24 Jahre nach dem Abi festzustellen, dass man nicht mal mehr 9. Klasse Wissen in Mathe hat, ist leicht frustrierend. Aber auch schön zu sehen, dass ich das Wissen bis zum Schaun dieses Videos nicht vermisst habe.
Umgekehrt ist es weniger schön, dass man in der Schule wochenlang mit quadratischen Ergänzungen und „Scheitelpunktform“ verwirrt wird, was nach der nächsten Klausur wieder aus dem Kopf gelöscht wird (zurecht) und dann im ABI die Zeit fehlt für die Kurvendiskussion, mit der man die freie Zeit in der 9. Klasse hätte füllen können…
@@wollek4941 Fairerweise muss man sagen, dass das Wissen aus der 9. Klasse bis zum Abi größtenteils weg ist. Zumindest viele Nuancen, welche man dann beim Abi wieder beherrschen sollte. Finde es bringt nicht viel, Dinge wie Kurvendiskussion in der 9. Klasse durchzuarbeiten. Dafür müsste man denen die ganze Geschichte mit den Ableitungen etc. beibringen und irgendwann wird es halt ein wenig zu viel. Die meisten Leute in der 9. Klasse haben schon genug Probleme damit, sich grundlegende Rechenregeln zu merken und zu verinnerlichen. Muss dir aber bezüglich dem Teil mit der Scheitelpunktform recht geben. Das verwendet man effektiv nicht mehr auf Stufe Studium, außer in einigen (sehr) seltenen Ausnahmen und auch da gibt es Mittel und Wege, wie man es ganz weglassen könnte.
Bei mir sind es fünfzehn Jahre her und ich Stelle den Sinn der Aufgabe und die Art wie sie gestellt wird in Frage. Wer brauch in der Praxis so einen Unsinn? Reine Beschäftigungstherapie
@@simonsanchez5382 Eigentlich suchen Ingenieure ständig nach Extremstellen. Und dieses Land lebt von Ingenieuren. Naja. Noch. Nachwuchs gut es ja dann bald nicht mehr.
@@simonsanchez5382 ist schon klever gelöst aber auch so abstrakt, dass es für normale Menschen nicht unbedingt wissenswert ist. Die eigentliche Genialität der Sache habe ich erst jetzt als 44 Jähriger nach dem Video verstanden.
Ich dachte mehr an die Ableitung. A(x) = 2x² - 4x + 4 A'(x) = 4x - 4 Und die Steigung der ursprünglichen Funktion muß Null sein. Also muß die Ableitung Null sein: 4x - 4 = 0 | + 4 4x = 4 | : 4 x = 1
ich dachte auch erst an die Ableitung und dann Nullstelle. Aber sie sagte dann recht bald im Video "Wir sind ja in der 9. Klasse" dann habe ich mich mal davon faszinieren lassen, was man alles nicht mehr so präsent hat, weil man später andere Methoden kennengelernt hat.
@@isdochegal6183 Dito. Wer einmal von den süßen Früchten der Differential- und Integral-Rechnung genascht hat, vergisst gerne leicht die langen Rechenwege der Mittelstufe…
Ich schaue mir die Aufgabe an stelle fest: 1.: Es sollen 2 möglichst kleine Quadratische (Einlege-) Flächen sein 2.: Nirgendwo steht das diese sich und / oder den Rand des Tisches berühren sollen 3.: Ich werfe einen Blick in mein Werkzeugregal und stelle fest, der kleinste Stechbeitel ist 1 cm breit. Lösung: 2 Quadrate mit jeweils 1 cm Kantenlänge (kleiner geht nicht weil ... Werkzeug ;-) ). Wer hier eine andere Lösung erwartet, der muss die Aufgabe anders stellen und die Rahmenbedingungen entsprechend anpassen. somit Typische Matheaufgabe ohne jeglichen Bezug zur Realität..... und da fragen sich wirklich noch Leute warum Mathe in Deutschland so unbeliebt ist.
Den Scheitelpunkt zu berechnen ist eine schöne praktische Anwendung der Differentialrechnung. Das schult meine Meinung nach das allgemein mathematische Verständnis abseits reiner Formel- Technik! So hatte ich Freude auch nach 50 Jahren diese Aufgabe lösen zu können. Danke für die immer wieder spannenden Aufgaben! Sigi
Der Aufgabentext ist ein Witz. "... aus Kostengründen". Die Randbedingung, dass die zu minimierenden Quadrate sich auf einer Ecke berühren und je zwei Seiten an der Tischkante liegen, steht nicht im Text. Lösung: 0 m² für die beiden Quadrate also. Antwort in Textform: Aus Kostengründen wird auf Einlegearbeiten verzichtet. Die Aufgabe ist so ein Fall, bei der die Kombination einer mathematischer Aufgabenstellung "mit Praxisbezug" komplett misslungen ist. Note 6 für den Lehrer/Autor, der diese Aufgabe formuliert hat.
Die Argumentation passt nicht, denn es werden Einlegearbeiten vorgeschrieben und keine ist halt keine. Allerdings darf die halt sehr klein sein und wie klein ist auch nicht definiert. Dann könnte man argumentieren, dass die Zeichnung Teil der Aufgabe ist, aber dann ist auch vorgegeben, dass beide Einlegearbeiten ungleich groß sind .... und wieder das Problem der nicht definierten Nachkommastellen .... Alles in Allem war 1 völlig klar, aber mein rebellisches Ich in der 9. Klasse hätte die Aufgabe völlig wegdiskutiert :)
@@andragon2485 Es sind diese blöden Lehrstoffziele, die hier völlig verunglückt sind. Mathe + Textverständnis + Praxisbezug. Früher hätte die Aufgabe gelautet: Minimiere die Flächen der Teilquadrate durch Verschieben des Schnittpunktes entlang der Diagonalen! Übrigens könnte man auch hingehen und die Restflächen-Rechtecke maximieren. Eine Eigenschaft der Rechtecke ist, dass ihr Umfang konstant ist (hier = 4). Dann wird ihre Fläche maximal, wenn sie quadratisch werden; mit den Seiten a=b=1
Dieses Beispiel ist auch logisch lösbar (ohne Mathe): Wäre ein rotes Quadrat so grß wie der ganze Tisch, wäre das ein Maximum, Verkleinerungen sind mur möglich bis daß das zweite rote Quadrat dieselbe Größe wie das erste hat, also muß das Minimum der beiden Flächen zusammen bei 1m liegen.
Sei x die Seitenlänge der kleineren Intarsie. Bei x=0 ist die große Intarsie gleich der Fläche des Tisches und damit auf keinen Fall ein Minimum. Bei x=1 sind die beiden Intarsien gleich groß und haben zusammen die Fläche 2. Bei vergrößern von x über 1 entsteht genau die Spiegelung der vorherigen Situation. Also führt x=1 zur minimalen Fläche der Intarsien. Für die Fläche der großen Intarsie gilt im Intervall [0,1) (2-x)^2=4-4x+x^2, bei x=1 sind die beiden Intarsien gleich groß, im Intervall (1,2] tauschen die Intarsien die Plätze. An den Rändern der Intervalle gilt Fläche der Intarsien gleich 4 für x=0 bzw. x=2 und für x=1 2. Da die Funktion stetig ist müssen alle Werte für die Summe der Intarsien im Intervall [2,4] liegen.
Aus der Aufgabengestaltung geht nicht zwingend hervor, dass die beiden Quadrate sich berühren müssen. Also sind auch Quadrate von 1 mm auf 1 mm möglich.
Hat das (ev) größere Quadrat eine Seitenlänge von 1+x, so hat das andere eine Seitenlänge von 1-x. Die Summe der Flächen ist (1+x)^2 + (1-x)^2, also 2 + 2x^2. Das ist minimal, wenn x=0 ist.
Das ist natürlich ein Ergebnis, allerdings trivial. Gar keine roten Platten einzulegen ist natürlich am günstigsten. Entspricht aber nicht der Aufgabenstellung.
x ist in diesem Fall nicht die Länge der Quadrate, sondern die Abweichung nach oben/unten von der mittleren möglichen Seitenlänge (1m). Mit diesem Rechnungsweg ist es tatsächlich am einfachsten, zur Lösung zu kommen. 👍
Hi, habs auch über die erste Ableitung gerechnet und mir dann die Frage gestellt, ob Ableitungen 9. Klasse Niveau sind-nein. Die Scheitelpunktform hätte ich nicht hinbekommen. Hatten wir auch nie, oder ich habe das durch die späteren Kurvendisskussionen vergessen. Die schnelle Variante kannte ich auch nicht. Fragt man sich, warum man manche Sachen erst so kompliziert lernen soll, wenn man später schnellere Rechenwege lernt. Danke fürs erklären!
Seit langer Zeit mein Reden. Wenn man den Kids nicht ständig mit so einem Quatsch wie „mache ganz wilde Berechnungen, dann kommt am Ende irgendetwas raus, da nimmst du dann zwei Zahlen und schreibst die in die Klammer mit einem großen „S“ dran und dann weißt du zwar immer noch nicht, warum das ganze, aber das ist ja eigentlich auch egal“ die Zeit stehlen würde, dann wären wir schon ein ganzes Stück weiter. Quadratische Ergänzung und SPF haben außerhalb mathematischer Spielereien keinen Wert. Das gilt auch für Exponentialrechnung, Bruchrechnen, Prozent u.a. Das könnte alles schon zwei Jahre früher im Lehrplan stehen.
sieht man das nicht gleich das es eins ist? Sobald x oder y größer eins wird, wird auch die Fläche größer als die Hälfte, also größer als zwei Viertel.
Sehe ich auch so. Ich hatte einen Mathelehrer der meinte er wolle sich einen Lösungsweg haben. Es würde reichen wenn wir nur "geraten" hinzu schreiben würden. Aber irgendetwas müssen wir schreiben. Ich denke bei dieser Aufgabe würde ich schreiben Kantenlänge 1 sorgt offensichtlich für maximale graue Fläche
@@alexanderweigand6758 Wieso sollte das offensichtlich sein? Man wird es sicherlich geometrisch begründen können, aber das müsste man dann auch machen.
@@Mathe_mit_ThomasBlankenheim Eine weitere Begründung wäre von der grauen Fläche ausgehend auch trivial. Die beiden grauen Flächen sind im Gegensatz zu den anderen rechteckig. Das Quadrat ist unter den Rechtecken der Spezialfall bei dem die Fläche bei konstantem Umfang maximal ist. Also ist die graue Fläche maximal wenn diese aus 2 Quadraten besteht.
@@Mathe_mit_ThomasBlankenheim eine Zahl größer eins zum Quadrat und eine Zahl die 2-x, also kleiner eins ist immer größer als das doppelte von 2*1². Das lässt sich sicher in Beweissprache schreiben doch das konnte ich nie.
@@mabel5395 Mein Sohn würde jetzt sagen, is' so! Wer einmal so eine Ausgabe gelöst hat, der weiß was bei raus kommt. Ist halt wie mit der minimalen Fläche einer 1l Dose. Aber gut erklärt. Und auch hier gilt, der Weg ist das Ziel. Also nicht nur das Ergebnis hinschreiben, wichtig ist wie man zum Ziel kam ;-)
Begründung ist einfach: Das Quadrat hat das beste Verhältnis zwischen Seitenlängen und Flächeninhalt (zumindest unter Rechtecken). Um rot zu minimieren, muss grau maximiert werden, daher muss grau zu Quadraten werden und das geht nur bei Quadraten mit genau halber Seitenlänge der gesamten Fläche.
@@mabel5395 Man kann es ausrechnen, aber die Logik sagt ja schon, dass das Minimum, für diese Aufgabe nicht höher sein kann als die hälfte, da es sich um ein Quadarat handelt.
Dafür braucht man gar keine Berechnung, 1x kurz nachgedacht, und man sieht auf einen Blick, daß beide Einlegequadrate die Seitenlänge 1m haben müssen. Aber zur Darstellung der angewendeten Formeln ist das Berechnen natürlich sinnvoll. Mach bitte weiter so, macht großen Spaß.
Wenn man hinreichend Erfahrungen mit Extremwertaufgaben hat, kann man das tatsächlich leicht sehen. Aber beweisen bzw ausrechnen muss man es trotzdem 😉
Sehr gut. Ich habe nicht gleich gewusst, wie ich das berechnen soll, bin dann über einfache Geometrie und Logik zum Ergebnis gelangt. Aber es ist besser, auch den rechnerischen Weg zu kennen.
Tolle Aufgabe. Ich hätte es über die 1. Ableitung der Formel A(x) und der Nullstelle der Ableitung berechnet. Was ja die lange Version Deiner Kurzform ist. 😊 Interessanter Weise konnte ich es sogar Logisch lösen. Da die Formel für A egal ob nach x oder y umgestellt im Prinzip gleich ist: A(x)=x²+(2-x)² o. A(y)=(2-y)²+y² und damit der weitere Rechenweg und das Ergebnis für beide identisch ist, muss x=y sein, was nur bei x=1 und y=1 möglich ist. 😃
@@Pitmaster_Cwäre jedenfalls wichtiger als quadratische Ergänzung und „Scheitelpunktform“, die ja selber wieder differenziert werden müsste, um zum Ergebnis zu kommen. Das haben wir SuS schon zu meiner Zeit nicht verstanden.
Dafür braucht man keine Formel, das Minimum ist immer, wenn beide Platten gleich groß sind. Da die Gesamtfläche 2x2 Meter ist, haben wir 2x 1x1 Meter als Minimum. Die Formel x=-b/(2a) hatte ich nie in der Schule, aber hatte es mir aber später beigebracht, obwohl man hier sogar ganz einfach die Lösung schon in der Formel sieht. Weil, die Nullstelle wäre bei 4, somit ist x-1=wurzel(0,5y-1) dann bei x=0 und x=2, jetzt noch den Mittelwert und das wäre x=1. Nochmal zur Probe 2*1^2-4*1+4=2. Für diese kleine Aufgabe brauche ich nicht mal ein Rechenweg aufschreiben, sondern nur mein Kopf und bin innerhalb von nur ein paar Sekunden auf demselben Ergebnis. Ich brauchte sowas seit der Schule nie wieder und meine Schulzeit war schon vor 17 Jahren vorbei.
Schade, dass ich diesen Kanal nicht schon zu meiner Schulzeit entdeckt habe ... hätte mir gut geholfen ... in den Videos ist alles gut erklärt, schön einfach und nachvollziehbar ... TOP! 👍
Da ist 9. Klasse schwerer als Oberstufe: Einfach per Ableitung A'(×e) = 4xe - 4 = 0 => xe = 1 erhalten und daran sehen, dass 2 m - 1 m = 1 m ist und beide Flächen je 1 m², also in Summe dann 2 m² groß sind und aus die Maus.
Die Ableitung nach 0 auflösen ist genau das was die erste Formel ergibt. Wenn du allgemein ax² + bx + c ableitest und nach 0 löst kommst du auf 2ax + b = 0 => 2ax = -b => x = -b/2a.
Wieder einmal: Prima erklärt. Danke! Aber so sehr mich auch die klaren Erklärungen und das Lächeln begeistern: Angesichts der mehr oder weniger erhöhten Schwierigkeitsgrade der Aufgaben empfinde ich die Hinweise der Einzelschritte oft als (viel) zu detailliert.
Das richtige sich ja auch eher an schlechtere 9te Klasse schüler, als an hobbymäßig an Mathe interessierten Cracks. Die werden natürlich auch unterhalten mit ihren eigenen ansätzen
Leider fehlt im Text der Aufgabe die Bedingung, dass sich die Quadrate in einem Eckpunkt berühren müssen. Solange sehe ich das Bild nur als unverbindliches Beispiel. Da ich dann zwei quadratische Einlegearbeiten machen muss, tendiert deren Größe durch die Textvorgabe gegen 0 x 2 und ich bin nur durch physikalische Gegebenheiten in der Winziglkeit beschränkt.
@@schnullobullo Blödsinn ist die Aufgabenstellung zu ignorieren. Und die besagt: x+y=2. 🙄 Du kannst natürlich auch ein Nichtquadrat mit Kantenlänge ungleich 2 untersuchen. Ändert nur nix am Ergebnis. 🙄
@@kaltaron1284 Bei einer quadratischen Parabel gibt es allerdings nur ein Extremum. Und ohne jetzt genauer darüber nachgedacht zu haben, wird bei dieser Form der Aufgabe entweder kein lokales Maximum auftreten oder die Lösung ist von vornherein auszuschließen.
@@johnscaramis2515Ist schon richtig, solange a nicht 0 ist, wird es immer ein Extremum geben bei einer quadratischen Gleichung. Was sowohl lokal als auch global ist, da es keine Wendepunkte geben kann. Trotzdem gehoert fuer mich zu einer vollstaendigen allgemeinen Kurvendiskusion die zweite Ableitung mit dazu.
Mal ganz ohne Rechnen vorab geschätzt würde ich sagen, dass die Fläche dann am kleinsten ist, wenn beide Intarsienquadrate gleich groß sind, mit Seitenlänge 1.
…weil der Definitionsbereich [0;2] beträgt und die gesuchte Fläche für x=0 und x=2 maximal wird (was wohl der quadratischen Funktion und Parabel geschuldet ist). Minimal muss es also werden bei x=(2-0):2=1.
Ja, und das ist auch völlig vernünftig!! Denn für x = 0 und für x = 2 wäre die Fläche maximal, das minimal muss aus Symmetriegründen in der Mitte liegen .
Die dunklen Quadrate werden klein, wenn die hellen Q. möglichst groß werden. Das werden sie, wenn ihre rechteckige Form zum Quadrat wird (maximaler Inhalt bei gegebenem Umfang). Dann liegt der Zentralpunkt genau in der Mitte des Gesamtquadrats, teilt dieses in vier gleich große Teile. Jeder Teil ist 1x1 m groß, dunkle Q. zwei m2 zusammen, helle auch. Würde ich den Schnittpunkt nahe zu einer Außenseite des Gesamtquadrats legen, erhalte ich ein größeres dunkles Q. mit drei oder mehr m2 plus das kleine dunkle Q., also insgesamt schlechter. Ist ein bisschen schwierig nur mit Text darzustellen, aber Susanne wird es verstehen.
Mein erster Gedanke war: "müsste das Minimum nicht 50% sein?" Ich habe keine Ahnung wie ich drauf gekommen und hatte auch keine Idee wie ich es berechnen sollte. Schöne Aufgabe, wie immer. 🙂
Es geht um Flächeninhalt. Flächeninhalt wird berechnet indem zwei Längen miteinander multipliziert werden. Die Funktion, die den Flächeninhalt in Abhängigkeit von x angibt, ist deshalb eine quadratische. Ist x = 0 oder x = 2, dann ist die rote Fläche gleich der Tischfläche. Weil die Graphen von quadratischen Funktionen symmetrisch bezüglich der Achse durch den Scheitelpunkt sind, muss der Scheitelpunkt bei x=1 liegen.
Bildlich hatte ich die Aufgabe in 30 Sekunden gelöst. Die grauen Vierecke, müssen so gross wie möglich werden. Wenn y sehr klein ist sind sie sehr klein. Wenn y grösser wird werden sie grösser. Das geht solange gut bis x=y danach werden sie wieder kleiner in dem Maase wie x kleiner wird. Also x=y=1
Genau das ist sie. Und man hätte daraus eine unterhaltsame Aufgabe zur Vermittlung mathematischer Zusammenhänge mit Bezug zur binomischen Formel machen können, statt so eine verkünstelte, praxisferne Intarsiengeschichte drumherum zu basteln. Finde ich...
Ich finde auch, dass dieser Lösungsweg zu kompliziert ist. Über die erste Ableitung hätte man x ganz schnell ausgerechnet und somit y ebenfalls. Ging bei mir deutlich schneller als der Lösungsweg über die quadratische Ergänzung. OK, die Scheitelpunktformel ist die kürzere Version, wenn man sie denn kennt (ich kenne sie nicht). Trotzdem tolles Video, wie immer.
Nur kennt man in der 9. Klasse noch keine Ableitung. 🙈 Ich bin allerdings der Meinung, dass quadratische Ergänzung und SPF ruhig aus dem Lehrplan gestrichen werden sollten. Dann kann man sich auch früher mit den wesentlichen Sachen beschäftigen. 🙈
Herzlichen Dank für diese Frage aus der 9. Klasse 🙏 Die Seite von dem kleinen Quadrat soll die Länge x haben. Die andere Seite 2-x Beide Flächen sollen einen Minimum haben, also die 2. Ableitung der Flächenfunktion A(x) >0 werden wir untersuchen ! A(x)= x²+(2-x)² 1. Ableitung: d/dx A(x)= 2x+2*(2-x)*(-1) = 2x-2(2-x) 2. Ableitung: d²/dx² A(x)= 2-2*(-1) = 4 > 0 also, wird der Wert den wir nach der ersten Ableitung finden und einsetzen, die Flächen Funktion minimum machen, demnach: d/dx A(x)=0 2x-2(2-x)=0 2x= 2(2-x) x= 2-x 2x=2 x= 1 m Beide Quadrate würden die gleiche Fläche haben: A₁= x² = 1² = 1 m² A₂= (2-x)² = (2-1)² = 1 m²
Ständig auf auswendiggelernte Formeln zürückzugreifen nimmt der Erläuterung jede Nachvollziehbarkeit. Ich hatte gehofft, dass wenigstens bei so einfachen Aufgaben wie dieser, darauf verzichtet würde.
Ich gebe dir zwar prinzipiell recht, aber wenn du die binomischen Formeln meinst, dann ist es so, dass diese so oft vorkommen, dass sie so ziemlich jedem geläufig sind (bzw. sein sollten). Aber man kann sie auch extrem schnell einfach durch ausmultiplizieren nachweisen: 1. BF: (a+b)² = (a+b) * (a+b) = a*a + a*b + b*a + b*b = a² + 2ab + b² 2. BF: (a-b)² = (a-b) * (a-b) = a*a - a*b - b*a + b*b = a² - 2ab + b² 3. BF: (a+b) * (a-b) = a*a - a*b + b*a - b*b = a² - b² Wenn Susanne diese Formeln, die in der Schulmathematik echt Standard sind, jedesmal noch herleiten würde, würde das die Videos nur unnötig in die Länge ziehen.
Wollen Sie alles bis zum kleinsten vorgekaut bekommen? Dann kämen Leute wie Sie um die Ecke, dass das Video zu lang sei und man doch sowas wie binomische Formeln nicht jedes Mal per Hand ausmultiplizieren müsse, weil dass muss man einfach voraussetzen. Und es gibt halt einen gewissen Satz an Formeln, den man einfach parat haben MUSS.
Wieso sollte das die Nachvollziehbarkeit nehmen? Eigentlich ist es Sinn und Zweck von Formeln (Säzten), sie nicht jedes mal wieder herleiten und beweisen zu müssen.
@@johnscaramis2515 Hat man die parat, bedeutet das, dass man auch mit der Problematik der Aufgabe gut vertraut ist und nichts aufzufrischen hat. Deshalb beklage ich die geringe Sinnhaftigkeit dieser Videos.
@@bingomachine Reicht noch nicht. Man muss auch deren Nullstellen finden. Aber 9. Klasse Stoff ist das noch nicht. Hat mein Vorredner schon geschrieben. Ich hatts nicht erwähnt.
Hallo Susanne, Deine Lösung ist nur richtig, wenn die Ecken der kleinen Quadrate in den Ecken des großen Quadrates liegen. Was passiert aber, wenn die kleinen Quadrate um 45 Grad gedreht werden und mit jeweils einer Ecke auf der Hälfte der Seite von 2 m liegen. Dann sind die Quadate kleiner und zwar haben sie eine Seitenlänge von 0,7071. Die Fläche jedes Quadrates ist dann 0,5 m^2. Ich glaube aber das deine Lösung trotzdem als gültig anerkannt würde 😊😊😊
… stimmt! In der TextAufgabe ist nicht angegeben, wie die IntarsienQuadrate liegen sollen, auch die Grafik zeigt keinen rechten Winkel ausdrücklich an! Die Intarsien können also zur Tischkante im Winkel zwischen 90° und 45° liegen.
@@KoJoTe-hp4zk Die rechten Winkel sind sehr wohl (implizit) angegeben durch die Definition eines Quadrates und die Grafik gibt die Ausrichtung vor, da die Kanten der Quadrate eindeutig deckungsgleich sind.
Leute in welcher Welt lebt ihr denn? Definitionsbereich bei solch einer Aufgabe. Das ist keine Raketenmission zum Mond oder die Nachvollziehung der netten Einsteinschen Formeln (lohnt sich im übrigen). Einfach einmal die erste Ableitung bilden, Null setzen und fertig ist!
Ganz ohne Funktion ergibt sich bereits aus dem Definitionsbereich dass x für null und zwei maximal wird (also die gesamte Fläche einnimmt) und schon deswegen in der Mitte also bei x=(2-0):2=1 minimal werden muss. Das ist quasi die nicht verbildlichte Argumentation der Achsensymmetrie einer Parabel für alle die nicht wissen was das ist.
kurze Frage muss bei dieser Aufgabe gerechnet werden? Um den kleinsten Flächenanteil hier zu finden können wir ja bestimmen, dass alle Quadrate gleich groß sind und kommen dann halt auf je 1m² -> 1m je Länge. Habe damals das Gymnasium abgelehnt, da ich eine Lese- Schreibschwäche habe. Kann jedoch richtig gut mit Zahlen jonglieren. Schreibe dies, da ich damals in der Schule sicherlich Stunden lang mit meinem Lehrer diskutiert hätte um eine solche Rechnung nicht schreiben zu müssen
Scheitelpunktgleichung ist für jene, die nicht differenzieren. Mit den beiden Bedingungen hätte man gleich differenzieren können. Im Nu erhält man für x den Wert 1 und damit die Extremstelle.
@@marionmaierphilonatura klar. Man braucht auch hier die Ableitung und Nullstelle, um die Extremstelle mathematisch nachzuweisen. Es ist ja nur eine umgeschriebene Ausgangsfunktion. Und genau da beißt sich die Katze in den Pürzel. Kein einziger Nichtmathematiker würde überhaupt auf diesen aufwändigen Rechenschritt kommen, um den Scheitel „abzulesen“. Und deswegen halte ich es für vollkommen sinnfrei damit Generationen von Schülerhirnen zu malträtieren, die das Minuten nach der Klausur (zurecht) wieder verdrängt haben.
Hallo Susanne, guten Abend. Mal sehen, ob ich das noch hinbekomme. Die rot schraffierten Quadrate sollen die Flächen der Einlegearbeiten sein. Zusätzlich soll diese Fläche möglichst klein sein um Kosten zu sparen. Ich lasse zunächst die Einheiten weg. x sei die Seitenlänge des kleinen roten Quadrat Das große rote Quadrat hat dann die Seitenlänge 2-x Aufgrund der Aufgabestellung ist bekannt das größer gleich 0 und kleiner gleich 2 sein muss. x €R mit [0;2] Die Fläche Ae der Einlegearbeiten setzt sich zusammen aus der Summe der Fläche der 2 roten Quadrate. Ae = x^2 + (2-x)^2 = x^2 + 4 -4x + x^2 = 2x^2 -4x + 4 Damit ist Ae = 2x^2 - 4x + 4 die Zielfunktion, die möglichst minimal werden soll 1) Ableitungen f(x) =2x^2 - 4x + 4 f'(x) = 4x - 4 = 4(x-1) f''(x) = 4 2) Extrempunkte: f'(x) = 0 4(x-1) = 0 |:4 x-1 = 0 |+1 x=1 für den Wert x=1 ist die Fläche extrem. Die 2. Ableitung f''(x) = 4 liefert für jeden beliebigen Wert x einen Wert > 0 somit ist der in 2) gefundene Extrempunkt ein Tiefpunkt und die Fläche (=Wert der Zielfunktion) minimal. Für x=1 beträgt der Flächeninhalt Ae = 2* (1)^2 - 4*(1) + 4 = 2 Für x=1 erhält man 2 flächengleiche Quadrate mit jeweils dem Flächeninhalt 1m^2 DIe Gesamtfläche Ae beträgt dann 2m^2. Dies ist der kleinstmögliche Flächeninhalt. LG auch an Thomas, Sabine und Roger und noch einen schönen Abend.
Ich will nicht klugscheixxen, aber für x=1 bekommt man vier flächengleiche Quadrate, von denen zwei gesucht sind und zwei nicht. 😜 Der „kleinstmögliche“ Flächeninhalt, genauer das optimale Fläche zu Umfang Verhältnis, entsteht immer, wenn gilt: x=y und ergo die Fläche in vier gleiche Quadrate geteilt wird. Das ist deswegen banal, weil hier zwei Extremwerte gesucht werden: die gesuchte Fläche soll so klein, ergo die nicht gesuchte Fläche so groß wie möglich werden. Ist eine Variable null, dann ist die gesuchte Fläche maximal, das wollen wir gerade nicht, also muss gelten: x=y.
@@wollek4941 Hallo Wollek, ja, Du hast recht 🙂 Mich, und den Sparfuchs/die Sparfüchsin hat im SInne der Aufgabe aber nur die roten Quadrate interessiert. 🙂 Man könnte "klugscheissens-technisch" noch einen drauf setzen... Lass den Punkt an dem die beiden roten Quadrate aneinander stoßen auf der Diagonalen des "Tischquadrates" von links oben (rote Fläche extremal, graue Fläche gleich 0 nach rechts unten wandern... Bis zur Hälfte der Diagonale (x=1) wächst die graue Fläche und die rote Fläche schrumpft... danach passiert genau das Gegenteil, weil die roten Quadrate "die Plätze tauschen", ein Weiterwandern auf der Diagonalen Richtung rechte untere Ecke den gleichen Effekt hat, wie wenn man von der Diagonalen-Mitte wieder "rückwärts" Richtung linke obere Ecke zurück wandert. Somit ist also an der Diagonalen-Mitte mit x=1 das optimale Ergebnis mit rote Fläche minimal, graue Fläche maximal erreicht.🙂🙂 Dir morgen einen angenehmen Freitag und dann einen guten Start ins Wochenende. LG aus dem Schwabenland.
Um die y-Koordinate des Scheitelpunkts, also ys, auszurechnen, muß man nicht unbedingt die Scheitelform herleiten. Man kann auch einfach den x-Wert des Scheitelpunkts, also xs = 1, in die Funktionsgleichung y = 2x^2 - 4x + 4 einsetzen und erhält ys = 2 - 4 + 4 = 2, also lautet der Scheitelpunkt S(1 | 2) und die Scheitelform y = a(x - xs)^2 + v = 2(x - 1)^2 + 2.
Und das ist kein Zufall, sondern liegt daran, daß der Scheitelpunkt auf der Symmetrieachse der Parabel liegt, und diese ist die Mittelsenkrechte zwischen den beiden Nullstellen, also liegt der Scheitelpunkt (bzw. seine x-Koordinate xs) immer genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen (arithmetische Mittel): xs = (x1 + x2)/2 = (-b + sqrt(D) - b - sqrt(D)) / (2a) / 2 = (- 2*b)/(2*2a) = -b/(2a).
@@goldfing5898…was im Ergebnis trotzdem nichts daran ändert, das auch die Scheitelpunktsform abgeleitet werden wollte, um die Extremstelle tatsächlich auch mathematisch nachzuweisen, statt sie nur abzulesen. 🙈😜
Ich wusste sofort, dass 1 die Lösung ist, konnte der Formelumstellung ab Scheitel nicht mehr folgen. Wie damals in der Schule. Alles Abstrakte legt mein Hirn lahm. :D. Ich werde niemals eine Theoretikerin ^^
1m*1m für beide Quadrate. Sind dann zusammen 2m^2. Nehmen wir einmal an, das die Seiten des einen Quadrats wären zwischen um irgendetwas zwischen 0m und 1m länger. Die des anderen Quadrats wären dann um den gleichen Wert kürzer. Nennen wir diesen Wert einmal d. (1m+d)^2+(1m-d)^2 =1m^2+2*1m*d+d^2+1m^2-1m*+d^2 =2m^2+2d^2 Genau! Die Fläche steigt dann um d^2.
Tolles Video Danke. Ich muss manche Grundlagen wieder erfrischen! Das ist so, als ob man den Punkt (0/0) verschiebt und dann den Punkt y* =0 findet. Ich kann mich nicht an solchen Aufgaben erinnern, bevor wir die ersten Ableitungsregeln gelernt hatten. Vergesslichkeit?!?
sehr einfach beim ersten Nachdenken. Schon bei der Simulation mit 2 oder 1,5 kommt mehr raus, je niedriger gegen 1 umso kleiner die Flächen. Der Beweis ist dann komplexer. Ich bewerte mit 2 von 6 (6=sehr schwer). Weiterhin: Zwei gleiche Intarsien dürften günstiger sein als zwei unterschiedliche Intarsien..
Genau so habe ich es auch berechnet. Schien mir am einfachsten und in wenigen Schritten durchzuführen. Die zweite Ableitung kann man noch machen, erübrigt sich jedoch, da es sich um eine nach oben offenen Parabel handelt. Und das alles nach 40 Jahren Schulabstinenz. :-))
@@carstentauber7042 Wie, steht in der neunten Klasse nicht zur Verfügung? Was lernen die Kids denn heute? Das kleine Ein-Mal-Eins in der achten Klasse? Eckenrechnung in der neunten? Dreisatz können die ja eh nicht mehr - oft schon genug erlebt. Ah, ok, malen nach Zahlen und seinen Namen tanzen. Kein Wunder, daß die Abgänger von heute in vernünftigen Ausbildungsberufen kläglich scheitern.
Das ist eine sehr schöne Aufgabe. Ich befürchte allerdings, dass in der neunten Klasse nur die wenigsten Schüler das wirklich hinbekommen. Ich würde die Aufgabe eher in der Oberstufe stellen, wenn es um Extremwertaufgaben geht. Dann kann auch die Problematik der Randwertuntersuchung sauberer mit einbezogen werden.
Es ist absolut kein Rechnen notwendig, um diese Aufgabe lösen zu können. Man muss nur 2 Punkte realisieren: 1. Minimum rot entspricht Maximum grau 2. Maximum von grau wird dann erreicht, wenn grau zum Quadrat wird, da das Quadrat das beste Verhältnis zwischen Seitenlängen und Flächeninhalt hat. Mit diesen Infos kommt man schnell auf die Lösung, dass es je zwei 1m*1m Quadrate für grau und rot sein müssen.
@@Mathe_mit_ThomasBlankenheim Das ist ein Fakt der aus der Tatsache kommt, dass die Kreisfläche die effizienteste Figur ist um das Verhältnis Fläche zu Umfang zu optimieren. Das Quadrat ist das Rechteck, dass dem Kreis am nächsten kommt. Man kann diesen aber mit einer Extremwert-Analsyse auch sehr leicht beweisen.
@@Mathe_mit_ThomasBlankenheim Doch das reicht. Mathematisch gesehen ist das Quadrat das Rechteck mit dem besten Verhältnis von Flächeninhalt zu Umfang, weil es dem Kreis ähnlicher ist als alle anderen Formen von Rechtecken.
Sagt einem nicht die Logik bei 2 Quadraten ist der minimale Flächeninhalt die Hälfte der Gesamtfläche, man muss doch nicht immer rechnen. Die Maße des Ausgangsmaterial geben die tatsächliche Lösung vor - der minimalste Verschnitt und die gewünschte Optik zählt😅....... vlt ist es dann evtl besser 2 Tische zu bauen ( Einfach super der Kanal, macht Spaß 👍)
Bei allem Respekt: Ist hier wirklich eine fast zwei Minuten lange Erklärung zur Begründung von "y = 2 - x" nötig? Du hattest doch an der Grafik alles schön beschriftet. Wenn du da einfach an das linke Teilquadrat direkt "2 - x" geschrieben und einen Satz (!) dazu gesagt hättest, dass die Seitenlängen der beiden Teilquadrate sich zur Seitenlänge des großen Quadrats aufaddieren, hätte das auch jeder verstanden, und das Thema "Nebenbedingung" wäre in 20 Sekunden durch gewesen, ohne dass es jemals ein y gegeben hätte. Aber Chapeau an die Leute hier, die die Lösung durch Nachdenken gefunden haben; besonders gut gefallen haben mir: a) Symmetrieargumentation nach Randwertbetrachtung: "Wegen A(0) = A(2) muss der Scheitelpunkt der Parabel bei x = 1 liegen." b) Umkehrschluss: "Die Fläche der roten Quadrate ist genau dann minimal, wenn die Fläche der grauen Rechtecke maximal ist. Die Rechtecke haben einen fixen Umfang, nämlich 2x + 2(2 - x) = 4, und somit als Quadrat die maximale Fläche. Also muss x = 2 - x ⇔ x = 1 gelten." Die allgemeine Scheitelpunktsformel x = -b/(2a) habe ich so explizit in der Schule nicht gehabt, aber sie lässt sich leicht herleiten: f(x) = ax² + bx + c ⇔ f'(x) = 2ax + b Nullstelle von f': 2ax + b = 0 ⇔ 2ax = -b ⇔ x = -b/(2a)
Diese Aufgabe ist einfach ohne Mathe zu lösen. Der maximale Materialverbrauch wäre, die ganze Fläche mit einem Quardat zu belegen. Das zweite Quadrat wäre dann nur ein Punkt in einer Ecke der Tischfläche. Verschiebt man diesen Punkt über die Diagonale der Tischfläche zur gegenüberliegenden Ecke, so erwächst aus dem Punkt das zweite Quadrat, während das erste Quadrat kleiner wird. Der Materialverbrauch wird also kleiner, weil die Unbelegte Fläche zunächst von 0 an beginnt zuzunehmen. Das geht bis zur Hälfte der Diagonalen, danach kehrt sich der Effekt um und die unbelegte Fläche nimmt wieder ab. Ergo liegt der minimale Materialverbrauch bei zwei gleichgroßen Quadraten. Somit haben diese die Seitenlänge 1m.
Das ist doch einfach abzuschätzen. Wenn das kleine Quadrat sehr klein ist, zum Beispiel 1mm, ergibt die rote Fläche praktich den Flächeninhalt des Gesamt-Quadrats. Genauso ist es anders herum aus Symetrirgründen. Das Minimum muss in der Mitte liegen, doch nicht etwa bei 30% zu 70%? Um auf die Lösung 1x1 Meter zu kommen, braucht es gar keine Infinitesimalrechnung. Mich würde interessieren, ob ich mit dieser Antwort die volle Punktzahl bekommen hätte.
Warum eigentlich die ganze Rechnerei? So wie ich das sehe müssen die Flächeninhalte der grauen Flächen maximal groß sein. Das sind sie, wenn sie quadratisch sind. Diese haben bei den 4-Ecken maximalen Flächeninhalt in Verhältnis zum Umfang. Wenn die grauen Flächen aneinander sich berühren, quadratisch sind, müssen sie je 1qm haben, also die roten Flächen auch je 1 qm, bei insgesamt 4qm.
Also in den meisten Aufgabentexten stehen ja das Wort "Berechne" und meistens auch mehr Spezifikationen, damit man nicht kreativ antworten kann 😅 Deswegen denke ich, dass du den Text aus Platzgründen gekürzt hast, aber manche Matheaufgaben in der Schule waren bei mir wirklich so schwammig formuliert, dass man alles antworten kann, denn aus dem Text geht nicht hervor, dass sich die Einlegearbeiten berühren oder in den Ecken liegen müssen wie auf dem Bild, demnach könnte man zwei Punkte aus dem Holz stanzen und jeweils einen Span reindrücken, dann hätte man die zwei kleinsten Einlegearbeiten der Welt. Und wenn sich die beiden Einlegearbeiten doch berühren und in gegenüberliegenden Ecken liegen müssen, kann man die Aufgabe auch optisch lösen und sich Zeit sparen. Dennoch finde ich den mehrstufigen mathematischen Ansatz sehr spannend, also Kurvendiskussionen und Extremwerte und Integrale (mit Fachwörtern um mich werf) hatte ich immer gerne gemacht, auch wenn ich die Hälfte wieder vergessen habe, weil Formeln halt 😄
Ich vermisse eine entscheidende Vorgabe in der Aufgabe, um es eindeutig zu machen ( oder habe ich einen Denkfehler?). Müssen sich die roten Quadrate berühren? Irgendeine Vorgabe muss doch noch zusätzlich da sein, um es eindeutig berechnen zu können. Oder? 🤔 Andernfalls könnten die Quadrate jeweils zb auch 1 Quadratmillimeter groß sein. Wäre dann aber auch nur eine von unendlich vielen Lösungen....
'Extremwertaufgabe' im Titel, und es kommt keine Ableitung vor. Verwirrt mich. Und ich finde die vorgestellten Lösungswege wahnsinnig umständlich. Von einer 'Scheitelpunktform' habe ich während meiner gesamten Schulzeit nie gehört (von einer p-q-Formel übrigens auch nicht; wir haben quadratische Gleichungen immer mittels quadratischer Ergänzung gelöst). Auch 34 Jahre nach dem Abi bin ich immer noch um ein vielfaches schneller als diese Erklärungen hier. Noch dazu habe ich beruflich mit Mathematik überhaupt nichts zu tun. Ich traue mich gar nicht, daraus Schlüsse zu ziehen ...
@@heinrichhaas8390 Lesen kann ich selbst. Mir geht es um den Begriff 'Extremwertaufgabe', der zu der Art von gezeigter Lösung nicht passt. Wir haben in der 10. Klasse differenziert und mit Kurvendiskussionen begonnen. Keine Ahnung, wann man das heute macht.
also das mit der quadratischen ergänzung muss son neumodischer kram sein, in meiner zeit hat man extremata noch mit der ersten ableitung ausgerechnet...kommt 4x - 4 raus, nach x aufgelöst ist das auch 1.
Anhand der Aufgabenstellung sollen ja nur x-Werte im Intervall [0;2] betrachtet werden. Wieso kann man davon ausgehen, dass der Scheitelpunkt (Minimum) der Funktion innerhalb dieses Intervalls liegt ? Solang man es nicht ausprobiert, könnte die Funktion in diesem Intervall auch stetig fallend oder steigend sein, dann wäre eine der Intervallgrenzen die gesuchte Lösung
Ja, könnte im gesamten Intervall fallend oder steigend sein. Man könnte aber noch zusätzlich feststellen, dass für x=0 und x=2 die Funktion den gleichen Zahlenwert haben muss. Dann kommen als mögliche Funktionen nur noch "gerade Funktionen" mit Symmetrieachse bei x=1 in Frage. [Gerade Funktionen bezüglich x=0 sind beispielsweise x^2, x^4, x^6, ... oder cos(x).] Das Maximum liegt bei dieser Aufgabe also immer bei x=1. Dies eingesetzt liefert direkt die Lösung; welche Funktion tatsächlich zu Grunde liegt ist eigentlich egal. Bemerkung: Auch die Funktion y=c mit c aus R ist eine gerade Funktion. Dann wäre sogar f(0) = f(1) = f(2). Mithin liegt also "ein" Maximum bei f(1).
Davon kann man auch ganz ohne Funktion und das Wissen um Parabeln ausgehen, weil die gesuchte Fläche für beide Grenzen maximal wird und also die gesamte Fläche einnimmt und dazwischen kleiner wird (lies: fällt). Ergo muss für x=(2-0):2=1 (oder die Mitte der Grenzen) die gesuchte Fläche minimal sein. Das ist quasi die verbildlichte Argumentation für alle die keine Parabel kennen.
Kann mir als Österreicher mal die 9. Klasse Gymnasium erklären? Bei uns Ösis ist das ja so, dass man zuerst 4 Klassen Volksschule besucht und dann ins Gymnasium (oder Neue Mittelschule...) geht, und das Gymnasium beginnt wieder mit der 1. Klasse, nach der 8. Klasse Gymnasium gibt es dann die Matura (Abitur), also es gibt gar keine 9. Klasse Gymnasium!
Man kann auch erstmal die Extrema betrachten: Ein Quadrat riesig, also 1,99m, das andere 1cm in der Breite. Dann ist fast die ganze Fläche damit bedeckt. Beide Quadrate gleich groß, dann ist 1/2 der Fläche bedeckt. (Leider steht nicht in der Aufgabe dass sich die Quadrate berühren müssen und dass zwei ihrer Seiten auf den Seiten des Tisches liegen müssen.) Jedenfalls wenn man dann schonmal die beiden gleich großen Quadrate hat, dann kann man überlegen was passiert wenn man die verändert. Wenn man das eine Quadrat um 1 cm je Seite länger macht, dann bekommst man statt 1 m^2 schon 1,0201 m^2. Und das andere Quadrat wurde dann auch kleiner um 1 cm je Seite und ist nurnoch 0,9801 m^2 groß. WICHTIG ist aber, dass das vergrößerte Quadrat um mehr GEWACHSEN ist als das andere GESCHRUMPFT ist. Und das kann man zeigen. Zunahme > Abnahme (a+n)^2 - a^2 > a^2 - (a-n)^2 Und das ist immer wahr für n>0. Damit wächst die Gesamtfläche von zwei gleichgroßen Quadraten wenn man die Seiten des einen Quadrats um n verlängert und die des anderen Quadrats um n verkürzt. Interessant wären jetzt Variationen mit zwei Quadraten unabhängig voneinander vergrößert werden dürfen, aber deren Schnittfläche nicht zur Gesamtfläche zählt.
A = x² + (2 - x)² = x² + 4 - 4x + x² => A = 2x² - 4x + 4 => A = 2(x² - 2x + 2) = 2 [ (x² - 2x + 1) + 1] => A = 2 [ (x - 1)² + 1] Und das wird am kleinsten, wenn x - 1 = 0, also für x = 1 Wozu hier die Überlegungen zum Scheitelpunkt der Parabel?? 😢
Halo Susanne gerne löse ich die Aufgabe, die mich an die Seminarzeit 1959 erinnert: F = x^2 + (2 - x)^2 > > F = x^2 - 2x + 2 die 1. Ableitung: y' = 2x - 2 wo y' 0 ist, haben wir den Scheitelpunkt: 2x = 2 >> x = 1 En Gruess aus der Schweiz HP
Natürlich ist der Flächeninhalt minimal, wenn a = b. Dann ist die rote Fläche genau die Hälfte der Gesamtfläche. Ansonsten ist es mehr. Geht mit den binomischen Formeln. 2ab mus dann maximal groß werden.
Im Scheitelpunkt ist die Steigung gleich Null. Also lässt sich die Gleichung A(x) auch lösen, indem die erste Ableitung gleich Null gesetzt wird. Ergibt das Gleiche.
Hätte man das Ergebnis nicht sofort anhand der Symmetrie hinschreiben können? Jede Lösung, die ungleiche Kantenlängen hätte kann nicht minimal sein, da diese durch Drehung in die "andere" Lösung überführt werden kann.
Ich finde ja schon lange, dass man den Schülern dann schon lieber in der neunten Klasse erklären kann, wie man ableitet, statt sie mit quadratischen Ergänzungen und „Scheitelpunktform“ zu traktieren. Das haben schon zu meiner Zeit neun von zehn Schülern nicht verstanden. Und für die qE ist mir außerhalb mathematischer Spielereien auch keinerlei praktischer Nutzen bekannt. Außerdem ist mir gerade aufgefallen, dass die Scheitelpunktform tatsächlich auch nix anderes macht wie die Ableitung. Nur der Weg dahin ist anstrengender. Ich bin ja bekennender Fan der Verhältnißmäßigkeitsrechnung und habe eine andere Überlegung angestellt: x und y können gleich oder ungleich groß sein. Gilt x=y dann wird das Quadrat in gleiche Teile geviertelt. Was passiert nun, wenn x zum Beispiel 10% größer wird? Wegen x+y=2 gilt auch 1,1x+0,9y=2. Die eine Variable wird um den Betrag kleiner, um dem die andere Variable größer wird. Und wegen des quadratischen Zusammenhangs gilt für die gesuchte Fläche: 1,1^2=1,21 und 0,9^2=0,81 1,21+0,81=2,02 Sie wird also größer als vorher. Wenn also gilt: x=\=y, dann wird die gesuchte Fläche immer größer, als wenn gilt: x=y. Zur Kontrolle noch die nicht gesuchte Fläche 2xy bestimmt: 2*1,1*0,9=2,2*0,9=0,98. Das ist auch logisch, denn im Extremfall wird x oder y gleich null, dann ist die gesuchte Fläche gleich der Gesamtfläche. Größer wird es nicht mehr. Kleiner als 2x1/4 kann es also nicht werden. Man braucht dann am wenigsten Material, wenn alle Flächen gleich groß sind. Der Hintergrund dürfte darin liegen, dass Quadrate nunmal schneller wachsen als Linearfunktionen.
Unter Berücksichtigung der Grenzen [0;2] könnte man auch abgekürzt argumentieren, dass für x=0;x=2 die gesuchte Fläche maximal ist und der Gesamtfläche entspricht und dazwischen kleiner wird, ergo „in der Mitte“ bei x=(2-0):2=1 am kleinsten sein muss. Das wäre quasi die nicht verbildlichte Argumentation der Achsensymmetrie in der Parabel für alle Kinder, Jugendliche und Mittelstüfler, die keine Parabel(funktionen) kennen.
Ableitungen werden erst in Klasse 12 behandelt, weshalb solche Aufgaben frühestens in Klasse 12 (von 13) behandelt werden. Hier von einer Aufgabe für die 9. Klasse zu sprechen, ist also mehr als unangemessen. Es stellt den neutralen Zuhörer nur brüskierend als "dumm" dar. Fakt ist, ein Realschüler wird niemals mit solchen Aufgaben konfrontiert werden. Und der Schulstoff zwischen Realschule und Gymnasium ist bis zur 10. Klasse exakt gleich. (Immer davon ausgegangen, wir reden über ein System, das 13 Klassen bis zum Abitur hat.)
Ich schaue das immer gerne. Bei diesem Problem hätte ich da eine andere nicht ganz so tief mathematische Herangehensweise zu bieten... Warum nicht einfach einmal gleich beide roten Quadrate auf jeweils,1 mal 1 Meter machen, dann Flächeninhalt ausrechnen. Dann das eine Quadrat minimal vergrößern und siehe da der Flächeninhalt der beiden Quadrate würde sich vergrößern. Das ist zwar dann keine mathematische Lösung aber da es ja eine Textaufgaben ist könnte der Schüler ja auch mit einem geschriebenen Text diese Aufgabe lösen. Oder nicht? Den eins sollte doch klar sein, wenn ich schreibe das ist doch ganz logisch kann der Lehrer nicht sagen nein. Denn wenn mir mein bildiches Sehvermögen gleich sagt ich sehe doch beim verschieben der x und y Längen der beiden roten Quadrate gleich das die Flächen wie in einer Parabel größer werden sobald ich x oder y aus der Mitte des großen 2 Meter Quadrates verschiebe, dann ist das doch klar. P.S. Mach doch bitte einmal ein Zusätzliches Video dazu und zeige wie sich die Flächeninhalte verändern wenn ich x und y aus der Mitte das große Quadrates verschiebe und das die Gesamtfläche der beiden Quadrate dann wie bei einer Parabel verändern. Mache ich da was falsch? Gerne Antworten Weiter so und Grüße
Wie passt das Ergebnis zur Skizze? Das ergibt überhaupt keinen Sinn! Wenn es nur darum geht, dass es symmetrisch ist, hätte man dann nicht einfach 4m² durch 2 und wiederum durch 2 rechnen können? Dann kommt man auch zwangsweise auf 2 x 1m².
Die armen Kinder, Recht mühsam ist der vorgeschlagener Weg. Schön in der zehnten Klasse werden sie diese Aufgabe mit Hilfe der ersten Ableitung in vier bis fünf Zeilen lösen. Mit Logik findet man die Lösung ohne zu rechnen. Für X=0 und X=2 erreicht man Maxima, gleich 2x2=4 und die Funktion muss ja symmetrisch verlaufen, weil man den Quadrat ja um 180 Grad umdrehen kann, also Minimum muss exact dazwischen liegen also für X=1
In der Aufgabe steht nirgends, dass die beiden Flächen sich in irgendeiner Form berühren müssen. Insofern wäre es zur korrekten Lösung der Aufgabe durchaus legitim einfach zwei Quadrate mit 1mm² in die Tischplatte einzulegen. ;)
@@dunkelbunt242 gibt ja auch unendlich viele Möglichkeiten. Und allen ist gleich, dass gilt: x+y=2 Die Skizze ist Teil der Aufgabe. Wenn man deren Informationen missachtet, kann man genauso gut auch den Text mißachten und irgend ein Nichtquadrat mit Kantenlänge ungleich zwei nehmen.
Lösung: Komplett ohne zu rechnen. Der minimale Flächeninhalt für rot bedeutet der maximale Flächeninhalt für grau. Das beste Verhältnis von Umfang zu Flächeninhalt ist bekanntermaßen der Kreis. Das Quadrat ist am nächsten dran und daher ist es offensichtlich, dass die minimale Fläche für rot bei zwei roten und zwei grauen Quadraten von je einem Viertel der Gesamtfläche liegt. Bei (2m)² = 4m² ist die rote Fläche also 2m² im Minimum.
Herrje, man kann es auch unnötig verkomplizieren. Einfach mal die erste Ableitung bilden, mit Null gleichsetzen und das Ergebnis ist da! Und 2 - 1 kann ja wohl jeder rechnen (hoffe ich, auch ohne Taschenrechner).
@@marlonsommersturm4984 Herrje, hast du Augen im Kopf? Dann hättest du gesehen, dass das Klasse 9 ist und die noch keine Ableitung und Differenzialrechnung kennen, großmäuliger Blindfisch.
@@gelbkehlchen Neunte Klasse und noch keine Ableitungen? Tolle neue Welt - jetzt wundert mich gar nichts mehr! Und bei solchen Antworten mit Beleidigungen geht mir die Hutschnur hoch. Kinderstube gehabt? Anscheinend nicht!
@@marlonsommersturm4984 wenn du nicht so einen großmäuligen Ton angeschlagen hättest, wäre ich sanft geblieben. Insofern war das keine Beleidigung. Und guck dir mal die Lösung von Susanne an, sie arbeitet auch mit der Parabel. In der neunten Klasse gibt es keine Differenzialrechnung und noch keine Ableitung. Du hast einfach keine Ahnung.
@@marlonsommersturm4984 Ich kenne natürlich auch Differenzialrechnung und Ableitung, ich habe das aber extra nicht gemacht, sondern mit der Parabel gearbeitet, weil ich genau weiß, dass das in der neunten Klasse noch kein Thema ist. Denn ich habe jahrelang Mathe Nachhilfe gegeben.
Dass der Kreuzungspunkt der beiden quadrat. Flächen genau in der Mitte des gesamten Quadrates sein muss, konnte ich schon im Bruchteil einer Sekunde feststellen und somit einfach nur beim Hingucken schnell lösen ^^ ^^ ^^ ... okay, hier geht es um die Berechnung mit einem mathematischen Beweis schwarz auf weiß 😁
Es gaebe noch einen anderen Ansatz fuer die Loesung. Statt ein Minimumm der Summe der roten Flaechen zu suchen, kann man auch ein Maximum der Summe der grauen Flaechen suchen, da die Summe der grauen Flaechen und der roten Flaechen immmer die Flaeche des gesamten Quadrats ergibt. Nun muss man in dem Fall nicht das Maximum der Summer der grauen Flaechen bestimmen: es genuegt das Maximum *einer* grauen Flaeche zu bestimmen, da die beiden grauen Flaechen (im Gegensatz zu den beiden roten Flaechen) immmer kongruent sind. Wodurch ist eine der grauen Flaechen bestimmt? jede der beiden grauen Flaechen ist ein Rechteck bei dem die beiden Kantenlaengen gleich den Kantenlaengen der beiden Quadrate sind. Die Summe der Kantenlaengen der beiden Quadrate ist immer gleich der Kantenlaenge des aeusseren Quadrats (der Kantenlaenge des Tisches, also 2m). Eines der grrauen Rechtecke hat also die Flaeche x*(2-x) Quadratmeter. Wir suchen also ein Maximum der Funktion f(x)=x*(2-x)=2*x-x^2 Das erscheint auf den ersten Blick einfacher als das Mminimum der Funktion g(x)=x^2+(2-x)^2=x^2+4-4x+x^2=2x^2-4x+4 (ausmultiplizieren und zusammenfassen) zu bestimmen, worauf die Loesung im Videeo ja hinauslaeuft. Die rechte Seite der Funktion f(x) erscheint mir deutlich einfacher als die rechte Seite der Funktion g(x), deswegen wuerde ich eher das Maximum der Funktion f() als das Minimum der Funktion g(x) bestimmen wollen. In beiden Faellen kommt man erwatungsgemaess auf deen Extremwert bei x=1 (wie nicht anders zu erwarten, denn die Summe der roten Flaechen ist ja genau dann mimnimal, wenn die Summme der grauen Flaechen maximal ist, siehe die Vorueberlegungen). Meine Schulzeit ist schon reichlich lange her, daher weiss ich nicht mehr, ob in der 9.Klase bereits Kurvendiiskussion dran war. Falls ja, kann man auch den Scheitelpunkt mit Differentialrechnung bestimmen, da eine Parabel immer nur ein relatives Extremum hat (das auch gleichzeitig ein absolutes Extremum ist). Wenn man mit der Funktion f(x)=2x-x^2 den Weg ueber die Scheitelpunktsform beschreiten moechte, kaeeme man in diesem Fall auf f(x)=-x^2+2x=-[(x^2-2x+1)-1]=--[x-1)^2]+1= -(x-1)^2+1. Der Weg fuehrt letztlich wie im Video ueber die quadratische Ergaenzung (auch wenn der Begriff im Video nicht verwendet wurde). mit der von mir vorgeschlagenen Methode laesst sich auch zeigen, dass ein Rechteck mit gegebenem Umfang genau dann eine maximale Flaechhe hat, wenn alle Seiten gleich lang sind, sprichh wenn es sich umm ein Quadrat handelt. Man muss dazu nur den halben Ummmfang des Rechtecks statt der 2 in unserer Rechnung ersetzen. Das waere die Verallgemeinerung der von mir aufgebrachten Fragestellung.
Allerdings sind Minima und Maxima beides Extremstellen, die durch Nullstellenberechnung der Ableitung gefunden werden. f(x) und g(x) lassen sich aber so ziemlich gleich gut auch im Kopf ableiten und auflösen. Nix desto trotz finde ich deine Überlegung und Argumentation genial. Ich habe mich über Verhältnißmäßigkeitsrechnung angenähert. x und y können gleich groß, unterschiedlich groß oder null sein. Ist eine Variable null, dann ist die gesuchte Fläche maximal, was wir nicht wollen. Sind beide Variablen gleich groß, ist die gesuchte Fläche so groß, wie die nicht gesuchte. Besser wird’s nicht mehr. Wegen 2=x+y wird eine Variable immer um den Betrag größer, wie die andere schrumpft. Kurze Überschlagsrechnung im Kopf: Für 1,1x+0,9y=2 (eine Variable wächst um 10%) gilt: A1=1,21*0,81=2,02 A2=2*1,1*0,9=0,98 Ergo, die gesuchte Fläche wird zu groß. Das muss auch so sein, weil quadratische Funktionen stärker wachsen als Linearfunktionen. Das entspricht im Ergebnis deiner Konklusion, dass das optimale Fläche zu Umfang Verhältnis beim Quadrat mit x=y liegt.
@@wollek4941 Bei der Extremwerrtbestimmung mittels Differentialrechhnung (erste Ableitung gleich 0 setzen) muss man genaugenommen noch die zweite (oder ggfs. noch weitere) Ableitungen untersuchen, um sicherzustellen, dass es sich tatsaechlich um ein relatives Etremum handelt.. Ein Beispiel, wo man eine Stelle findet, bei der die erste Ableitung an einer Stelle gleich 0 ist, aber *kein* relatives Extremmum vorliegt, ist die Funktion f(x)=x^3. An der Stelle x=0 ist die erste Ableitung 0, die zweite Aableitung aber ebenfalls und erst die 3. Ableitung ist goesser 0. Damit liegt an dieser Stelle ein Wendepunkt aber kein Extremum vor ... Es kann aber noch ein anderes Problem geben: ein "relativer Extremwert" muss noch lange kein "absoluter Extrewert" sein.. Gefragt war hier aber nach dem "absoluten Minimum" der Summe der roten Flaechen ... Wir koennen hier aber benutzen, dass wir es bei den Gaphen der Funktionen mit Parabeln zu tun haben, und Parabeln immer nur einen relativen Extremwert haben, der gleichzeitig auch ein absoluter Extremwert ist, so dass wir in diesem Fall ausnahmsweise auf die 2. Ableitung verzichten koennen.
We can shrink the big red square so that its side is equal to 1. Then the small red square will be enlarged to its size. So we will have 2 squares equal to side 1 Their total area is 2m²
Bei dieser Aufgabe verstehe ich warum viele Menschen keine Lust auf Mathematik haben. Praxisnah geht anders Länge x und y = 1m wer hätte es gedacht. Dazu noch diese irreführende Zeichnung 🤦
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24 Jahre nach dem Abi festzustellen, dass man nicht mal mehr 9. Klasse Wissen in Mathe hat, ist leicht frustrierend. Aber auch schön zu sehen, dass ich das Wissen bis zum Schaun dieses Videos nicht vermisst habe.
Umgekehrt ist es weniger schön, dass man in der Schule wochenlang mit quadratischen Ergänzungen und „Scheitelpunktform“ verwirrt wird, was nach der nächsten Klausur wieder aus dem Kopf gelöscht wird (zurecht) und dann im ABI die Zeit fehlt für die Kurvendiskussion, mit der man die freie Zeit in der 9. Klasse hätte füllen können…
@@wollek4941 Fairerweise muss man sagen, dass das Wissen aus der 9. Klasse bis zum Abi größtenteils weg ist. Zumindest viele Nuancen, welche man dann beim Abi wieder beherrschen sollte. Finde es bringt nicht viel, Dinge wie Kurvendiskussion in der 9. Klasse durchzuarbeiten. Dafür müsste man denen die ganze Geschichte mit den Ableitungen etc. beibringen und irgendwann wird es halt ein wenig zu viel. Die meisten Leute in der 9. Klasse haben schon genug Probleme damit, sich grundlegende Rechenregeln zu merken und zu verinnerlichen.
Muss dir aber bezüglich dem Teil mit der Scheitelpunktform recht geben. Das verwendet man effektiv nicht mehr auf Stufe Studium, außer in einigen (sehr) seltenen Ausnahmen und auch da gibt es Mittel und Wege, wie man es ganz weglassen könnte.
Bei mir sind es fünfzehn Jahre her und ich Stelle den Sinn der Aufgabe und die Art wie sie gestellt wird in Frage. Wer brauch in der Praxis so einen Unsinn? Reine Beschäftigungstherapie
@@simonsanchez5382 Eigentlich suchen Ingenieure ständig nach Extremstellen. Und dieses Land lebt von Ingenieuren. Naja. Noch. Nachwuchs gut es ja dann bald nicht mehr.
@@simonsanchez5382 ist schon klever gelöst aber auch so abstrakt, dass es für normale Menschen nicht unbedingt wissenswert ist. Die eigentliche Genialität der Sache habe ich erst jetzt als 44 Jähriger nach dem Video verstanden.
Ich dachte mehr an die Ableitung.
A(x) = 2x² - 4x + 4
A'(x) = 4x - 4
Und die Steigung der ursprünglichen Funktion muß Null sein. Also muß die Ableitung Null sein:
4x - 4 = 0 | + 4
4x = 4 | : 4
x = 1
ich dachte auch erst an die Ableitung und dann Nullstelle. Aber sie sagte dann recht bald im Video "Wir sind ja in der 9. Klasse" dann habe ich mich mal davon faszinieren lassen, was man alles nicht mehr so präsent hat, weil man später andere Methoden kennengelernt hat.
@@isdochegal6183 Dito.
Wer einmal von den süßen Früchten der Differential- und Integral-Rechnung genascht hat, vergisst gerne leicht die langen Rechenwege der Mittelstufe…
Ich schaue mir die Aufgabe an stelle fest:
1.: Es sollen 2 möglichst kleine Quadratische (Einlege-) Flächen sein
2.: Nirgendwo steht das diese sich und / oder den Rand des Tisches berühren sollen
3.: Ich werfe einen Blick in mein Werkzeugregal und stelle fest, der kleinste Stechbeitel ist 1 cm breit.
Lösung: 2 Quadrate mit jeweils 1 cm Kantenlänge (kleiner geht nicht weil ... Werkzeug ;-) ).
Wer hier eine andere Lösung erwartet, der muss die Aufgabe anders stellen und die Rahmenbedingungen entsprechend anpassen. somit Typische Matheaufgabe ohne jeglichen Bezug zur Realität..... und da fragen sich wirklich noch Leute warum Mathe in Deutschland so unbeliebt ist.
Den Scheitelpunkt zu berechnen ist eine schöne praktische Anwendung der Differentialrechnung. Das schult meine Meinung nach das allgemein mathematische Verständnis abseits reiner Formel- Technik! So hatte ich Freude auch nach 50 Jahren diese Aufgabe lösen zu können.
Danke für die immer wieder spannenden Aufgaben!
Sigi
Der Aufgabentext ist ein Witz. "... aus Kostengründen". Die Randbedingung, dass die zu minimierenden Quadrate sich auf einer Ecke berühren und je zwei Seiten an der Tischkante liegen, steht nicht im Text. Lösung: 0 m² für die beiden Quadrate also. Antwort in Textform: Aus Kostengründen wird auf Einlegearbeiten verzichtet.
Die Aufgabe ist so ein Fall, bei der die Kombination einer mathematischer Aufgabenstellung "mit Praxisbezug" komplett misslungen ist. Note 6 für den Lehrer/Autor, der diese Aufgabe formuliert hat.
Sehe ich auch so
Die Argumentation passt nicht, denn es werden Einlegearbeiten vorgeschrieben und keine ist halt keine. Allerdings darf die halt sehr klein sein und wie klein ist auch nicht definiert. Dann könnte man argumentieren, dass die Zeichnung Teil der Aufgabe ist, aber dann ist auch vorgegeben, dass beide Einlegearbeiten ungleich groß sind .... und wieder das Problem der nicht definierten Nachkommastellen .... Alles in Allem war 1 völlig klar, aber mein rebellisches Ich in der 9. Klasse hätte die Aufgabe völlig wegdiskutiert :)
@@andragon2485 Es sind diese blöden Lehrstoffziele, die hier völlig verunglückt sind. Mathe + Textverständnis + Praxisbezug. Früher hätte die Aufgabe gelautet: Minimiere die Flächen der Teilquadrate durch Verschieben des Schnittpunktes entlang der Diagonalen!
Übrigens könnte man auch hingehen und die Restflächen-Rechtecke maximieren. Eine Eigenschaft der Rechtecke ist, dass ihr Umfang konstant ist (hier = 4). Dann wird ihre Fläche maximal, wenn sie quadratisch werden; mit den Seiten a=b=1
Dachte schon, ich wäre völlig bescheuert...
Ein Witz ist allenfalls die vollkommen eindeutige Skizze der Aufgabenstellung zu ignorieren.
Dieses Beispiel ist auch logisch lösbar (ohne Mathe): Wäre ein rotes Quadrat so grß wie der ganze Tisch, wäre das ein Maximum, Verkleinerungen sind mur möglich bis daß das zweite rote Quadrat dieselbe Größe wie das erste hat, also muß das Minimum der beiden Flächen zusammen bei 1m liegen.
Sei x die Seitenlänge der kleineren Intarsie. Bei x=0 ist die große Intarsie gleich der Fläche des Tisches und damit auf keinen Fall ein Minimum. Bei x=1 sind die beiden Intarsien gleich groß und haben zusammen die Fläche 2. Bei vergrößern von x über 1 entsteht genau die Spiegelung der vorherigen Situation. Also führt x=1 zur minimalen Fläche der Intarsien.
Für die Fläche der großen Intarsie gilt im Intervall [0,1) (2-x)^2=4-4x+x^2, bei x=1 sind die beiden Intarsien gleich groß, im Intervall (1,2] tauschen die Intarsien die Plätze. An den Rändern der Intervalle gilt Fläche der Intarsien gleich 4 für x=0 bzw. x=2 und für x=1 2. Da die Funktion stetig ist müssen alle Werte für die Summe der Intarsien im Intervall [2,4] liegen.
Aus der Aufgabengestaltung geht nicht zwingend hervor, dass die beiden Quadrate sich berühren müssen. Also sind auch Quadrate von 1 mm auf 1 mm möglich.
Das hab ich auch nicht verstanden.
Hat das (ev) größere Quadrat eine Seitenlänge von 1+x, so hat das andere eine Seitenlänge von 1-x. Die Summe der Flächen ist (1+x)^2 + (1-x)^2, also 2 + 2x^2. Das ist minimal, wenn x=0 ist.
Das ist natürlich ein Ergebnis, allerdings trivial. Gar keine roten Platten einzulegen ist natürlich am günstigsten. Entspricht aber nicht der Aufgabenstellung.
Das ist natürlich auch ein Kommentar, allerdings Unsinn.
Der Lösungsansatz ist sehr geschickt, vielleicht nochmals in Ruhe lesen.
x ist in diesem Fall nicht die Länge der Quadrate, sondern die Abweichung nach oben/unten von der mittleren möglichen Seitenlänge (1m).
Mit diesem Rechnungsweg ist es tatsächlich am einfachsten, zur Lösung zu kommen. 👍
Hi, habs auch über die erste Ableitung gerechnet und mir dann die Frage gestellt, ob Ableitungen 9. Klasse Niveau sind-nein.
Die Scheitelpunktform hätte ich nicht hinbekommen. Hatten wir auch nie, oder ich habe das durch die späteren Kurvendisskussionen vergessen.
Die schnelle Variante kannte ich auch nicht. Fragt man sich, warum man manche Sachen erst so kompliziert lernen soll, wenn man später schnellere Rechenwege lernt.
Danke fürs erklären!
Seit langer Zeit mein Reden. Wenn man den Kids nicht ständig mit so einem Quatsch wie „mache ganz wilde Berechnungen, dann kommt am Ende irgendetwas raus, da nimmst du dann zwei Zahlen und schreibst die in die Klammer mit einem großen „S“ dran und dann weißt du zwar immer noch nicht, warum das ganze, aber das ist ja eigentlich auch egal“ die Zeit stehlen würde, dann wären wir schon ein ganzes Stück weiter.
Quadratische Ergänzung und SPF haben außerhalb mathematischer Spielereien keinen Wert.
Das gilt auch für Exponentialrechnung, Bruchrechnen, Prozent u.a. Das könnte alles schon zwei Jahre früher im Lehrplan stehen.
sieht man das nicht gleich das es eins ist?
Sobald x oder y größer eins wird, wird auch die Fläche größer als die Hälfte, also größer als zwei Viertel.
Sehe ich auch so.
Ich hatte einen Mathelehrer der meinte er wolle sich einen Lösungsweg haben.
Es würde reichen wenn wir nur "geraten" hinzu schreiben würden.
Aber irgendetwas müssen wir schreiben.
Ich denke bei dieser Aufgabe würde ich schreiben Kantenlänge 1 sorgt offensichtlich für maximale graue Fläche
@@alexanderweigand6758 Wieso sollte das offensichtlich sein? Man wird es sicherlich geometrisch begründen können, aber das müsste man dann auch machen.
Das müsste man aber begründen. Trivial ist das nicht.
@@Mathe_mit_ThomasBlankenheim Eine weitere Begründung wäre von der grauen Fläche ausgehend auch trivial.
Die beiden grauen Flächen sind im Gegensatz zu den anderen rechteckig.
Das Quadrat ist unter den Rechtecken der Spezialfall bei dem die Fläche bei konstantem Umfang maximal ist.
Also ist die graue Fläche maximal wenn diese aus 2 Quadraten besteht.
@@Mathe_mit_ThomasBlankenheim eine Zahl größer eins zum Quadrat und eine Zahl die 2-x, also kleiner eins ist immer größer als das doppelte von 2*1². Das lässt sich sicher in Beweissprache schreiben doch das konnte ich nie.
5.58 An dieser Stelle kann man schon sehen, dass der Scheitelpunkt bei x = 1 liegt.
0
Ohne zu rechnen - gleich groß also 1*1 m jeweils
Was ist die mathematische Begründung für die Richtigkeit deiner Aussage?
@@mabel5395 Mein Sohn würde jetzt sagen, is' so!
Wer einmal so eine Ausgabe gelöst hat, der weiß was bei raus kommt.
Ist halt wie mit der minimalen Fläche einer 1l Dose.
Aber gut erklärt.
Und auch hier gilt, der Weg ist das Ziel. Also nicht nur das Ergebnis hinschreiben, wichtig ist wie man zum Ziel kam ;-)
Begründung ist einfach: Das Quadrat hat das beste Verhältnis zwischen Seitenlängen und Flächeninhalt (zumindest unter Rechtecken). Um rot zu minimieren, muss grau maximiert werden, daher muss grau zu Quadraten werden und das geht nur bei Quadraten mit genau halber Seitenlänge der gesamten Fläche.
@@m.h.6470 Und da in der Aufgabenstellung keine Rechenmethode vorgeschrieben ist, sollte man damit auch durchkommen.
@@mabel5395 Man kann es ausrechnen, aber die Logik sagt ja schon, dass das Minimum, für diese Aufgabe nicht höher sein kann als die hälfte, da es sich um ein Quadarat handelt.
Dafür braucht man gar keine Berechnung, 1x kurz nachgedacht, und man sieht auf einen Blick, daß beide Einlegequadrate die Seitenlänge 1m haben müssen. Aber zur Darstellung der angewendeten Formeln ist das Berechnen natürlich sinnvoll. Mach bitte weiter so, macht großen Spaß.
ach... das sieht man also auf einen Blick, dass dann der rote Flächeninhalt minimal ist?
Wenn man hinreichend Erfahrungen mit Extremwertaufgaben hat, kann man das tatsächlich leicht sehen. Aber beweisen bzw ausrechnen muss man es trotzdem 😉
Sehr gut. Ich habe nicht gleich gewusst, wie ich das berechnen soll, bin dann über einfache Geometrie und Logik zum Ergebnis gelangt. Aber es ist besser, auch den rechnerischen Weg zu kennen.
Tolle Aufgabe. Ich hätte es über die 1. Ableitung der Formel A(x) und der Nullstelle der Ableitung berechnet. Was ja die lange Version Deiner Kurzform ist. 😊 Interessanter Weise konnte ich es sogar Logisch lösen. Da die Formel für A egal ob nach x oder y umgestellt im Prinzip gleich ist: A(x)=x²+(2-x)² o. A(y)=(2-y)²+y² und damit der weitere Rechenweg und das Ergebnis für beide identisch ist, muss x=y sein, was nur bei x=1 und y=1 möglich ist. 😃
Macht man in der 9. Klasse schon Differentialrechnung?
@@Pitmaster_Cwäre jedenfalls wichtiger als quadratische Ergänzung und „Scheitelpunktform“, die ja selber wieder differenziert werden müsste, um zum Ergebnis zu kommen. Das haben wir SuS schon zu meiner Zeit nicht verstanden.
Dafür braucht man keine Formel, das Minimum ist immer, wenn beide Platten gleich groß sind. Da die Gesamtfläche 2x2 Meter ist, haben wir 2x 1x1 Meter als Minimum.
Die Formel x=-b/(2a) hatte ich nie in der Schule, aber hatte es mir aber später beigebracht, obwohl man hier sogar ganz einfach die Lösung schon in der Formel sieht.
Weil, die Nullstelle wäre bei 4, somit ist x-1=wurzel(0,5y-1) dann bei x=0 und x=2, jetzt noch den Mittelwert und das wäre x=1.
Nochmal zur Probe 2*1^2-4*1+4=2.
Für diese kleine Aufgabe brauche ich nicht mal ein Rechenweg aufschreiben, sondern nur mein Kopf und bin innerhalb von nur ein paar Sekunden auf demselben Ergebnis.
Ich brauchte sowas seit der Schule nie wieder und meine Schulzeit war schon vor 17 Jahren vorbei.
Schade, dass ich diesen Kanal nicht schon zu meiner Schulzeit entdeckt habe ... hätte mir gut geholfen ... in den Videos ist alles gut erklärt, schön einfach und nachvollziehbar ... TOP! 👍
Da ist 9. Klasse schwerer als Oberstufe: Einfach per Ableitung A'(×e) = 4xe - 4 = 0 => xe = 1 erhalten und daran sehen, dass 2 m - 1 m = 1 m ist und beide Flächen je 1 m², also in Summe dann 2 m² groß sind und aus die Maus.
Die Ableitung nach 0 auflösen ist genau das was die erste Formel ergibt. Wenn du allgemein ax² + bx + c ableitest und nach 0 löst kommst du auf 2ax + b = 0 => 2ax = -b => x = -b/2a.
Wieder einmal: Prima erklärt. Danke!
Aber so sehr mich auch die klaren Erklärungen und das Lächeln begeistern: Angesichts der mehr oder weniger erhöhten Schwierigkeitsgrade der Aufgaben empfinde ich die Hinweise der Einzelschritte oft als (viel) zu detailliert.
Das richtige sich ja auch eher an schlechtere 9te Klasse schüler, als an hobbymäßig an Mathe interessierten Cracks. Die werden natürlich auch unterhalten mit ihren eigenen ansätzen
Leider fehlt im Text der Aufgabe die Bedingung, dass sich die Quadrate in einem Eckpunkt berühren müssen. Solange sehe ich das Bild nur als unverbindliches Beispiel. Da ich dann zwei quadratische Einlegearbeiten machen muss, tendiert deren Größe durch die Textvorgabe gegen 0 x 2 und ich bin nur durch physikalische Gegebenheiten in der Winziglkeit beschränkt.
Guter Punkt!
Wenn man die vollkommen eindeutige Skizze ignoriert, kann man den Text dazu ebenso ignorieren. Die Aufgabe besteht jedenfalls aus beidem. 🙄
@@wollek4941 So ein Blödsinn. Der Text ist eindeutig. Die Skizze nur ein Beispiel. Mein Tipp: Einfach klarer Formulieren.
@@schnullobullo Blödsinn ist die Aufgabenstellung zu ignorieren. Und die besagt: x+y=2. 🙄
Du kannst natürlich auch ein Nichtquadrat mit Kantenlänge ungleich 2 untersuchen. Ändert nur nix am Ergebnis. 🙄
Minimum für A(x)=2x^2 -4x +4 berechne ich mit Ableitung von A gleich 0 gesetzt: also 4x-4=0 daraus ergibt sich für x=1.
Ist denn heutzutage schon in der 9. Klasse die Ableitungsfunktion ein Thema? Zu meiner Zeit war das erst in der 11. Klasse Schulinhalt.
Wenn man ganz sauber sein will, sollte man noch ausrechnen, dass die zweite Ableitung positiv ist. Ist aber glaube nicht Stoff der 9ten Klasse.
@@kaltaron1284 bei mir war es Stoff 11. Klasse
@@kaltaron1284 Bei einer quadratischen Parabel gibt es allerdings nur ein Extremum. Und ohne jetzt genauer darüber nachgedacht zu haben, wird bei dieser Form der Aufgabe entweder kein lokales Maximum auftreten oder die Lösung ist von vornherein auszuschließen.
@@johnscaramis2515Ist schon richtig, solange a nicht 0 ist, wird es immer ein Extremum geben bei einer quadratischen Gleichung. Was sowohl lokal als auch global ist, da es keine Wendepunkte geben kann.
Trotzdem gehoert fuer mich zu einer vollstaendigen allgemeinen Kurvendiskusion die zweite Ableitung mit dazu.
Mal ganz ohne Rechnen vorab geschätzt würde ich sagen, dass die Fläche dann am kleinsten ist, wenn beide Intarsienquadrate gleich groß sind, mit Seitenlänge 1.
…weil der Definitionsbereich [0;2] beträgt und die gesuchte Fläche für x=0 und x=2 maximal wird (was wohl der quadratischen Funktion und Parabel geschuldet ist). Minimal muss es also werden bei x=(2-0):2=1.
Ja, und das ist auch völlig vernünftig!!
Denn für x = 0 und für x = 2 wäre die Fläche maximal, das minimal muss aus Symmetriegründen in der Mitte liegen .
Die Fläche ist einfach 1m².
@@ronny5211 falsch
Die dunklen Quadrate werden klein, wenn die hellen Q. möglichst groß werden. Das werden sie, wenn ihre rechteckige Form zum Quadrat wird (maximaler Inhalt bei gegebenem Umfang). Dann liegt der Zentralpunkt genau in der Mitte des Gesamtquadrats, teilt dieses in vier gleich große Teile. Jeder Teil ist 1x1 m groß, dunkle Q. zwei m2 zusammen, helle auch. Würde ich den Schnittpunkt nahe zu einer Außenseite des Gesamtquadrats legen, erhalte ich ein größeres dunkles Q. mit drei oder mehr m2 plus das kleine dunkle Q., also insgesamt schlechter.
Ist ein bisschen schwierig nur mit Text darzustellen, aber Susanne wird es verstehen.
Habe ich gerade eben auch so ähnlich dazugeschrieben.
Mein erster Gedanke war: "müsste das Minimum nicht 50% sein?" Ich habe keine Ahnung wie ich drauf gekommen und hatte auch keine Idee wie ich es berechnen sollte.
Schöne Aufgabe, wie immer. 🙂
Es geht um Flächeninhalt. Flächeninhalt wird berechnet indem zwei Längen miteinander multipliziert werden. Die Funktion, die den Flächeninhalt in Abhängigkeit von x angibt, ist deshalb eine quadratische. Ist x = 0 oder x = 2, dann ist die rote Fläche gleich der Tischfläche. Weil die Graphen von quadratischen Funktionen symmetrisch bezüglich der Achse durch den Scheitelpunkt sind, muss der Scheitelpunkt bei x=1 liegen.
Bildlich hatte ich die Aufgabe in 30 Sekunden gelöst. Die grauen Vierecke, müssen so gross wie möglich werden. Wenn y sehr klein ist sind sie sehr klein. Wenn y grösser wird werden sie grösser. Das geht solange gut bis x=y danach werden sie wieder kleiner in dem Maase wie x kleiner wird. Also x=y=1
Die Zeichnung sah aus wie die grafische Darstellungen der binomischen Formel.
Genau das ist sie. Und man hätte daraus eine unterhaltsame Aufgabe zur Vermittlung mathematischer Zusammenhänge mit Bezug zur binomischen Formel machen können, statt so eine verkünstelte, praxisferne Intarsiengeschichte drumherum zu basteln. Finde ich...
Ich finde auch, dass dieser Lösungsweg zu kompliziert ist. Über die erste Ableitung hätte man x ganz schnell ausgerechnet und somit y ebenfalls. Ging bei mir deutlich schneller als der Lösungsweg über die quadratische Ergänzung. OK, die Scheitelpunktformel ist die kürzere Version, wenn man sie denn kennt (ich kenne sie nicht). Trotzdem tolles Video, wie immer.
Nur kennt man in der 9. Klasse noch keine Ableitung. 🙈
Ich bin allerdings der Meinung, dass quadratische Ergänzung und SPF ruhig aus dem Lehrplan gestrichen werden sollten. Dann kann man sich auch früher mit den wesentlichen Sachen beschäftigen. 🙈
Herzlichen Dank für diese Frage aus der 9. Klasse 🙏
Die Seite von dem kleinen Quadrat soll die Länge x haben.
Die andere Seite 2-x
Beide Flächen sollen einen Minimum haben, also die 2. Ableitung der Flächenfunktion
A(x) >0 werden wir untersuchen !
A(x)= x²+(2-x)²
1. Ableitung: d/dx A(x)= 2x+2*(2-x)*(-1)
= 2x-2(2-x)
2. Ableitung: d²/dx² A(x)= 2-2*(-1)
= 4 > 0 also, wird der Wert den wir nach der ersten Ableitung finden und einsetzen, die Flächen Funktion minimum machen, demnach:
d/dx A(x)=0
2x-2(2-x)=0
2x= 2(2-x)
x= 2-x
2x=2
x= 1 m
Beide Quadrate würden die gleiche Fläche haben:
A₁= x²
= 1²
= 1 m²
A₂= (2-x)²
= (2-1)²
= 1 m²
Ständig auf auswendiggelernte Formeln zürückzugreifen nimmt der Erläuterung jede Nachvollziehbarkeit.
Ich hatte gehofft, dass wenigstens bei so einfachen Aufgaben wie dieser, darauf verzichtet würde.
Ich gebe dir zwar prinzipiell recht, aber wenn du die binomischen Formeln meinst, dann ist es so, dass diese so oft vorkommen, dass sie so ziemlich jedem geläufig sind (bzw. sein sollten).
Aber man kann sie auch extrem schnell einfach durch ausmultiplizieren nachweisen:
1. BF: (a+b)² = (a+b) * (a+b) = a*a + a*b + b*a + b*b = a² + 2ab + b²
2. BF: (a-b)² = (a-b) * (a-b) = a*a - a*b - b*a + b*b = a² - 2ab + b²
3. BF: (a+b) * (a-b) = a*a - a*b + b*a - b*b = a² - b²
Wenn Susanne diese Formeln, die in der Schulmathematik echt Standard sind, jedesmal noch herleiten würde, würde das die Videos nur unnötig in die Länge ziehen.
Wollen Sie alles bis zum kleinsten vorgekaut bekommen? Dann kämen Leute wie Sie um die Ecke, dass das Video zu lang sei und man doch sowas wie binomische Formeln nicht jedes Mal per Hand ausmultiplizieren müsse, weil dass muss man einfach voraussetzen.
Und es gibt halt einen gewissen Satz an Formeln, den man einfach parat haben MUSS.
Wieso sollte das die Nachvollziehbarkeit nehmen? Eigentlich ist es Sinn und Zweck von Formeln (Säzten), sie nicht jedes mal wieder herleiten und beweisen zu müssen.
@@johnscaramis2515 Hat man die parat, bedeutet das, dass man auch mit der Problematik der Aufgabe gut vertraut ist und nichts aufzufrischen hat. Deshalb beklage ich die geringe Sinnhaftigkeit dieser Videos.
Schöne Reminiszenz an früher. Danke dir dafür. Damals lösten wir das durch Differenzieren.
An differenzieren habe ich auch erst gedacht - nur nicht in der 9. Klasse ;)
Einfach 1. Ableitung machen
@@bingomachine Reicht noch nicht. Man muss auch deren Nullstellen finden. Aber 9. Klasse Stoff ist das noch nicht. Hat mein Vorredner schon geschrieben. Ich hatts nicht erwähnt.
Hallo Susanne,
Deine Lösung ist nur richtig, wenn die Ecken der kleinen Quadrate in den Ecken des großen Quadrates liegen. Was passiert aber, wenn die kleinen Quadrate um 45 Grad gedreht werden und mit jeweils einer Ecke auf der Hälfte der Seite von 2 m liegen. Dann sind die Quadate kleiner und zwar haben sie eine Seitenlänge von 0,7071. Die Fläche jedes Quadrates ist dann 0,5 m^2.
Ich glaube aber das deine Lösung trotzdem als gültig anerkannt würde 😊😊😊
Die Grafik ist ja Teil der Aufgabe und damit ist vorgegeben, wo sich die Ecken befinden.
🙂
… stimmt! In der TextAufgabe ist nicht angegeben, wie die IntarsienQuadrate liegen sollen, auch die Grafik zeigt keinen rechten Winkel ausdrücklich an! Die Intarsien können also zur Tischkante im Winkel zwischen 90° und 45° liegen.
@@KoJoTe-hp4zk Die rechten Winkel sind sehr wohl (implizit) angegeben durch die Definition eines Quadrates und die Grafik gibt die Ausrichtung vor, da die Kanten der Quadrate eindeutig deckungsgleich sind.
Wenn man sich den Definitionsbereich für x überlegt, kommt man auf 0
Leute in welcher Welt lebt ihr denn? Definitionsbereich bei solch einer Aufgabe. Das ist keine Raketenmission zum Mond oder die Nachvollziehung der netten Einsteinschen Formeln (lohnt sich im übrigen). Einfach einmal die erste Ableitung bilden, Null setzen und fertig ist!
@@marlonsommersturm4984
Ohne Definitionsbereich ist nur leider keine Formel einen Pfifferling wert, weil alles außerhalb halt nicht interessiert. 🙄
Ganz ohne Funktion ergibt sich bereits aus dem Definitionsbereich dass x für null und zwei maximal wird (also die gesamte Fläche einnimmt) und schon deswegen in der Mitte also bei x=(2-0):2=1 minimal werden muss.
Das ist quasi die nicht verbildlichte Argumentation der Achsensymmetrie einer Parabel für alle die nicht wissen was das ist.
kurze Frage
muss bei dieser Aufgabe gerechnet werden? Um den kleinsten Flächenanteil hier zu finden können wir ja bestimmen, dass alle Quadrate gleich groß sind und kommen dann halt auf je 1m² -> 1m je Länge.
Habe damals das Gymnasium abgelehnt, da ich eine Lese- Schreibschwäche habe. Kann jedoch richtig gut mit Zahlen jonglieren. Schreibe dies, da ich damals in der Schule sicherlich Stunden lang mit meinem Lehrer diskutiert hätte um eine solche Rechnung nicht schreiben zu müssen
Scheitelpunktgleichung ist für jene, die nicht differenzieren. Mit den beiden Bedingungen hätte man gleich differenzieren können. Im Nu erhält man für x den Wert 1 und damit die Extremstelle.
Und differenzieren ist wahrscheinlich viel leichter zu vermitteln, als SPF. Zumal man diese auch differenzieren müsste, um zum SP zu kommen. 🙈
@@wollek4941 nein, differenzieren muss man für den SP nicht.
@@marionmaierphilonatura klar. Man braucht auch hier die Ableitung und Nullstelle, um die Extremstelle mathematisch nachzuweisen. Es ist ja nur eine umgeschriebene Ausgangsfunktion.
Und genau da beißt sich die Katze in den Pürzel. Kein einziger Nichtmathematiker würde überhaupt auf diesen aufwändigen Rechenschritt kommen, um den Scheitel „abzulesen“. Und deswegen halte ich es für vollkommen sinnfrei damit Generationen von Schülerhirnen zu malträtieren, die das Minuten nach der Klausur (zurecht) wieder verdrängt haben.
Ich hätte jetzt keine Lust das zu berechnen aber von der Lebenserfahrung her tippe ich auf zwei Quadrate mit jeweils 1 m Kantenlänge.
Hallo Susanne, guten Abend.
Mal sehen, ob ich das noch hinbekomme.
Die rot schraffierten Quadrate sollen die Flächen der Einlegearbeiten sein.
Zusätzlich soll diese Fläche möglichst klein sein um Kosten zu sparen.
Ich lasse zunächst die Einheiten weg.
x sei die Seitenlänge des kleinen roten Quadrat
Das große rote Quadrat hat dann die Seitenlänge 2-x
Aufgrund der Aufgabestellung ist bekannt das größer gleich 0 und kleiner gleich 2 sein muss.
x €R mit [0;2]
Die Fläche Ae der Einlegearbeiten setzt sich zusammen aus der Summe der Fläche der 2 roten Quadrate.
Ae = x^2 + (2-x)^2 = x^2 + 4 -4x + x^2 = 2x^2 -4x + 4
Damit ist Ae = 2x^2 - 4x + 4 die Zielfunktion, die möglichst minimal werden soll
1) Ableitungen
f(x) =2x^2 - 4x + 4
f'(x) = 4x - 4 = 4(x-1)
f''(x) = 4
2) Extrempunkte: f'(x) = 0
4(x-1) = 0 |:4
x-1 = 0 |+1
x=1
für den Wert x=1 ist die Fläche extrem.
Die 2. Ableitung f''(x) = 4 liefert für jeden beliebigen Wert x einen Wert > 0 somit ist der in 2) gefundene Extrempunkt ein Tiefpunkt und die Fläche (=Wert der Zielfunktion) minimal.
Für x=1 beträgt der Flächeninhalt Ae = 2* (1)^2 - 4*(1) + 4 = 2
Für x=1 erhält man 2 flächengleiche Quadrate mit jeweils dem Flächeninhalt 1m^2
DIe Gesamtfläche Ae beträgt dann 2m^2. Dies ist der kleinstmögliche Flächeninhalt.
LG auch an Thomas, Sabine und Roger und noch einen schönen Abend.
Ich will nicht klugscheixxen, aber für x=1 bekommt man vier flächengleiche Quadrate, von denen zwei gesucht sind und zwei nicht. 😜
Der „kleinstmögliche“ Flächeninhalt, genauer das optimale Fläche zu Umfang Verhältnis, entsteht immer, wenn gilt: x=y und ergo die Fläche in vier gleiche Quadrate geteilt wird.
Das ist deswegen banal, weil hier zwei Extremwerte gesucht werden: die gesuchte Fläche soll so klein, ergo die nicht gesuchte Fläche so groß wie möglich werden. Ist eine Variable null, dann ist die gesuchte Fläche maximal, das wollen wir gerade nicht, also muss gelten: x=y.
@@wollek4941 Hallo Wollek, ja, Du hast recht 🙂 Mich, und den Sparfuchs/die Sparfüchsin hat im SInne der Aufgabe aber nur die roten Quadrate interessiert. 🙂
Man könnte "klugscheissens-technisch" noch einen drauf setzen...
Lass den Punkt an dem die beiden roten Quadrate aneinander stoßen auf der Diagonalen des "Tischquadrates" von links oben (rote Fläche extremal, graue Fläche gleich 0 nach rechts unten wandern...
Bis zur Hälfte der Diagonale (x=1) wächst die graue Fläche und die rote Fläche schrumpft... danach passiert genau das Gegenteil, weil die roten Quadrate "die Plätze tauschen", ein Weiterwandern auf der Diagonalen Richtung rechte untere Ecke den gleichen Effekt hat, wie wenn man von der Diagonalen-Mitte wieder "rückwärts" Richtung linke obere Ecke zurück wandert.
Somit ist also an der Diagonalen-Mitte mit x=1 das optimale Ergebnis mit rote Fläche minimal, graue Fläche maximal erreicht.🙂🙂
Dir morgen einen angenehmen Freitag und dann einen guten Start ins Wochenende.
LG aus dem Schwabenland.
@@markusnoller275 danke ebenso. 🤗 Der Gedanke mit der Diagonalen gefällt mir.
Um die y-Koordinate des Scheitelpunkts, also ys, auszurechnen, muß man nicht unbedingt die Scheitelform herleiten. Man kann auch einfach den x-Wert des Scheitelpunkts, also xs = 1, in die Funktionsgleichung y = 2x^2 - 4x + 4 einsetzen und erhält ys = 2 - 4 + 4 = 2, also lautet der Scheitelpunkt S(1 | 2) und die Scheitelform y = a(x - xs)^2 + v = 2(x - 1)^2 + 2.
Merkhilfe für die 1. Scheitelkoordinate: - b / 2a ist der Anfang der Lösungsformel für die allgemeine quadratische Gleichunng ax² +bx + c = 0
Und das ist kein Zufall, sondern liegt daran, daß der Scheitelpunkt auf der Symmetrieachse der Parabel liegt, und diese ist die Mittelsenkrechte zwischen den beiden Nullstellen, also liegt der Scheitelpunkt (bzw. seine x-Koordinate xs) immer genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen (arithmetische Mittel):
xs = (x1 + x2)/2 = (-b + sqrt(D) - b - sqrt(D)) / (2a) / 2 = (- 2*b)/(2*2a) = -b/(2a).
@@goldfing5898…was im Ergebnis trotzdem nichts daran ändert, das auch die Scheitelpunktsform abgeleitet werden wollte, um die Extremstelle tatsächlich auch mathematisch nachzuweisen, statt sie nur abzulesen. 🙈😜
Ich wusste sofort, dass 1 die Lösung ist, konnte der Formelumstellung ab Scheitel nicht mehr folgen. Wie damals in der Schule. Alles Abstrakte legt mein Hirn lahm. :D. Ich werde niemals eine Theoretikerin ^^
Braucht man denn hier die quadratische Ergänzung? Die 1. Ableitung von A = 2x^2 - 4x + 4 bilden und null setzen sollte doch auch gehen.
Das geht auch, und noch dazu sehr gut, aber halt net, wenn du in der 9. Klasse bist! 😉
Hallo Susane, würdes du mir verraten welche Arbeitsmaterialien du verwendes, Micri, Kamera Zeichenplatte
1m*1m für beide Quadrate. Sind dann zusammen 2m^2.
Nehmen wir einmal an, das die Seiten des einen Quadrats wären zwischen um irgendetwas zwischen 0m und 1m länger. Die des anderen Quadrats wären dann um den gleichen Wert kürzer. Nennen wir diesen Wert einmal d.
(1m+d)^2+(1m-d)^2
=1m^2+2*1m*d+d^2+1m^2-1m*+d^2
=2m^2+2d^2
Genau! Die Fläche steigt dann um d^2.
Tolles Video Danke. Ich muss manche Grundlagen wieder erfrischen! Das ist so, als ob man den Punkt (0/0) verschiebt und dann den Punkt y* =0 findet.
Ich kann mich nicht an solchen Aufgaben erinnern, bevor wir die ersten Ableitungsregeln gelernt hatten. Vergesslichkeit?!?
sehr einfach beim ersten Nachdenken. Schon bei der Simulation mit 2 oder 1,5 kommt mehr raus, je niedriger gegen 1 umso kleiner die Flächen. Der Beweis ist dann komplexer. Ich bewerte mit 2 von 6 (6=sehr schwer). Weiterhin: Zwei gleiche Intarsien dürften günstiger sein als zwei unterschiedliche Intarsien..
Erste Ableitung, dann null .......
Erste Ableitung: 4x - 4 = 0 => x = 1
So einfach 😎
Genau so habe ich es auch berechnet. Schien mir am einfachsten und in wenigen Schritten durchzuführen. Die zweite Ableitung kann man noch machen, erübrigt sich jedoch, da es sich um eine nach oben offenen Parabel handelt. Und das alles nach 40 Jahren Schulabstinenz. :-))
Völlig richtig - steht bloß in der 9. Klasse nicht zur Verfügung.
@@carstentauber7042 Wie, steht in der neunten Klasse nicht zur Verfügung? Was lernen die Kids denn heute? Das kleine Ein-Mal-Eins in der achten Klasse? Eckenrechnung in der neunten? Dreisatz können die ja eh nicht mehr - oft schon genug erlebt. Ah, ok, malen nach Zahlen und seinen Namen tanzen. Kein Wunder, daß die Abgänger von heute in vernünftigen Ausbildungsberufen kläglich scheitern.
Das ist eine sehr schöne Aufgabe. Ich befürchte allerdings, dass in der neunten Klasse nur die wenigsten Schüler das wirklich hinbekommen. Ich würde die Aufgabe eher in der Oberstufe stellen, wenn es um Extremwertaufgaben geht. Dann kann auch die Problematik der Randwertuntersuchung sauberer mit einbezogen werden.
Es ist absolut kein Rechnen notwendig, um diese Aufgabe lösen zu können. Man muss nur 2 Punkte realisieren:
1. Minimum rot entspricht Maximum grau
2. Maximum von grau wird dann erreicht, wenn grau zum Quadrat wird, da das Quadrat das beste Verhältnis zwischen Seitenlängen und Flächeninhalt hat.
Mit diesen Infos kommt man schnell auf die Lösung, dass es je zwei 1m*1m Quadrate für grau und rot sein müssen.
@@m.h.6470 Punkt 2 ist aber alles andere als trivial. Diese Aussage müsste man erstmal beweisen.
@@Mathe_mit_ThomasBlankenheim Das ist ein Fakt der aus der Tatsache kommt, dass die Kreisfläche die effizienteste Figur ist um das Verhältnis Fläche zu Umfang zu optimieren. Das Quadrat ist das Rechteck, dass dem Kreis am nächsten kommt. Man kann diesen aber mit einer Extremwert-Analsyse auch sehr leicht beweisen.
@@m.h.6470 Das mit dem "am nächsten kommt" reicht natürlich nicht.
@@Mathe_mit_ThomasBlankenheim Doch das reicht. Mathematisch gesehen ist das Quadrat das Rechteck mit dem besten Verhältnis von Flächeninhalt zu Umfang, weil es dem Kreis ähnlicher ist als alle anderen Formen von Rechtecken.
Sagt einem nicht die Logik bei 2 Quadraten ist der minimale Flächeninhalt die Hälfte der Gesamtfläche, man muss doch nicht immer rechnen. Die Maße des Ausgangsmaterial geben die tatsächliche Lösung vor - der minimalste Verschnitt und die gewünschte Optik zählt😅....... vlt ist es dann evtl besser 2 Tische zu bauen ( Einfach super der Kanal, macht Spaß 👍)
Bei allem Respekt: Ist hier wirklich eine fast zwei Minuten lange Erklärung zur Begründung von "y = 2 - x" nötig? Du hattest doch an der Grafik alles schön beschriftet. Wenn du da einfach an das linke Teilquadrat direkt "2 - x" geschrieben und einen Satz (!) dazu gesagt hättest, dass die Seitenlängen der beiden Teilquadrate sich zur Seitenlänge des großen Quadrats aufaddieren, hätte das auch jeder verstanden, und das Thema "Nebenbedingung" wäre in 20 Sekunden durch gewesen, ohne dass es jemals ein y gegeben hätte.
Aber Chapeau an die Leute hier, die die Lösung durch Nachdenken gefunden haben; besonders gut gefallen haben mir:
a) Symmetrieargumentation nach Randwertbetrachtung: "Wegen A(0) = A(2) muss der Scheitelpunkt der Parabel bei x = 1 liegen."
b) Umkehrschluss: "Die Fläche der roten Quadrate ist genau dann minimal, wenn die Fläche der grauen Rechtecke maximal ist. Die Rechtecke haben einen fixen Umfang, nämlich
2x + 2(2 - x) = 4, und somit als Quadrat die maximale Fläche. Also muss x = 2 - x ⇔ x = 1 gelten."
Die allgemeine Scheitelpunktsformel x = -b/(2a) habe ich so explizit in der Schule nicht gehabt, aber sie lässt sich leicht herleiten:
f(x) = ax² + bx + c
⇔ f'(x) = 2ax + b
Nullstelle von f': 2ax + b = 0
⇔ 2ax = -b
⇔ x = -b/(2a)
Diese Aufgabe ist einfach ohne Mathe zu lösen.
Der maximale Materialverbrauch wäre, die ganze Fläche mit einem Quardat zu belegen. Das zweite Quadrat wäre dann nur ein Punkt in einer Ecke der Tischfläche. Verschiebt man diesen Punkt über die Diagonale der Tischfläche zur gegenüberliegenden Ecke, so erwächst aus dem Punkt das zweite Quadrat, während das erste Quadrat kleiner wird. Der Materialverbrauch wird also kleiner, weil die Unbelegte Fläche zunächst von 0 an beginnt zuzunehmen. Das geht bis zur Hälfte der Diagonalen, danach kehrt sich der Effekt um und die unbelegte Fläche nimmt wieder ab. Ergo liegt der minimale Materialverbrauch bei zwei gleichgroßen Quadraten. Somit haben diese die Seitenlänge 1m.
Das ist doch einfach abzuschätzen. Wenn das kleine Quadrat sehr klein ist, zum Beispiel 1mm, ergibt die rote Fläche praktich den Flächeninhalt des Gesamt-Quadrats. Genauso ist es anders herum aus Symetrirgründen. Das Minimum muss in der Mitte liegen, doch nicht etwa bei 30% zu 70%? Um auf die Lösung 1x1 Meter zu kommen, braucht es gar keine Infinitesimalrechnung. Mich würde interessieren, ob ich mit dieser Antwort die volle Punktzahl bekommen hätte.
Warum eigentlich die ganze Rechnerei? So wie ich das sehe müssen die Flächeninhalte der grauen Flächen maximal groß sein. Das sind sie, wenn sie quadratisch sind. Diese haben bei den 4-Ecken maximalen Flächeninhalt in Verhältnis zum Umfang. Wenn die grauen Flächen aneinander sich berühren, quadratisch sind, müssen sie je 1qm haben, also die roten Flächen auch je 1 qm, bei insgesamt 4qm.
Also in den meisten Aufgabentexten stehen ja das Wort "Berechne" und meistens auch mehr Spezifikationen, damit man nicht kreativ antworten kann 😅
Deswegen denke ich, dass du den Text aus Platzgründen gekürzt hast, aber manche Matheaufgaben in der Schule waren bei mir wirklich so schwammig formuliert, dass man alles antworten kann, denn aus dem Text geht nicht hervor, dass sich die Einlegearbeiten berühren oder in den Ecken liegen müssen wie auf dem Bild, demnach könnte man zwei Punkte aus dem Holz stanzen und jeweils einen Span reindrücken, dann hätte man die zwei kleinsten Einlegearbeiten der Welt.
Und wenn sich die beiden Einlegearbeiten doch berühren und in gegenüberliegenden Ecken liegen müssen, kann man die Aufgabe auch optisch lösen und sich Zeit sparen.
Dennoch finde ich den mehrstufigen mathematischen Ansatz sehr spannend, also Kurvendiskussionen und Extremwerte und Integrale (mit Fachwörtern um mich werf) hatte ich immer gerne gemacht, auch wenn ich die Hälfte wieder vergessen habe, weil Formeln halt 😄
Eigentlich ist die Skizze da eindeutig. 🤔
Es geht klar hervor, das gilt: x+x=2.
Ich vermisse eine entscheidende Vorgabe in der Aufgabe, um es eindeutig zu machen ( oder habe ich einen Denkfehler?). Müssen sich die roten Quadrate berühren? Irgendeine Vorgabe muss doch noch zusätzlich da sein, um es eindeutig berechnen zu können. Oder? 🤔
Andernfalls könnten die Quadrate jeweils zb auch 1 Quadratmillimeter groß sein. Wäre dann aber auch nur eine von unendlich vielen Lösungen....
Ja, ich schaue gerne zu. Und je mehr ich zushe, umso mehr weiß ich, dass Matematik mir ewig ein Rätsel bleiben wird,,, ^^
Ich dachte einen Moment "Warum nicht einfach die erste Ableitung 0 setzten?" aber das hatte man noch nicht in der 9. Klasse. 😅
'Extremwertaufgabe' im Titel, und es kommt keine Ableitung vor. Verwirrt mich. Und ich finde die vorgestellten Lösungswege wahnsinnig umständlich. Von einer 'Scheitelpunktform' habe ich während meiner gesamten Schulzeit nie gehört (von einer p-q-Formel übrigens auch nicht; wir haben quadratische Gleichungen immer mittels quadratischer Ergänzung gelöst). Auch 34 Jahre nach dem Abi bin ich immer noch um ein vielfaches schneller als diese Erklärungen hier. Noch dazu habe ich beruflich mit Mathematik überhaupt nichts zu tun. Ich traue mich gar nicht, daraus Schlüsse zu ziehen ...
9. Klasse!!!! - Ich bin mir nicht sicher, ob wir das dort schon hatten?
@@heinrichhaas8390 Lesen kann ich selbst. Mir geht es um den Begriff 'Extremwertaufgabe', der zu der Art von gezeigter Lösung nicht passt. Wir haben in der 10. Klasse differenziert und mit Kurvendiskussionen begonnen. Keine Ahnung, wann man das heute macht.
Wie wäre es mit einer Differentialgleichung? 🤓
also das mit der quadratischen ergänzung muss son neumodischer kram sein, in meiner zeit hat man extremata noch mit der ersten ableitung ausgerechnet...kommt 4x - 4 raus, nach x aufgelöst ist das auch 1.
gibt ja öfters son kram..an der uni kam mein tutor immer mit der "zuhaltemethode"...noch nie gehört ey :-D
Anhand der Aufgabenstellung sollen ja nur x-Werte im Intervall [0;2] betrachtet werden. Wieso kann man davon ausgehen, dass der Scheitelpunkt (Minimum) der Funktion innerhalb dieses Intervalls liegt ? Solang man es nicht ausprobiert, könnte die Funktion in diesem Intervall auch stetig fallend oder steigend sein, dann wäre eine der Intervallgrenzen die gesuchte Lösung
Ja, könnte im gesamten Intervall fallend oder steigend sein.
Man könnte aber noch zusätzlich feststellen, dass für x=0 und x=2 die Funktion den gleichen Zahlenwert haben muss.
Dann kommen als mögliche Funktionen nur noch "gerade Funktionen" mit Symmetrieachse bei x=1 in Frage. [Gerade Funktionen bezüglich x=0 sind beispielsweise x^2, x^4, x^6, ... oder cos(x).] Das Maximum liegt bei dieser Aufgabe also immer bei x=1. Dies eingesetzt liefert direkt die Lösung; welche Funktion tatsächlich zu Grunde liegt ist eigentlich egal.
Bemerkung: Auch die Funktion y=c mit c aus R ist eine gerade Funktion. Dann wäre sogar f(0) = f(1) = f(2). Mithin liegt also "ein" Maximum bei f(1).
Davon kann man auch ganz ohne Funktion und das Wissen um Parabeln ausgehen, weil die gesuchte Fläche für beide Grenzen maximal wird und also die gesamte Fläche einnimmt und dazwischen kleiner wird (lies: fällt).
Ergo muss für x=(2-0):2=1 (oder die Mitte der Grenzen) die gesuchte Fläche minimal sein.
Das ist quasi die verbildlichte Argumentation für alle die keine Parabel kennen.
Perfekt gemacht hat.
Mein Gedankengang: x^2+y^2 muss gleiner oder gleich sein zu 2xy
Also x^2-2xy+y^2
(x-y)^2
Von der Zeichnung (ohne Mathe) wie ist x=1m und y=1m überhaupt möglich? Höchstwahrscheinlich verstehe ich die Frage nicht. :(
Man kann auch die Nullstellen der Funktion ausrechnen und dann davon den Mittelwert. Das ist auch der x-Wert des Scheitelpunktes.
Kann mir als Österreicher mal die 9. Klasse Gymnasium erklären?
Bei uns Ösis ist das ja so, dass man zuerst 4 Klassen Volksschule besucht und dann ins Gymnasium (oder Neue Mittelschule...) geht, und das Gymnasium beginnt wieder mit der 1. Klasse, nach der 8. Klasse Gymnasium gibt es dann die Matura (Abitur), also es gibt gar keine 9. Klasse Gymnasium!
Es ist die 9.Klasse und nicht 9 Jahre. Grundschule 1.-4. Klasse, anschließend Gymnasium 5.-12.Klasse oder Sekundarschule 5.- (9.)10. Klasse.
Die 1 hatte ich schon in der ersten Minute im Kopf.
Man kann auch erstmal die Extrema betrachten:
Ein Quadrat riesig, also 1,99m, das andere 1cm in der Breite. Dann ist fast die ganze Fläche damit bedeckt.
Beide Quadrate gleich groß, dann ist 1/2 der Fläche bedeckt.
(Leider steht nicht in der Aufgabe dass sich die Quadrate berühren müssen und dass zwei ihrer Seiten auf den Seiten des Tisches liegen müssen.)
Jedenfalls wenn man dann schonmal die beiden gleich großen Quadrate hat, dann kann man überlegen was passiert wenn man die verändert.
Wenn man das eine Quadrat um 1 cm je Seite länger macht, dann bekommst man statt 1 m^2 schon 1,0201 m^2. Und das andere Quadrat wurde dann auch kleiner um 1 cm je Seite und ist nurnoch 0,9801 m^2 groß.
WICHTIG ist aber, dass das vergrößerte Quadrat um mehr GEWACHSEN ist als das andere GESCHRUMPFT ist. Und das kann man zeigen.
Zunahme > Abnahme
(a+n)^2 - a^2 > a^2 - (a-n)^2
Und das ist immer wahr für n>0. Damit wächst die Gesamtfläche von zwei gleichgroßen Quadraten wenn man die Seiten des einen Quadrats um n verlängert und die des anderen Quadrats um n verkürzt.
Interessant wären jetzt Variationen mit zwei Quadraten unabhängig voneinander vergrößert werden dürfen, aber deren Schnittfläche nicht zur Gesamtfläche zählt.
A = x² + (2 - x)² = x² + 4 - 4x + x² =>
A = 2x² - 4x + 4 =>
A = 2(x² - 2x + 2) =
2 [ (x² - 2x + 1) + 1] =>
A = 2 [ (x - 1)² + 1]
Und das wird am kleinsten,
wenn x - 1 = 0, also für x = 1
Wozu hier die Überlegungen zum Scheitelpunkt der Parabel??
😢
Halo Susanne
gerne löse ich die Aufgabe, die mich an die Seminarzeit 1959 erinnert:
F = x^2 + (2 - x)^2 > > F = x^2 - 2x + 2
die 1. Ableitung: y' = 2x - 2
wo y' 0 ist, haben wir den Scheitelpunkt: 2x = 2 >> x = 1
En Gruess aus der Schweiz
HP
Natürlich ist der Flächeninhalt minimal, wenn a = b. Dann ist die rote Fläche genau die Hälfte der Gesamtfläche. Ansonsten ist es mehr. Geht mit den binomischen Formeln. 2ab mus dann maximal groß werden.
Im Scheitelpunkt ist die Steigung gleich Null. Also lässt sich die Gleichung A(x) auch lösen, indem die erste Ableitung gleich Null gesetzt wird. Ergibt das Gleiche.
In der 9. Klasse wird nicht abgeleitet!
Hätte man das Ergebnis nicht sofort anhand der Symmetrie hinschreiben können? Jede Lösung, die ungleiche Kantenlängen hätte kann nicht minimal sein, da diese durch Drehung in die "andere" Lösung überführt werden kann.
Ich finde ja schon lange, dass man den Schülern dann schon lieber in der neunten Klasse erklären kann, wie man ableitet, statt sie mit quadratischen Ergänzungen und „Scheitelpunktform“ zu traktieren. Das haben schon zu meiner Zeit neun von zehn Schülern nicht verstanden. Und für die qE ist mir außerhalb mathematischer Spielereien auch keinerlei praktischer Nutzen bekannt.
Außerdem ist mir gerade aufgefallen, dass die Scheitelpunktform tatsächlich auch nix anderes macht wie die Ableitung. Nur der Weg dahin ist anstrengender.
Ich bin ja bekennender Fan der Verhältnißmäßigkeitsrechnung und habe eine andere Überlegung angestellt:
x und y können gleich oder ungleich groß sein. Gilt x=y dann wird das Quadrat in gleiche Teile geviertelt.
Was passiert nun, wenn x zum Beispiel 10% größer wird?
Wegen x+y=2 gilt auch 1,1x+0,9y=2. Die eine Variable wird um den Betrag kleiner, um dem die andere Variable größer wird. Und wegen des quadratischen Zusammenhangs gilt für die gesuchte Fläche:
1,1^2=1,21 und
0,9^2=0,81
1,21+0,81=2,02
Sie wird also größer als vorher.
Wenn also gilt: x=\=y, dann wird die gesuchte Fläche immer größer, als wenn gilt: x=y.
Zur Kontrolle noch die nicht gesuchte Fläche 2xy bestimmt:
2*1,1*0,9=2,2*0,9=0,98.
Das ist auch logisch, denn im Extremfall wird x oder y gleich null, dann ist die gesuchte Fläche gleich der Gesamtfläche. Größer wird es nicht mehr. Kleiner als 2x1/4 kann es also nicht werden. Man braucht dann am wenigsten Material, wenn alle Flächen gleich groß sind.
Der Hintergrund dürfte darin liegen, dass Quadrate nunmal schneller wachsen als Linearfunktionen.
Unter Berücksichtigung der Grenzen [0;2] könnte man auch abgekürzt argumentieren, dass für x=0;x=2 die gesuchte Fläche maximal ist und der Gesamtfläche entspricht und dazwischen kleiner wird, ergo „in der Mitte“ bei x=(2-0):2=1 am kleinsten sein muss.
Das wäre quasi die nicht verbildlichte Argumentation der Achsensymmetrie in der Parabel für alle Kinder, Jugendliche und Mittelstüfler, die keine Parabel(funktionen) kennen.
Ableitungen werden erst in Klasse 12 behandelt, weshalb solche Aufgaben frühestens in Klasse 12 (von 13) behandelt werden. Hier von einer Aufgabe für die 9. Klasse zu sprechen, ist also mehr als unangemessen. Es stellt den neutralen Zuhörer nur brüskierend als "dumm" dar.
Fakt ist, ein Realschüler wird niemals mit solchen Aufgaben konfrontiert werden.
Und der Schulstoff zwischen Realschule und Gymnasium ist bis zur 10. Klasse exakt gleich. (Immer davon ausgegangen, wir reden über ein System, das 13 Klassen bis zum Abitur hat.)
Genau deshalb kommen keine Ableitungen in der Lösung vor.
Ich schaue das immer gerne.
Bei diesem Problem hätte ich da eine andere nicht ganz so tief mathematische Herangehensweise zu bieten...
Warum nicht einfach einmal gleich beide roten Quadrate auf jeweils,1 mal 1 Meter machen, dann Flächeninhalt ausrechnen.
Dann das eine Quadrat minimal vergrößern und siehe da der Flächeninhalt der beiden Quadrate würde sich vergrößern.
Das ist zwar dann keine mathematische Lösung aber da es ja eine Textaufgaben ist könnte der Schüler ja auch mit einem geschriebenen Text diese Aufgabe lösen.
Oder nicht?
Den eins sollte doch klar sein, wenn ich schreibe das ist doch ganz logisch kann der Lehrer nicht sagen nein.
Denn wenn mir mein bildiches Sehvermögen gleich sagt ich sehe doch beim verschieben der x und y Längen der beiden roten Quadrate gleich das die Flächen wie in einer Parabel größer werden sobald ich x oder y aus der Mitte des großen 2 Meter Quadrates verschiebe, dann ist das doch klar.
P.S. Mach doch bitte einmal ein Zusätzliches Video dazu und zeige wie sich die Flächeninhalte verändern wenn ich x und y aus der Mitte das große Quadrates verschiebe und das die Gesamtfläche der beiden Quadrate dann wie bei einer Parabel verändern.
Mache ich da was falsch?
Gerne Antworten
Weiter so und Grüße
Wie passt das Ergebnis zur Skizze? Das ergibt überhaupt keinen Sinn!
Wenn es nur darum geht, dass es symmetrisch ist, hätte man dann nicht einfach 4m² durch 2 und wiederum durch 2 rechnen können? Dann kommt man auch zwangsweise auf 2 x 1m².
Die armen Kinder, Recht mühsam ist der vorgeschlagener Weg. Schön in der zehnten Klasse werden sie diese Aufgabe mit Hilfe der ersten Ableitung in vier bis fünf Zeilen lösen.
Mit Logik findet man die Lösung ohne zu rechnen. Für X=0 und X=2 erreicht man Maxima, gleich 2x2=4 und die Funktion muss ja symmetrisch verlaufen, weil man den Quadrat ja um 180 Grad umdrehen kann, also Minimum muss exact dazwischen liegen also für X=1
great!
Was macht die Musik?
In der Aufgabe steht nirgends, dass die beiden Flächen sich in irgendeiner Form berühren müssen. Insofern wäre es zur korrekten Lösung der Aufgabe durchaus legitim einfach zwei Quadrate mit 1mm² in die Tischplatte einzulegen. ;)
Eigentlich ist die „Skizze“ diesbezüglich eindeutig. 🤔
Die Skizze kann aber auch nur eine von unendlich vielen Möglichkeiten darstellen. Eindeutig gefordert sehe ich hier nicht.
@@dunkelbunt242 gibt ja auch unendlich viele Möglichkeiten. Und allen ist gleich, dass gilt: x+y=2 Die Skizze ist Teil der Aufgabe. Wenn man deren Informationen missachtet, kann man genauso gut auch den Text mißachten und irgend ein Nichtquadrat mit Kantenlänge ungleich zwei nehmen.
klar, man sieht nach kurzem Überlegen, daß die Lösung 1 sein muss. Der Scheitelpunkt ist die Stelle, an der die 1. Ableitung eine Nullstelle hat.
Blöde Frage: Was sind Einlegearbeiten? Ich bin kein Tischler (Schreiner).
genau diese aufgabe wurde uns mal als hausaufgabe gestellt 😂
Lösung:
Komplett ohne zu rechnen. Der minimale Flächeninhalt für rot bedeutet der maximale Flächeninhalt für grau. Das beste Verhältnis von Umfang zu Flächeninhalt ist bekanntermaßen der Kreis. Das Quadrat ist am nächsten dran und daher ist es offensichtlich, dass die minimale Fläche für rot bei zwei roten und zwei grauen Quadraten von je einem Viertel der Gesamtfläche liegt. Bei (2m)² = 4m² ist die rote Fläche also 2m² im Minimum.
Das Minimum mit dem Maximum an Verständlichkeit erreicht!
Warte mal, das ist doch eine binomische Formel a² + 2ab + b² = 2² = 4
Dazu braucht es keine Formeln, einfach Minima und Maxima betrachten, und die Loesung liegt auf der Hand.
Lösung:
Ich nenne die Seite von dem großen Quadrat x. Der Definitionsbereich ist dann: 1≤x
Herrje, man kann es auch unnötig verkomplizieren. Einfach mal die erste Ableitung bilden, mit Null gleichsetzen und das Ergebnis ist da! Und 2 - 1 kann ja wohl jeder rechnen (hoffe ich, auch ohne Taschenrechner).
@@marlonsommersturm4984 Herrje, hast du Augen im Kopf? Dann hättest du gesehen, dass das Klasse 9 ist und die noch keine Ableitung und Differenzialrechnung kennen, großmäuliger Blindfisch.
@@gelbkehlchen Neunte Klasse und noch keine Ableitungen? Tolle neue Welt - jetzt wundert mich gar nichts mehr! Und bei solchen Antworten mit Beleidigungen geht mir die Hutschnur hoch. Kinderstube gehabt? Anscheinend nicht!
@@marlonsommersturm4984 wenn du nicht so einen großmäuligen Ton angeschlagen hättest, wäre ich sanft geblieben. Insofern war das keine Beleidigung. Und guck dir mal die Lösung von Susanne an, sie arbeitet auch mit der Parabel. In der neunten Klasse gibt es keine Differenzialrechnung und noch keine Ableitung. Du hast einfach keine Ahnung.
@@marlonsommersturm4984 Ich kenne natürlich auch Differenzialrechnung und Ableitung, ich habe das aber extra nicht gemacht, sondern mit der Parabel gearbeitet, weil ich genau weiß, dass das in der neunten Klasse noch kein Thema ist. Denn ich habe jahrelang Mathe Nachhilfe gegeben.
Schon komisch, dass angegeben anscheinend unterschiedliche Quartal, die aber eigentlich gleich groß sind 😅
Dass der Kreuzungspunkt der beiden quadrat. Flächen genau in der Mitte des gesamten Quadrates sein muss, konnte ich schon im Bruchteil einer Sekunde feststellen und somit einfach nur beim Hingucken schnell lösen ^^ ^^ ^^ ... okay, hier geht es um die Berechnung mit einem mathematischen Beweis schwarz auf weiß 😁
Es gaebe noch einen anderen Ansatz fuer die Loesung. Statt ein Minimumm der Summe der roten Flaechen zu suchen, kann man auch ein Maximum der Summe der grauen Flaechen suchen, da die Summe der grauen Flaechen und der roten Flaechen immmer die Flaeche des gesamten Quadrats ergibt. Nun muss man in dem Fall nicht das Maximum der Summer der grauen Flaechen bestimmen: es genuegt das Maximum *einer* grauen Flaeche zu bestimmen, da die beiden grauen Flaechen (im Gegensatz zu den beiden roten Flaechen) immmer kongruent sind. Wodurch ist eine der grauen Flaechen bestimmt? jede der beiden grauen Flaechen ist ein Rechteck bei dem die beiden Kantenlaengen gleich den Kantenlaengen der beiden Quadrate sind. Die Summe der Kantenlaengen der beiden Quadrate ist immer gleich der Kantenlaenge des aeusseren Quadrats (der Kantenlaenge des Tisches, also 2m).
Eines der grrauen Rechtecke hat also die Flaeche x*(2-x) Quadratmeter. Wir suchen also ein Maximum der Funktion
f(x)=x*(2-x)=2*x-x^2
Das erscheint auf den ersten Blick einfacher als das Mminimum der Funktion
g(x)=x^2+(2-x)^2=x^2+4-4x+x^2=2x^2-4x+4 (ausmultiplizieren und zusammenfassen)
zu bestimmen, worauf die Loesung im Videeo ja hinauslaeuft. Die rechte Seite der Funktion f(x) erscheint mir deutlich einfacher als die rechte Seite der Funktion g(x), deswegen wuerde ich eher das Maximum der Funktion f() als das Minimum der Funktion g(x) bestimmen wollen. In beiden Faellen kommt man erwatungsgemaess auf deen Extremwert bei x=1 (wie nicht anders zu erwarten, denn die Summe der roten Flaechen ist ja genau dann mimnimal, wenn die Summme der grauen Flaechen maximal ist, siehe die Vorueberlegungen).
Meine Schulzeit ist schon reichlich lange her, daher weiss ich nicht mehr, ob in der 9.Klase bereits Kurvendiiskussion dran war. Falls ja, kann man auch den Scheitelpunkt mit Differentialrechnung bestimmen, da eine Parabel immer nur ein relatives Extremum hat (das auch gleichzeitig ein absolutes Extremum ist). Wenn man mit der Funktion f(x)=2x-x^2 den Weg ueber die Scheitelpunktsform beschreiten moechte, kaeeme man in diesem Fall auf f(x)=-x^2+2x=-[(x^2-2x+1)-1]=--[x-1)^2]+1=
-(x-1)^2+1.
Der Weg fuehrt letztlich wie im Video ueber die quadratische Ergaenzung (auch wenn der Begriff im Video nicht verwendet wurde). mit der von mir vorgeschlagenen Methode laesst sich auch zeigen, dass ein Rechteck mit gegebenem Umfang genau dann eine maximale Flaechhe hat, wenn alle Seiten gleich lang sind, sprichh wenn es sich umm ein Quadrat handelt. Man muss dazu nur den halben Ummmfang des Rechtecks statt der 2 in unserer Rechnung ersetzen. Das waere die Verallgemeinerung der von mir aufgebrachten Fragestellung.
Allerdings sind Minima und Maxima beides Extremstellen, die durch Nullstellenberechnung der Ableitung gefunden werden. f(x) und g(x) lassen sich aber so ziemlich gleich gut auch im Kopf ableiten und auflösen.
Nix desto trotz finde ich deine Überlegung und Argumentation genial. Ich habe mich über Verhältnißmäßigkeitsrechnung angenähert. x und y können gleich groß, unterschiedlich groß oder null sein.
Ist eine Variable null, dann ist die gesuchte Fläche maximal, was wir nicht wollen. Sind beide Variablen gleich groß, ist die gesuchte Fläche so groß, wie die nicht gesuchte. Besser wird’s nicht mehr.
Wegen 2=x+y wird eine Variable immer um den Betrag größer, wie die andere schrumpft. Kurze Überschlagsrechnung im Kopf: Für 1,1x+0,9y=2 (eine Variable wächst um 10%) gilt:
A1=1,21*0,81=2,02
A2=2*1,1*0,9=0,98
Ergo, die gesuchte Fläche wird zu groß.
Das muss auch so sein, weil quadratische Funktionen stärker wachsen als Linearfunktionen. Das entspricht im Ergebnis deiner Konklusion, dass das optimale Fläche zu Umfang Verhältnis beim Quadrat mit x=y liegt.
@@wollek4941 Bei der Extremwerrtbestimmung mittels Differentialrechhnung (erste Ableitung gleich 0 setzen) muss man genaugenommen noch die zweite (oder ggfs. noch weitere) Ableitungen untersuchen, um sicherzustellen, dass es sich tatsaechlich um ein relatives Etremum handelt.. Ein Beispiel, wo man eine Stelle findet, bei der die erste Ableitung an einer Stelle gleich 0 ist, aber *kein* relatives Extremmum vorliegt, ist die Funktion f(x)=x^3. An der Stelle x=0 ist die erste Ableitung 0, die zweite Aableitung aber ebenfalls und erst die 3. Ableitung ist goesser 0. Damit liegt an dieser Stelle ein Wendepunkt aber kein Extremum vor ...
Es kann aber noch ein anderes Problem geben: ein "relativer Extremwert" muss noch lange kein "absoluter Extrewert" sein.. Gefragt war hier aber nach dem "absoluten Minimum" der Summe der roten Flaechen ...
Wir koennen hier aber benutzen, dass wir es bei den Gaphen der Funktionen mit Parabeln zu tun haben, und Parabeln immer nur einen relativen Extremwert haben, der gleichzeitig auch ein absoluter Extremwert ist, so dass wir in diesem Fall ausnahmsweise auf die 2. Ableitung verzichten koennen.
Also ich hätte auch einfach nur die erste Ableitung der Flächengleichung = 0 gesetzt, x ausgerechnet und über die Kantenlänge y bestimmt. 😃
Süß: "Wir befinden uns ja in der 9. Klasse" (ernsthafter Augenaufschlag)... Grüße von einem Rentner 🙂
Red area = 2m²
We can shrink the big red square so that its side is equal to 1. Then the small red square will be enlarged to its size. So we will have 2 squares equal to side 1 Their total area is 2m²
A=2x2
1 plus 1 ist 2 quadratmeter von 4 quadratmeter quasi die Hälfte
Ableiten. Na klar.
Und Susanne prüft auch immer noch die zweite Ableitung auf Hochpunkt/Tiefpunkt.
Bei dieser Aufgabe verstehe ich warum viele Menschen keine Lust auf Mathematik haben. Praxisnah geht anders
Länge x und y = 1m wer hätte es gedacht. Dazu noch diese irreführende Zeichnung 🤦
Nach ein paar Sekunden logischem Denken hatte ich die Lösung ganz ohne Rechnen.