1. 퓨리에 변환에 푸리에 급수가 시간함수를 표시한다는 것을 드디어 알게 됐다. 2. 그것도 시간함수를 복소수로 표시하는데 그게 푸리에 급수였던 것이다. 3. 푸리에 급수가 어떻게 복소수가 됐는지를 여기서 설명하는 것 같다. 4. 정말 돌아돌아 다시 왔구나! 5. 잘 들어보자. 23.10.21(토) 6. 잠깐 여기서 복소수 푸리에 급수에서 왜 Ak가 복소수로 표현되게 된거지? 그걸 모르겠네 ㅠㅠ 1:45 23.10.21(토) 7. 세상에 내가 이밤에 왜 이걸 듣고 있는건지.. 왜 이걸 이렇게 열심히 보고 있는건지 나도 이해가 안돼네 ㅋㅋ 8. 벡터의 내적은 아는데 함수의 내적이란 개념이 있구나. F1(t) F2(t) 이런식으로 3:40 9. 잠깐 벡터의 내적은 X축,Y축에서 정의돼 있는데 함수의 내적은 구간에서 정의돼 있구나. 어떤 한구간에서 일단 두함수를 곱해서 적분을 취해준다는 것이다. 5:15 10. 이게 무슨 의미인지 이제야 알겠다! 11. 난 그동안 푸리에 변환에서 시간함수와 오일러공식함수의 내적을 X축,Y축 행렬처럼 곱해야 된다고 생각했었는데 12. 그렇게 이해하려고 했었는데 단순히 그게 아니라 행렬처럼 곱하는건 맞는데 적분의 개념이었구나. 13. 그러니까 한 구간에서 적분을 해준다는 의미였다. 이게 무슨의미냐면 그 구간에서 적분한 합이 0이면 그건 직교해서 두 함수간에 관련이 없다 그런 뜻이 된다는 것이었다. 6:00 14. 벡터의 내적과 크게 다를바 없다는데, 크게 다르구만! 15. 나는 그동안 이산이던 연속이던 푸리에 변환식에서 시간함수와 오일러공식함수를 곱한 것을 적분해준게 내적한것이라고 해서 16. 속으로는 저게 말은 적분이라고 하지만 실은 X축,Y축값이 있어서 벡터처럼 내적을 구한 것인줄 알았다. 17. 그런데 알고보니 그냥 두 변수의 적분처럼 그냥 곱한 것이었다. 다만 구간안에서 곱한 것의 적분이라서 그 합이 0이면 그게 내적한 값이 0이란 뜻이 된다는 것이었다. 18. 이제서야 벡터 내적처럼 X축, Y축으로 내적해야 한다는 강박관념에서 해방됐다 ㅠㅠ 세상에 ㅠㅠ 19. 오늘은 여기까지! 23.10.21(토) 20. 이게 직교한다는걸 왜 증명하려는지 이해가 안간다? 21. 내적이 0이면 직교한다는 것까지는 알겠는데 그 직교하는 함수로 구간 [a,b]의 모든 함수를 표현한다는게 왜 중요하지? 14:50 22. 이건 사실 벡터 i와 j가 직교할때 두벡터로 X와 Y축의 모든 좌표를 표현할수 있다는 말부터 이해가 안갔다! 23. 이걸 어디 쓰는지 모르기 때문이다. 24. 왜 내적이 벡터로 표현되야 한다는게 필요하지? 그걸 모르겠다는거다. 25. 왜 서로다른 주파수 K에 대해서 직교해서 내적이 0이 되야하지? 12:40 26. 와 정말 이건 모르겠다! 왜 Ak가 복소수가 되는지! 27. 그냥 연속푸리에급수말고 그냥 푸리에 급수부터 이해하고 다시와야겠다! 23.10.22(일)
선형대수학의 개념을 이용해서 푸리에시리즈를 이해해보면, 함수도 벡터 스페이스 내의 벡터로 생각가능하고(물론, 벡터 스페이스를 이룬다는 가정하에) 따라서 푸리에시리즈는 orthogonal한 basis(특히 이 경우에는 정현파로 표현되는 basis)를 통해 주기함수를 표현하는 방법으로 이해되네요! 그리고 여기서 선형대수학의 개념을 조금 더 이용해보면 ak는 원래의 주기 신호의 orthgonal한 basis로의(조금 더 넓게 해석하면 각 주파수 성분) projection, 즉 닮은 정도로 이해할 수 있을 것 같아요! 공돌님의 선대영상을 보면서 선대를 더 파보고 싶었고, strang 교수님의 강의를 추천해주셔서 완독하고 왔더니 정말 공학과 수학을 바라보는 시각이 넓어진 것 같아요..! 정말 감사해요!!
1. 세상에 수학을 보고 있는데 무슨 물리학 강의를 듣는 느낌 받기는 또 처음이네.. 무슨 말인지 하나도 못알아듣긴 또 처음이네.. 2. 정말 exp 익스포넨셜 이게 뭔지 전혀 감이 안오네 ㅋㅋ. 22.09.10(토) 3. 뭐야! 지금보니 퓨리에 변환 방정식은 적분하고 자연상수^2ㅠ허수 이런것들로 전개되는 식인데 여기나오는 식은 그식이 아니잖아! 4. 인간적으로 너무 복잡하네... 5. 내가 너무 복잡한 걸로 시작했나? 세계를 바꾼 17가지 방정식에 나오는 퓨리에변환 방정식은 분명 여기나오는 식보다 훨씬 이해가기 쉬운 식인데 말이다. 6. 다른 걸 한번 찾아봐야 겠다. 이식은 도저히 지금은 무슨 말인지 모르겠고, 알아야 되는식이 솔직히 아니었으면 좋겠다.22.09.10(토)
안녕하세요 영상내용에 대해 하나 질문을 드려도 괜찮을까요?? Q. orthogonal하고 무한한 복소지수들의 선형결합으로 원래 신호 x(t)를 표현한다는게 푸리에 급수의 아이디어 인것 같은데 , 그렇다면 모든 연속시간주기함수는 푸리에 급수로 표현이 가능한 것인가요?? 영상 너무 잘보고 있고 답변해주신다면 감사하겠습니다
inner product가 0 -> orthogonal -> a basis of 2-dimension vector space라고 할 때 orthogonal -> linearly independent임을 말할 때 i벡터와 j벡터가 모두 0이 아니라는 조건을 넣어야 할 것 같아요..!
궁금한 것이 있습니다! 1. 직교일 필요가 있는 건가요? 평면좌표에서는 2개의 단위백터만 알면 모든 점을 표현할 수 있습니다. 하지만 그 백터가 수직하지만 않더라도, 평행하지만 않는다면 모든 평면 좌표의 점을 표현할 수 있습니다. 함수는 그렇지 않나요? 2. 만약에 K=1일 경우를 빼버려도, 모든 함수를 표현할 수 있나요? K=1일 경우를 빼버려도 무한 개의 orthogonal한 함수가 있잖아요. 만약에 없다면, 단순히 무한 개의 orthogonal한 함수가 있으면 임의의 함수를 표현할 수 있다는 표현에다가 무언가 추가가 되어야지 맞는 것 같아요. 제 지식이 짧아서 이 두 부분이 걸립니다. 강의 중 말씀하셨던 실수론과 선형대수를 배우면 이해할 수 있을까요?
1. 꼭 직교하는 단위 벡터들로 구성되어야 합니다. 두 평행하지 않는 벡터로 평면상의 모든 좌표를 표현한다고 하셨는데, 그 두 평행하지 않은 벡터들도 결국에는 두 개의 수직한 벡터로 분해되게 됩니다. 가령 (1,1)과 (1,0) 이라는 두 개의 벡터로 모든 평면 상의 좌표를 표현할 수 있다고 한다고 해도, (1,1)은 또 다시 (1,0)과 (0,1)의 합으로 구성된 벡터입니다. 2. 일리가 있는 지적인 것 같습니다. 무한의 크기에 대해 고려한다면 단순히 '무한한 직교 집합을 기저 함수로 하였을 때 임의의 함수를 표현할 수 있다'는 말은 어폐가 있습니다. 지금 생각해보니 해당 기저함수로 구성된 함수 공간 안에 있는 함수를 표현할 수 있다고 해야할 것 같습니다. (하지만 여전히 이 문장은 좀 더 다듬을 필요가 있어보이긴 합니다.) 다만, k=1인 경우를 뺀다는 것이 어떤 의미를 갖는지 잘 생각해보면 어떤 임의의 함수를 표현할 때 fundamental frequency (즉, 주파수가 1/T) 인 주파수 성분을 갖는 함수에 대해서는 표현할 방법이 없어진다는 의미입니다. 혹시 제가 틀렸거나 부족한 내용이 있다면 계속 코멘트 남겨주세요~!
안녕하세요 ~ 공돌님 1. 16:51정도에 k=p인 경우도 보는 이유는 무엇인가요? 서로 다른 k에 대해서 직교성을 보는 것인데... 2. ak를 구할 때에는 오히려 k=p인 경우에만 ak가 값이 나오고 k=~p인 경우는 0으로 나오네요..즉 마치 k=~p인 ak를 못구하고 k=p인 경우에만 나오는데 orthogonal증명 부분에서는 k=~p여야하고.. 뭔가 제가 부족하여 잘 직관적으로 와닿지가 않네요..ㅠ
ㅠㅠ 지금 댓글 달면 답변해주실까..... ㅠㅠ 1. orthogonal을 확인하기 위해 exp을 내적해서 0을 찾는건데 k=p일때는 T로 0이 아니잖아요? 그럼 그냥 내적의 성질, 같은 벡터를 내적하면 1이 된다는 성질을 확인하기 위해 한건가요? 2. exp형태가 아닌 sin cos 형태일때 sin과 cos은 위상차이가 90라서 서로 직교하는 성질을 가지고 있다고 이해해도 되나요?
안녕하세요. 1. k=p인 경우에는 동일한 두 함수를 내적해주는 것이기 때문에 함수의 길이만큼의 값이 결과값으로 나오게 됩니다. 네. 말씀하신 것 처럼 같은 벡터를 내적하면 그 결과가 벡터의 크기만큼 출력되는 성질을 확인하기 위한 것이라고 할 수 있습니다. 2. 네 그렇게 이해하셔도 좋을 것 같습니다. 혹은 동일 주파수에 대해 2sin(x)cos(x)는 항상 sin(2x)와 같으므로 sin(2x)는 한 주기에 대해 적분해주면 언제나 값은 0이다는 식으로 이해해도 좋지 않을까 싶네요.
함수는 벡터의 개념이 연장된 것이라고 영상에서 언급했던 것 같습니다. 그러면 다음에 대해서 생각해봐야 합니다. 복소 벡터의 내적이란 어떻게 정의되는 것인가? 그러니까, 복소 벡터의 내적의 정의는 복소 함수의 내적의 정의로 연결됩니다. 복소 벡터의 내적은 복소 공간에서 임의의 두 벡터 a, b 에 대해 hermitian(a)*b로 정의됩니다. ... www.ktword.co.kr/abbr_view.php?m_temp1=4200 이것에 대해서는 위의 링크를 참조해주시구요. 그렇다면 복소 함수의 내적은 복소 벡터의 내적의 개념을 연장시켜서 임의의 두 복소 함수 f1(t)와 f2(t)에 대해 f1(t)*conjugate(f2(t))를 구하고 구하고자 하는 구간에서 적분해줘야 합니다. 그러니까 exp(j*2pi*pt/T)에서 conjugate을 취해주면 p 대신에 -p가 대입되면 됩니다. 설명이 이해되셨는지...
굉장히 좋은 질문입니다... 1. 우선 질문자께서 말씀하시는 벡터 공간은 실수 벡터에 한정한다고 해야겠지요? 2. 제가 질문을 잘 이해한 것인지 모르겠는데, 제가 말씀드릴 수 있는 답변은 다음과 같겠습니다. (즉, 복소수공간에서의 수직이 의미하는 바가 무엇인지에 관한 질문인 것이지요?) 결론부터 말씀드리자면 복소수 공간에서의 내적이 0일 때에도 기하학적으로 수직인 것을 의미할 수 있습니다. 자세한 내용은 여기에 다 쓰기 어렵고, 매우 기본적인 것에 관한 설명으로 제 강의 영상중 편을 보시고 오시길 바랍니다. 허수의 차원와 실수의 차원은 서로 직교합니다. 그래서 복소평면의 개념이 나올 수 있습니다...
ㅠㅠ 저도 강의를 통해서 듣긴했는데 그과정을 스칼라곱을 통해서 함수로 증명해내는 과정이 꽤나 제기준에서 복잡하더라구요. 그과정을 설명하기위해서 복소함수기울기, 편미분 등 많은 지식과 과정을 요구하더라구요. 그냥 두함수를 곱해 적분하는것이 함수의 내적법이다 라고 생각하는 쪽이 편한것 같아용 그래도 궁금하시다면 구글링을 통해서 알아보셔야할듯 합니당.. 화이팅
여러분 안녕하세요. 1. 내적이 꼭 적분의 형태를 띄어야 하는가? 한마디로 하면 연속함수에 대한 내적이기 때문입니다. 다들 잘 아시겠지만, 여기서 함수는 일반화된 벡터로써, 쉽게 말하면 함수는 숫자의 긴-나열이라고 보시면 됩니다. 다시 말해서 벡터는 순서가 중요한 숫자의 '나열'인데, 함수 역시 어떤 약속을 가지고 숫자를 나열한 것으로 취급해보자는 게 영상에서 말씀드리는 취지입니다. 그래서 벡터를 내적하기 위해선 원소끼리 곱을 해서 더해야 하는 것 처럼 함수도 마찬가지로 원소끼리 곱해서 더하는 과정이 '내적'값을 취해주는 과정으로 볼 수 있는 것이겠지요. 그리고 여기서는 연속 함수이다보니 내적의 개념이 일반 summation에서 적분의 형태를 띄도록 변경된 것입니다. 2. 그게 0이면 그 함수들로 어떻게 모든 함수를 표현할 수 있는지? 그게 0이라는 것에 대해서, 가령 2차원 벡터 공간의 경우에는 2개의 벡터가 직교한다고 하면 내적값이 0이고, 그 두 개의 벡터만을 이용해서 2차원 벡터 공간의 모든 벡터를 표현할 수 있습니다. 가령 (1,0) 과 (0,1)이라는 두 벡터는 내적하면 값이 0이고 이 두 개의 벡터에 스칼라를 곱해 더하면 2차원 벡터 공간 상의 모든 벡터를 표현할 수 있는데요. 마찬가지로 함수는 무한차원 벡터공간의 한 점입니다. 그래서 무한개의 기저벡터를 알 수 있으려면 내적을 통해 알 수있을 것이고, 만약 그 무한개의 기저벡터를 알 수 있다고 하면 거기에 스칼라를 곱해 더하면 무한차원 벡터 공간 상의 모든 벡터(여기서는 함수)를 표현할 수 있게 되는 것입니다. 조금 더 고민의 시간을 가져보신다면 충분히 이해하실 수 있으리라 믿습니다 ^^~ 혹시 더 궁금하신점 있으시면 댓글 남겨주세요!
@@AngeloYeo 정말 감사합니다 ㅠㅠ 정말 푸리에 급수 문제 풀 줄은 알아도 진정한 의미가 이해가 안 되어 같은 걸 한 7번은 보고 여기저기 엄청 헤멨는데 드디어 제 종착지를 찾았습니다... 댓글까지 완독하니 이제 좀 자신감이 생기네요!!! 공돌이 님 강의 덕에 많은 사람이 도움 받는 것 같습니다!!! + 선형대수학을 처음 접할 때 이걸 왜 배우는지, 의미가 뭔지 이해가 안 돼서 헤맸는데 이것에 대한 해답도 같이 되어주네요 ㅠㅠ 늘 싫기만 했던 선대인데 왜 전공기초인지 알게되었어요. 방학에 선대 공부를 좀 해야겠네요!!!
안녕하세요. 실수 범위에서 정의되는 벡터의 내적(즉, 함수의 내적)의 성질을 복소수 범위에서도 그대로 이용하기 위해서 입니다. 벡터의 내적을 생각해보면 가령 x = (a, b)라고 했을 때, (a와 b는 모두 실수) x와 x의 내적은 a^2 + b^2이 되어야 합니다. 그런데, 만약 z = a + jb (여기서 j는 허수 단위)라고 하면, z는 (a, jb)라고 나타낼 수 있을텐데, z와 z의 내적을 만약 z * z로 정의하면 (a+jb)*(a+jb)이므로 a+ 2jab -b^2 입니다만, 만약 내적을 z * conjugate(z)라고 정의한다면, z * conj(z) = (a+jb)(a-jb) = a^2 + b^2으로 그대로 사용할 수 있습니다. 이런 이유로 켤레 연산을 취해준다고 생각하면 가장 쉽습니다. (조금 더 복잡한 이유를 들어 소개하자면 ... 내적이 정의되는 복소벡터 공간에서 기저의 크기를 적절히 정의하기 위해서라고 봐도 괜찮을 것 같습니다.)
안녕하세요. 3차원 이상의 벡터(함수)가 직교한다는 것은 기하학적으로 표현하기 어려울 것 같습니다. 다만 '두 벡터(함수)가 닮았다' 정도로 이해할 수 밖에 없을 것 같습니다. -- '그사이에서 직교하는 점을 포함하는건가요?' 이 부분은 어떤 의미인지 정확히 이해가 어려운데, 조금 더 자세하게 말씀해주시면 감사하겠습니다.
오랜만입니다 선생님 갑자기 또 이걸 쓸 데가 생겨서 다시 생각해보다가 궁금한 것이 생겨서 질문 드립니다 네이버에서 푸리에급수를 검색해보니 사인 코사인으로 풀었는데 포스팅 해놓은 사람마다 상수항이 달라 의문입니다... 어떤 사람은 코사인 계수의 절반이 상수항이라고도 하고 어떤 사람은 코사인 계수가 상수항이라고도 하는데 어찌된 영문인지를 알수가 없습니다... 어떤 값이 맞는지 알려주실수 있을까요??
안녕하세요. 제 생각엔 나무위키의 식이 잘못된 것 같습니다. 나무위키에 적힌 식에서도 b0/2가 되어야 할 것 같아요. 그 이유는 int_{-pi}^{pi} f(x) cos(0x) dx = int_{-pi}^{pi}b0 dx = 2*pi*b0가 되는데 이 값은 나무위키의 b_n에 관한 식인 b_n = 1/pi * int_{-pi}^{pi}f(x) cos(nx) dx 에 위배되기 때문입니다. b0/2가 더 맞는 식이라는 것은 Dennis G. Zill의 공업수학 교과서 Advance Engineering Mathematics, 6ed., 의 Definition 12.2.1에서도 추가로 확인할 수 있었습니다.
제가 찾던 내용입니다 감사합니다 해외 자료 뒤져보느라 고생했엇는데 마침내 여기서 찾네요
반갑습니다 ^^ 공부해서 올린 보람이 느껴지는 댓글이네요 ㅎ
오! 친절하고 멍쾌한 강의 감사합니다.단순히 수식전개를 넘어 벡터와 비교하면서 설명하시니 기본 개념이 더 잘 이해됩니다!
좋은 동영상 너무너무 감사합니다 공부하기 힘들었는데 너무나도 이해가 잘 돼요 왜 배우는지도 제대로 알게되었고 목소리가 너무 좋으셔서 강의가 잘 들려요 진짜 너무 감사해요 앞으로도 좋은 동영상 많이 올려주세요!!
+전누리 여러가지 칭찬을 한꺼번에 이렇게 많이 해주시니 너무 감사드립니다... ㅎㅎ 글로도 정리한 곳이 있으니 공부하실 때 참고하시면 더 좋을 것 같습니다. wikidocs.net/book/563
+AngeloYeo 웹페이지도 너무 좋네요 감사합니다 :-)
1. 퓨리에 변환에 푸리에 급수가 시간함수를 표시한다는 것을 드디어 알게 됐다.
2. 그것도 시간함수를 복소수로 표시하는데 그게 푸리에 급수였던 것이다.
3. 푸리에 급수가 어떻게 복소수가 됐는지를 여기서 설명하는 것 같다.
4. 정말 돌아돌아 다시 왔구나!
5. 잘 들어보자. 23.10.21(토)
6. 잠깐 여기서 복소수 푸리에 급수에서 왜 Ak가 복소수로 표현되게 된거지? 그걸 모르겠네 ㅠㅠ 1:45
23.10.21(토)
7. 세상에 내가 이밤에 왜 이걸 듣고 있는건지.. 왜 이걸 이렇게 열심히 보고 있는건지 나도 이해가 안돼네 ㅋㅋ
8. 벡터의 내적은 아는데 함수의 내적이란 개념이 있구나. F1(t) F2(t) 이런식으로 3:40
9. 잠깐 벡터의 내적은 X축,Y축에서 정의돼 있는데 함수의 내적은 구간에서 정의돼 있구나. 어떤 한구간에서 일단 두함수를 곱해서 적분을 취해준다는 것이다. 5:15
10. 이게 무슨 의미인지 이제야 알겠다!
11. 난 그동안 푸리에 변환에서 시간함수와 오일러공식함수의 내적을 X축,Y축 행렬처럼 곱해야 된다고 생각했었는데
12. 그렇게 이해하려고 했었는데 단순히 그게 아니라 행렬처럼 곱하는건 맞는데 적분의 개념이었구나.
13. 그러니까 한 구간에서 적분을 해준다는 의미였다. 이게 무슨의미냐면 그 구간에서 적분한 합이 0이면 그건 직교해서
두 함수간에 관련이 없다 그런 뜻이 된다는 것이었다. 6:00
14. 벡터의 내적과 크게 다를바 없다는데, 크게 다르구만!
15. 나는 그동안 이산이던 연속이던 푸리에 변환식에서 시간함수와 오일러공식함수를 곱한 것을 적분해준게 내적한것이라고 해서
16. 속으로는 저게 말은 적분이라고 하지만 실은 X축,Y축값이 있어서 벡터처럼 내적을 구한 것인줄 알았다.
17. 그런데 알고보니 그냥 두 변수의 적분처럼 그냥 곱한 것이었다. 다만 구간안에서 곱한 것의 적분이라서 그 합이 0이면 그게 내적한 값이 0이란 뜻이 된다는 것이었다.
18. 이제서야 벡터 내적처럼 X축, Y축으로 내적해야 한다는 강박관념에서 해방됐다 ㅠㅠ 세상에 ㅠㅠ
19. 오늘은 여기까지! 23.10.21(토)
20. 이게 직교한다는걸 왜 증명하려는지 이해가 안간다?
21. 내적이 0이면 직교한다는 것까지는 알겠는데 그 직교하는 함수로 구간 [a,b]의 모든 함수를 표현한다는게 왜 중요하지? 14:50
22. 이건 사실 벡터 i와 j가 직교할때 두벡터로 X와 Y축의 모든 좌표를 표현할수 있다는 말부터 이해가 안갔다!
23. 이걸 어디 쓰는지 모르기 때문이다.
24. 왜 내적이 벡터로 표현되야 한다는게 필요하지? 그걸 모르겠다는거다.
25. 왜 서로다른 주파수 K에 대해서 직교해서 내적이 0이 되야하지? 12:40
26. 와 정말 이건 모르겠다! 왜 Ak가 복소수가 되는지!
27. 그냥 연속푸리에급수말고 그냥 푸리에 급수부터 이해하고 다시와야겠다! 23.10.22(일)
선형대수학의 개념을 이용해서 푸리에시리즈를 이해해보면, 함수도 벡터 스페이스 내의 벡터로 생각가능하고(물론, 벡터 스페이스를 이룬다는 가정하에) 따라서 푸리에시리즈는 orthogonal한 basis(특히 이 경우에는 정현파로 표현되는 basis)를 통해 주기함수를 표현하는 방법으로 이해되네요! 그리고 여기서 선형대수학의 개념을 조금 더 이용해보면 ak는 원래의 주기 신호의 orthgonal한 basis로의(조금 더 넓게 해석하면 각 주파수 성분) projection, 즉 닮은 정도로 이해할 수 있을 것 같아요!
공돌님의 선대영상을 보면서 선대를 더 파보고 싶었고, strang 교수님의 강의를 추천해주셔서 완독하고 왔더니 정말 공학과 수학을 바라보는 시각이 넓어진 것 같아요..! 정말 감사해요!!
너무 잘 이해하셨네요~ 안그래도 선형대수학적 관점의 푸리에 변환에 대한 내용을 글로만 정리해뒀는데... ㅎㅎ 정말 정말 잘 이해하신 것 같습니다
여러모로 많은 부분을 이해하고 돌아오신 것 같네요 ㅎㅎ 가장 재밌을 때가 바로 그 순간인 것 같습니다 ^^
헐 ㄷㄷ 바로 뒤 영상에서도 설명을 더 길게 충분히 해주시는 군요!! 지금 바로 보러 가겠습니다. 좋은 교육영상 만들어주셔서 너무 감사합니다!!
18:30 에서 t를 -무한에서 +무한으로 적분 했는데, 그전에는 한 주기에 대해서만 적분했어요. 어떻게 그럴 수 있는지 궁금해요
Hyun Woo 사실 (exp 2pi()jft) 자체가 주기함수라서 0에서 T까지의 적분구간이 모든 실수 구간에서 반복되기때문에 확장해도 같은 결과라고 할수있을거같아요
좋은 강의 감사합니다 큰 힘이 됐습니다
도움이 되었다면 다행입니다 ㅎ 열공하세요!
1. 세상에 수학을 보고 있는데 무슨 물리학 강의를 듣는 느낌 받기는 또 처음이네.. 무슨 말인지 하나도 못알아듣긴
또 처음이네..
2. 정말 exp 익스포넨셜 이게 뭔지 전혀 감이 안오네 ㅋㅋ. 22.09.10(토)
3. 뭐야! 지금보니 퓨리에 변환 방정식은 적분하고 자연상수^2ㅠ허수 이런것들로 전개되는 식인데 여기나오는
식은 그식이 아니잖아!
4. 인간적으로 너무 복잡하네...
5. 내가 너무 복잡한 걸로 시작했나? 세계를 바꾼 17가지 방정식에 나오는 퓨리에변환 방정식은
분명 여기나오는 식보다 훨씬 이해가기 쉬운 식인데 말이다.
6. 다른 걸 한번 찾아봐야 겠다. 이식은 도저히 지금은 무슨 말인지 모르겠고, 알아야 되는식이 솔직히
아니었으면 좋겠다.22.09.10(토)
안녕하세요 영상내용에 대해 하나 질문을 드려도 괜찮을까요??
Q. orthogonal하고 무한한 복소지수들의 선형결합으로 원래 신호 x(t)를 표현한다는게 푸리에 급수의 아이디어 인것 같은데 , 그렇다면 모든 연속시간주기함수는 푸리에 급수로 표현이 가능한 것인가요??
영상 너무 잘보고 있고 답변해주신다면 감사하겠습니다
안녕하세요. 네 말씀하신 내용이 맞습니다. 다만 특별히 함수가 발산하거나 하지 않고 불연속점이 유한한다던지 등의 조건이 만족되면 어떤 주기함수라도 적용가능한 것으로 알고 있습니다...(디리클레 조건으로 찾아보시면 좀 더 정확한 내용 확인가능하실 것 같습니다)
정말 감사합니다
ㅠㅠ 큰 도움 얻고 갑니다
이해하시는데 도움이 되었다면 다행입니다 ㅎ
엄청난 설명 감사합니다!!
감사합니다~
inner product가 0 -> orthogonal -> a basis of 2-dimension vector space라고 할 때 orthogonal -> linearly independent임을 말할 때 i벡터와 j벡터가 모두 0이 아니라는 조건을 넣어야 할 것 같아요..!
앗... 일리 있는 지적이시네요. 다른 분들도 보실 수 있게 이 댓글을 pin 처리해두겠습니다.
혹시 마지막 푸리에 계수를 구하는 과정에서 적분 범위가 0~T가 아니라 -infty ~ infty 인 이유를 알 수 있을까요? 뭐 어차피 주기성이 있으니 동일 하겠지만요
정확한 시점을 알려주실 수 있으실까요? 마지막 장면에서는 적분 범위가 0~T로 설정되어 있는 것 같습니다
예전 댓글들 보니까 그 부분이 실수인 것 같습니다. 적분 범위는 0~T까지로 잡는게 맞는것 같습니다.
네 감사합니다 좋은강의 !!
정확한 지적을 해주신 분과 유익하고 좋은 강의에 감사드립니다.
자료 처리 때문에 푸리에 시리즈 공부하는데 정말 큰 도움이 되었습니다. 감사합니다. 저 j는 복소수를 뜻하는 것이겠지요?
네 물론입니다.
궁금한 것이 있습니다!
1. 직교일 필요가 있는 건가요?
평면좌표에서는 2개의 단위백터만 알면 모든 점을 표현할 수 있습니다. 하지만 그 백터가 수직하지만 않더라도, 평행하지만 않는다면 모든 평면 좌표의 점을 표현할 수 있습니다. 함수는 그렇지 않나요?
2. 만약에 K=1일 경우를 빼버려도, 모든 함수를 표현할 수 있나요? K=1일 경우를 빼버려도 무한 개의 orthogonal한 함수가 있잖아요. 만약에 없다면, 단순히 무한 개의 orthogonal한 함수가 있으면 임의의 함수를 표현할 수 있다는 표현에다가 무언가 추가가 되어야지 맞는 것 같아요.
제 지식이 짧아서 이 두 부분이 걸립니다. 강의 중 말씀하셨던 실수론과 선형대수를 배우면 이해할 수 있을까요?
1. 꼭 직교하는 단위 벡터들로 구성되어야 합니다. 두 평행하지 않는 벡터로 평면상의 모든 좌표를 표현한다고 하셨는데, 그 두 평행하지 않은 벡터들도 결국에는 두 개의 수직한 벡터로 분해되게 됩니다. 가령 (1,1)과 (1,0) 이라는 두 개의 벡터로 모든 평면 상의 좌표를 표현할 수 있다고 한다고 해도, (1,1)은 또 다시 (1,0)과 (0,1)의 합으로 구성된 벡터입니다.
2. 일리가 있는 지적인 것 같습니다. 무한의 크기에 대해 고려한다면 단순히 '무한한 직교 집합을 기저 함수로 하였을 때 임의의 함수를 표현할 수 있다'는 말은 어폐가 있습니다. 지금 생각해보니 해당 기저함수로 구성된 함수 공간 안에 있는 함수를 표현할 수 있다고 해야할 것 같습니다. (하지만 여전히 이 문장은 좀 더 다듬을 필요가 있어보이긴 합니다.)
다만, k=1인 경우를 뺀다는 것이 어떤 의미를 갖는지 잘 생각해보면 어떤 임의의 함수를 표현할 때 fundamental frequency (즉, 주파수가 1/T) 인 주파수 성분을 갖는 함수에 대해서는 표현할 방법이 없어진다는 의미입니다.
혹시 제가 틀렸거나 부족한 내용이 있다면 계속 코멘트 남겨주세요~!
@@AngeloYeo 도움이 됐습니다!!
@@AngeloYeo Complete set of orthogonal functions으로 표현하네요!
오 뭐지 푸리에 급수 인터넷 뒤지다 못찾겠어서 여기 와봤는데 역시나 있네요 ㅋㅋㅋㅋㅋ
근데 제가 알던 푸리에는 사인 코사인이었는데 님은 익스퍼넨셜로 바로 해버리네요 ㄷㄷ 제가 아는거랑 같은거겠죠...?
사인 코사인이랑 같은 거라고 보시면 됩니다. 다만 복소함수로 확장해버리면 수식들이 여러가지로 정리하기 쉬워져서 exponential 형태로 바로 정리해버리는 방식으로 진행했습니다 :)
@@AngeloYeo 그렇군요!! 저도 집 올라오면서 생각해낸게 있는데 그걸로 풀어보고 이것도 공부해봐야겠네요 ㅋㅋ 매번 답해주셔서 감사합니다
크... 김현수님도 평소에 이런 고민을 많이 하시나봐요 ^^~ 멋지십니다 !! 화이팅이에요 ㅎㅎ
@@AngeloYeo 저는 시험 준비중이라서요 ㅠㅠ 생각을 할수밖에 없게 되네요
공돌이님은 공대를 나오신건가요?? 되게 넓은? 분야를 아시는거같아서 멋있어요 ㅋㅋ
ㅎㅎ 그러시군요 ㅋㅋ 넵 저는 공대나왔습니당 ㅋㅋ 칭찬 감사드려용 ♡
안녕하세요
공돌이님 강의 애청자입니다!
제가 실무적으로 궁금한것이있습니다.
제가 IMU 관성측정장치센서를 하나사서 선박의 6자유도운동을 관측하려하는데 센서를통해 각 축의 방향의 회전운동을 아날로그시그럴로 받을수있거든요.
그것을 FFT를 써서 주파수분석을 할 수있나요?
안녕하세요. 물론 가능합니다. 받게되시는 아날로그 시그널을 디지털 신호로 변환 시킬 수 있다면 FFT 적용이 가능합니다!
@@AngeloYeo 감사합니다! ㅜㅜ 최고이셔용!
안녕하세요 ~ 공돌님
1. 16:51정도에 k=p인 경우도 보는 이유는 무엇인가요? 서로 다른 k에 대해서 직교성을 보는 것인데...
2. ak를 구할 때에는 오히려 k=p인 경우에만 ak가 값이 나오고 k=~p인 경우는 0으로 나오네요..즉 마치 k=~p인 ak를 못구하고 k=p인 경우에만 나오는데 orthogonal증명 부분에서는 k=~p여야하고..
뭔가 제가 부족하여 잘 직관적으로 와닿지가 않네요..ㅠ
설명이 좀 이상했던 것 같습니다. 모든 k, p에 대해서 확인해보면 k와 p가 다른 경우에는 직교성에 의해 내적이 0이되고 k와 p가 같은 경우에는 0이 아닌 값이 나온다 이렇게 보면 될 것 같습니다. 역시 신호처리 파트는 리뉴얼해서 다시 올려야겠습니다 ㅠ
ㅠㅠ 지금 댓글 달면 답변해주실까..... ㅠㅠ 1. orthogonal을 확인하기 위해 exp을 내적해서 0을 찾는건데 k=p일때는 T로 0이 아니잖아요? 그럼 그냥 내적의 성질, 같은 벡터를 내적하면 1이 된다는 성질을 확인하기 위해 한건가요? 2. exp형태가 아닌 sin cos 형태일때 sin과 cos은 위상차이가 90라서 서로 직교하는 성질을 가지고 있다고 이해해도 되나요?
안녕하세요.
1. k=p인 경우에는 동일한 두 함수를 내적해주는 것이기 때문에 함수의 길이만큼의 값이 결과값으로 나오게 됩니다.
네. 말씀하신 것 처럼 같은 벡터를 내적하면 그 결과가 벡터의 크기만큼 출력되는 성질을 확인하기 위한 것이라고 할 수 있습니다.
2. 네 그렇게 이해하셔도 좋을 것 같습니다. 혹은 동일 주파수에 대해 2sin(x)cos(x)는 항상 sin(2x)와 같으므로 sin(2x)는 한 주기에 대해 적분해주면 언제나 값은 0이다는 식으로 이해해도 좋지 않을까 싶네요.
좋은 동영상 감사합니다! 그런데 혹시 exp(j*2pi*kt/T)가 orthgonal set 이라는걸 증명하실 때 p앞에 마이너스를 붙혀야하나요? 마이너스가 들어간 이유가 궁금합니다
함수는 벡터의 개념이 연장된 것이라고 영상에서 언급했던 것 같습니다. 그러면 다음에 대해서 생각해봐야 합니다. 복소 벡터의 내적이란 어떻게 정의되는 것인가? 그러니까, 복소 벡터의 내적의 정의는 복소 함수의 내적의 정의로 연결됩니다.
복소 벡터의 내적은 복소 공간에서 임의의 두 벡터 a, b 에 대해 hermitian(a)*b로 정의됩니다. ... www.ktword.co.kr/abbr_view.php?m_temp1=4200
이것에 대해서는 위의 링크를 참조해주시구요.
그렇다면 복소 함수의 내적은 복소 벡터의 내적의 개념을 연장시켜서 임의의 두 복소 함수 f1(t)와 f2(t)에 대해 f1(t)*conjugate(f2(t))를 구하고 구하고자 하는 구간에서 적분해줘야 합니다. 그러니까 exp(j*2pi*pt/T)에서 conjugate을 취해주면 p 대신에 -p가 대입되면 됩니다.
설명이 이해되셨는지...
답변 감사합니다! 모두 내적의 정의에서 출발하는거였군요.. 그런데 벡터공간에서는 내적이 0일 때 두 벡터가 기하학적으로 수직인데, 혹시 복소수공간에서는 내적이 0일 때 기하학적으로 의미하는 바가 있나요?
굉장히 좋은 질문입니다...
1. 우선 질문자께서 말씀하시는 벡터 공간은 실수 벡터에 한정한다고 해야겠지요?
2. 제가 질문을 잘 이해한 것인지 모르겠는데, 제가 말씀드릴 수 있는 답변은 다음과 같겠습니다.
(즉, 복소수공간에서의 수직이 의미하는 바가 무엇인지에 관한 질문인 것이지요?)
결론부터 말씀드리자면 복소수 공간에서의 내적이 0일 때에도 기하학적으로 수직인 것을 의미할 수 있습니다. 자세한 내용은 여기에 다 쓰기 어렵고, 매우 기본적인 것에 관한 설명으로 제 강의 영상중 편을 보시고 오시길 바랍니다. 허수의 차원와 실수의 차원은 서로 직교합니다. 그래서 복소평면의 개념이 나올 수 있습니다...
링크입니다. ruclips.net/video/INxpcSwbKMo/видео.html
그런 다음 이라는 영상도 보시면 재밌을겁니다 ^^ 저녁맛있게 드세요
안녕하세요. 비전공자인데, 관심있어서 보고 있습니다. 올리신 포스트 잘 보고 있습니다.
그런데, eq(12)에서 k=!p 일때 변환되는 공식이 잘 이해가 안가는데요.
자연상수의 적분의 자연상수 그대로 나오는 걸로 알고 있는데... 혹시 설명 가능하실까요??
안녕하세요. 식 (12)에서 식 (14)로 넘어갈 때는 이것은 t에 대한 적분이고 exp함수는 적분하면 당연 exp가 나오지만 그 안에 있는 함수는 단순히 t가 아니다보니 체인룰을 적용한 것입니다. 미분의 체인룰을 반대로 적용한 것으로 보면 이해가 좀 더 쉽습니다
18:20 여기서 왜 갑자기 t의 적분구간이 한 주기에 대해서가 아니라, 무한대에서 무한대가 되는거죠?
해당부분은 실수네요... 적분 구간을 마찬가지로 0에서 T까지로 잡아주어야 합니다.
x(t)에 ϕ
*를 곱해주는 의미가 따로 있는 건가요? 아니 그냥 증명을 위해 갖다쓴건가요?
주어진 신호에 모든 가능한 정현파들을 다 내적해본다는 의미가 있습니다 ^^~
푸리에 변환을 이해하려는 고등학생입니다. 대학교 수학이 전혀 되어있지 않은 상태이고요. 혹시 이해하기 위한 뒷배경이 많나요? 많으면 어떤 과정을 거쳐야하는지 설명해주시면 정말감사드리겠습니다
삼각함수
삼각함수 미분
자연상수
자연상수 미분 공부하시면 됩니다
도서관에서 파동의 법칙 찾으시면 보다 쉽게 접근할 수 있습니다
제가 좀 머리가 안좋은것 같은데 벡터에서의 내적은 직관적으로 이해가 되지만 함수에서의 내적이 왜 꼭 곱의 적분의 형태를 띄어야하는지, 그게 0이면 그 함수들로 모든 함수를 왜 표현할 수 있는지는 잘 직관적으로 이해가 안되네요 ㅁㄴㅇㄹ
저도궁금합니다
ㅠㅠ 저도 강의를 통해서 듣긴했는데 그과정을 스칼라곱을 통해서 함수로 증명해내는 과정이 꽤나 제기준에서 복잡하더라구요. 그과정을 설명하기위해서 복소함수기울기, 편미분 등 많은 지식과 과정을 요구하더라구요. 그냥 두함수를 곱해 적분하는것이 함수의 내적법이다 라고 생각하는 쪽이 편한것 같아용 그래도 궁금하시다면 구글링을 통해서 알아보셔야할듯 합니당.. 화이팅
여러분 안녕하세요.
1. 내적이 꼭 적분의 형태를 띄어야 하는가?
한마디로 하면 연속함수에 대한 내적이기 때문입니다. 다들 잘 아시겠지만, 여기서 함수는 일반화된 벡터로써, 쉽게 말하면 함수는 숫자의 긴-나열이라고 보시면 됩니다. 다시 말해서 벡터는 순서가 중요한 숫자의 '나열'인데, 함수 역시 어떤 약속을 가지고 숫자를 나열한 것으로 취급해보자는 게 영상에서 말씀드리는 취지입니다. 그래서 벡터를 내적하기 위해선 원소끼리 곱을 해서 더해야 하는 것 처럼 함수도 마찬가지로 원소끼리 곱해서 더하는 과정이 '내적'값을 취해주는 과정으로 볼 수 있는 것이겠지요. 그리고 여기서는 연속 함수이다보니 내적의 개념이 일반 summation에서 적분의 형태를 띄도록 변경된 것입니다.
2. 그게 0이면 그 함수들로 어떻게 모든 함수를 표현할 수 있는지?
그게 0이라는 것에 대해서, 가령 2차원 벡터 공간의 경우에는 2개의 벡터가 직교한다고 하면 내적값이 0이고, 그 두 개의 벡터만을 이용해서 2차원 벡터 공간의 모든 벡터를 표현할 수 있습니다. 가령 (1,0) 과 (0,1)이라는 두 벡터는 내적하면 값이 0이고 이 두 개의 벡터에 스칼라를 곱해 더하면 2차원 벡터 공간 상의 모든 벡터를 표현할 수 있는데요.
마찬가지로 함수는 무한차원 벡터공간의 한 점입니다. 그래서 무한개의 기저벡터를 알 수 있으려면 내적을 통해 알 수있을 것이고, 만약 그 무한개의 기저벡터를 알 수 있다고 하면 거기에 스칼라를 곱해 더하면 무한차원 벡터 공간 상의 모든 벡터(여기서는 함수)를 표현할 수 있게 되는 것입니다.
조금 더 고민의 시간을 가져보신다면 충분히 이해하실 수 있으리라 믿습니다 ^^~ 혹시 더 궁금하신점 있으시면 댓글 남겨주세요!
@@AngeloYeo 정말 감사합니다 ㅠㅠ 정말 푸리에 급수 문제 풀 줄은 알아도 진정한 의미가 이해가 안 되어 같은 걸 한 7번은 보고 여기저기 엄청 헤멨는데 드디어 제 종착지를 찾았습니다... 댓글까지 완독하니 이제 좀 자신감이 생기네요!!! 공돌이 님 강의 덕에 많은 사람이 도움 받는 것 같습니다!!!
+ 선형대수학을 처음 접할 때 이걸 왜 배우는지, 의미가 뭔지 이해가 안 돼서 헤맸는데 이것에 대한 해답도 같이 되어주네요 ㅠㅠ 늘 싫기만 했던 선대인데 왜 전공기초인지 알게되었어요. 방학에 선대 공부를 좀 해야겠네요!!!
k=1, k=-1일 때, 즉 exp(j2pit/T), exp(-j2pit/T)의 경우 두 함수가 orthogonal 하지 않지 않나요? 그럼 집합 내의 모든 함수가 서로 orthogonal 하다는 얘기를 어떻게 받아들여야 할까요?
k, -k 두 경우를 빼곤 서로 orthogonal 한 것 알겠습니다!!
찾아보니까 함수의 inner product는 켤레복소수의 곱으로 해야 된다네요. 답변 안주셔도 돼요!
안녕하세요 혹시 직교성을 알아볼때 f(x) g*(x) 이라고 나와있는데 conjugate을 곱하는 이유는 무엇인지 여쭤봐도 괜찮을까요?
안녕하세요. 실수 범위에서 정의되는 벡터의 내적(즉, 함수의 내적)의 성질을 복소수 범위에서도 그대로 이용하기 위해서 입니다.
벡터의 내적을 생각해보면 가령 x = (a, b)라고 했을 때, (a와 b는 모두 실수) x와 x의 내적은 a^2 + b^2이 되어야 합니다.
그런데, 만약 z = a + jb (여기서 j는 허수 단위)라고 하면, z는 (a, jb)라고 나타낼 수 있을텐데, z와 z의 내적을 만약 z * z로 정의하면 (a+jb)*(a+jb)이므로 a+ 2jab -b^2 입니다만, 만약 내적을 z * conjugate(z)라고 정의한다면, z * conj(z) = (a+jb)(a-jb) = a^2 + b^2으로 그대로 사용할 수 있습니다.
이런 이유로 켤레 연산을 취해준다고 생각하면 가장 쉽습니다.
(조금 더 복잡한 이유를 들어 소개하자면 ... 내적이 정의되는 복소벡터 공간에서 기저의 크기를 적절히 정의하기 위해서라고 봐도 괜찮을 것 같습니다.)
두 함수가 구간 a-b에서 직교한다는게 기하학적으로 어떤의미인가요?
그사이에서 직교하는 점을 포함하는건가요?
안녕하세요. 3차원 이상의 벡터(함수)가 직교한다는 것은 기하학적으로 표현하기 어려울 것 같습니다.
다만 '두 벡터(함수)가 닮았다' 정도로 이해할 수 밖에 없을 것 같습니다.
--
'그사이에서 직교하는 점을 포함하는건가요?' 이 부분은 어떤 의미인지 정확히 이해가 어려운데, 조금 더 자세하게 말씀해주시면 감사하겠습니다.
공돌이의 수학정리노트 노트 보고 이해했습니다 ~ 감사합니다
13:35 쯤에
∫f(x) g(x) dx [0,T] 이 0 이되어야 직교한다는거까지는 이해했는데
왜 두번째식j앞에 마이너스가 붙는지 설명 부탁드립니다ㅠㅠ
임의의 복소 벡터(함수) a와 b에 대해서 복소 벡터(함수)의 내적은 a x (b의 conjugate) 이기 때문입니다 :)
공돌이의 수학정리노트 밑에분 댓글에 남겨주신 주소보고 이해갔습니다 감사합니다 :):)
감사합니다.. 유학중인데 이해 못해서 너무 답답했거든요 ㅜㅜ 근데 exp(j2pik)는 왜 1이 되나요? 2pi 주기로 원이 된다는 건 알겠는데 상수가 1이 되는지 잘 모르겠어요.
exp(0)=1인 것은 잘 아실거라고 생각합니다. 그리고 원이 복소평면상의 (1,0)이라는 점에서부터 회전하기 시작해서 2pi 주기로 항상 원이 제자리인 (1,0)으로 돌아오기 때문에 항상 exp(j2pik)=1이라고 할 수 있습니다.
아! 이해됐습니다!! 답변 감사합니다 :) 한국은 아직 연휴죠? 연휴 마무리 잘 하시길 바랍니다.
@@haeunshin7250 exp(2pi) 의 실수부분 cos(2pi)가 항상 1이된다는 ....
왜 exp(j*2pi*어떤상수) 가 복소평면상에서 봤을떄 j*2pi*세타는 왜 원이 되나요??
왜 원이 (1,0)이라는 점에서부터 회전하나요?? 이것이 혹시 exp(0)=1 인것과 관련이 있나요??
오랜만입니다 선생님
갑자기 또 이걸 쓸 데가 생겨서 다시 생각해보다가 궁금한 것이 생겨서 질문 드립니다
네이버에서 푸리에급수를 검색해보니 사인 코사인으로 풀었는데 포스팅 해놓은 사람마다 상수항이 달라 의문입니다...
어떤 사람은 코사인 계수의 절반이 상수항이라고도 하고 어떤 사람은 코사인 계수가 상수항이라고도 하는데 어찌된 영문인지를 알수가 없습니다... 어떤 값이 맞는지 알려주실수 있을까요??
안녕하세요. 어떤 말씀이신지 대충 짐작은 가는데, 구체적인 예시로 몇 개의 사이트만 알려주실 수 있으실까요?
@@AngeloYeo 지식백과엔 2분에1을 나무위키에는 나누지 않고 썼네요 ㅠㅠ
안녕하세요. 제 생각엔 나무위키의 식이 잘못된 것 같습니다. 나무위키에 적힌 식에서도 b0/2가 되어야 할 것 같아요.
그 이유는
int_{-pi}^{pi} f(x) cos(0x) dx = int_{-pi}^{pi}b0 dx = 2*pi*b0가 되는데 이 값은 나무위키의 b_n에 관한 식인
b_n = 1/pi * int_{-pi}^{pi}f(x) cos(nx) dx
에 위배되기 때문입니다.
b0/2가 더 맞는 식이라는 것은 Dennis G. Zill의 공업수학 교과서 Advance Engineering Mathematics, 6ed., 의 Definition 12.2.1에서도 추가로 확인할 수 있었습니다.
나무위키에 있는 수식을 제가 좀 수정해두어야 겠네용...
@@AngeloYeo 와... 참고자료까지... ㅋㅋ 감사합니다
그리고 또 궁금한게 있는데 제가 사진을 첨부해서 질문을 하고싶은데 혹시 방법이 있을까요...?
ak 의 값을 찾는 과정에서, 최종적으로 ak의 값을 구할때, 시그마랑 인테그럴 2개의 기호가 있는데, 갑자기 시그마를 지우신 이유가 뭔가요? ㅜㅜ
k=p인 조건과 k~=p인 조건으로 두 개로 나누었을 때를 보면서 먼저 k=p인 경우만 본다면 sigma의 기호가 필요없다보니 시그마는 지워졌습니다. k~=p인 경우에는 합이 0이 되므로 시그마가 지워집니다. 도움이 되셨는지요...?
강의에도 k는 -무한대 부터 무한대까지 더해지지만 그 중에 k와 p가 같은 경우만 본다면 이라고 말씀하십니다!
교수님보다 이해가 쉽습니다 b
서로 다른 k 는 무엇을 의미하나요?ㅜ
안녕하세요... 서로 다른 k는 서로 다른 주파수를 의미하게 됩니다.
@@AngeloYeo 감사합니다:)
11:19