【ボヤイの定理】一見むずそうなのにシンプルで美しい証明がヤバすぎた【ゆっくり解説】

[@mictake39]

4:42 からの部分
モデルの三角形が綺麗すぎて一瞬「これどんな三角形でも言えるのか？」と思ってしまいました。
鈍角三角形でも鈍角を頂角にすれば確かに長方形にできますね。

[@p0kMNyziCA-o5r]

この方法でパズル作ったら粉々になりそう

[@四方山魔耶]

デジタルゲームならワンチャンあるかも。

[@てんとう虫-p2u]

サラサラになるやん

[@まぁライオン-o8k]

​@@てんとう虫-p2uこれが砂リスの原型となったのであった

[@増田紀宜]

たしか このボヤイは あの非ユークリッド幾何を発見したボヤイのお父さん‼️✨

[@guutmaph06]

すげー、証明がほんとに鮮やかで感動しました

[@ぱせり-s9t]

AとBから正方形を作ったときのピースはそれぞれ違う形だから、Aから経由してほんとにBまでたどり着けるのかなと疑問に思ったけど、
出来た2つの正方形を重ねて、最大公約数みたいなピースを作ればいけるのか

[@試作遊戯]

step3「任意の長方形は、同じ面積の正方形に組み直せる」の逆を使えば、
step4「任意の2つの正方形は、その面積の合計と同じ面積の正方形に組み直せる」はほぼ自明だな。
(同じ幅の長方形に分割して、がっちゃんこして、また正方形にすれば良い。)

[@試作遊戯]

3次元版を考えようと思ったら解決済みか、、残念。
しかも、2次元ではできるのに3次元ではできないとか、めちゃくちゃむずそうな気配😂

[@p0kMNyziCA-o5r]

もっと詳しく

[@試作遊戯]

@@p0kMNyziCA-o5r
図形書かずにこれ以上説明するの難しいですが、↓こんな感じ(組み換えのタイミングで"同じ面積の"っていちいち書くと冗長になるので割愛してます。)
任意の2つの正方形A,Bを考える。
Aの一辺の長さをaとする。
①step3の逆で、「任意の正方形は、有限回の操作で同じ面積の任意の長方形に組み直せる。」
(証明は、step3を逆向きに辿るだけ)
②①より、正方形Bは有限回の操作で下側の辺の長さがaの長方形に組み直せる。
そのような操作により生成される長方形をB'とする。
③B'をAの上から結合することにより作成される図形をCとする。
Cは1つの長方形である。(AとB'が、長さaの辺で繋がっただけ)
④step3より、長方形Cは有限回の操作で正方形に組み直せる。

[@試作遊戯]

3次元版に拡張できない理由は、「図形の分割」という操作が1次元の操作だからな気がしてきた。(例えば、2次元の図形を分割したときの断面は1次元、3次元の図形を分割したときの断面は2次元となり、ともに次元が1減る。)
2次元の分割を許容すれば、4次元の図形を別の4次元の図形に組み換えられるかも？

[@試作遊戯]

ちなみに、2次元の分割(断面の次元が2つ減る分割)は3次元の図形に対して行うと断面が線になる(無限個の線に分割するイメージ)なので、任意の3次元図形に組み替えれるのは当たり前。

[@hitoshiyamauchi]

ボヤイの定理の話は一度全部正方形にするというのが面白かったです。
どうも動画をありがとうございました。😀

[@miner1227]

一方バナッハ=タルスキーは、分割して組み換えるだけで図形を2つに増やした。（バナッハ=タルスキーのパラドックス

[@buddhagautama673]

一方イエス=キリストは、パン五つと魚二ひきを分割して5000人の群衆を満腹させた。(マタイによる福音書

[@DSE8991]

サムネ見て"どんな分割の仕方をしても"正方形に組み替えることができるって事だと勘違いして、
そんなわけないだろと思ってしまいました。

[@csuzuki9722]

面白かったです。
３次元でできない場合の例がひとつでもあるともっとよかったかな、と思いました。

[@ふくろう-y5l]

これを使えば円積問題も……
（円は多角形じゃない）

[@笹くれ-k7o]

一瞬期待しちゃったw

[@試作遊戯]

@@ふくろう-y5l
それが、有限界の分割と定義されている理由ですね！

[@jessie2277]

無限角形だから有限回の分割じゃ無理ってことになるのかな

[@叫我钱多多]

∞角形

[@p0kMNyziCA-o5r]

円積問題って何かわかってる？？

[@ジャージン-z3h]

これはすごい。わかりやすい。

[@名無権兵衛-l1y]

粉にすりゃどんな形でも作れるし

[@ravenjohnny]

それは無限回に分割できる時やな

[@yoke9162]

重箱の隅ですが、steo2で頂点から垂線を引いて三角形を分割するためには、鈍角三角形の場合は、鈍角を頂点にするように向きを変えないとだめですね

[@Queen_Of_Ants]

粉々にしてクッキーみたいに形つくったら余裕じゃねと思ったけど
それは無限回分割だからできないのね。
これがオッケーなら分割払いを無限回にして一回タダだから実質タダでなんでも買えるのに。
（もちろん無限払いができる人間もいないから無理）

[@mpettan]

次元数が違うからといって定理が崩れるのは何か重大な条件を見逃してるんだろうと思ってしまう

[@098mu]

直感的に切り刻めば点に近くなるから組み替えたら別の図形にできるよね。同じ理論で立体でもできるじゃんと思ったけどできないのか

[@さむお-y1c]

三次元の組み替えはなぜできないのだろうか
二次元にはない複雑さが三次元にはあるように見えるけどどうすれば説明できるのか

[@indigotom8969]

分割組み換えで不変となるデーン不変量というものを構成しておいて、例えば正四面体と正六面体でデーン不変量を計算すると一致しないことを確認する、というのが証明の方針です。

[@はなかみ-n2v]

四角形の枠に入っている水は、同じ面積の枠にピッタリ収まると考えたら当たり前かもしれない

[@ravenjohnny]

無限回に分割できればそれはそうなんよ

[@ybk1940]

これで「当たり前」と考えてしまうと、動画中で紹介されてる3次元でこれが成り立たない話がおかしくなるので、全然当たり前ではない

[@はなかみ-n2v]

@@ybk1940 あ、ごめんなさい
動画の途中でコメントしていたので2次元の場合でしか考えていませんでした

[@study_math]

以前タマキさんとこでやってて面白いなと思った記憶がある

[@yone1998]

この証明には「多角形Bが作図可能である」という前提があって、
「多角形Aと同じ面積の多角形Bが存在する」ならば「多角形Aと同じ面積の多角形Bが作図可能」か？という問いが残る。
「存在」の定義はなにか？「存在」と「作図可能」は同義？

[@tsukasa-mr6es]

そんな前提はありません。作図可能図形の性質はこの証明のどこにも使われていません。

[@yone1998]

@
作図可能図形って定規とコンパスだけで作図できるか、というやつですか？その話はしてません。
正方形に変形させたあとに、多角形Bに変形するには、現実問題、多角形Bに変形するための折り目がわからないと変形できませんよね？折り目を知るには同じ面積の多角形Bを一旦作らないといけないですよね？という話です。

[@tsukasa-mr6es]

@@yone1998
一般に、数学上の「作図可能」とは使える道具の制約を指しますので、悪しからず。
また、あなたが言うところの作図可能性は自明です。証明で示されている変形操作は全て可逆ですから、一旦与えられた図形Bを正方形に変形し、その過程で生じる切れ込みの位置を全て記憶しておき、その過程を逆に辿れば済みます。

[@MikuHatsune-np4dj]

分割数に制限が無ければ無限小に出来る訳でただの積分かなと思う

[@samidarexx]

金属製のタングラム、放り投げそうになったけど、手裏剣みたいで危険だから止めた

[@とっち-o8n]

STEP1は当たり前のように聞こえるが、本当か否かはきちんと証明すべきな点かと思います。

[@自由律俳句とかいう無法地]

頂点どうしを結ぶだけで三角形に分割できるかどうかは、自明じゃないかもしれないけど、
辺上の点も使って良いのなら自明だね。

[@paragical]

例で出てきたような凹のある図形でも出来るのか気になった

[@ニーマイヤー]

自明だろ

[@1jz182]

最初に入っていた紙を捨てたらダメよw

[@reeng_spark238]

8:10これ錯角ではなくて平行角かなんかだった気がするのですが…？

[@karasumi79]

同位角ですね

[@oppyoko]

日本人なら、『ラッキーパズル』

[@neogoch]

すげー、

[@福田英人-v2w]

地理の領土分配に使えるかな？🤔と思ったけど、地下資源の差は考慮外だから、絶対一悶着なるね。はぃ、撤収！😳✨👹💩

[@ふぁいあちゃん]

応用数学かなんかで、実際そういうことが考えられてたような気がします(出典出せなくてすみません)

[@ryosuke8093]

こんな簡単だったなんて。

[@士-x7e]

分割するとき、厳密には境界点はどちらにも属するということ？

[@ひよっこ-f2n]

STEP2について
二等辺三角形の場合のみでの証明にしかなってないのでは？
なのにまとめとして、｢どんな三角形でも｣って言ってるのはおかしいと思います。
一般には、平行四辺形を1回挟んでから長方形に持っていくんじゃないかな

[@あうら-g2j]

二等辺三角形である必要はありません。本質的には『直角三角形を切って繋げれば長方形になる』で、直角三角形以外に対しては垂線で切断した双方に同じ作業をしているだけです。

[@hitachi05]

中点連結定理よりどの三角形でも成り立ちます

[@ひよっこ-f2n]

僕の書き方が悪かったですね
△ABCを、∠A＝1°、∠B＝2°、∠C＝177°とします。
また、辺ABと辺ACの中点をそれぞれM、Nとすると、中点連結定理より、BC//MNです。
ここで、頂点Aから直線BCへの垂線αを下ろします。
この時、辺MMと垂線αは交点を持たないので、動画で言っているような操作が出来ません。
これを解決する手段として、頂点Aから直線MNへの垂線を下ろすのではなく、直線Aと辺MNの中点を結ぶ線分βを考えてあげることによって、明らかに線分MNと線分βは交点を持つため、動画と同様な手段で証明が可能です。
一方で、｢垂線を下ろす｣という事にこだわるとすると、任意の三角形において、上手く中点を2つ選ぶことによって、ある頂点からの垂線と、それ以外の2頂点からなる辺に平行な｢2つの中点を結んだ線分｣が垂直に交わるという事を示す必要があります。
つまり、僕のコメントに最初にレスをくださった方の考え方に寄せると、｢任意の三角形は、2つの直角三角形に分割することが出来る｣という事を示す必要があります。（ほぼ自明ではありますが）
ですが、これを考えずに動画のような操作をしてしまうと少しエラーが起こります。
例えば、さっき考えた△ABCでは、辺ACの中点Nと、辺BCの中点Lを結ぶ線分NLと頂点Cから辺ABに下ろした垂線は垂直に交わります。
つまり、垂線と中点同士を結んだ直線が垂直に交わるような 頂点と辺の組がどんな三角形に対しても少なくとも1つあるという事を示さなくてはいけません。
自明と言われればそれまでですが、1番長い辺とそれに対応する頂点を選べば、求めるような状況を作ることができますね。

[@mictake39]

@@ひよっこ-f2n
鈍角(垂線を下ろすことにこだわるなら直角も含む)を∠Aにするだけで解決します。
垂線と辺NMが交点を持たない問題は、底角の1つが鈍角だった場合にのみ発生するからですね。

[@KoKKoKK-lr9eq]

地獄の空気でさようなら😂

[@もんぶらん-n9v]

そりゃそうじゃない？多角形が点の集まりと考えると形なんて自由自在に変えられると思うんだけど...

[@atbashworld9456]

正方形から同じ面積の円を作図することは不可能。点の集まりだからといって有限回の操作でどんな形にもできるとは限らない。

[@nyushisugakunoshoaku]

点の集まりっていうのは無限個の点なわけで、今回は有限回の分割考えてるからな

[@darkmarkx]

​@@atbashworld9456作図できないは間違い
定規を使っては作図できないのと、πが無理数なので厳密な同じ面積ではできないだけ。

[@professor_t]

正方形→円の変換とはまた話が違う
それは作図のルールに限定した話だから、今回とはほぼ関係がない

[@阿部寛-m3v]

@@atbashworld9456
それちゃんと理解してないだろお前ｗ

[@まきたか-q2q]

🎉

[@tedestette]

これ、
どんな多角形でも正方形に組み替えられるということを示して証明してるけど、
厳密に言えば、『既に有限回数に切り分けられた』正方形をどんな多角形にも有限回数の切り分けで組み替えられる、ということを証明しないと、題意は証明できてないよね…？

[@KisukiLine120]

正方形が既に有限回数に切り分けられたかどうかは関係ありません。
目的となる多角形を組み替えて正方形にできるのならば、その逆をたどることで正方形から目的の多角形に組み替えることができます。

[@sayonakidori62]

ふた通りに分割された正方形を重ね合わせて、同じ切り方になるように、それぞれに追加の切れ目を入れればいいんですね。
最小公倍数みたいな感じ。

[@tedestette]

@@KisukiLine120
説明不足で申し訳ない。上記補足させていただきたい。
自明と言われればそれまでですが、
『有限回数の切り分けA』と『有限回数の切り分けB』の組み合わせによって定義される操作が一つの『有限回数の切り分け』であるということは証明しなくていいのか、ということです。

[@MAGI-qq6jf]

@@tedestette AもBも回数が有限なのでしたら，その和も当然に有限です。
有限と有限の和により無限が発生することはありません。

[@天照謎龍]

​@@tedestette
•それぞれm回,n回(m,nは自然数)と表記でき、合計m+n回
•m+nは自然数でありm+n+1未満と有限
ということで。

[@ゆうすけ-w1c1n]

これ円積問題に矛盾しない?

[@youdenkisho455]

多角形 定義

[@ゆうすけ-w1c1n]

@@youdenkisho455 そうか

[@ゆうすけ-w1c1n]

円は多角形じゃないね

[@yuhshasama]

正65537角形以上は円ってことにしていいんじゃなかったっけ？

[@p0kMNyziCA-o5r]

円積問題って何かわかってる？

[@ddddd.2971]

一コメ

[@bow-nuts]

ああ、温泉宿の部屋によく置いてあるやつね