非回転体の体積【数Ⅲの積分法が面白いほどわかる】

[@ベトナム人留学生のナムです]

レベル3 マジで本番に出てもおかしくないレベル。良い問題だわ

[@libraryry]

とても分かりやすい！

[@たら-b3f]

むずいな

[@user-io2lz]

分かり易い

[@daisuecyakuman]

結構難しいねレベル3は
円すいの性質も理解していないとかなり厳しい。
どんな円すいであっても
底面と平行な平面で円錐をぶったぎれば断面の図形は必ず円になる。
もうひとつ
円錐の底面の中心と頂点を結ぶ線分上に必ず、上記の断面の円の中心が存在する。
この性質を前提としないと
解けない

[@sennayu1432]

それは円錐の方程式から簡単に導かれる結論なので、方程式をえればよい

[@アジピン酸-b7c]

まぁ、手間はかかるけどQ(x,y,0)とでも置いて奇跡求めても断面の方程式出てくる

[@sennayu1432]

図形的に考察しようとすると前提知識を要するかのように見えるが、ベクトルや座標を用いて解析的に分析すれば自明。

[@ryutotikayama]

なんで最後の点Rは断面積である円の中心だとわかるのですか？

[@chicha5358]

「円すいの頂点と底面の任意の直径」を含む平面で円錐を切った断面図を描けばわかると思います。

[@ryutotikayama]

@@chicha5358 もう少し細かく解説してもらっていいですか？

[@chicha5358]

@@ryutotikayama 中点連結定理の図が二つ並んだ図ができますね。Rが断面の中点とわかります。Rが断面の円の二つ以上の弧の中点、すなわち垂直二等分線上の点であることがわかり、中心であることが言えます。
と書きましたが、もっと簡単に言えるのかもしれません。錐体を底面に平行に切った断面は底面と相似になることからも言えるかもしれません。

[@xor00017]

2問目と3問目標問の問題

[@icutmyfinger]

レベル1はfocus goldですね

[@YouTubeAIYAIYAI]

備忘録備忘録‘’V 非回転体の体積 Lv1. 省略
Lv2. 立体を 平面 x＝t で切った切り口の面積を S(t)とする。
頂点が z＝1－t² となるから、 ( －1 ≦ t ≦ 1 )
放物線 z＝－2y²＋( 1－t² ), z＝0 とおくと、
y＝ ± √( 1－t² )/2 だから、
S(t)＝ 2/6・{ 2・√( 1－t² )/2 }³ ＝ 2√2／3・{ √( 1－t² ) }³
∴ V＝ ∫ S(t) dt t : 0→1, θ : 0→π/2
＝ 2√2／3・2 ∫ {√( 1－sin²θ ) }³ cosθ dθ
＝ 4√2／3 ∫ cos⁴θ dθ
＝ 4√2／3 ・ ( 3･1／4･2 ) ･(π/2) ＝ √2 π／4 ■
Lv3. 立体を 平面 z＝t で切った切り口の面積を S(t)とする。
頂点が P( 0, s, 1 )のときの円錐を 平面 z＝t で切った切り口の円は、
中心( 0, st, 1－t ), 半径 1－t で、 s を －1 ≦ s ≦ 1 で動かして、
S(t)＝ π ( 1－t )²＋2 ( 1－t )・2t, V＝ ∫ S(t)dt ＝ ( π＋2 )/3 ■