Beweis des Satzes vom Maximum und Minimum

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== Quelle ==
Dieses Video stammt vom Podcast "The Wicked Mu" der Ludwig-Maximilians-Universität München.
Link zur Folge: thewickedmu.physik.uni-muench...
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== Lizenz ==
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[@gewinnste]

Der Satz von Bolzano-Weierstraß sagt doch nur, dass x_n (mindestens) eine konvergente Teilfolge enthält, aber nicht, dass der zugehörige Grenzwert gerade das Urbild des höchsten Funktionswertes ist. Die Teilfolge könnte ja gegen *irgendeinen* Wert im Intervall [a,b] konvergieren. Nur das sagt jedenfalls der Satz von B.-W. - Also wir hatten in einer Übung den Beweis auch so wie im Video, also mittels Satz von B.-W., und mir ist auch klar, dass man sich eine Folge derart konstruieren kann, dass sie gegen das Urbild des höchsten Funktionswertes konvergiert. Aber wenn man das einfach so fordern kann, wozu braucht man dann noch den Satz von B.-W., der ja, wie gesagt, nur garantiert, dass es irgendeine Teilfolge dieser Folge gibt, die irgendeinen Grenzwert im Intervall [a,b] hat?

[@yigit3970]

Irgendwie hat jede nicht leere Menge M eine Folge xn die gegen sup M konvergiert. Diese hat eine Teilfolge xnk die gegen wie du sagst eine beliebige Wert konvergiert. Da aber der Grenzwert eindeutig ist muss diese Wert das Supremum sein. D.h. die Teilfolge konvergiert gegen das Supremum.