Видеоурок "Метод вариации произвольных постоянных"
HTML-код
- Опубликовано: 6 фев 2025
- Видеоурок "Метод вариации произвольных постоянных" от ALWEBRA.COM.UA. Рассматривается метод решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений с правой частью произвольного вида. Приводятся подробные теоретические выкладки. Алгоритм применения метода проиллюстрирован на конкретном примере.
Замечательная подача материала! От души.
Большое спасибо!
Здравствуйте. Спасибо за видео. Подскажите пожалуйста, почему произвольные постоянные С3 и С4 (полученные при интегрировании производных функций С1'(х) и С2'(х)) можно принять равными нулю ?
Ответ на этот вопрос есть в моем ответном комментарии ниже. На всякий случай продублирую.
Мы можем взять константы С3 и С4 равными не обязательно равными нулю. Это изменит частное решение, но общее решение, при этом не поменяется. Поэтому удобно их принять равными нулю для простоты выкладок.
Давайте попробуем не отбрасывать С3 и С4. Тогда общее решение
у=С1у1+С2у2+(С1(х)+С3)у1+(С2(х)+С4)у2=( раскроем скобки)=
=С1у1+С2у2+С1(х)у1+С3у1+С2(х)у2+С4у2=(сгруппируем 1-е и 4-е, а также 2-е и 5-е слагаемые, и вынесем за скобки у1 и у2)=
=(С1+С3)у1+(С2+С4)у2+С1(х)у1+С2(х)у2.
Мы видим, что суммы костант (С1+С3)=С5 и(С2+С4)=С6 являются тоже константами, то есть общее решение не изменилось (какая разница как мы обозначили константы).
Спасибо
Можете, пожалуйста, объяснить, почему, когда были получены функции C1(x) и C2(x), вы не включили константы C3 и С4 в частное решение дифференциального уравнения?
Хороший вопрос. Мы можем взять константы С3 и С4 равными не обязательно равными нулю. Это изменит частное решение, но общее решение, при этом не поменяется. Поэтому удобно их принять равными нулю для простоты выкладок.
Давайте попробуем не отбрасывать С3 и С4. Тогда общее решение
у=С1у1+С2у2+(С1(х)+С3)у1+(С2(х)+С4)у2=( раскроем скобки)=
=С1у1+С2у2+С1(х)у1+С3у1+С2(х)у2+С4у2=(сгруппируем 1-е и 4-е, а также 2-е и 5-е слагаемые, и вынесем за скобки у1 и у2)=
=(С1+С3)у1+(С2+С4)у2+С1(х)у1+С2(х)у2.
Мы видим, что суммы костант (С1+С3)=С5 и(С2+С4)=С6 являются тоже константами, то есть общее решение не изменилось (какая разница как мы обозначили константы).
Большое спасибо, все очень понятно.
Подскажите, пожалуйста, как решить дифференциальное уравнение этим методом, если в правой части тригонометрическая функция вида A*ctg(B*x) или A/(cos(B*x))?
Посмотрите на нашем сайте здесь
alwebra.com.ua/mod/page/view.php?id=2481&inpopup=1
Спасибо огромное! Все очень понятно. Успехов вашему каналу и процветания сайту!!!
здравствуйте , не могу понять почему при нахождении общего решения получаются корни y1(x)=e^x y2(x)=xe^x, откуда во втором берется X , подскажите пожалуйста
Вид решения однородного уравнения зависит от корней алгебраического уравнения. Когда корень второй кратности (здесь х1=х2=1), одно из решений домножается на х. Подробнее можете посмотреть здесь:
ruclips.net/video/qBW7SrAluHQ/видео.html
👏👏
Поясните почему мы можем потребовать обращения в ноль суммы 1 и 3 слагаемого в выражении для производной?
Вы можете сделать сумму 1-го и 3-го слагаемых равной, не обязательно нулю. А, например, единице. Или чему-то другому. Это ваше право выбора.
Но это повлияет на дальнейшие выкладки. И в результате вы можете получите более сложную систему уравнений для определения C1(x) и C2(x).
Математика от alwebra.com.ua Даже не ждал, что мне ответят) Спасибо! Просто в конспектах на вашем сайте да т в других источниках не упоминается почему так.
Но мой вопрос касается того, почему мы можем произвольно выбирать это значение ?
Аналогичный вопрос возникает и при решении линейных ОДУ 1 порядка (и ур. Бернулли аналогичной щаменой у=u*v)alwebra.com.ua/mod/page/view.php?id=2100 формула 4
Вы молодец, что так подробно разбираете выкладки.
С линейными ОДУ 1 порядка такая же ситуация, что и в методе вариации.
Вам известна сумма слагаемые f(x), но неизвестны сами слагаемые, составляющие сумму.
Принимая одно из слагаемых за нуль, мы получаем условие для определения другого слагаемого.
Удачи.
можете объяснить подробно как вы получили С2'(х)=1/х?
Объясняется на 6:00.
Будем вычитать из второго уравнения системы первое (можно наоборот).
При вычитании левых частей: С1'(х) + С2'(х)(х+1) - С1'(х) - С2'(х)х=С2'(х).
При вычитании правых частей: 1/х - 0=1/х.
Следовательно С2'(х)=1/х.
C1 будет равно нулю, а не -1
Посчитайте внимательнее.
Первое уравнение: С1'+xC2'=0.
Если подставить C2'=1/x, получим
C1"+x/x=0,
C1'+1=0,
C1'=-1.
заебись
ненавижу вышмат