläche eines Kreises dessen Durchmesser gleich der Länge des Stabes ist.
Danke wieder was dazu gelernt...
Immer wieder schoen, das du mir zeigst, wie bloed ich bin. Weiter so.
Elegant, wie da die Variablen einfach umgangen werden!
Sehr cooler Ansatz. Danke
Bin zufällig auf Deinen Kanal gekommen … und bin sehr begeistert!
:) Sehr schöne Aufgabe. Danke
Zunächst hatte ich mich gefreut die "richtige Lösung" gefunden zu haben. Allerdings bin ich von einem speziellen Fall ausgegangen, bei dem sich um den inneren Kreis ein gleichseitiges Dreieck mit 3 tangentialen Berührpunkten aufspannen lässt.
Erst danach habe ich bemerkt, dass es viele Lösungen gibt...
Insgesamt eine recht fiese Aufgabe 😉
Alle paar Monate taucht ein Video von dir bei meinen empfohlenen Videos auf und ich kann einfach nicht vorbeiscrollen und muss die Rätsel lösen.
Bisher habe ich noch alle hinbekommen. Macht Spaß :)
Beobachtung: Da das Verhältnis der beiden Radien im Kreisring keine Rolle zu spielen scheint, könnte man diese frei wählen. D.h. ein ganz großer, aber dünner Kreisring würde auch funktionieren. Oder man setzt den inneren Radius auf 0. Dann hat man einen Kreis mit einem Durchmesser. 😃
Ich finde es immer wieder faszinierend, wie sie zu einem Lösungsweg kommt.
Hier hätte ich allerdings auch einfach den inneren Durchmesser auf 0 gesetzt und dann D2pi/4 gerechnet. Bin hat faul..
Das war auch mein Ansatz mit gleicher Begründung.
Genau. R^2 mal pi ist ja schnell "berechnet" wenn r^2 100 ist und pi 3,14159.
Ihre Variante finde ich trotzdem besser, weil es den Trick nicht voraussetzt, den inneren Radius gegen 0 zu setzen. Aber es wäre noch eine Erwähnung Wert am Ende 😊
Hmm. Aber wenn sich die Radien ändern, würde sich ja die Länge der 20m-Linie ändern, die den inneren Kreis tangiert. Die Radien spielen also doch eine Rolle. Oder?
@@aaronbuettner98 Guter Punkt. Nimm Dir einen (inneren) Kreis mit beliebiger Größe. Leg die 20m Stange an den Rand an. Und dann legst Du einen passenden (äußeren) Kreis um die Stange. Damit kannst Du beliebige Größen für den inneren Kreis wählen.
Danke! Hey Susanne, ich bin immer wieder begeistert, wie toll und vor allem wie geduldig Du solche Mathe-Rätsel präsentierst. Viele liebe Grüße!
Fakt ist hier hat sicher NIEMAND was kapiert wer das auch nicht vorher wusstr
@@serbe3416 so hat eben jeder seine eigenen Fakten
sehr aufschlussreicg. ich hatte ansheinend immer sie falschen mathelehrer
Coole Aufgabe. Ich dachte erst dass die Info nicht ausreicht. 🙂
Die Info reicht aus, warum dies aber der Fall ist, wurde leider im Video nicht erwähnt. Wenn man den Grund erkennt, macht es das Finden der Lösung um einiges einfacher.
Als kleiner Denkanstoß: Stell Dir die Aufgabe bildlich in echt vor und überlege, was passiert, wenn du den inneren oder äußeren Ring jeweils verkleinerst oder vergrößerst und was der entsprechend andere Ring darauf hin machen muss, um die 20m Stange immer noch ihre Voraussetzungen einhalten zu lassen.
Wenn Du dir das klar gemacht hast, verstehst Du auch, warum die Lösung, trotz zuerst augenscheinlich zu wenigen Angaben, zu finden war.
Der mathematische Weg und die geometrischen Annahmen zur Lösung (Tangente usw.) wurden im Video ja ausführlich und gut verständlich erklärt.
Super interessant
Mega mit wie wenig Informationen und etwas Mathe man so eine Aufgabe lösen kann. Gerne mehr davon
Herr Hontzia hat Recht, eine Strecke x, die zugleich Sehne eines äußeren Kreises r1 und Tangente eines konzentrischen inneren Kreises r2 ist, "bildet" eine ringförmige Fläche A = 1/4 * pi * x^2.
Radius r1 und r2 taucht nicht auf, A ist nur abhängig von x.
Habe wieder etwas gelernt, Susanne hat 's echt "drauf "! - Danke dafür und herzliche Grüße!
Klasse, mir wird ganz schwindlig...
Wow, tolle Lösung!
Dankeschön! :)
Sehr gut erklärt ❤ Danke wieder ein bisschen dazugelernt.
Wie kann es gut erklärt sein wenn niemand auch nur das geringste verstanden hat. Wie willst du als jmd der das (wie dein Kommentar beweist) schon kann, beurteilen können ob die restlichen 95% was davon verstanden haben...
@@serbe3416
Ich gebe nur mein persönliches Empfinden wieder. Ob es jemand anderes versteht, mag und will ich nicht beurteilen also Peace out 😉
Genial gelöst 🤔😉
Dafür braucht man nur den Höhensatz des Euklid.
(20 m / 2)² = (R - r) • (R + r)
100 m² = R² - r²
π • (R² - r²) = π • (100 m²)
π • R² - π • r² = A ≈ 314,16 m²
Das ist aber auch der Sehnensatz. Bevor man den Höhensatz von Euklid verwendet, würde ich lieber erst dem Satz des Thales erwähnen, da der Höhensatz im rechtwinkligen Dreieck funktioniert. Den Sehnensatz kann man hier ohne Satz des Thales verwenden, wenn ich das richtig sehe.
@@timurkodzov718 Der Höhensatz ist ein Spezialfall des Sehnensatzes. Nämlich, wenn eine Sehne der Durchmesser ist und die andere senkrecht dazu steht und damit halbiert wird. Auf der anderen Seite des Durchmessers kann man ja noch einmal das gleiche rechtwinklige Dreieck gespiegelt konstruieren und bekommt ein Drachenviereck mit zwei rechten Winkeln, das natürlich auch ein Sehnenviereck ist.
Um aber die Frage zu beantworten: Nein, man muss explizit den Höhensatz verwenden. Der allgemeine Fall des Sehnensatzes sagt nur, dass bei sich schneidenden Sehnen die Produkte der Sehnenabschnitte bei beiden Sehnen gleich sind. Das nützt uns hier aber nichts, weil die kurze Sehne nicht zwangsläufig halbiert wird. Man kann also den Term h = 20/2 nicht verwenden. Die Aufgabe ist nur lösbar, weil man weiß, dass die kurze Sehne halbiert wird und die lange Sehne der Durchmesser des großen Kreises ist, welcher die kurze Sehne senkrecht schneidet.
@@Nikioko Ja richtig, den Höhensatz kann man als Spezialfall des Sehnensatzes betrachten (was ich auch in meinem vorherigen Kommentar im ersten Satz meinte) bzw. der Sehnensatz kann als Verallgemeinerung des Höhensatzes aufgefasst werden. Somit hast du auch im Grunde genommen den Sehnensatz angewendet, indem du die eine Sehne mit der Länge 20 m und den Durchmesser als zweite Sehne gewählt hast und zwar so, dass man die eine Sehne in Abschnitte 2 x 10 m und Durchmesser in Abschnitte R-r und R+r unterteilen kann. Somit hast du Höhensatz und Sehnensatz gleichzeitig angewendet......
Wenn der mal nicht mit Pythagoras hergeleitet wird ... 😏
Hallo Susanne
Plötzlich und unerwartet
Ist die Lösung da. Ich bin baff!
Nach deiner Erklärung mega einfach. Ich frage mich jetzt wie du auf diesen Weg gekommen bist. Genau so wie im Video ungefähr mit der selben Geschwindigkeit und warst du länger dran. Klar spielt deine Erfahrung auch eine große Rolle. Genial
ich denke, sie macht es oft umgekehrt. D.h. sie hat bereits eine Idee von einem Lösungsweg und muss nur noch eine Aufgabe daraus machen ....
@@Ge_heim Wenn sie die Aufgaben denn selbst macht. Möglich, aber könnte genausogut sein dass sie sich die Aufgaben irgendwo sucht.
Ich behaupte mal der Lösungsweg war schnell da. Wenn man ständig mit mathematischen Konzepten arbeitet, projiziert das Gehirn automatisch potentielle Assoziationen (wie z.B. den Satz des Pythagoras) auf ein Problem, um zu sehen ob sie die Lösung beinhalten könnten.
Du hast immer alles schon vorbereitet. Ich würde gerne mal "work in progress" sehen: wie *kommst* du auf den Lösungsweg?
Genial!
Faszinierend einfach, wenn man den Weg einmal weiß.
Das war wieder eine gute Aufgabe.🙋
Schöne Aufgabe!
War gerade beim ausrechnen echt überrascht wie schnell das ging und stolz auf mich
Ich hab's genauso gelöst. Die Radien habe ich bloß groß R bzw. klein r genannt. Interessant ist, dass dieser Zusammenhang für alle Kreise existiert, deren Außenkreisradius R (bei Dir hieß der x) größer oder gleich 20 m ist. Für den Spezialfall R=20m ist die Länge der Sehne gleich der des Außenkreisdurchmessers und der Innenkreisradius ist gleich Null. Für größere Kreise, beispielsweise der Querschnitt der Erde durch den Äquator, ergäbe sich auch ein Kreisring mit der Fläche 100 mal Pi.
Wie immer toll erklärt, finde ich :)
Vielleicht könntest Du noch die Denkprozesse zur Lösung am Anfang der Lösungen deiner kleinen Rätsel kurz erklären. Denn das Basteln des rechtwinkligen Dreiecks ist hier mit Sicherheit das schwierigste. Die Ausgangsidee ist eigentlich zu wissen, dass eine Gerade, die einen Kreis in einem Punkt berührt, senkrecht auf einem Radius steht (wie du erklärt hast) und dass man das irgendwie nutzen muss. Bei Rechtwinkligkeit denkt man als Nächstes an Pythagoras, also bastelt man sich ein rechtwinkliges Dreieck.
Wenn du diese Denkprozesse noch miteinbeziehst, lernen alle noch besser mathematisches Denken. Das schmälert aber nicht deine tollen Videos, kann sie aber vielleicht noch bereichern :)
Glückwunsch euch
klasse, verblüffend einfacher Lösungsansatz, sieht bei ersten Hinsehen schwierig aus. PS Gratulation zu Deinem gelungenen Musicaleinstand (Mary Poppins) 😉
Interessant. Im Prinzip ist der 20m lange Stab die "Diagonale" bzw. "Durchmesser" des Kreisringes, jedenfalls was dessen Fläche angeht. Denn (Durchmesser/2)^2 * Pi ergibt die Fläche, genau so wie es der Durchmesser bei einem normalen Kreis tut.
Susanne , kannst du uns im nächsten Video bitte zeigen , wie man den Binomialkoeffizienten herleitet ?
Schön 👏
super!
Danke
Mit der Formel des Kreisringes klingelt es natürlich: Pythagoras, entsprechende rechtwinklige Dreiecke suchen.
Ansonsten würden die Aufgaben sehr gewinnen ohne konkrete Zahlenwerte (von den Einheiten ganz abgesehen). Dadurch erkennt man eher allgemeine Zusammenhänge.
Genial
Die Durchmesser von äußerem und inneren Radius haben keinen Belang für die zu ermittelnde Ringfläche, daher kann man mit einem kurzen Gedankenexperiment den inneren Kreis gegen unendlich klein gehen lassen, wodurch die Fläche 10 zum Quadrat mal pi augenblicklich offensichtlich wird, ganz ohne umständlichen Rechengang. Trotzdem nettes Video, danke.
Du bist wirklich toll. Grüße aus Chile. (Chile ist ein Land).
Das kann man leichter lösen, durch Überlegung, die Länge des inneren weissen Radius spielt offenbar keine Rolle, sonst wäre die Aufgabe nicht eindeutig lösbar, dann kann man auch den Spezialfall nehmen, dass die Strecke von 20m durch den Kreismittelpunkt gehen muss, dann ist der Radius also 10m und die Fläche somit 100 * Pi -> fertig
Hallo, ich verstehe nicht warum die Strecke durch den Mittelpunkt des Kreises gehen muss.
Vielleicht kannst Du das verständlich erklären?
Ich fand Susannestraße Lösung genial!
@@h.hinnemann5638
Ich verstehe es schon. Mein Lösungansatz beruhte auf eine Intuition, die schlichtweg daraus erfolgte das ja nur die 20m vorgeben sind. Und diese Intuition sah folgendermaßen aus.
"Ich gehe mal davon aus, das, wenn man die Sekante, bei gleichbleibender Länge, verschiebt, sich die Durchmesser vom inneren und äußeren Kreis dahingehend verändern, so das der dazwischenliegende Flächeninhalt konstant bleibt.
Da ja nur die Länge der Sekante angegeben ist, vermute ich, das ich da richtig liege und bewege mich mal demzufolge in eine Grenzwertbetrachtung, in dem ich die Sekante durch den Kreismittelpunkt führe.
Am Ende bleibt ein Kreis mit 20m Durchmesser übrig.
Das wäre dann (20m : 2)² x pi = 314,16m²"
Das hat mir die Herleitung über die Dreiecksberechnung erspart.
Diesen Lösungsansatz muss man aber kennen, denn ich glaube kaum, das man ihn so einfach auf Basis einer reinen Intuition herleiten kann. Und ich kannte/kenne ihn nicht.
@@h.hinnemann5638 Meine Formulierung ist vielleicht missverständlich gewählt, sie muss das nicht, aber dieser grenzwertige Spezialfall läßt sich leicht lösen, ohne zu rechnen, praktich so eine Art Grenzwertbildung
Ich war erst überrascht, dass diese Angaben ausreichen, weil y ja recht groß oder recht klein werden kann. Unter der Annahme, dass ich nicht mehr Informationen brauche, habe ich y unendlich klein gemacht. Dadurch wanderte das 20m-Stück immer mehr zum Kreismittelpunkt und wurde zum Durchmesser. Damit war die Lösung sehr einfach.
man muss halt erkennen können, dass exakte Zahlen von x und y nicht wirklich möglich sind.
das dürfte für Viele ein Stolperstein sein, denn normalerwesie definieren wir Kreisring-Flächen über die Differenz von Vollkreis und Lücke
Sah auf den ersten Blick unlösbar aus, da zwei Radien unbekannt sind und nur eine Angabe gemacht ist. Doch dann der Gedankenblitz:
- halbieren (10 m)
- quadrieren (100 m²)
- mit π multiplizieren (100π m²)
Warum?
- kleinen Radius r vom Mittelpunkt senkrecht auf die Sehne s ziehen. Es entsteht ein rechtwinkliges Dreieck.
- Pythagoras sagt: r² + 10² = R²
- Gleichung umstellen: R² - r² = 10²
- A(Ring) = (R² - r²) π = 10² π = 100π [m²]
Erklärung: A(Ring) = R²π - r²π = (R² - r²) π, R² - r² = 10² = 100
Da der Punkt ja ist, dass verschiedene Kreisringe, die diese Bedingung erfüllen alle dieselbe Fläche haben, wäre denke ich eine Animation oder von mir aus auch einige verschiedene Beispiele zur Illustration sehr sinnvoll gewesen. Trotzdem sehr gutes Video^^
Ich schiebe die 20 Meter Stange bis zum Kreismittelpunkt. Dadurch ergibt sich ein Kreis von 20 Meter Durchmesser. Dann pi mal r2 ergibt nach 15 Sekunden das Ergebnis.
War auch mein Ansatz.
Es gibt unendlich viele rote Kreise, in die man konzentrische weiße Kreise legen kann, so dass die Sehne 20 m lang ist. Im Grenzfall (y = 0) verschwindet der weiße Kreis. Deine Lösung.
Der Radius des großen Kreises kann gegen unendlich streben; solange (x^2 -y^2) = 100 ist, ist A = 100 * Pi.
❤️❤️
Schande über mich! Bei dieser eigentlich einfachen Aufgabe habe ich total versagt. Danke für deine Nachhilfe, vielleicht kann ich mich ja das nächste Mal an den Lösungsweg erinnern.
Gruß aus Belgien
Mit Logik gelöst: die 20m haben keinen Referenzpunkt, es könnte also auch ein 500m Kreis sein, der innen einen 498m Kreis hat(einfach zum Beispiel, Zahl stimmt wahrscheinlich nicht), sollte es eine exakte lösung für diese Fielzahl an kreisen geben, so entspricht sie dem Kreis in dem 20 m der Durchmesser ist.
Sehr schön erklärt :) Habe allerdings keine Möglichkeit gefunden, x und y zu bestimmen. Bzw. gibt es da überhaupt eindeutige Lösungen? Ich vermute allerdings nicht, da beide Kreise ja theoretisch unendlich groß und der Ring somit unendlich dünn werden kann, richtig?
Ich bin aufs Ergebnis gekommen, aber tatsächlich mit einem (kleinen) Hilfsmittel, nämlich der Formel für die Länge einer Bogensehne (die sich ziemlich sicher aus Pythagoras herleiten lässt).
Da merke ich dann wie ich nach Ingenieursstudium und Mechanikerausbildung von Formelsammlungen geschädigt bin; Ich suche nicht unbedingt den idealen Lösungsweg, sondern die naheliegenste Assoziation zu einer bestehenden Formel, die ich verwenden kann.
Ich fand das jetzt sehr einfach, wie du das erklärt hast.
Aber ich hätte es cool gefunden, wenn du noch ein bisschen Tiefer darauf eingegangen wärst...
D.h. der Ring hat die gleiche Fläche wie ein Vollkreis mit d = 20m, bzw. r = 10m?
Dachte zuerst die Angabe wäre unterbestimmt, aber interessanterweise ist die Größe und auch das Größenverhältnis der beiden Kreise egal - die Länge der Tangente *d* bestimmt die Fläche des Rings.
Schön fände ich neben dem rechnerischen, auch einen zeichnerischen oder intuitiven Beweis, warum das so ist.
Wenn ich so drüber nachdenke, fällt mir ein geometrischer Ansatz ein. Er hat was mit senkrecht projezierten Ringen auf einer Kugel zu tun. Die Kugelringe wiederum enstehen zunächst durch Projektion von Zylinderringen gleicher Fläche auf die Kugel... Die Idee ist mir aber als Text zu kompliziert zu erklären, ich müsste es aufzeichnen können... Es gibt dazu schon ein YT-Video welches sehr anschaulich erklärt, warum die Kugeloberfläche genau 4x deren Kreisfläche ist.
Ach, so einfach ... ich hätt's nicht hingekriegt.
Anmerkung als "angewandter Mathematiker" aus der Physik😄: Wieder eine Aufgabe, wo eigentlich nicht das bloße Ergebnis, sondern die Interpretation sehr spannend ist: Der Flächeninhalt ist unabhängig vom Radius der Kreise! Hammer! Das bedeutet, die Stablänge gibt eine universelle Flächenantwort, egal wie groß der Ring ist.
Je größer der äußere Kreis, desto dünner wird bei gleicher Stablänge der Kreisring und der Stab rückt näher an den Rand.
Wie dick ist der Ring denn in Abhängigkeit vom Ringdurchmesser?🤓
Hat mich auch gewundert. Wenn man den unvergleichlichen Charme der Trigonometrie berücksichtigt, läuft es auf folgende zwei Gleichungen hinaus:
1. R=S/sin x
2. r=S/tan x
(R: Außenradius, r:Innenradius, S:die halbe Tangentialstrecke d.h der r*tanx, x: ein beliebiger Winkel.
Da (1/sin²x-1/tan²x)=1 gilt, spielt der Winkel und damit die Größe des Innenkreises keine Rolle.
Wenn der Innere Kreis immer kleiner wird, die Gerade ihre Länge aber behält, dann zieht sich auch der äußere Kreis entsprechend zusammen. Verringert sich der Radius des Innenkreises auf Null, dann stellt die eingeschriebene Gerade exakt den Durchmesser des verbleibenden Außenkreises dar, dessen Fläche dann folglich (20/2)²*pi beträgt, d.h. weder der Radius des Außen- noch der des Innenkreises spielen irgendeine Rolle.
Mich würde mal interessieren, wie viele Lösungen es hier für x gibt. Bei x=10 wäre der innere Kreis quasi nicht mehr vorhanden oder undendlich klein, so dass die 20m lange Linie gerade noch rein passt. Gibt es auch einen Maximalwert den x annehmen kann oder gibt es einen Punkt bei dem die rote Fläche nicht mehr 314,16m² oder der Stab 20m lang wäre?
Ganz einfach: Unendlich viele. Innerhalb gewisser Grenzen natürlich, die vom Stab bestimmt werden. Es kommt nur darauf an wieviele Nachkommastellen man zulassen will. Auf wie viele Nachkommastellen ist Pi inzwischen berechnet worden? 😊
Ach ja, Minimalwerte für x = 10m und y = 0m. Maximalwerte gibt es nicht, da die Stablänge eine Sehne von x ist und auf y als Tangente liegt. x und y nähern sich nur immer weiter an.
Der äußere Kreis geht gegen unendlich, der innere auch (na ja, fast). Dann haben wir unendlich minus unendlich, was alles sein kann.
Ringfläche: Ar=π×(s/2)²
Alternativ-Lösung, die mindestens 95% schneller geht:
Extremwertlösung:
Annahme: Der kleine Kreis hat einen Durchmesser von 0. Das muss der Maximalwert sein, weil für alles über 0 der große Kreis weniger anwächst als der kleine Kreis.
Wenn der Durchmesser 0 ist, wird die angegebene Tangente zum Durchmesser des großen Kreises, daher hat der Kreis einen Flächeninhalt von π*(20/2)² = π*10² = π*100. Das ist jetzt schon eine gültige Lösung für die Aufgabe.
Textanalyse:
Die Frage lautete "Welchen Flächeninhalt hat der Kreisring?".
Die Frage will also nur einen spezifischen Wert. Wir haben einen spezifischen Wert. Aufgabe gelöst.
Das ist die rein intuitive Lösung, die sich schlichtweg darheraus ergibt, das ja nur die 20m als einziger Wert angegeben sind.
Und es beweist mal wieder, das die Intution ein viel mächtiges Tool, als der kognitive Ansatz, ist.
Der kognitive Ansatz braucht das Wissen für den Lösungsweg und dieser Lösungsweg beansprucht deutlich mehr gezielte Konzentration, als der intuitive Lösungsasatz. Dieser benötigt nur eine Berechnung. Nämliche jene der Kreisfläche.
(20m / 2)² x Pi = das richtige Ergebnis 😉
Kann man denn eigentlich auch Fragen stellen zu Themen und mathematischen Problemen?
Sehr schöne Aufgabe - und lässig in ihrem erstaunlich einfachen Lösungsweg. Dennoch wäre es wohl hilfreich, wenn darauf verwiesen würde, dass es unendlich viele x-Werte (und damit y-Werte) hierfür gibt. Wer also nach konkreten Lösungswerten für x sucht, muss man einfach einen Wert für x einsetzen.
Solange der Stab 20m lang ist, gibt es nur diese eine Lösung, denn es geht ja um die Fläche des Kreisrings, nicht um die der jeweiligen Kreise! Werden beide Kreise bei gleicher Stablänge selbst größer oder kleiner, bleibt die Differenz der dann neuen Kreisflächen, d.h. die Kreisringfläche dennoch gleich.
@@primus.interpares Danke, so hatte ich es auch gemeint und meine Anmerkung entsprechend konkrektisiert. Die Differenz x^2 - y^2 = 100π ist stets gleich, jedoch können x (und damit y) variieren.
@@murdock5537 Entschuldigung, das hatte ich nicht so verstanden. Was mich aber jetzt noch interessiert: In welchem Verhältnis müssen die Radien der beiden Kreise zueinander stehen, damit die Kreissehne im äußeren Kreis, also in diesem Fall der 20m-Stab, gleichzeitig Tangente des inneren Kreises ist. Das geht ja zunächst einmal einmal in jedem Kreis, dessen Durchmesser nur minimal größer ist, als die 20m Sehnenlänge (dann ist der innere Kreis halt sehr klein), aber auch in einem Kreis, der tausende Kilometer Durchmesser hat, bzw. unendlich groß ist. Auch da gibt es immer einen, natürlich entsprechend größeren Innenkreis, dessen Tangente 20m lang und gleichzeitig Kreissehne im äußeren Kreis ist. Das Verhältnis zwischen den Radien beider Kreise kann nicht linear sein, aber wie berechnet man das jetzt? Grübel, grübel......Susanne, helfen Sie mir (hoffentlich liest sie hier mit)!
@@primus.interpares
x^2 - y^2 = 100 → (1/100)(x^2 - y^2) = 1 → hyperbola
x^2 > 100 → x > 10 and x < -10
Anders ausgedrückt: Im Grunde wird stets ein rechtwinkliges Dreieck betrachtet.
∆ABC → AB = 2x = c = p + q → p = x + y → q = x - y
CD = h = 10 → h^2 = pq = (x + y)(x - y) = x^2 - y^2 = 100
BC= √(100 + (x - y)^2)
AC= √(100 + (x + y)^2)
Für y = 0 wird aus dem Kreisring ein Kreis mit Radius x = 10 = h 🙂
@@murdock5537 Ähm, ja, so kann man das wahrscheinlich sagen...Himmel, ist das kompliziert 😉! Mein Abi liegt knapp 38 Jahre zurück, da bin ich leider trotz regelmäßigem Konsum von MathemaTrick-Videos nicht mehr so fit. Ich muss mir das wohl mal selbst aufmalen, um Ihre Gleichungen (halbwegs) nachvollziehen zu können, denn soweit reicht mein Abstraktions-Vermögen nicht mehr 🤔.
Das ist sogar ziemlich einfach. Ist r der innere Radius und R der äußere Radius, dann gilt laut Pythagoras: R^2 = r^2 + 10^2, also R^2 - r^2 = 100. Die Ringdläche ist die Differenz von zwei Kreisflächen: Aring = pi*R^2 - pi*r^2 = pi*(R^2 - r^2) = pi * 100 = 100 * pi, also ungefähr 314,159265 Quadratmeter.
Schöne Aufgabe, diesmal vom Typ "Sieht zunächst sehr schwierig aus, ist aber dann viel einfacher, als man zuerst dachte". Manchmal ist es ja auch umgekehrt.
Setz mal den inneren Radius gleich 0 und berechne dann die Fläche vom übrigen Kreis mit Durchmesser 20m. Das ist glaube ich die einfachste Lösung und der Fall r=0 ist in der Aufgabe auch nicht ausgeschlossen und muss somit auch gelten. Lösung stimmt auch. A=10²*pi=100*pi
Ich habe den Kreisring mit normalem Kreisflächenformel und dem angegebenen Durchmesser 20 ausgerechnet, da man ja nicht weiß in welchem Verhältnis der Kleine Kreis zum Großen steht. Also den Kleinen Kreisdurchmesser gegen 0 Laufen lassen und man hat einen Normalen Kreis mit Durchmesser 20. Ist das möglich so zu rechnen?
Wie meinst du das
Fand ich irgendwie komplizierter als den Ansatz:
Lasse y = 0 sei, dann ist d = 20m und dann einfach r^2 * pi und fertig.
Durch die Fragestellung wissen wir ja, dass sich der Flächeninhalt mit Veränderung von y nicht verändern kann :)
Ich fühle mich gerade leicht Dumm. Habe so viel nachgeschaut und das ist es eine Mathegrundlage!! ja me
Brauch ich im Alltag, mindestens 20 mal am Tag. Bin Metzger. Wie groß soll ich die Wurst machen? Oder rechne ich doch lieber nach Gramm ab? Ich brauche keine Waage mehr. Mache jetzt einfach diese Berechnung. ☺️☺️☺️☺️
Da wir die Radien nicht kennen, gehe ich einmal davon aus, dass das Ergebnis unabhängig von denen ist, sonst könnten wir es nicht berechnen.
x^2=y^2+(20/2)^2 ist ok. Wenn jetzt x gegen 10 und y gegen 0 geht, dann geht der Durchmesser des großen Kreises gegen 20, also der Radius gegen 10. 10^2*π=314,17
Bin jetzt bei 2:36, mal sehen, ob ich richtig liege.
Interessantes Problem, bei dem zunächst nicht offensichtlich ist, dass es eine eindeutige Lösung gibt. Am Ende aber eine überraschend einfache Lösung.
Gibt es sowas auch für Kugeln?
Eine eindeutige Lösung wird doch vorausgesetzt, sonst wäre die Aufgabe nicht lösbar
@@dagobertduggy5895 Das ist doch der Clou: Es gibt unendlich viele Lösungen für x, zu jeder gehört ein bestimmtes y, und alle haben den gleichen Flächeninhalt.
@@dagobertduggy5895 Inei en Augen währe die Aufgabe auch lösbar wenn es eine eindeutige Formel zum lösen gibt.
Cool erklärt ❤ Nur an einer Stelle hat mein innerer Monk aufgeschrien: als du die Radien x und y genannt hast und nicht r1 und r2… 😅
Hehe, beim nächsten mal schreib ich ne *Triggerwarnung vornedran 😂
Ohne das Video gesehen zu haben, meine Lösung: Der Kreisring hat die Fläche A = pi * (r1^2 - r2^2), wobei r1 der Außenradius und r2 der Innenradius ist.
Zeichnet man vom Mittelpunkt zur Mitte des Stabes eine Linie und vom Mittelpunkt zu einem Berührpunkt des Stabes mit der Außenkante, erhält man ein rechtwinkliches Dreieck mit den Schenkellängen r2 und 20m sowie der Hypothenusenlänge r1. Mit dem Satz des Pythagoras lässt sich nun das für A nötige r1^2-r2^2 berechnen.
Das ist eine sehr schöne Aufgabe. Mein erster Gedanke war, dass Informationen fehlen, aber so kann man sich täuschen. Die Kreise können tatsächlich verschieden groß sein, aber die möglichen Kreisringe haben alle den gleichen Flächeninhalt. Das ist faszinierend.
Schön wäre, wenn Du mit den Einheiten etwas sauberer umgingest und die Begriffe "Fläche" und "Flächeninhalt" unterscheiden würdest.
Bedeutet, dass in so einem Fall, die gesuchte Fläche immer 1/2 der gegeben Tangente zum Quadrat * Pi ist.
Bin sehr verwirrt weil für groß A theoretisch auch schon pi mal r2 314 ergeben würde ohne den kleines Kreis überhaupt irgendwo einzubeziehen woran liegt das?
Uff, genial 😐
Hallo Susanne,
einmal mehr lieben Dank für die Aufgabe und deine Erklärung dazu.
Ich bin irgendwo bei der Suche nach der Lösung falsch abgebogen...
Was Du evtl. noch erklären solltest... wie kommst Du in 3:08 auf die Aussage, dass es vom Schnittpunkt des Kreises mit der Stange bis zum Schnittpunkt der Staange mit dem äusseren Kreis genau 10m (die Hälfte der Stangenlänge) sind...
Vorschlag für die Erklärung:
Zunächst stelle man sich eine Line parallel zum Stab vor, die durch den Mittelpunkt des inneres Kreises gehtund jeweils bis zum Schnittpunkt der geraden beis zur Kreislinie des inneren Kreises reicht.
1) Eigenschalten der Line durch den Mittelpunkt (M)des inneren Kreises
* Linie ist Durchmesser des inneren Kreises, somit Länge der Strecke M bis zum Kreisrand =1/*....
Nach Strahlensatz gilt für den Stab für die Strecke durch M, die senkrecht auf dem Durchmesser des inneren Kreises steht, halbiert den Durchmesser des inneren Kreises (klar, geht jja durch m) und somit auch den parallelen Stab.
Dir wieder ganz lieben Dank und ein schönes Wochenende.
LG aus dem Schwabenland
Nur mal ein kreatives Hineindenken, ohne die faktische Kenntnis zu besitzen.
Ich gehe mal davon aus, das, wenn man die Sekante (den Begriff musste ich ergoogeln), bei gleichbleibender Länge, verschiebt, sich die Durchmesser vom inneren und äußeren Kreis dahingehend verändern, so das der dazwischenliegende Flächeninhalt konstant bleibt.
Da ja nur die Länge der Sekante angegeben ist, vermute ich, das ich da richtig liege und bewege mich mal demzufolge in eine Grenzwertbetrachtung, in dem ich die Sekante durch den Kreismittelpunkt führe.
Am Ende bleibt ein Kreis mit 20m Durchmesser übrig.
Das wäre dann (20m : 2)² x pi = 314,16m²
Setzt man die Abb. in ein KKS ein und ergänzt die Tangente mit einer 2ten normalstehenden dazu, so müsste der innenradius 5m betragen und der außere 25*sqrt(5)... Man kommt auf das gleiche Ergebnis... Wie kann das sein?
welche Tangente?
@@tubezykloid die eingezeichnete Linie
Ich habe mir folgendes überlegt: Den Radius y kann ich beliebig frei wählen, denn ich kann immer einen Radius x konstruieren, für welchen die Tangente 20m ist. Ergo wähle ich y = 0, dadurch wird der Durchmesser des äußeren Kreises 20m, also 10m Radius und daraus komme ich dann auf die ~314m².
Habe ich einen Denkfehler oder komme ich in die mathematische Hölle?
Es ist oft eine gute Idee sich solche Grenzfälle zu überlegen. Allerdings hat man so noch nicht gezeigt, dass die Fläche tatsächlich unabhängig vom Radius ist, sondern das nur aus der Aufgabenstellung ersehen. Man hat so aber z.B. schon einmal mindestens eine spezielle Lösung und kann die dann zum Überprüfen einsetzen.
Wenn man darauf kommt, dass die Differenz der Flächen zu einer Differenz von Quadraten der Radien führt hat man vielleicht schon die Idee es mal mit Pythagoras zu probieren, und dann kennt man so schon die fehlende Seite des gesuchten rechtwinkligen Dreiecks.
Passt.
@@Pengochan
Die Berechnung über den Satz des Pythagoras ist die kognitive Lösung.
Den inneren Kreis auf Durchmesser NULL zu setzen, ist die intuitive Lösung, deren Intuition sich aus dem einzigen dargestellten 20m-Wert ergibt.
Ersteres braucht das dazugehörige Wissen für den Lösungsweg, Letzters ist deutlich schneller und einfacher erledigt. Benötigt aber die Fähigkeit solche Zusammenhänge, in diesem Fall, die Beliebigkeit der Radien dahingehend zu erkennen, das sie bei konstanter Länge der Sekante, immer den gleichen Flächeninhalt des Kreisringes ergeben.
Wenn du diese Intuition, beim Betrachten der Aufgabe, auf Anhieb hast, brauchst du nur noch den Flächeninhalt eines Kreises mit 20m Durchmesser berechnen.
Das war dann auch mein Weg, den ich sofort gegangen bin.
Auf dem Weg über die Dreiecksberechnung wäre ich nie im Leben von selbst gekommen.
@@FANofFS2004 Wie ich schon schrieb ist es häufig sinnvoll Grenzfälle oder spezialfälle zu betrachten, und das ist einer davon. D.h. die Intuition baut oft auf Erfahrung. Mir war dieser Fall auch aufgefallen, aber interessant ist ja, dass das Ergebnis unabhängig von den Radien ist, und das hat man mit dem Spezialfall noch nicht gezeigt.
Natürlich ist es gut diese Intuition zu haben, die muss man dann aber ersttens prüfen (denn Intuition kann einen auch mal fehlleiten), zweitens sich überlegen, wie man die Intuition in mathematisch formuliert (mit r=0 hat man ja keinen Kreis mehr, aber man könnte eine Grenzwertbetrachtung machen), und drittens schaun ob man die Aufgabe dann auch komplett gelöst hat. Auch von der Differenz von Flächen = Quadrate von Längen auf Pythagoras kommen kann übrigens Intuition sein.
@@Pengochan
"aber interessant ist ja, dass das Ergebnis unabhängig von den Radien ist,"
Genau darauf basierte ja meine Intuition, wenn nur das Längenmaß der Sekante bekannt ist und man diese, sowohl nach außen, als auch nach innen verschiebt, ohne das sich deren Länge verändert, müsste ja der Flächeninhalt zw. den Kreisen, trotz sich verändernder Radien, immer gleichgroß sein.
Ergo, brauch ich ja die 20m lange Sekante nur durch den Kreismittelpunkt zu ziehen und es bleibt der äußere Kreis mit 20m Durchmesser übrig, wärend der innere auf NULL verschwindet.
Das waren meine Gedankengänge, die maximal 3 Sekunden angedauert haben.