Retrouver les énergies classiques avec la relativité - Calcul rapide #17
HTML-код
- Опубликовано: 9 сен 2024
- Une courte vidéo explicative pour redémontrer les expressions des énergies en physique classique à partir de la relativité générale. Calcul niveau Bac +3 / Master.
C'est trop bien que tu fasses ça. On est nombreuses et nombreux à être fascinés par la physique théorique mais le cœur - mathématique - nous reste étranger. Grâce à toi, on touche (très superficiellement) du doigt les liens formels entre ces concepts déroutants.
Merci !
Je suis en première. J'ai pas tout compris, mais le résultat à la fin est super satisfaisant.
C'est déjà très bien que vous ayez tenu jusqu'au bout. Accrochez vous et persévérer dans la physique :)
Je dit un grand oui pour une vidéo sur le théorème de Noether !
Thank you. Very informative. I learned a lot from you.
Excellent , le fait de garder c dans votre démo et non pas de la poser d'emblée c=1 comme dans les bouquins de RG pour homogénéiser les coordonnées d'espace et de temps permet de "voir" la démarche nettement mieux vers la méca de Newton. Bravo
La clarté de vos explications rend évident des notions qui le sont moins....On arrive a se dire que ce pb pourrait se poser en kholles de spé . C'est avec impatience que j'attends votre video sur le theoreme de Noether!
quand je l'écoute je m'imagine en oral d'admission à X entrain de débiter sur un truc que même les jurys ne connaissent pas.. ça fait du bien de rêver 😹
@@user-fi6qt2fz9i petit tip, si à l'oral de l'X tu te sens obligé de parler d'un truc que le jury ne connaît pas, tu auras probablement une moins bonne note que si tu t'en abstenais
@@algorythmis4805 oui bien entendu c bcp moins fantaisiste qu'on le croît, jss tombé sur un truc avec les équations de Friedmann Lemaître, loin de tout fantasme mdrrr
C'est beau, clair et utile.
Merci
le fait que l'espace prennne des signes - est une convention, on peut choisir d'affecter le signe - au temps et "garder l'espace positif"... (maldit mais l'idée est là).
Perso je préfère l'autre convention, car avec des signes - sur les coords d'espace, on se retrouve avec un ds² négatif (et donc un ds imaginaire) alors que l'intervale est puremement spacial, dans ce cas je préfère un ds réél...
Mais ça reste un choix arbitraire.
Tout à fait oui! D'ailleurs j'avoue que j'utilise plus souvent l'autre convention aussi, par habitude. Dans la vidéo j'ai préféré ne pas entrer dans les détails. J'ai choisi la signature +--- car sinon il aurait fallut poser ds² = - c²dτ², ce qui n'est pas forcément intuitif je trouve. En général, la convention +--- est adaptée pour faire le lien entre le temps propre et l'intervalle d'espace-temps.
Comment j'ai pu dire un ds² negatif et toutle monde me le l'accorde ???
C'est toujours un plaisir de voir vos vidéos, ça semble si facile 🤔
Merci
Amazing
Tout simplement magnifique! Merci.
Merci!
Est-ce que tu expliques dans une vidéo pourquoi le temps est positif et l'espace négatif dans ces formules ? Si non, ça semble être un bon sujet à aborder
Je plussoie, je me pose la même question.
De mes souvenirs de mes cours de relativité générale, ça vient du fait qu'on ne peut pas aller plus vite que la lumière.
Prenons l'exemple le plus simple:
ds^2=c^2*dt^2-dx^2.
Voici un espace temps avec seulement une dimension de temps et une dimension d'espace
1) première situation: vous êtes immobile dans l'espace. Oui, mais pas dans le temps. Ainsi en 1s, vous avez parcouru ds^2=c^2*(1s)^2.
2) seconde situation. Imaginez que votre ami se soit déplacé d'1m en même temps.
Votre ami a parcouru ds^2=c^2*(1s)^2-(1m)^2.
Vous noterez que la distance parcourue dans l'espace temps dans la seconde situation est inférieure à la première. Ainsi, votre ami a parcouru dans l'espace une distance plus grande que vous qui êtes resté immobile. En revanche, vous avez parcouru dans l'espace temps une distance plus importante que votre ami pour une même durée.
3) troisième situation. Imaginez une particule qui en 1s pourrait se déplacer d'une seconde-lumière (donc une distance de c*1s). C'est à dire un photon! Vous obtenez donc ds^2=c^2*(1s)^2-(c*1s)^2=0. Vous noterez que la lumière est immobile dans l'espace temps ! À durée égale, c'est le truc le plus rapide dans l'espace, mais aussi le plus lent dans l'espace-temps !
4) quatrième situation. Imaginez que vous puissiez vous déplacer plus vite que la lumière. Reprenez la métrique que j'utilise depuis le début, et vous noterez que ça impliquerait de faire la racine carré d'un nombre négatif, ce qui n'est pas possible dans le monde physique. Voilà donc pourquoi le temps est positif alors que les dimensions d'espace sont négatives: cela traduit une propriété fondamentale de notre univers qui est que l'on ne peut pas aller plus vite que la lumière.
@@victorVaareK2803 Merci pour ce message très utile!
Cependant 😄
Tu viens d'expliquer très clairement pour quelle raison avoir le temps en positif et l'espace en négatif permet in fine d'obtenir des résultats pertinents. Cependant, cette démonstration ne donne pas d'interprétation physique ou théorique. Pour quelle raison ça marche ? Il me paraîtrait étonnant qu'il n'y ait pas une raison fondamentale à cette inversion de signe 🤔
Historiquement, il y a probablement deux possibilités :
Est-ce que Einstein et ses contemporains ont d'abord joué avec des équations et découvert qu'il était très chouette de considérer l'espace de façon négative ? Dans ce cas, est-ce qu'une interprétation à été trouvée ?
Ou, est-ce que pour des raisons théoriques, qui justement m'intéressent, Einstein et ses contemporains ont commencé à attaquer les équations en sachant que l'espace serait en négatif et le temps en positif ?
@@grezamisoit en fait historiquement, ce n'est pas Einstein qui a proposé le premier l'espace temps de Minkowski (c'est à dire l'espace temps utilisé en relativité restreinte), mais Poincaré pour les maths et Minkowski pour l'interprétation. Mais les deux l'ont proposé à la suite d'Einstein, et ont voulu traduire mathématiquement les axiomes de la relativité restreinte dans un espace géométrique.
Je suis pas un spécialiste de l'histoire du développement de la relativité, mais je dirais que ça fonctionne grâce aux axiomes utilisés au départ de la théorie (principe de relativité, invariance de la vitesse de la lumière par changement de referenciel).
@@grezamisoit Espace et temps ne sont pas du même signe, mais que le temps soit positif et l'espace négatif est une simple convention, et d'ailleurs ont trouve aussi la convention contraire dans d'autres articles. Dans un sens ou dans l'autre, ça n'a strictement aucune importance.
Merci pour cette vidéo calculatoire ! Je me permets de poser une question : d’après la formule à 10:48 si je considère que l’objet étudié est proche du centre de la planète et immobile alors l’énergie de cet objet est incalculable car Rs/r > 1. Comment cela se traduit ?
Certaines hypothèses empêchent de rendre vrai ce calcul pour ce cas là ? On ne peut plus vraiment parler d’énergie pour un objet à l’intérieur du rayon Rs ?
Bref merci encore pour cette vidéo !
Très bonne question ! Il y a deux choses :
- Tout d'abord, la métrique de Schwarzschild n'est valable qu'à l'extérieur de la planète (ou de l'étoile). Donc si un objet se situe dans la planète, le raisonnement n'est plus valable.
- Mais si on a une planète suffisamment compacte pour que Rs/r soit > 1 même à l'extérieur de sa surface, alors on a... un trou noir ! Le rayon de Schwarzschild Rs correspond en fait au rayon de l'horizon des événements d'un trou noir. Et donc si Rs/r > 1 c'est que notre objet se situe à l'intérieur d'un trou noir. Dans ce cas il est donc effectivement impossible d'avoir un objet qui soit à la fois dans le trou noir et immobile : on retrouve le fait qu'un objet doit forcément tomber s'il se situe dans un trou noir.
Merci pour vos explications la vidéo est top
Vraiment très clair. Merci
Merci Pour cette démonstration 😊
👏👏👏👏👏👏👏
merci Alessandro ! Très bonne vidéo, très pédagogique.
Magnifique !❤ j'aimerais bien voir l'équation e=mc2 qui nous montre l'élasticité du temps...
merci pour vos vidéos qui sont chaque fois plus remarquables les unes que les autres… auriez vous par hasard un discord sur lequel nous pourrions échanger davantage de physique ? je sais que beaucoup en ont fait, mais surtout des matheux…
Très instructif. Deux questions: 1. d'où provient la formule E / E0 = g00 dx0/ds et 2. puisque E / E0 = g00 / sqrt(g00 - (v/c)^2), est-ce que la vitesse d'une particule est limité à c x sqrt g00 au lieu de c?
Est-ce que le raisonnement suivant est correct?
* 1: Puisque le lagragien ds ne dépend pas explicitement du temps de l'observateur lointain (symmétrie temps), la variation de ds par rapport à la variation de dx0 est une constante. Apparemment cette constante est E / E0. Avec ces données, on déduit var ds^2 / var dx0 = 2 g00 dx0 = 2 ds var ds / var dx0 = 2 E / E0 ds.
* 2: Puisque les temps de l'observateur local et lointain ce comporte comme ds = sqrt (g00 + (v/c )^2) dx0, cela implique pour l'observateur lointain que v/c observé = dr/dx0 = dr/ds x ds/dx0.
Prochaine vidéo sur le théorème de Noether or consequences 😁
A 2:00 : "r est une altitude mais ce n'est pas vraiment la distance de l'objet au centre de la terre". C'est quoi alors ? Surtout qu'il semble bien être utilisé ainsi dans l'approximation finale pour retrouver la formule classique de la force de gravité. J'ai apprécié l'exercice mathématique en tout cas. Merci :)
r est une simple coordonnée, c'est à dire un nombre abstrait. Mais elle permet de décrire l'altitude, car elle augmente avec la distance au centre. En fait si on veut calculer la distance physique depuis le centre de la Terre, la métrique nous dit qu'il faut faire la somme des petites longueurs dr/√(1-Rs/r). Et encore, ça ne fonctionne qu'à l'extérieur de la planète, car il faudrait aussi connaître la métrique dans la Terre pour déterminer la distance jusqu'au centre. Mais dans tous les cas r est presque égal à la distance physique, et puisqu'il n'intervient que dans un facteur Rs/r qui est déjà très petit, la correction serait d'ordre supérieur donc on la néglige.
@@ScienceClicPlus Merci !
Hello, pourquoi dans l'espace-temps les (ds) s'expriment en mètres ? Pourquoi n'y aurait-il pas un mélange d'unités, du genre : racine de mètre multiplié par racine de seconde parce pour désigner le concept on utilise toujours et encore les deux mots 'temps' et 'espace' ? Sans doute un question bien naive, en tout cas merci beaucoup pour ces présentations fantastiques. Je n'ai pas encore vu toutes les vidéos et je suis désolé si tu as déjà donné la réponse ailleurs ! Seb
Le ds peut s'exprimer dans l'unité qu'on veut, ce qui compte c'est que l'équation soit homogène, c'est à dire que tous les termes de la somme aient les mêmes unités (on ne peut pas additionner des mètres et des secondes par exemple). Temps et espace sont distincts de la même façon que la largeur et la longueur d'une boîte sont deux notions distinctes, qui peuvent avoir des valeurs différentes.
Je me réjouis de visionner vos autres vidéos et j'ai du plaisir à refaire les développements moi-même. Vous n'aurez sans doute pas de temps à consacrer ces questions supplémentaires, mais si vous aviez la gentillesse, ne serait-ce que d'y répondre par oui ou par non, ça me procurerait déjà une grande satisfaction intellectuelle.
Cela dit en passant, je trouve très bien de parler de l'espace-temps comme vous le faites. En effet on en entend tout le temps parler, mais l'objet reste bien mystérieux et les vidéos qui introduisent et vulgarisent progressivement ces notions restent très rares.
En mécanique, pour nos vitesses et accélérations, on faisait souvent nos dérivées avec le temps en abscisse et l'espace en ordonnée. Mais on ne se situait pas "exactement" dans l'espace-temps dont vous parlez ?
Ici vous utilisez un système de coordonnées sphérique dont l'origine est le centre de la planète, l'énergie est un concept relatif et dans votre cas elle est relative à ce point ?
Votre formule de départ est une forme générale de l'équation d'Einstein sans les notations de tenseur ? On est dans un espace non euclidien, mais presque plat comme dans un espace euclidien où le rayon de courbure est Rs/r ?
J'arrive bien à suivre tout votre développement, est-ce que c'est difficile de mieux comprendre avec des mathématique un peu similaire la formule E^2 - (pc)^2 = m^2 c^4
Encore bravo et Merci
Obladi
@@obladi3913
En mécanique classique (newtonienne), on "n'est pas" dans l'espace-temps (ni celui de la relativité restreinte ni celui de la relativité générale) : on a un temps "absolu" et espace à trois dimensions.
La "formule de départ" est la métrique de Schwarzschild. Celle-ci est l'une des solutions de l'équation tensorielle d'Einstein. C'est une solution importante.
L'espace-temps est courbe (non euclidien) mais asymptotiquement plat (minkowskien).
Quand la M (masse) tend vers zéro, comme quand r (rayon-coordonnée) tend vers zéro, l'espace-temps se rapproche de celui de la relativité restreinte (minkowskien). Nota : dans la vidéo, M est une constante.
E^2 - (pc)^2 = m^2 c^4 (dont E = m c^2 est un cas particulier) est le carré de la (pseudo-)norme du quadrivecteur énergie-quantité de mouvement (ou énergie-impulsion). C'est sympa de découvrir la notion de quadrivecteur !
@@olimparis2986 Merci ! Est-ce qu'on peut dire que la courbure vaut Rs/r et que l'énergie est relative :)
@@obladi3913 Très bonne réponse d'Olimparis, quelques détails en plus :
- En mécanique classique, on n'est pas dans l'espace-temps au sens relativiste puisque le temps est figé : changer de référentiel ne l'impacte pas. Ceci est le sujet de la prochaine vidéo vulgarisée sur la chaîne ScienceClic, on verra le passage de la vision classique à la vision relativiste plus en détails.
- Cette question est très intéressante et subtile. L'énergie peut être définie de deux manières. Soit comme étant la composante temporelle de la quantité de mouvement d'un objet, mesurée par un observateur proche de cet objet : dans ce cas elle est relative et dépend entièrement de l'observateur, mais elle n'est pas forcément conservée à grande échelle. Ou alors on peut la définir comme étant LA grandeur conservée, associée à l'invariance de la métrique par rapport à la coordonnée "t". Dans ce cas cette grandeur est conservée globalement, et elle est unique à une transformation près. C'est cette forme là que je présente dans ma vidéo : puisque l'espace-temps possède des symétries (il est invariant selon "t" et selon "φ") il existe des grandeurs conservées (qu'on appelle l'énergie, et le moment cinétique).
- Dans la vidéo je n'utilise pas l'équation d'Einstein. On part directement d'une de ses solutions : la métrique de Schwarzschild. C'est un cas particulier pour décrire un espace-temps contenant un corps sphérique et statique. Cette solution est souvent utilisée pour décrire des trous noirs, des étoiles ou des planètes. Elle n'est pas forcément "presque plate" : cette approximation que la courbure est faible ne vient que plus tard dans la vidéo, lorsqu'on veut se placer dans le régime de la physique classique, avec un faible champ gravitationnel. Autre chose : le rayon de courbure n'existe pas vraiment lorsqu'on étudie une surface courbe à plusieurs dimensions. On parle plutôt de tenseur de courbure / de Riemann. Et son expression est très complexe. Mais effectivement l'idée à retenir c'est que la courbure diminue quand r augmente (puisqu'on s'éloigne de l'astre central).
- La formule E² - p²c² = m²c⁴ correspond à la première définition de "l'énergie" dont j'ai parlé : lorsqu'on définit l'énergie localement, comme étant la composante temporelle de la quantité de mouvement. Mais c'est plutôt de la relativité restreinte. En relativité générale si on veut définir l'énergie comme étant une grandeur conservée à grande échelle, le formalisme change un peu et on passe par le théorème de Noether.
Ce serait bien de mettre en lien un PDF avec la démonstration au propre et plus détaillée et en LaTeX pour chaque vidéo.
Merci
Bonjour, quel logiciel utilisez vous pour l'écriture de formules dans vos vidéos ?
Super explication merci. vidéo regardée dans le noir complet sur un écran OLED, ça donne un effet un peu mystique avec les équations sur fond noir 😅
Question béotienne : La vitesse est déterminée à partir de quel référentiel ?
Celui de l'observateur lointain muni du temps "t". En effet, à 8:50, on définit la vitesse "v" comme étant la distance parcourue sur les tranches d'espace "t = constante", divisée par le temps écoulé "dt".
@@ScienceClicPlus Merci de votre réponse mais pour les distances, quel est le repère?
Je vous pose cette question car je suis toujours troublé quand on utilise des variables sans les avoir au préalable définies de façon rigoureuse.
J'ai le même soucis quand on parle de vitesse de tel ou tel corps céleste.
Lors de mes études en maths/physique, on m'a appris, par exemple, que le mouvement est relatif à un référentiel et n'est pas absolu. Par exemple, (je sais que je vais en choquer certains mais) on peut tout à fait considérer que le terre est immobile et déterminer le déplacement du soleil autour d'elle.
@@loicgeeraerts Oui tout à fait, mais ici comme je le disais on se place dans le référentiel d'un observateur lointain avec les coordonnées de Schwarzschild. Les coordonnées fixent le référentiel dont il est question. Les distances sont mesurées avec la métrique sur les tranches d'espace "t = constante", ce qui définit leur mesure sans ambiguïté. Lorsqu'on revient à l'approximation Newtonienne, cela correspond à se placer dans le référentiel de l'astre central (la Terre par exemple).
@@ScienceClicPlus
Est-ce que vous pourriez me donner une référence d'un cours (que l'on peut trouver sur le web) sur la relativité generale que vous trouvez très bien fait svp? D'avance merci.
TROP BIEN
Tu utilises quel logiciel ?
Python ; je ne connais plus le nom mais il y a une bibliothèque qui permet ce genre de prouesse
@@charlietlo4228 on dirait qu'il fait ça a la souris, donc il doit bien utiliser un logiciel. Après peut-être qu'il l'a fait lui-même
OneNote est gratuit et fait cela
Merci pour ces supers vidéos.
Il y a un truc que je ne comprends pas. Désolé d'avance pour les formulations approximatives, j'essaie de me faire une intuition de tout ça...
'c' est la vitesse de tout objet dans l'univers, et combine temps et espace. Ok. Un objet qui se déplace dans l'espace à la vitesse de la lumière possède un temps propre "immobile" par rapport à un observateur extérieur. Ok. Un objet qui ne se "déplace pas" dans l'espace (j'imagine que ça signifie qu'il suit gentiment sa géodésique, donc qu'il ne subit aucune accélération ni décélération) possède un temps propre "le plus rapide possible" par rapport à un observateur extérieur. Jusque là c'est à peu près correct ?
Ce qui m'étonne, c'est la situation où 'c' est tout entier dans le mouvement, avec un temps "immobile". J'avais cru comprendre que 'c' avait aussi à voir avec la vitesse de transmission de l'information. Du coup, si le temps propre de l'objet (de la particule sans masse, pour le coup) en mouvement est immobile, comment peut-il y avoir succession d'événements, et donc comment la particule peut-elle se déplacer dans l'espace ? J'entends bien que le temps de l'observateur, lui, n'est pas figé, mais celui de la particule l'est, alors comment peut-elle se déplacer au niveau macroscopique d'un endroit à un autre ?
Un objet immobile par rapport à un observateur est un objet qui n'a ni accélération, ni décélération ni même une vitesse par rapport à cet observateur.
Le temps propre ne dépend pas de l'observateur et n'est jamais figé. Par exemple, un photon émis il y a 1 milliard d'années par une étoile qui atteindrait notre oeil aurait mis 1 milliard d'années du point de vue de l'observateur, mais la durée propre du photon serait quasi nulle. Mais ça ne veut pas dire que son temps propre est figé ou immobile, mais que pour le photon, parcourir 1km ou des années-lumière ça prend autant de temps tant qu'il conserve sa vitesse.
Un photon voyageant à la vitesse de la lumière met 1 an pour pour parcourir 1 année-lumière du point de vue de l'observateur, mais de son point de vue c'est un voyage instantané.
j'avais juste une petite question mathématiques, pourquoi on utilise les développements limitées pour approximer l'énergie ? Ce que je veux dire c'est que pour moi les DL on les utilise que pour calculer des limites, pourquoi dans ce cas ne pas juste utiliser une équivalence ? Question un peu bête mais pas très clair pour moi ...
Un développement limité permet d'obtenir une approximation, plus ou moins bonne selon l'ordre. Par exemple la valeur de √(1+x) est à peu près celle de 1+x/2, lorsque x est très petit (on approxime la fonction par sa pente en 0). C'est pour cette raison qu'ils sont utiles lors du calcul de limites.
@@ScienceClicPlus je vois merci pour la réponse.
@@aaaa8130 ouais c'est ce que je trouvais bizarre aussi mais tout est clair maintenant merci pour la réponse
Dsk sur na fi satou
super !