방대한 수학철학 이론들에 대해 단숨에 그 스토리를 꿰뚫는 멋진 정리를 해주셨네요~^^ 저는 수학 전공자 출신으로 힐베르트의 형식주의 주장이 현대 추상수학에 가장 와 닿는 설명이라는 생각을 아직도 가지고 있습니다. ㅎ 그러다보니 학술지 논문이나 석사논문에서 직관주의 및 칸트/브라우어 비판으로 일관하게 되었습니다. 브라우어가 문제시한 배중율이라는 것은 사실 진술에 있어서 참과 거짓이 이분적으로 명확히 구분 가능한 논리 명제들에만 국한시켜야 한다는 생각이고, 그렇지 않다면 '배중률 개념을 일반 진술로 더 확대하여 '참이냐 아니면 참이라고 말할 수 없느냐'중 하나로 받아들여야 한다는 주장을 펴기도 했습니다. 말씀하신 것처럼 수학자들이 직관주의적 접근법에 철저히 발목 잡히다보면 실제 활용성도 큰 비유클리드 기하학이나 고차원 공간을 위한 대수기하학처럼 인간 정신의 자유로운 사유와 창조성이 제한당하기 쉽다는 생각입니다. 그냥 평범한 저의 수학관일 뿐입니다만.....ㅎㅎ
@@장애옹-s3w 한 수학이론을 구성할 때 약속을(공리) 어떻게 정하고 시작하느냐에 따라 그 이론이 다룰 수 있는 수학적 대상의 윤곽이 결정됩니다. 아마도 신 선생님께서 '인간 정신의 자유로운 사유와 창조성'을 언급하신 이유가, 직관주의적 철학에만 의존해서 공리를 선택할 경우 우리가 다룰 수 있는 수학적 대상과 속성들이 극히 제한될 수 있다는 사실과 연관되어 있는 것은 아닌지 조심스럽게 추측해봅니다.
4:30 (Die Grundlagen der Arithmetik)는 1884년에 나왔어요. 프레게가 러셀의 편지를 받은 것은 1903년도에 (Grundgesetze der Arithmetik) 2권을 출간하기 직전입니다. 참고로 산수의 근본법칙 1권은 1893년에 나왔습니다. 8:50 직관주의에 대한 설명에서 '직관'이라는 말이 오해의 소지가 있어 보입니다. 우리가 어떤 것이 '직관적이다'라고 할 때에 흔히 의미하는 것은 그것이 참이라는 것이 자명하다거나, 직접적으로 쉽게 이해가 되고 그럴듯한다는 말입니다. 하지만 칸트에서 '직관'이라는 말은 아시다시피 단순히 그런 의미가 아니고 칸트 철학 안에서의 고유한 의미로 사용됩니다. 칸트 철학에서 수학적 인식은 수학적 개념에 대응하는 대상을 우리 직관에 구성해 내는 것입니다. 브라우어에게서도 수학적 대상은 우리의 정신에 의존적이며, 그것을 구성해내는 정신의 활동에 의해 만들어집니다. 그래서 수학적 대상이 존재한다는 말은 그것이 구성된다는 말입니다. 그래서 직관주의자들은 우리가 수학적 활동을 통해 구성해낼 수 없는 것을 거부하는 것입니다. 단순히 어떤 것은 직관적이지 않다고 하면 그게 왜 직관적이지 않은지 의문이 생깁니다. 배중률이 왜 직관적이지 않을까요? 하이팅Heyting이 쓴 대화편 (Disputation)을 보면 직관주의에 반대하는 한 인물이 수학적 귀납법은 받아들이면서 배중률은 거부하는 직관주의의 기준이 임의적이라고 주장합니다. 수학적 귀납법 못지 않게 배중률도 분명해 보인다는 것이죠. 하나는 지명하지만 다른 것은 자명하지 않다는 것으로는 설명되지 않습니다. 직관주의자들이 배중률을 거부하는 이유는 수학적 대상이 인식과 독립적으로 존재하지 않고 정신의 구성을 통해서만 존재하기 때문입니다. A가 참이려면 A에 대한 증명을 해야합니다. A이거나 ~A가 참이려면, A를 증명했거나 ~A를 증명했어야 합니다. 배중률은 그런 증명이 없이도 'A이거나 ~A'를 받아들이는 것인데, 이것은 수학적인 존재가 구성을 의미한다는 직관주의의 입장에 반하는 것입니다. 직관주의자들은 그런 주장은 수학적인 주장을 넘어서 형이상학적인 주장이라고 여깁니다.
칸트의 수학적 직관이 수학적 사물계(물자체)와 유리되었다고 보지는 않습니다. 사실 수개념은 인간만의 인식체계도 아닙니다. 늑대도 굴로 돌아오면 새끼들의 수 또는 양부터 헤아리죠. 결원이 생기면 바로 찾아나섭니다. 오늘날 인간의 정교한 작업들은 거의 수학에 의존합니다. 토지 측량, 마천루 건축, 외계 탐사선궤도 설정등 수학은 우주를 이해하는 가장 정확한 도구로 평가받고 있습니다. 오히려 현대의 양자역학은 우리가 생각을 포기하고 수학에 의존할 것을 강요하는 단계에 와있습니다. "닥치고 계산"이라고 주장하지요. 이것은 그만큼 수학이 외부세계와 면밀이 연결되어 있다는 의미겠지요. 이런 면에서 칸트의 수학적 직관은 형식주의와 구별되어야 한다고 봅니다. 그리고 무한이나 허수같은 개념은 형이상학적 영역으로 인정하고 나름대로 연구하면 되는 것이구요. 그럼 나는 "직관주의자"인건가요? 우리는 칸트와 칸토어의 후기 언명에 주목할 필요가 있습니다. "직관없는 개념은 공허하다", "무한은 신의 세계다".
마지막 말씀이 인상깊습니다 철학의 재미로는 여러가지가 있겠지만, 그 중 가장 두드러진 것이 당연하다고 여겨온 지식에 대한 의문과 그에서 오는 경이감이라고 생각합니다 수학기초론을 처음 접했을 때, 그 무엇보다 확실한 지식체계인 수학에 대해서마저도 심각하고 진지한 인식론적 형이상학적 의문이 제기될 수 있구나 하는 생각에, 큰 흥분과 흥미를 느껴 늘 관심하는 분야가 되었습니다 그런 주제로 영상이 올라오니 참 반갑네요 유익하면서도 센스있는 영상 늘 감사합니다
수학을 전공하는 학생으로써 감명깊게 봤습니다, 저는 플라톤주의자였군요 ㅎㅎ. 러셀의 역설을 쉽게 설명하기 위해 마을의 이발사 이야기로 풀어낸 것도 본적이 있는데 이렇게 설명하신 것도 되게 새롭네요. 힐베르트 프로젝트에 프레게도 참여한 것으로 아는데 원래는 다른 주의였다는 것도 처음 알았고요. 항상 좋은 영상 감사합니다~
뭔가 이야기의 끝이 형식주의가 수학의 최전선인 것처럼 되어버렸는데 사실 형식주의에도 문제가 있습니다. 가장 큰 문제는 '왜 수학은 자연을 잘 설명하는가?'에 대해 답을 주지 못한다는 것입니다. 형식주의의 말대로라면 수학의 규칙이 생각에 따라 '임의적'으로 정해지는 반면 자연은 인간의 생각과는 무관합니다. 그럼에도 불구하고 수학은 자연의 규칙성과 잘 들어맞다는 것을 물리학을 통해서 확인할 수 있습니다. 수학과 자연은 무관하다고 못박는 형식주의는 문제가 있는 것이죠. 두번째 문제는 실제의 수학 역사에서는 수학이 자연과 밀접한 관련이 있다는 겁니다. 기하학의 발생은 우리의 공간 "경험"에서 출발했습니다. 후에 확장되면서 공간경험과 사뭇 다른 기하학이 출현하긴 했지만 그 시작은 실제 공간경험이죠. 산술도 또한 마찬가지로 실제의 사물의 수를 세는 것에서 자연수가 나왔고 자연수가 확장되면서 무리수, 실수 등등이 출현했죠. 출발은 어디까지나 물체의 수를 세는 것이었다는 겁니다. 즉 수학은 그 뿌리를 경험에 두고 있습니다. 확장된 수학이 경험과 괴리된다는 것만으로 "수학은 자연과 상관없는 순전히 임의적인 규칙이다"라고 선언하는 것이 합당한가?에 대해서 의문이 생깁니다. 마지막으로 영상에서는 언급이 되지 않았는데 "논리"라는 자체에 대해서도 의심의 여지가 있습니다. 예를 들어서 "A=B이고 B=C이면 A=C이다라"는 논리가 옳다고 생각합니다. 왜 이게 옳은 걸까요? 인간은 왜 어떤 논리는 옳다고 여기고 어떤 논리는 틀렸다라고 할까요? "이성"이 그렇게 판단했다고 맡겨 놓는 것은 모든 것을 "신이 그렇게 정하셨다"라고 답하는 것만큼 무책임합니다. 논리 자체에 대한 의심도 수리철학에서는 중요한 부분입니다.
반박해주자면 1. 형식주의랑 자연이랑은 아무상관없음. 형식주의는 수학을 어떻게 연구해야할지의 논의임. 2. 1에 의하여 2번은 이미 다른주제의 근거로 제시됌. 이해가됩니까? 수학은 그냥 아무런 철학적 색깔이 없는 공리로부터 도출되는 게임에 불과함. 그리고 수학이 자연을 잘 설명할수 있는 이유는 님은 수학이라는게 무슨 자연이 수학이고 그걸 인간이 발견한다 이런식으로 이해를 하는데 사실은 그게 아니고 자연은 그냥 혼돈이고 카오스일뿐인데 인간이 똑똑하고 지능이 높아서 이성을 가지고 수학을 통해서 자연을 인간 나름대로 이해한다 이게 맞음. ㅇㅋ?
답은 간단합니다. 공리를 애초에 인간이 자연을 바라보고 해석하는 방식으로 정했기 때문입니다. 수학이 그저 형식이라면 자연과 관련이 없을 텐데 왜 그토록 자연을 잘 설명하는가는 수많은 체계 속 자연을 잘 설명하는 체계를 기반으로 수학을 쌓았기 때문입니다. 자연을 잘 설명하지 못하는 수학 체계도 얼마든지 만들수 있습니다. 가령 모든 사칙연산은 0에 수렴한다는 공리를 받아들이면 눈앞에 있는 사과의 개수가 방금 말한 수학적 결과와 불일치하게되죠.
수학과 논리의 관계에 대해 궁금했는데 영상을 보니 궁금증이 약간 해소됩니다. 수학은 분명히 논리적인 학문이지만 수학 전체가 논리로 환원되기 어렵다는 것이군요. 또한 수학을 좋아하는 사람들 중에서 수학을 예술과 비슷한 지적 활동으로 생각하는 분들이 있는데 수학의 논리학과는 독립된 고유성을 받아들이게 되면 수학에도 예술적인 성격이 있다는 생각을 할 수도 있겠군요.
제가 알고있는 것과 달라 조심스럽게 말을 꺼내봅니다. 직관주의의 창시자를 독일의 수학자 브라우어라고 하셨는데 사진을 보아하니 Richard Dagobert Brauer를 말씀하시는 것 같네요.... 제가 알기로는 직관주의의 창시자는 네덜란드의 수학자 브라우어르입니다. Luitzen Egbertus Jan Brouwer으로 이름이 비슷해서 종종 사람들이 헷갈려합니다. 제가 틀릴 수도 있기에 조심스럽지만 나름의 확신을 가지고 말해봅니다. 전파과학사에서 출간한 불완전성 정리란 책에서도 직관주의의 창시자는 네덜란드의 수학자 브로웨르라고 하기에 Luitzen Egbertus Jan Brouwer 이 사람이 맞다고 생각합니다
내용을 이해 하는데, 여기에 등장하는 인물들의 생년 정도는 알려주면 더 도움이 될 듯 합니다. 프레게 1848, 러셀 1872, 브라우어 1901, 힐베르트 1862, 괴델 1906, 비트겐슈타인 1889, 칸토어 1845 이걸 보면 세대차가 눈에 보이지요. 그에 따른 발전/진화도 보입니다.
찾아보니 브라우어는 두 명 인데 Luitzen Egbertus Jan Brouwer 이 사람이 직관주의를 창시한 사람이고 1881년 네덜란드 태생이네요. 영상의 사진은 리하르트 브라우어인데 1901년 태생이 맞지만 직관주의와 관련없는 수학자인듯 합니다. 아마도 김필영 선생님이 잘못 올리신거 같습니다.
기호로 표현하면 쉬워져요! a가 집합 A={x|x는 짝수이다}의 원소라는 명제는 곧 a가 짝수라는 명제죠. n이 집합 N={x|x는 자연수이다}원소라는 명제는 곧 n이 자연수라는 명제죠. 마찬가지로 p가 집합 B={x|x는 x의 원소가 아니다}의 원소라는 명제는 곧 p가 p의 원소가 아니라는 명제죠. 문제는 p자리에 B를 대입했을 때 생깁니다. B가 B={x|x는 x의 원소가 아니다}의 원소라는 명제는 곧 B가 B의 원소가 아니라는 명제가 됩니다! B가 B의 원소라는 명제와 B가 B의 원소가 아니라는 명제가 같아져서, 역설이 생기죠.
외계탐사선 보이저호등을 음속에 20배 정도로 쏴올릴 때 수십년 후 일정한 당일 당시 당초에 해왕성궤도와 태양권계면에 오차 없이 거의 정확히 도달하여 탐사할 수 있는 것은 우리가 우주를 수학적으로 이해하고 있기 때문입니다. 단순히 관념으로 보기에는 너무도 정확하다는 것이지요. 이것은 무엇을 말해주는 걸까요? 수학을 단지 추상의 영역과 형식주의 게임으로 몰아낼 수 없다는 것을 의미한다고 봅니다.
수학을 잘한다는 것은 수학에서 사용되는 논리과 그 방식을 이용할 수 있다고 전제하고 말하겠습니다. 수학은 여러 규칙들을 엄밀하고 체계적인 논리들을 가지고 있습니다. 이러한 논리성을 통해서 우리는 참인 것과 거짓인 것을 구분할 수 있게 합니다. 좀 간단한 예를 들자면 1+1=2 가 참이며 1+1=3은 거짓이라는 것을 우리는 학습을 통해 배웠습니다. 에이 당연하네 할 수 있지만 이러한 참 거짓의 구분을 통해서 우리는 명백한 답을 찾을 수 있게 되는 것입니다. 좀 과격한 이해이긴 합니다만 우리는 이런 수학적인 논리를 통해서 여러 문제들에서 해답을 찾을 수 있습니다. 한줄 요약:수학을 잘하면 여러 문제의 해답을 찾는데 도움이 된다.
혹시 이미 다루셨는 지도 모르겠지만, 기회가 있으시다면 인도의 나가르쥬나 (A.D. 150-250경으로 추정)의 "공 사상의 논리"도 연구하셔서 다루어 주시지 않겠습니까? 나가르쥬나는 우리가 사용하는 명제나 논리적 사고의 기본적인 구조를 논리를 사용해 파괴해 갑니다. 그의 "논리적" 사유에 의해 이번 강의에서도 문제가 되었던 배중율이나 모순율 등이 모두 파괴됩니다. 물론 그는 서기 2세기 전후의 인도 대승불교도였기에, 20세기의 유럽 수학자•논리학자들과는 매우 다른 전제와 논리 전개 방식을 사용합니다만, 그래서 그의 사유를 논리라기보다는 일종의 "역설"로 표현하는 서구의 학자들도 있지만, 그의 사유가 논리적이며 인도, 티벳, 중국, 한국, 일본과 베트남 등에 걸친 아시아의 지식인들을 이천년 가까이 매료시켜 왔던 것도 진실이랍니다.
@Asian Film Recommender 글쎄요. 수학자들은 어떻게 이 문제를 처리하는지 모르겠지만, 아무튼 존재하지 않는 것에 대해서 아니라고 하는 말은 맞는 것 같네요. 그리고 유니콘은 애초에 상상속 동물이기 때문에 '존재성을 증명할 수 없는'이라는 표현을 쓰면 안 된다고 생각합니다. 설혹 나중에 유전공학이 발달해서 진짜 뿔 달린 말을 만들어낸다고 해도, 그건 우리가 알고 있는 유니콘이 아니죠.
제가 수학 진도가 매우 느린 이유가 수리 철학적이라고 불리는 질문들이 쉼 없이 떠오르기 때문인데, 능력 부족으로 질문을 해결하기까지 너무 오래 걸리는군요. 누군가는 저를 수포자라고 놀리던데... 이제는 정말 수포자가 되어가는군요... 언젠가 할 수 있다면, 하루 종일 수학만 공부하고 싶지만, 만족스러운 생활을 위해서는 사후로 미뤄야겠습니다. 하지만 만족스러운 생활이 가능할지 모르겠네요. 사실 무언가에 만족할 수 있을지도 잘 모르겠습니다. 흠... 그렇다면 지금 당장 수학을 공부하는게 맞을까요? 당장 죽는게 맞을까요? ㅎ 장난좀 쳐봤습니다
1. 귀류법이 지닌바 형식논리학적 속성을 오해하신 듯합니다 귀류법은 특정 값(참 내지 거짓)을 증명하고자 하는 규칙이 아니라, 어떤 적형문을 전제하였을 때 형식적 규칙에 의해 그 전제로부터 이끌어낼 수 있는 도출, 증명, 유도과정 내에서, 그 체계 내의 지정값designated value(통상적으로는 참값 T)이 보존되지 못하여 모순이 발생함(비일관성이 발생함, 즉 지정값과 양립 불가한 값의 적형문이 유도됨)을 보여주는 증명법입니다 이에 따르면 어떤 적형문 'P'가 참(지정값)이라 가정하든 거짓(지정값과 양립 불가능한 값)이라 가정하든, 전자('P'에 지정값을 할당함)에 따라 '~P'가 지정값임을(즉 'P'가 지정값을 갖는다고 가정하면 모순된 귀결이 나옴에 따라 '~P'가 지정값입을) 증명할 수도 있고, 후자(~'P'에 지정값을 할당함)에 따라 'P'가 지정값임을(상동) 증명할 수도 있습니다 간단히 말해 추론규칙으로서의 귀류법이란 특정 적형문 내지 명제의 실제 진리값(지정값 내지 양립불가값)을 할당하는 것과는 무관한바, 오로지 무엇을 가정했을 때 모순적인, 양립 불가한, 비일관적인 값을 지니는 적형문이 도출된다는 것을 보이고자 하는 규칙입니다 2. "거짓을 증명하는 것은 가치가 없다"는 말씀은, 일견 직관적으로 받아들여질 만합니다 거짓인 이론의 거짓됨을 증명하고자 하는 학자는 없습니다 하지만 이러한 직관은 논리학을 세계에 대한 존재론적, 형이상학적 학문으로 오해하는 데에서 빚어지는 착종이며, 나아가 순수논리적인 관점에서 보자면 어떤 의미있는 문장 내지 명제의 거짓값을 증먕한다는 것은, 의외로 일상적으로 매우 친숙합니다 예컨대 법정에서 검사가 "피고의 진술 'P'가 참이라 가정하면 그에 따라 'Q'이고 그에 따라 'R'이고 ... 따라서 'S'인데, 이는 받아들일 수 없는(즉 우리가 참이라 받아들이는 믿음의 체계와 모순되는) 귀결입니다 피고의 진술 'P'는 "라고 말하는 경우를 들 수 있겠습니다 이 때 배심원들이 검사의 주장을 설득력있는 것으로 받아들인다면, "피고의 진술 'P'는 거짓이다"라는 말을 받아들이는 것이 아니라, "검사가 제시한바 그러그러한 도출과정이 타당하고 논리적이 피고의 진술'P'는 거짓이다"를 받아들이고 잇는 셈입니다 요컨대 검사가 제시한바 'P는 거짓이다'를 세계에 대한 실제적 명제로서 받아들이는 게 아니라, 그가 논리적 규칙에 의존하여 전개하고 있는 도출과정을 받아들이기에 'P는 거짓이다' 를 받아들이는 셈입니다 '거짓 명제를 증명한다'는 말이 직관적으로 기이하게 여겨지는 이유는, 이렇듯 세계에 대한 명제 자체의 실제 진리값과, 그 명제에 특정 값을 할당했을 때 논리적으로 귀결되는 바의 값을 혼동했기 때문입니다 논리학은 세계에 대해 말하지 않습니다 세계에 대해 말하는 것은 실증과학이고, 논리학은 그 과학들이 말하는 것들 간의 일관성, 무모순성, 양립 가능성만을 다룹니다 말이 길어졌습니다 귀류법에 대한 오해가 풀리셨길 바랍니다
수학은 인간의 객관적사고의 결정체임. 즉 나는 이렇게 생각해라고 말할수 있는 주관적인 것들을 배제한 모든것임. 고로 수학과 현실의 관계는 모든 수학적 개념과 수식을 적용할수 있는 실제 현상이나 현실이 존재한다고 봐야함. 실제 우주는 인간의 객관적사고보다 더 크고 다양하므로 인간의 객관적사고를 능가하는 초객관적(주관적이아님) 현실을 반영한 우주가 존재할 것이라고 보는게 합리적임. 따라서 위에서 말한 칸토르가 무한을 객관적으로 잘 컨트롤할수 있는데도 불구하고 그걸 배제했다는 거는 완전 말도 안되는 기본이 안된 사고임.
논리주의자인 러셀 입장에서는 그 역설을 순수하게 논리적으로 해결해야 하는데, 유형론은 논리적으로 참인 명제가 아니기 때문이라고 알고 있습니다 집합을 구성할 때 그 원소가 될 수 있는 대상들의 자격에 일정한 단계에 따라 제한을 둔다는 것은, 분명 세계에 관한 형이상학적 내지 존재론적인 논제인데, 그 논제의 인식론적 성격이 논리적으로 보증되지는 않는다는 겁니다 쉽게 말헤 러셀의 유형론은 수학적으로 자명하지도 않고, 그렇다고 'A는 A이다'처럼 논리적으로 참인 성격의 주장도 아닙니다 그렇다 보니 (적어도 논리주의자로서는)집합론의 문제를 온전히 해결하지는 못한 것으로 받아들여졌습니다
수학철학을 알고 이해하는것은 즐겁지만, 입시수학은 전혀 즐겁지가 않네요. 애초에 직관적으로 생각한다. 라고 할때 그 직관이라는것도 애매모호합니다. 저는 어느순간부터 애매모호한것을 불안하게 여겼습니다. 마치 피타고라스처럼 모든것을 설명할 수 있는 아름다운것으로 가득채워야 했습니다. 애초에 모든것을 정의하고 논리적으로 밝혀내려고할 수록... 뭔가 너무 심한 허황감에 휩싸이는거 같습니다. 더구나 제가 무슨 답을 찾으려했는지도 잊은거 같습니다. 판단과 분별이 모든 추론의 시작일까요? 애초에 추론이 뭐죠? 낱낱히 드러내자 저의 같잖음이 낱낱히 드러납니다. 애초에 논리가 뭐죠? 추론은 어떻게 하고 있죠? 논리학을 제대로 배우지도 않았고, 명제에 대해서도 제대로 알지못했는데? 어떻게 저는 추론이라는걸 하고있었죠? 이상합니다. 그 이론보다 먼저있던건 그냥 자연스러운 사람의 뇌가 아닙니까? 그 이론을 만들어낸건 무엇에 의하여였습니까? 입시수학을 맞이하며 느끼는 가장큰건 제가 미처보지 못한 섬세함이라던가.., 아니면 그냥 내가 틀렸다던가. 오답과 정답만이 논리의 전부같다고 느끼게 되는건데.. 그들은 잘못된 추론이라는걸 하지 않았나요? 철학은 어째서 시작한걸까요? 아니 뭐가 뭔지 모르겠습니다. 나는 왜 정답과 오답을 세고있는거죠? 수학은 뭐죠? 정답이 없는 학문을 좋아하는데.. 오답이라는게 없는 학문을 좋아하는데.. 애초에 아무것도 없던시대에 그림을 뛰어나게 잘그리고, 뛰어난 논리를 추구하고, 좋은 필력으로 글을 써냈던 모두들은 도대체 뭡니까? 이론이라는게 과연 필요할까요? 중심이 되는 격이 필요할까요? 애초에 둘로 나누어 판단할 이유가? 굳이 개념어를 써가면서 구체적으로 잡을 이유가? 애초에 천재들의 괴로움은 뭐였을까요? 자신을 설명하고자 하는 시도? 내가 무엇을 모르는지 아는것? 단지 그것만으로? 공부법이라는것도 생각할수록 공부법이라는 글자가 되게 우스워보일정도이네요. 인간 사고는 자유롭고 자연스러운것인가? 뭘까? 뭘까? 진짜 뭘까? 아무책이나 잡고 읽어서 번뇌를 잠재우고싶습니다. 중간고사를 봐야한다는것이 슬픕니다. 이 번뇌와 함께 오답과 정답의 세계로 간다는것입니다. 도저히 두렵습니다. 무척이두렵습니다. 으아아아아 그렇습니다. 만화가 하려는 사람이 어째서 논리에 매달려있냐는 생각은 전혀해본적없습니다. 저는 사람의 인지에 대해 자세히 알고싶습니다. 천재들은 과연 이론없이도 어째서 그런것들을 잘 만들었던걸까요. 아니 뭐가뭔지 모르겠어 진짜 모르겠어. 입시수학을 왜 하고있지? 난 왜 수학을 하지? 궁금한것은.. 왜 교육과정에서 수학을 가르치는거지? 논리학을 가르치면 되잖아? 그게 훨씬 사고력에 좋을텐데. 많은 책을 읽게하고 답이없어보이는 난해한문제를 출제해서 계속해서 토의하고 토론하는것을 해도 되잖아? 왜 수학을 하지? 수학은 논리인가?
@@리드-w7k 이거 ㄹㅇ이었어요. 근데 지금은 저런 고민에서 벗어났어요. 아니 이젠 필요없어요. 수학이라는 학문을 접근하는 다양한 편향이 있다고 생각해요. 저 스스로도 수학에 재능이 없다고 생각했어요. 근데 계속 다른분야도 공부해보고 다시 수학을 들여다보니 이제 이해가 되더라고요. 이만큼 쉬운게 또 어딨나? 싶고.. 학창시절 때 물리학이 재밌었어서 물리학 책 하나 구해서 공부해볼 마음을 갖고있어요. 양과 기하적인 개념, 그 외에도 다양한 대상이 있지만 이것을 사념적으로 연구하는 바가 밀집된것이 수학이란 거대한 분야라는게 감각으로 와닿을 수준이 되니 이제는 논증을 스스로 이해하고 어떻게 집중하면 어떤 수준까지 오를지 알고있어요. 풀이과정의 필연성도 받아들여지고.. 저는 어떤 학문에도 특화된 기교는 없지만, 결국엔 통찰을 갖는 재능이 있어요. 학문에 특화된 정신이 있다고 가정하는게 얼마나 가혹한 것인지, 생각의 끝에서 어떤 대상을 연구하던 그 방식은 삶의 방식에서 비롯된다는 이치가 정말 체내에 새겨지고서부턴 전 예술도 다양한 분과학문도 어떤 식으로 이루어진것인지에 대해 이해했습니다. 말씀하신 바처럼 저는 수학을 못해서 다른 구석에서 그 구제책을 찾으려했던거예요. 저는 스스로 공부한적이 없어 나약하게도 자신을 믿지못하고 방법론에 얽매여있었어요. 근데 스스로 한다는게 어떤건지 깨달아서 괴롭지 않아요. 서툴게라도 세상을 이해하는 즐거움을 알아서 이젠 전혀 슬프지 않아요. 옛 댓글에 달아주셔서 감사함다.
1년전 댓글이지만 답글답니다. 왜 형식주의에서 완전성과 무모순성이 요구되는가는 사실 간단합니다. 수학 자체가 게임에 국한된 것이라면, 오히려 그 게임에 적용되는 룰에 한정해서 완전성과 무모순을 가진다는 겁니다. 형식주의적 입장에서 수학적 앎이란 말그대로 설정된 룰인 공리계에서 완벽히 게임을 실행할 수 있다는 것이지, 그 게임 자체의 참과 거짓을 논하자는 것이 아닙니다. 즉 예시를 들어 어떤 게임에서 승리 조건의 룰이 "죽여야만 한다"는 것은, 죽여야한다는 것의 도덕적 시비나 참거짓과 상관없습니다. 말그대로 게임이고 그 게임상의 룰이 설정된 것에 따라 승리를 쟁취하면 됩니다. 이것이 바로 형식주의에서 말하는 완전성과 무모순성입니다. 만약 수학에서의 공리들이 충돌한다면 이미 수학은 룰자체부터가 충돌하고, 이는 수학 자체가 게임으로써, 즉 학문자체로도 성립할 수 없다는 것을 의미합니다. 룰(최소한의 형식조차)부터가 문제라면 그것은 게임(수학)이 아니다. 덧, 도움이 되셨길...
유니콘은 존재하지 않기 때문에 백마가 아닌 것이 참이므로 배중률에는 문제가 없다고 생각합니다... 저는 이런것이 논리이고 기초라고 생각합니다. 수학이 모든것의 기초인데 기초의 기초를 만들려는 것이 오류이고, 애초에 만들어진 것이 기초가 될수가 있을까요... 마치 그림을 그리는 기초가 종이인데, 종이 위에 종이를 그리는것과 같습니다..그릴 필요도 없지만 무엇을 그렸든지 그리지 않은것보다 완전하지 못할것입니다.
@Asian Film Recommender 사람이 해석하고 정립하는건 수학적인 개념이지 수학이 아닙니다... 게임이라는 개념이 있어서 체스도 만들고 바둑도 만들수있는것과 같은것이죠... 모든것의 기초가 될수있는 추상적인 그것을 수학이라는 이름으로 부르고 있을뿐입니다..
수학과 기하학을 모르면 출입금지라는 플라톤의 아카데미아와 수능시험이 다른 것인가? 그까짓 수학, 기하학이 뭐라고 배우고 싶은 놈을 막아? 공사판 현장사무실에서 일년만 현장소장 심부름하면서 독학하면 수학과 기하학 공대 학사과정까지는 충분히 마스터하고, 덤으로 설계와 기능공과정도 배울 수 있다. 스펙에만 관심있고 배울 의지는 없는 기존의 대학생은 전부 퇴학시키고, 의지를 기준으로 다시 신입생을 모집해야 교육기관이다. 한국에 교육 한번도 없었으니, 이제부터 만들어야 한다. 현재 하고있는 지랄을 계속 교육이라 부르면 아이들이 최대한 성장해도 문재인, 홍준표까지가 한계다. 논어를 통해 공자가 직접 했던 말이 교육의 기준이 되어야 한다.
가장 최신 수리철학에 대한 입장은 수학엔 아무런 철학적 색깔이 없다는 것입니다. 그리고 끝에 수학자들이 플라톤주의자라고 말했는데 이것도 헛소리입니다. 수학자들이 그렇게 무식하지 않아요. 물론 가끔식 플라톤주의자들도 잇긴하지만 걔네들은 극소수고 대부분 수학자들 자신들이 생각할때 수학이 실제로 우주에 내제한다고 생각안함니다. 수학의 목적은 자연이 수학이라서 그걸 발견하는게 아니고 수학의 제 1의 목적은 “수학문제풀기” 입니다. 이게 가장 큰 목적임. 그래서 수학기초론을 수학자들이 당연히 안합니다. 물론 수학문제 풀때 수학기초론도 좀 연구해서 거기서 도움받아서 풀리는 풀이적 발상도 있낀합니만 이것도 어디까지나 수학문제를 풀기 위함이지 수학을 완공히 할라고 기초수학을 연구하는 사람 왕따취급습니다. 21세기 가장 위대한 수학자인 엔드류 와일즈도 수학이란 무엇이냐는 질문에 “수학은 그냥 문제나 푸는거지 여기에 뭐가 더있냐”며 인본주의적인 수학연구에 대한 입장을 말했습니다. 님들 제발 종교적으로 생각하는 버릇 버리세요. 서양철학이 이런 면이 강한데 이거 굉장히 ㅂㅅ됩니다.
@@informationphysici 수학이 과학의 언어다? 그러면 생물학 화학 지질학 곤충학 이런건 수학 별로 안들어가는데??? 수학이 과학의 언어라고 말하는것도 물리학 한정이고 그것도 고체물리 이런건 많이 들어가지도 않고 천체물리학이나 양자역학 같은 분야들만 주력으로 쓰는거임. 그러면 나머지 과학분야는 뭐가됩니까?
방대한 수학철학 이론들에 대해 단숨에 그 스토리를 꿰뚫는 멋진 정리를 해주셨네요~^^ 저는 수학 전공자 출신으로 힐베르트의 형식주의 주장이 현대 추상수학에 가장 와 닿는 설명이라는 생각을 아직도 가지고 있습니다. ㅎ 그러다보니 학술지 논문이나 석사논문에서 직관주의 및 칸트/브라우어 비판으로 일관하게 되었습니다. 브라우어가 문제시한 배중율이라는 것은 사실 진술에 있어서 참과 거짓이 이분적으로 명확히 구분 가능한 논리 명제들에만 국한시켜야 한다는 생각이고, 그렇지 않다면 '배중률 개념을 일반 진술로 더 확대하여 '참이냐 아니면 참이라고 말할 수 없느냐'중 하나로 받아들여야 한다는 주장을 펴기도 했습니다. 말씀하신 것처럼 수학자들이 직관주의적 접근법에 철저히 발목 잡히다보면 실제 활용성도 큰 비유클리드 기하학이나 고차원 공간을 위한 대수기하학처럼 인간 정신의 자유로운 사유와 창조성이 제한당하기 쉽다는 생각입니다. 그냥 평범한 저의 수학관일 뿐입니다만.....ㅎㅎ
저 궁금한게 있는데 인문학에서는 인간을 제한적인 존재로 보는데, 수학쪽에서 자유롭다면 혹시 그 자유로운 것이 뭐죠 ;;'??? 너무 궁금해서 ㅠㅠ;; 수학이 뭔가 절대적으로 맞다하는 쪽으로 가는 것이 아니라 서로 합의하에 맞다고하는 쪽으로 가는건가요 ;;;????
신 선생님, 혹시 참거짓의 이분법을 '참 또는 참이라고 말할 수 없음'으로 더욱 일반화한다는 아이디어는 괴델의 이론을 밑바탕으로 하고 있는 것인가요? 지나가다가 궁금해서 여쭤봅니다.
@@장애옹-s3w 한 수학이론을 구성할 때 약속을(공리) 어떻게 정하고 시작하느냐에 따라 그 이론이 다룰 수 있는 수학적 대상의 윤곽이 결정됩니다. 아마도 신 선생님께서 '인간 정신의 자유로운 사유와 창조성'을 언급하신 이유가, 직관주의적 철학에만 의존해서 공리를 선택할 경우 우리가 다룰 수 있는 수학적 대상과 속성들이 극히 제한될 수 있다는 사실과 연관되어 있는 것은 아닌지 조심스럽게 추측해봅니다.
@@서성복-w9v 오우... 감사합니다 어째 점정 인간이 알아가려고 하는 목적이 추려지는 것 같네요
선생님 러셀의 성과도 형식주의처럼 괴델에 의해 부정적인 영향을 받은 건가요?
시간의 단위란 것은 결국 인간이 임의로 나눈 것에 불과하므로 이 영상을 보는 구독자들이 21분을 5분으로 부르기로 합의할 경우 21분짜리 5분 뚝딱 철학 영상이 존재하는 것이 가능하다
합의합니다 ㅋㅋㅋ
4:30 (Die Grundlagen der Arithmetik)는 1884년에 나왔어요.
프레게가 러셀의 편지를 받은 것은 1903년도에 (Grundgesetze der Arithmetik) 2권을 출간하기 직전입니다.
참고로 산수의 근본법칙 1권은 1893년에 나왔습니다.
8:50 직관주의에 대한 설명에서 '직관'이라는 말이 오해의 소지가 있어 보입니다.
우리가 어떤 것이 '직관적이다'라고 할 때에 흔히 의미하는 것은 그것이 참이라는 것이 자명하다거나, 직접적으로 쉽게 이해가 되고 그럴듯한다는 말입니다.
하지만 칸트에서 '직관'이라는 말은 아시다시피 단순히 그런 의미가 아니고 칸트 철학 안에서의 고유한 의미로 사용됩니다. 칸트 철학에서 수학적 인식은 수학적 개념에 대응하는 대상을 우리 직관에 구성해 내는 것입니다.
브라우어에게서도 수학적 대상은 우리의 정신에 의존적이며, 그것을 구성해내는 정신의 활동에 의해 만들어집니다. 그래서 수학적 대상이 존재한다는 말은 그것이 구성된다는 말입니다. 그래서 직관주의자들은 우리가 수학적 활동을 통해 구성해낼 수 없는 것을 거부하는 것입니다.
단순히 어떤 것은 직관적이지 않다고 하면 그게 왜 직관적이지 않은지 의문이 생깁니다. 배중률이 왜 직관적이지 않을까요? 하이팅Heyting이 쓴 대화편 (Disputation)을 보면 직관주의에 반대하는 한 인물이 수학적 귀납법은 받아들이면서 배중률은 거부하는 직관주의의 기준이 임의적이라고 주장합니다. 수학적 귀납법 못지 않게 배중률도 분명해 보인다는 것이죠. 하나는 지명하지만 다른 것은 자명하지 않다는 것으로는 설명되지 않습니다.
직관주의자들이 배중률을 거부하는 이유는 수학적 대상이 인식과 독립적으로 존재하지 않고 정신의 구성을 통해서만 존재하기 때문입니다. A가 참이려면 A에 대한 증명을 해야합니다. A이거나 ~A가 참이려면, A를 증명했거나 ~A를 증명했어야 합니다. 배중률은 그런 증명이 없이도 'A이거나 ~A'를 받아들이는 것인데, 이것은 수학적인 존재가 구성을 의미한다는 직관주의의 입장에 반하는 것입니다. 직관주의자들은 그런 주장은 수학적인 주장을 넘어서 형이상학적인 주장이라고 여깁니다.
칸트의 수학적 직관이 수학적 사물계(물자체)와 유리되었다고 보지는 않습니다. 사실 수개념은 인간만의 인식체계도 아닙니다. 늑대도 굴로 돌아오면 새끼들의 수 또는 양부터 헤아리죠. 결원이 생기면 바로 찾아나섭니다. 오늘날 인간의 정교한 작업들은 거의 수학에 의존합니다. 토지 측량, 마천루 건축, 외계 탐사선궤도 설정등 수학은 우주를 이해하는 가장 정확한 도구로 평가받고 있습니다. 오히려 현대의 양자역학은 우리가 생각을 포기하고 수학에 의존할 것을 강요하는 단계에 와있습니다. "닥치고 계산"이라고 주장하지요. 이것은 그만큼 수학이 외부세계와 면밀이 연결되어 있다는 의미겠지요. 이런 면에서 칸트의 수학적 직관은 형식주의와 구별되어야 한다고 봅니다. 그리고 무한이나 허수같은 개념은 형이상학적 영역으로 인정하고 나름대로 연구하면 되는 것이구요. 그럼 나는 "직관주의자"인건가요? 우리는 칸트와 칸토어의 후기 언명에 주목할 필요가 있습니다. "직관없는 개념은 공허하다", "무한은 신의 세계다".
마지막 말씀이 인상깊습니다 철학의 재미로는 여러가지가 있겠지만, 그 중 가장 두드러진 것이 당연하다고 여겨온 지식에 대한 의문과 그에서 오는 경이감이라고 생각합니다 수학기초론을 처음 접했을 때, 그 무엇보다 확실한 지식체계인 수학에 대해서마저도 심각하고 진지한 인식론적 형이상학적 의문이 제기될 수 있구나 하는 생각에, 큰 흥분과 흥미를 느껴 늘 관심하는 분야가 되었습니다 그런 주제로 영상이 올라오니 참 반갑네요 유익하면서도 센스있는 영상 늘 감사합니다
새로운 지식에 대한 탐구는 너무나 달콤하며 내 자신이 얼마나 무지했는지 깨닫게 해준다... 매번 올려주시는 양질의 영상 너무 맛있습니다 선생님 ㅠㅠ
직관주의에서 귀류법은 배재 안해도 될거같은데요. 배중률도 유니콘같은 터무늬없는 개념에 대해서 적용안하면 그만입니다. 따라서 직관주의는 배중률과 귀류법 모두 사용가능하고 직관주의가 맞습니다.
수학 철학까지 정리해 주시고... 엄청나네요 사랑합니다
정말 대단ᆞ대단하십니다
엄지 척! 감탄입니다^^
그간 본 수학철학 정리 중에 가장 깔끔하네요.
수학을 전공하는 학생으로써 감명깊게 봤습니다, 저는 플라톤주의자였군요 ㅎㅎ. 러셀의 역설을 쉽게 설명하기 위해 마을의 이발사 이야기로 풀어낸 것도 본적이 있는데 이렇게 설명하신 것도 되게 새롭네요.
힐베르트 프로젝트에 프레게도 참여한 것으로 아는데 원래는 다른 주의였다는 것도 처음 알았고요. 항상 좋은 영상 감사합니다~
미친놈 ㅋㅋㅋㅋ 플라톤주의자 말이되냐
@@Doodoo2322 모르는 사람의 감상글에 대뜸 욕설을 밖는 탁월한 어휘 선택과 반말을 찍어 누르는 모습을 실제로 마주한 것같은 느낌의 문체가 매우 인상적인 글이네요~^^
지금까지 이 채널에서 본 영상 중에 가장 재밌었습니다.
너무 사랑하는 주제입니다. 항상 좋은 영상 올려주셔서 감사합니다
선생님 좋습니다. 제가 고민했던 내용이네요
깔끔합니다~~!
수리논리, 수리철학을 중심으로 대학원까지 생각하는 한 수학과 학생입니다. 정말 큰 도움 되었습니다 감사합니다.
다시 한번 생각해보시길,,,
뭔가 이야기의 끝이 형식주의가 수학의 최전선인 것처럼 되어버렸는데 사실 형식주의에도 문제가 있습니다. 가장 큰 문제는 '왜 수학은 자연을 잘 설명하는가?'에 대해 답을 주지 못한다는 것입니다. 형식주의의 말대로라면 수학의 규칙이 생각에 따라 '임의적'으로 정해지는 반면 자연은 인간의 생각과는 무관합니다. 그럼에도 불구하고 수학은 자연의 규칙성과 잘 들어맞다는 것을 물리학을 통해서 확인할 수 있습니다. 수학과 자연은 무관하다고 못박는 형식주의는 문제가 있는 것이죠.
두번째 문제는 실제의 수학 역사에서는 수학이 자연과 밀접한 관련이 있다는 겁니다. 기하학의 발생은 우리의 공간 "경험"에서 출발했습니다. 후에 확장되면서 공간경험과 사뭇 다른 기하학이 출현하긴 했지만 그 시작은 실제 공간경험이죠. 산술도 또한 마찬가지로 실제의 사물의 수를 세는 것에서 자연수가 나왔고 자연수가 확장되면서 무리수, 실수 등등이 출현했죠. 출발은 어디까지나 물체의 수를 세는 것이었다는 겁니다.
즉 수학은 그 뿌리를 경험에 두고 있습니다. 확장된 수학이 경험과 괴리된다는 것만으로 "수학은 자연과 상관없는 순전히 임의적인 규칙이다"라고 선언하는 것이 합당한가?에 대해서 의문이 생깁니다.
마지막으로 영상에서는 언급이 되지 않았는데 "논리"라는 자체에 대해서도 의심의 여지가 있습니다. 예를 들어서 "A=B이고 B=C이면 A=C이다라"는 논리가 옳다고 생각합니다. 왜 이게 옳은 걸까요? 인간은 왜 어떤 논리는 옳다고 여기고 어떤 논리는 틀렸다라고 할까요? "이성"이 그렇게 판단했다고 맡겨 놓는 것은 모든 것을 "신이 그렇게 정하셨다"라고 답하는 것만큼 무책임합니다. 논리 자체에 대한 의심도 수리철학에서는 중요한 부분입니다.
반박해주자면 1. 형식주의랑 자연이랑은 아무상관없음. 형식주의는 수학을 어떻게 연구해야할지의 논의임. 2. 1에 의하여 2번은 이미 다른주제의 근거로 제시됌. 이해가됩니까? 수학은 그냥 아무런 철학적 색깔이 없는 공리로부터 도출되는 게임에 불과함. 그리고 수학이 자연을 잘 설명할수 있는 이유는 님은 수학이라는게 무슨 자연이 수학이고 그걸 인간이 발견한다 이런식으로 이해를 하는데 사실은 그게 아니고 자연은 그냥 혼돈이고 카오스일뿐인데 인간이 똑똑하고 지능이 높아서 이성을 가지고 수학을 통해서 자연을 인간 나름대로 이해한다 이게 맞음. ㅇㅋ?
답은 간단합니다.
공리를 애초에 인간이 자연을 바라보고 해석하는 방식으로 정했기 때문입니다.
수학이 그저 형식이라면 자연과 관련이 없을 텐데 왜 그토록 자연을 잘 설명하는가는
수많은 체계 속 자연을 잘 설명하는 체계를 기반으로 수학을 쌓았기 때문입니다.
자연을 잘 설명하지 못하는 수학 체계도 얼마든지 만들수 있습니다.
가령 모든 사칙연산은 0에 수렴한다는 공리를 받아들이면 눈앞에 있는 사과의 개수가 방금 말한 수학적 결과와 불일치하게되죠.
@@informationphysici 저도 그렇게 생각합니다. 다만 아직까지는 반증가능한 부분이 아니라고 생각해서 거기까지 쓰진 않았습니다.
@@informationphysici 수학이 잘 맞아 떨어지는 이유는 애초에 자연의 해석 수단으로서 수학을 설정했기 때문이였군요
@@informationphysici 와 이런 미친..........
수학을 공부하면 확실히 논리가 강해집니다. 논리가 너무 강해지면 일상생활이 좀 불편해집니다. 왜냐하면 소위 개똥철학이라는 무논리나 비논리를 너무 자주 만나거든요. 암튼 논리가 약한 사람들과 놀아야 부담이나 스트레스가 적습니다. 특히 가족간에는 더욱 그러합니다.
수학과 논리의 관계에 대해 궁금했는데 영상을 보니 궁금증이 약간 해소됩니다. 수학은 분명히 논리적인 학문이지만 수학 전체가 논리로 환원되기 어렵다는 것이군요.
또한 수학을 좋아하는 사람들 중에서 수학을 예술과 비슷한 지적 활동으로 생각하는 분들이 있는데 수학의 논리학과는 독립된 고유성을 받아들이게 되면 수학에도 예술적인 성격이 있다는 생각을 할 수도 있겠군요.
마지막 요약 한번 해주시니 정리가 잘 되네요. 감사합니다.
난해한 철학을 하나의 서사로 이렇게 쉽고 재밌게 가르칠 수 있는 사람은 5분철학님 밖에 없습니다. 사실 그 어떤 천재들이 철학의 모든 문제를 해결해도 일반인들에게 닿지 않으면 그건 쓸모가 없어지죠. 김필영씨 응원합니다.
넘모 잘 봤습니다람쥐
전 러셀의 유형론이 맘에 드네요. 집합론의 약점을 보강했으니까요. 17:54
머리에 쏙쏙 들어오고 재밌습니다.
제가 알고있는 것과 달라 조심스럽게 말을 꺼내봅니다. 직관주의의 창시자를 독일의 수학자 브라우어라고 하셨는데 사진을 보아하니 Richard Dagobert Brauer를 말씀하시는 것 같네요.... 제가 알기로는 직관주의의 창시자는 네덜란드의 수학자 브라우어르입니다. Luitzen Egbertus Jan Brouwer으로 이름이 비슷해서 종종 사람들이 헷갈려합니다. 제가 틀릴 수도 있기에 조심스럽지만 나름의 확신을 가지고 말해봅니다. 전파과학사에서 출간한 불완전성 정리란 책에서도 직관주의의 창시자는 네덜란드의 수학자 브로웨르라고 하기에 Luitzen Egbertus Jan Brouwer 이 사람이 맞다고 생각합니다
"보통집합"을 반복하는 것보다 세빌리아의 이발사 이야기를 하는 편이 이해하는 입장에서 좀더 수월하고 재밌지 않았을까하는 생각이 듭니다. 잘 봤습니다.
서울 사람이 말하길 "서울 사람은 거짓말만 한다" 참일 까요 거짓일까요? 참도 거짓도 아니죠. 제가 만든 서울사람 비유입니다. ㅋㅋ
이제서야 맥락이 이해되네요 2~3년만에,,,,ㅎㅎ
정말루 감사합니다 정말루.. 공부하기 싫었는데 대신 공부가 됐네요
선생님 덕분에 수학교육론 에이플 받았습니다~
수학은 어렵지만 김박사님의 영상은 재밌게 봤습니다. 주입식 교육, 주입식 교육이 아니더라도 그냥 현실에서 푸는 수학 문제나 아니면 어디 기술에 응용되는 공식은 형식주의 기반인 것 같습니다. 실제 수학자들은 추론을 해서 공식을 펼칠 것 같지만..
우와!! 수리철학에 대해 이렇게 좋은 정리는 처음봅니다.
궁금한점이 있는데 괴델의 불완전성 정리가 러셀의 유형론도 부정한 걸까요? 아니면 그렇지 않지만 집합을 등급화하는 유령론의 가정이 받아들여지기 어려워서 그런걸까요?
오늘도 좋은 영상 감사합니다.
역설적인데요 이해하기는 어려웠지만 매우 재밌게 봤습니다. 제가 문과출신이고 철학은 조금은 흥미있어하는데 수학은 어려워하는 이치랑 같은걸까요.
영상을 비공개로 올렸다가 공개로 바꾸면서 알람이 안왔나봅니다. 이제야 봤습니다, 감사합니다.
내용을 이해 하는데, 여기에 등장하는 인물들의 생년 정도는 알려주면 더 도움이 될 듯 합니다.
프레게 1848, 러셀 1872, 브라우어 1901, 힐베르트 1862, 괴델 1906, 비트겐슈타인 1889, 칸토어 1845
이걸 보면 세대차가 눈에 보이지요. 그에 따른 발전/진화도 보입니다.
찾아보니 브라우어는 두 명 인데 Luitzen Egbertus Jan Brouwer 이 사람이 직관주의를 창시한 사람이고 1881년 네덜란드 태생이네요. 영상의 사진은 리하르트 브라우어인데 1901년 태생이 맞지만 직관주의와 관련없는 수학자인듯 합니다. 아마도 김필영 선생님이 잘못 올리신거 같습니다.
수학이란 알고보니 프로그래밍에서의 인터페이스였단 말인가?? ㅋㅋ 정도로 정리되는 영상인듯
6:14 와 여기서 게슈탈트 붕괴와서 멘붕와서 10번 반복해서 봤지만, 결국 이해 못했네요 ㅜ
기호로 표현하면 쉬워져요!
a가 집합 A={x|x는 짝수이다}의 원소라는 명제는 곧 a가 짝수라는 명제죠.
n이 집합 N={x|x는 자연수이다}원소라는 명제는 곧 n이 자연수라는 명제죠.
마찬가지로 p가 집합 B={x|x는 x의 원소가 아니다}의 원소라는 명제는 곧 p가 p의 원소가 아니라는 명제죠.
문제는 p자리에 B를 대입했을 때 생깁니다.
B가 B={x|x는 x의 원소가 아니다}의 원소라는 명제는 곧 B가 B의 원소가 아니라는 명제가 됩니다! B가 B의 원소라는 명제와 B가 B의 원소가 아니라는 명제가 같아져서, 역설이 생기죠.
하아. 이번 편은 이해할 시도를 포기하겠습니다.
21분 순삭이네요 감사합니다 많이 배우고갑니다 (__)
외계탐사선 보이저호등을 음속에 20배 정도로 쏴올릴 때 수십년 후 일정한 당일 당시 당초에 해왕성궤도와 태양권계면에 오차 없이 거의 정확히 도달하여 탐사할 수 있는 것은 우리가 우주를 수학적으로 이해하고 있기 때문입니다. 단순히 관념으로 보기에는 너무도 정확하다는 것이지요. 이것은 무엇을 말해주는 걸까요? 수학을 단지 추상의 영역과 형식주의 게임으로 몰아낼 수 없다는 것을 의미한다고 봅니다.
6:40 아니 애초에 집합의 근본원리인 배중률을 지켜야죠. 자기자신을 포함하는 집합을 집합으로 인정하면 안됐지.
프레게에겐 러셀이. 힐베르트에겐 괴델이. 이것만 갖고가도 굉장합니다 ㅎㅎ
양진주의(Dialetheism)에 대해서 다루실 생각있으신가요?
선생님.. 저는 광고 다 봤습니다.
인간은 만물의 척도인가요. 결국 인간, 나가 근원적으로 동의하지 않으면
힐베르트의 형식주의를 사회실재론과 명목론으로도 구분할수잇는 것인가요?
수학을 잘하면 어떤 도움 장점이 있나요~?? 설명해주세요!
머리가 좋아짐
수학을 잘한다는 것은 수학에서 사용되는 논리과 그 방식을 이용할 수 있다고 전제하고 말하겠습니다. 수학은 여러 규칙들을 엄밀하고 체계적인 논리들을 가지고 있습니다. 이러한 논리성을 통해서 우리는 참인 것과 거짓인 것을 구분할 수 있게 합니다. 좀 간단한 예를 들자면 1+1=2 가 참이며 1+1=3은 거짓이라는 것을 우리는 학습을 통해 배웠습니다. 에이 당연하네 할 수 있지만 이러한 참 거짓의 구분을 통해서 우리는 명백한 답을 찾을 수 있게 되는 것입니다.
좀 과격한 이해이긴 합니다만 우리는 이런 수학적인 논리를 통해서 여러 문제들에서 해답을 찾을 수 있습니다.
한줄 요약:수학을 잘하면 여러 문제의 해답을 찾는데 도움이 된다.
인생이 재밌어짐
혹시 이미 다루셨는 지도 모르겠지만, 기회가 있으시다면 인도의 나가르쥬나 (A.D. 150-250경으로 추정)의 "공 사상의 논리"도 연구하셔서 다루어 주시지 않겠습니까? 나가르쥬나는 우리가 사용하는 명제나 논리적 사고의 기본적인 구조를 논리를 사용해 파괴해 갑니다. 그의 "논리적" 사유에 의해 이번 강의에서도 문제가 되었던 배중율이나 모순율 등이 모두 파괴됩니다. 물론 그는 서기 2세기 전후의 인도 대승불교도였기에, 20세기의 유럽 수학자•논리학자들과는 매우 다른 전제와 논리 전개 방식을 사용합니다만, 그래서 그의 사유를 논리라기보다는 일종의 "역설"로 표현하는 서구의 학자들도 있지만, 그의 사유가 논리적이며 인도, 티벳, 중국, 한국, 일본과 베트남 등에 걸친 아시아의 지식인들을 이천년 가까이 매료시켜 왔던 것도 진실이랍니다.
카츠라 쇼류의 인도인의 논리학 강추!
'유니콘은 백마이거나 백마가 아니다.' → 유니콘은 상상속의 존재이니까 당연히 백마가 아니고, 따라서 저 명제는 당연히 참이 되는 거 아닌가요?
괴델의 불완전성 정리는 무슨 조건을 잘못 가정했기 때문에 생긴 거라고 했던 사람이 있었다고 들었었는데, 누군지 생각이 안 나네요. ^^;
존재하지 않는 것에 대해 참과 거짓을 나눌수 없다는 말인것 같습니다
@@ybisang9862 존재하지 않으면 당연히 아닌 거 아닌가요? 뭔가 요상하네요. ^^;
@Asian Film Recommender 글쎄요. 수학자들은 어떻게 이 문제를 처리하는지 모르겠지만, 아무튼 존재하지 않는 것에 대해서 아니라고 하는 말은 맞는 것 같네요.
그리고 유니콘은 애초에 상상속 동물이기 때문에 '존재성을 증명할 수 없는'이라는 표현을 쓰면 안 된다고 생각합니다. 설혹 나중에 유전공학이 발달해서 진짜 뿔 달린 말을 만들어낸다고 해도, 그건 우리가 알고 있는 유니콘이 아니죠.
@Asian Film Recommender ???
제 말씀을 직관주의적 입장으로 해석하신 듯하네요?
이번 주제는 배경지식이 부족해서 그런지 온전하게 이해하기가 어렵네요.....
제가 수학 진도가 매우 느린 이유가 수리 철학적이라고 불리는 질문들이 쉼 없이 떠오르기 때문인데, 능력 부족으로 질문을 해결하기까지 너무 오래 걸리는군요.
누군가는 저를 수포자라고 놀리던데... 이제는 정말 수포자가 되어가는군요...
언젠가 할 수 있다면, 하루 종일 수학만 공부하고 싶지만, 만족스러운 생활을 위해서는 사후로 미뤄야겠습니다.
하지만 만족스러운 생활이 가능할지 모르겠네요.
사실 무언가에 만족할 수 있을지도 잘 모르겠습니다.
흠... 그렇다면 지금 당장 수학을 공부하는게 맞을까요? 당장 죽는게 맞을까요?
ㅎ 장난좀 쳐봤습니다
역시 철학은 모든 학문의 근원.
20:21 쉘든.. 도와줘.
역시 수학은 나랑 안 맞아 ㅋㅋ
12:29 귀류법을 반대로 얘기하셨습니다.
어떤 명제의 결론을 거짓이라 가정했을 때 모순이 발생하면 그 명제가 참이다라는 결론을 얻는 증명입니다.애초에 거짓인 명제는 증명할 가치가 없는 거 잖아요😅
1. 귀류법이 지닌바 형식논리학적 속성을 오해하신 듯합니다 귀류법은 특정 값(참 내지 거짓)을 증명하고자 하는 규칙이 아니라, 어떤 적형문을 전제하였을 때 형식적 규칙에 의해 그 전제로부터 이끌어낼 수 있는 도출, 증명, 유도과정 내에서, 그 체계 내의 지정값designated value(통상적으로는 참값 T)이 보존되지 못하여 모순이 발생함(비일관성이 발생함, 즉 지정값과 양립 불가한 값의 적형문이 유도됨)을 보여주는 증명법입니다 이에 따르면 어떤 적형문 'P'가 참(지정값)이라 가정하든 거짓(지정값과 양립 불가능한 값)이라 가정하든, 전자('P'에 지정값을 할당함)에 따라 '~P'가 지정값임을(즉 'P'가 지정값을 갖는다고 가정하면 모순된 귀결이 나옴에 따라 '~P'가 지정값입을) 증명할 수도 있고, 후자(~'P'에 지정값을 할당함)에 따라 'P'가 지정값임을(상동) 증명할 수도 있습니다 간단히 말해 추론규칙으로서의 귀류법이란 특정 적형문 내지 명제의 실제 진리값(지정값 내지 양립불가값)을 할당하는 것과는 무관한바, 오로지 무엇을 가정했을 때 모순적인, 양립 불가한, 비일관적인 값을 지니는 적형문이 도출된다는 것을 보이고자 하는 규칙입니다
2. "거짓을 증명하는 것은 가치가 없다"는 말씀은, 일견 직관적으로 받아들여질 만합니다 거짓인 이론의 거짓됨을 증명하고자 하는 학자는 없습니다 하지만 이러한 직관은 논리학을 세계에 대한 존재론적, 형이상학적 학문으로 오해하는 데에서 빚어지는 착종이며, 나아가 순수논리적인 관점에서 보자면 어떤 의미있는 문장 내지 명제의 거짓값을 증먕한다는 것은, 의외로 일상적으로 매우 친숙합니다 예컨대 법정에서 검사가 "피고의 진술 'P'가 참이라 가정하면 그에 따라 'Q'이고 그에 따라 'R'이고 ... 따라서 'S'인데, 이는 받아들일 수 없는(즉 우리가 참이라 받아들이는 믿음의 체계와 모순되는) 귀결입니다 피고의 진술 'P'는 "라고 말하는 경우를 들 수 있겠습니다 이 때 배심원들이 검사의 주장을 설득력있는 것으로 받아들인다면, "피고의 진술 'P'는 거짓이다"라는 말을 받아들이는 것이 아니라, "검사가 제시한바 그러그러한 도출과정이 타당하고 논리적이 피고의 진술'P'는 거짓이다"를 받아들이고 잇는 셈입니다 요컨대 검사가 제시한바 'P는 거짓이다'를 세계에 대한 실제적 명제로서 받아들이는 게 아니라, 그가 논리적 규칙에 의존하여 전개하고 있는 도출과정을 받아들이기에 'P는 거짓이다' 를 받아들이는 셈입니다 '거짓 명제를 증명한다'는 말이 직관적으로 기이하게 여겨지는 이유는, 이렇듯 세계에 대한 명제 자체의 실제 진리값과, 그 명제에 특정 값을 할당했을 때 논리적으로 귀결되는 바의 값을 혼동했기 때문입니다 논리학은 세계에 대해 말하지 않습니다 세계에 대해 말하는 것은 실증과학이고, 논리학은 그 과학들이 말하는 것들 간의 일관성, 무모순성, 양립 가능성만을 다룹니다
말이 길어졌습니다 귀류법에 대한 오해가 풀리셨길 바랍니다
@@조원준-h6k 헐 감사합니다 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 논리학공부 열심히해야지!
수학은 인간의 객관적사고의 결정체임. 즉 나는 이렇게 생각해라고 말할수 있는 주관적인 것들을 배제한 모든것임. 고로 수학과 현실의 관계는 모든 수학적 개념과 수식을 적용할수 있는 실제 현상이나 현실이 존재한다고 봐야함. 실제 우주는 인간의 객관적사고보다 더 크고 다양하므로 인간의 객관적사고를 능가하는 초객관적(주관적이아님) 현실을 반영한 우주가 존재할 것이라고 보는게 합리적임. 따라서 위에서 말한 칸토르가 무한을 객관적으로 잘 컨트롤할수 있는데도 불구하고 그걸 배제했다는 거는 완전 말도 안되는 기본이 안된 사고임.
06:24 정신 나갈 것 같애....
별로 중요한 건 아니지만 브라우어는 독일이 아닌 네덜란드 사람인 걸로 알고 있습니다!
17:53 왜 맘에 들지 않아해요? 집합론의 오류를 해결했으니 받아들여야하는거 아닌가여? 왜 싫어할까요?
논리주의자인 러셀 입장에서는 그 역설을 순수하게 논리적으로 해결해야 하는데, 유형론은 논리적으로 참인 명제가 아니기 때문이라고 알고 있습니다 집합을 구성할 때 그 원소가 될 수 있는 대상들의 자격에 일정한 단계에 따라 제한을 둔다는 것은, 분명 세계에 관한 형이상학적 내지 존재론적인 논제인데, 그 논제의 인식론적 성격이 논리적으로 보증되지는 않는다는 겁니다 쉽게 말헤 러셀의 유형론은 수학적으로 자명하지도 않고, 그렇다고 'A는 A이다'처럼 논리적으로 참인 성격의 주장도 아닙니다 그렇다 보니 (적어도 논리주의자로서는)집합론의 문제를 온전히 해결하지는 못한 것으로 받아들여졌습니다
뭔가 논리주의는 이론의 동기까지만 나와있고 정작 내용은 빠진 느낌...아마 영상으로 다루기 어려워서 그러셨겠죠
수학철학을 알고 이해하는것은 즐겁지만, 입시수학은 전혀 즐겁지가 않네요. 애초에 직관적으로 생각한다. 라고 할때 그 직관이라는것도 애매모호합니다.
저는 어느순간부터 애매모호한것을 불안하게 여겼습니다. 마치 피타고라스처럼 모든것을 설명할 수 있는 아름다운것으로 가득채워야 했습니다.
애초에 모든것을 정의하고 논리적으로 밝혀내려고할 수록... 뭔가 너무 심한 허황감에 휩싸이는거 같습니다. 더구나 제가 무슨 답을 찾으려했는지도 잊은거 같습니다. 판단과 분별이 모든 추론의 시작일까요? 애초에 추론이 뭐죠? 낱낱히 드러내자 저의 같잖음이 낱낱히 드러납니다. 애초에 논리가 뭐죠?
추론은 어떻게 하고 있죠? 논리학을 제대로 배우지도 않았고, 명제에 대해서도 제대로 알지못했는데? 어떻게 저는 추론이라는걸 하고있었죠?
이상합니다. 그 이론보다 먼저있던건 그냥 자연스러운 사람의 뇌가 아닙니까? 그 이론을 만들어낸건 무엇에 의하여였습니까?
입시수학을 맞이하며 느끼는 가장큰건 제가 미처보지 못한 섬세함이라던가.., 아니면 그냥 내가 틀렸다던가. 오답과 정답만이 논리의 전부같다고 느끼게 되는건데..
그들은 잘못된 추론이라는걸 하지 않았나요? 철학은 어째서 시작한걸까요? 아니 뭐가 뭔지 모르겠습니다. 나는 왜 정답과 오답을 세고있는거죠?
수학은 뭐죠? 정답이 없는 학문을 좋아하는데.. 오답이라는게 없는 학문을 좋아하는데.. 애초에 아무것도 없던시대에
그림을 뛰어나게 잘그리고, 뛰어난 논리를 추구하고, 좋은 필력으로 글을 써냈던 모두들은 도대체 뭡니까? 이론이라는게 과연 필요할까요?
중심이 되는 격이 필요할까요? 애초에 둘로 나누어 판단할 이유가? 굳이 개념어를 써가면서 구체적으로 잡을 이유가?
애초에 천재들의 괴로움은 뭐였을까요? 자신을 설명하고자 하는 시도? 내가 무엇을 모르는지 아는것? 단지 그것만으로?
공부법이라는것도 생각할수록 공부법이라는 글자가 되게 우스워보일정도이네요. 인간 사고는 자유롭고 자연스러운것인가?
뭘까? 뭘까? 진짜 뭘까? 아무책이나 잡고 읽어서 번뇌를 잠재우고싶습니다. 중간고사를 봐야한다는것이 슬픕니다. 이 번뇌와 함께 오답과 정답의 세계로 간다는것입니다. 도저히 두렵습니다. 무척이두렵습니다. 으아아아아 그렇습니다. 만화가 하려는 사람이 어째서 논리에 매달려있냐는 생각은 전혀해본적없습니다.
저는 사람의 인지에 대해 자세히 알고싶습니다. 천재들은 과연 이론없이도 어째서 그런것들을 잘 만들었던걸까요.
아니 뭐가뭔지 모르겠어 진짜 모르겠어. 입시수학을 왜 하고있지? 난 왜 수학을 하지? 궁금한것은.. 왜 교육과정에서 수학을 가르치는거지?
논리학을 가르치면 되잖아? 그게 훨씬 사고력에 좋을텐데. 많은 책을 읽게하고 답이없어보이는 난해한문제를 출제해서 계속해서 토의하고 토론하는것을 해도 되잖아? 왜 수학을 하지? 수학은 논리인가?
진리를 찾아 헤매시는 것 같습니다
무척이나 고통스러워 보여 안타깝습니다
무지의 지를 설파한 소크라테스를 본받으시는 게 어떠할까요
주제넘게 훈수를 두었습니다...
애초에 니가 이과 성향이 아니라 문과 성향인거임 ㅋㅋ 진짜 수학 재능이 뛰어난 사람들은 논리학에 관심 안가지고 그냥 자기가 탐구할 수 있는 수학적 대상에 집중함 꼭 수학에 재능 없는 문과 성향인 사람들이 논리학에 빠지지
@@리드-w7k 이거 ㄹㅇ이었어요. 근데 지금은 저런 고민에서 벗어났어요. 아니 이젠 필요없어요. 수학이라는 학문을 접근하는 다양한 편향이 있다고 생각해요. 저 스스로도 수학에 재능이 없다고 생각했어요. 근데 계속 다른분야도 공부해보고 다시 수학을 들여다보니 이제 이해가 되더라고요. 이만큼 쉬운게 또 어딨나? 싶고.. 학창시절 때 물리학이 재밌었어서 물리학 책 하나 구해서 공부해볼 마음을 갖고있어요. 양과 기하적인 개념, 그 외에도 다양한 대상이 있지만 이것을 사념적으로 연구하는 바가 밀집된것이 수학이란 거대한 분야라는게 감각으로 와닿을 수준이 되니 이제는 논증을 스스로 이해하고 어떻게 집중하면 어떤 수준까지 오를지 알고있어요. 풀이과정의 필연성도 받아들여지고.. 저는 어떤 학문에도 특화된 기교는 없지만, 결국엔 통찰을 갖는 재능이 있어요. 학문에 특화된 정신이 있다고 가정하는게 얼마나 가혹한 것인지, 생각의 끝에서 어떤 대상을 연구하던 그 방식은 삶의 방식에서 비롯된다는 이치가 정말 체내에 새겨지고서부턴 전 예술도 다양한 분과학문도 어떤 식으로 이루어진것인지에 대해 이해했습니다. 말씀하신 바처럼 저는 수학을 못해서 다른 구석에서 그 구제책을 찾으려했던거예요. 저는 스스로 공부한적이 없어 나약하게도 자신을 믿지못하고 방법론에 얽매여있었어요. 근데 스스로 한다는게 어떤건지 깨달아서 괴롭지 않아요. 서툴게라도 세상을 이해하는 즐거움을 알아서 이젠 전혀 슬프지 않아요. 옛 댓글에 달아주셔서 감사함다.
이건 조횟수가 왜 이렇게 낮나요
브라우어씨의 주장을 받아들이면 블랙홀은 어떻게 설명을 ㅠㅠㅠㅠ
참이지만 증명불가능한 명제가 있다고 하셨습니다. 하지만 여기서 의문이 생깁니다.증명이 안되는데 그 명제가 참이라는걸 어떻게 알까요? 속시원하게 대답해주실 분 있으신지요..
마지막 영화 제목이 뭔가요?
히든 피겨스
아닌가요?
형식주의에서 왜 완전성과 무모순성이 요구되죠?
형식주의를 게임에 비유했는데
게임에서 모순(error)는 많이 나타나잖아요?
1년전 댓글이지만 답글답니다. 왜 형식주의에서 완전성과 무모순성이 요구되는가는 사실 간단합니다. 수학 자체가 게임에 국한된 것이라면, 오히려 그 게임에 적용되는 룰에 한정해서 완전성과 무모순을 가진다는 겁니다. 형식주의적 입장에서 수학적 앎이란 말그대로 설정된 룰인 공리계에서 완벽히 게임을 실행할 수 있다는 것이지, 그 게임 자체의 참과 거짓을 논하자는 것이 아닙니다.
즉 예시를 들어 어떤 게임에서 승리 조건의 룰이 "죽여야만 한다"는 것은, 죽여야한다는 것의 도덕적 시비나 참거짓과 상관없습니다. 말그대로 게임이고 그 게임상의 룰이 설정된 것에 따라 승리를 쟁취하면 됩니다. 이것이 바로 형식주의에서 말하는 완전성과 무모순성입니다.
만약 수학에서의 공리들이 충돌한다면 이미 수학은 룰자체부터가 충돌하고, 이는 수학 자체가 게임으로써, 즉 학문자체로도 성립할 수 없다는 것을 의미합니다. 룰(최소한의 형식조차)부터가 문제라면 그것은 게임(수학)이 아니다.
덧, 도움이 되셨길...
잘은 모르지만 수학의 형식주의가 제일 와 닿네요.
그래서 우리나라 교육 수학이 무조건 공식 외우기로?
숫자가 뭘 의미하는지 알 필요가 없어서?
수학이 재미있는 학문같은데. 왜 이렇게 어렵게 가르치는지.
공교육 수학 내용이나 배열을 재미있게 좀 바꾸었으면 좋겠어요.
유니콘은 존재하지 않기 때문에 백마가 아닌 것이 참이므로 배중률에는 문제가 없다고 생각합니다... 저는 이런것이 논리이고 기초라고 생각합니다.
수학이 모든것의 기초인데 기초의 기초를 만들려는 것이 오류이고, 애초에 만들어진 것이 기초가 될수가 있을까요...
마치 그림을 그리는 기초가 종이인데, 종이 위에 종이를 그리는것과 같습니다..그릴 필요도 없지만 무엇을 그렸든지 그리지 않은것보다 완전하지 못할것입니다.
@Asian Film Recommender 사람이 해석하고 정립하는건 수학적인 개념이지 수학이 아닙니다... 게임이라는 개념이 있어서 체스도 만들고 바둑도 만들수있는것과 같은것이죠... 모든것의 기초가 될수있는 추상적인 그것을 수학이라는 이름으로 부르고 있을뿐입니다..
@Asian Film Recommender 논리를 맞다 틀리다가 아니라 이상하다고 표현하는게 이상한것입니다... 그리고 모든것의 기초가 수학이라는게 사실인지 아닌지가 있는것이지 편협한 것이 있는것이 아니고 인간 문명이 비중있게 취급했는지 아닌지도 관련이 없죠.
@Asian Film Recommender 단순히 근거가 없다 편협하다 말하는건 플라톤적이 아닌걸까요?
직관주의시군요
20:24 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
수학을 잘 배우면 비논리적인 말을 평생 안 할 수 있을까요? ㅋ^^
수학철학 좋아해요! 고맙습니다!
수학과 기하학을 모르면 출입금지라는 플라톤의 아카데미아와 수능시험이 다른 것인가? 그까짓 수학, 기하학이 뭐라고 배우고 싶은 놈을 막아? 공사판 현장사무실에서 일년만 현장소장 심부름하면서 독학하면 수학과 기하학 공대 학사과정까지는 충분히 마스터하고, 덤으로 설계와 기능공과정도 배울 수 있다. 스펙에만 관심있고 배울 의지는 없는 기존의 대학생은 전부 퇴학시키고, 의지를 기준으로 다시 신입생을 모집해야 교육기관이다. 한국에 교육 한번도 없었으니, 이제부터 만들어야 한다. 현재 하고있는 지랄을 계속 교육이라 부르면 아이들이 최대한 성장해도 문재인, 홍준표까지가 한계다. 논어를 통해 공자가 직접 했던 말이 교육의 기준이 되어야 한다.
공대 학사과정을 1년만에 어떻게 마스터 해요 4년제는 괜히 있너
우크라이나 깃발... ㅋ~!
이~제 수~학은
예수님의 십자가를
만나야 한다!,
예수님의 십자가를 더이상 거부하고 더티면??????~
수학은 고통과 절망에서 벗어나지
못하게 될~ 뿐 이다
지팝백선생
수
가장 최신 수리철학에 대한 입장은 수학엔 아무런 철학적 색깔이 없다는 것입니다. 그리고 끝에 수학자들이 플라톤주의자라고 말했는데 이것도 헛소리입니다. 수학자들이 그렇게 무식하지 않아요. 물론 가끔식 플라톤주의자들도 잇긴하지만 걔네들은 극소수고 대부분 수학자들 자신들이 생각할때 수학이 실제로 우주에 내제한다고 생각안함니다. 수학의 목적은 자연이 수학이라서 그걸 발견하는게 아니고 수학의 제 1의 목적은 “수학문제풀기” 입니다. 이게 가장 큰 목적임. 그래서 수학기초론을 수학자들이 당연히 안합니다. 물론 수학문제 풀때 수학기초론도 좀 연구해서 거기서 도움받아서 풀리는 풀이적 발상도 있낀합니만 이것도 어디까지나 수학문제를 풀기 위함이지 수학을 완공히 할라고 기초수학을 연구하는 사람 왕따취급습니다. 21세기 가장 위대한 수학자인 엔드류 와일즈도 수학이란 무엇이냐는 질문에 “수학은 그냥 문제나 푸는거지 여기에 뭐가 더있냐”며 인본주의적인 수학연구에 대한 입장을 말했습니다. 님들 제발 종교적으로 생각하는 버릇 버리세요. 서양철학이 이런 면이 강한데 이거 굉장히 ㅂㅅ됩니다.
제가 알고 있는 바하고는 많이 다르네요.
수학이 우주,과학의 언어다라고 수학자들 강연에서 질리도록 들었는데
혹시 말씀하신 정보에 관해 간략하게나마 출처를 밝혀주실수 없나요?
@@informationphysici 강연에서 그런말 하는건 사람들이 그런말 해주길 바라니깐 센스적으로 해주는거지 그걸 믿어버리면 안되죠.
@@informationphysici 수학이 과학의 언어다? 그러면 생물학 화학 지질학 곤충학 이런건 수학 별로 안들어가는데??? 수학이 과학의 언어라고 말하는것도 물리학 한정이고 그것도 고체물리 이런건 많이 들어가지도 않고 천체물리학이나 양자역학 같은 분야들만 주력으로 쓰는거임. 그러면 나머지 과학분야는 뭐가됩니까?
^^