이와같은 계열의 논쟁을 지켜보면서 패러다임의 혼란이 자리하고 있다는 것을 어렴풋이 알게 되었습니다. 무한이라는 개념을 철학과 신학에서 차용해 오면서 수학계에서 개념의 재단이 이루어졌다는 양해가 빠졌다는 것이지요. 이는 논리주의와 직관주의에서 벗어나 형식주의로 현대 수학이 흐르면서 발생한 현상입니다. 자신들의 공리체계를 기호화하여 그 안에서 수학을 발전시켜 나가자는 일종의 결의같은 것이었네요. 그러다 보니 그 패러다임 안에서 보면 일견 맞기도 하지만 그를 벗어나면 틀린 면도 선명해집니다. 위의 두 수를 거듭제곱해 나가면 두 수는 멀어져 갑니다. 참고로 같은 계열의 논쟁으로 "자연수와 유리수의 갯수는 같다" 라는 칸토어의 명제도 사실 그의 집합론 안에서 보면 일견 합당해 보입니다. 그러나 그의 집합론 자체가 논리적 모순이 있음을 러셀과 괴델, 코언에 의해 입증되었죠. 무조건 0.9`=1이 같은 수이다고 주장하는 것보다 이러한 현대수학의 해석도 있다 라고 양해를 구하고 설명하는 것이 타당하다고 봅니다.
x = 0.9 10x = 9 x = 0.99 10x = 9.9 x = 0.999 10x = 9.99 . . . 이렇게 무한으로 갔을때 소수점 아래의 9의 갯수가 같다고 할 수 있을까요? x가 항상 10X보다 하나 더 많은 상태에서 무한으로 가기 때문에 10x - x를 9로 볼 수 있을까 궁금합니다. 0.9999999....이렇게 무한히 뻗어나가는 그 어떤 수는 1보다 작지 않기 때문에 1과 같다던데.. 그러면 x와 10x가 동등하게 무한히 뻗어나가는 그 어떤 지점에서도 항상 소수점 아래의 9의 갯수는 x가10x보다 하나 더 많잖아요.. 그래서 인간이 사용하는 숫자로 생각하지 않고 어떤 공간의 개념으로 생각해봤어요. 현재 인류가 관측 가능한 지구로 부터 반경 465억년 떨어진 거리를 지름으로 하는 우주공간을 1로 보고 그것을 무수히 반으로 잘랐을때 0이 된다면 우주의 존재를 부정하는게 아닌가요? 우주는 계속 팽창하기 때문에 무한으로 잘라도 절대로 무가 될 수 없잖아요. 그래서 제 생각은 수라는 개념도 결국 우주가 존재하고 지구가 생기고 거기에 존재하는 인간이 경계와 시작과 끝이 없는 공간(크기의 절대를 알 수 없는 모든 것, 부피(액체 기체 고체) 선, 점, 등 모든것들)을 개념화 해서 생각하기 때문에 답이 안나온다고 생각합니다. 시작과 끝도 인간이 만든 개념.... 일(하나)라는 것은 이미 인간이 개념화 한것이기 때문에..물방울하나, 지구하나, 태양하나, 465억년 떨어진 거리를 지름으로 하는 우주공간 하나, 등... 그래서 수로 그 끝이 있냐고 논하는 것은 첨부터 오류가 있는게 아닌가 생각합니다. 공간의 개념으로 받아 들이는 것이 맞지 않을까요?
극한에서 토끼와 거북이가 경주를 하는데 먼저 출발한 거북이를 토끼가 영원히 따라잡지 못한다는 이론이네요 ㅋㅋ 토끼가 거북이의 초기위치에 도달할때면 거북이는 이미 어느정도 가있고 그 위치만큼 토끼가 따라잡으면 또 거북이는 조금이라도 더 멀리 가있기 때문에 따라잡을수 없다는 궤변
그냥 애초에 거기까지 생각 안하고 성립된 세계관이라 혼란스러운 상황이 생긴 것일 뿐.... 0!만 해도 일단 만들어놓고 보니 이걸 1로 하지 않으면 안되는 사단이 벌어지는 거고. 제논의 역설 역시 당시의 수체계와 논리가 절대적이라는 믿음 하에 상황을 해석하다보니 벌어진 촌극이 아니겠습니까. 유리수 체계 자체가 0.999...는 1이 되는 결론이 되는 세계관이라 그런 거로 설명하는 편입니다.
0.999...에 0.0...1을 더하면 1.0...0999...가 되지, 1이 되지 않습니다. 무한소수는 소수점 아래 끝이라는 것이 없습니다. '0.999...과 1은 차이가 아주 미세하니 그냥 1이라고 쳐주자.'가 아니라, 대학교 수학으로 0.999...와 1은 완전히 같은 수로 증명되었고, 단지 1의 다른 표현일 뿐입니다.
무한으로 가는 것은 그것의 해석에 따라서 이상한 답이 나오는데, 예를들어 1-1+1-1 .... 의 경우, 1 도 되고 0 도 되고 1/2 도 되고 그러는데... 쩜쩜점처럼 무한으로 나가는 것은 그 식이 오류가 나게 되어있다. 다른예로 1+2+3+..... 는 -1/12 도될 수 있어서 무한나가는 것]으로 증명을 사용하는것 자체가 무지이다
무한급수의 개념을 잘 모르고 쓸 경우 오류가 발생하는 겁니다. 1-1+1-1+...의 경우 부분합 자체가 수렴하지 않기 때문에 극한을 취해도 합이 존재하지 않는 겁니다. 1+2+3+...=-1/12는 라마누잔 합으로 유명한 결과죠. 이 경우에는 해석적 확장이라는 특별한 개념을 끌고와서 상식과 다른 답을 내놓은 겁니다.
그러니까, 말씀인 즉슨 0.9999999999•••는 1을 계~~~속 작은 단위로 표현하는 중인거군요! 다만 진행형이므로 네버 스탑일 수 밖에 없고요! 그러므로, 아니라고 말할 수 없는거고요. 😂 그런 논리면 0.8888888888•••도 0.99999처럼 1을 표현하기 위해 나눠서 계~~속 더해가고 있으니 기다려줘 말할 수 있지 않을까요? 갑자기 0.99999•••=1이 이해되다가 궁금증이 불쑥 생겼어요. 😅
실수체에서 덧셈항등원은 0이고 곱셈항등원은 1입니다. 이때 (-1)×0을 생각해봅시다. 일단 (-1)×0=0임을 보입시다. (-1)×0=(-1)×1×0=1×(-1)×0=1×(-0)=1×0=0 따라서 0=(-1)×0=(-1)×(1-1)=(-1)×1+(-1)×(-1)=(-1)+(-1)×(-1)로 증명이 끝납니다. 이 증명에 쓰인 사실은 실수체에서 1이 곱셈항등원이라는것, 곱셈에 대하여 교환법칙이 성립한다는것, 1의 덧셈역원이 -1이라는것, 분배법칙이 성립한다는것, 0이 덧셈항등원이므로 0=0+0=0-0이고 소거법칙에 의하여 0=-0이라는 것입니다.
그건 아니죠 미분은 한없이 작은 상태를 순간적인 변화를 보기 위한 것이기 때문에 0에 가까울 뿐 절대로 0이 아닙니다. 미분에서의 dx의 개념은 0에 지극히 가까운 명사의 개념인 반면에 저 0.9999... 는 끝나지 않는 동사의 개념 1에 지극히 가까운 0.999999.... 가 아닌 그냥 1 그 자체를 굉장히 길게 늘이는 방법인거죠
미분의 개념이 순간적인 변화를 알고 싶을 때 유용하게 쓰이는 도구라는 점을 알면 x축의 변화가 존재하지 않는데(이게 dx가 0이라는 의미입니다. 여기서 dx는 x의 극히 짧은 변화인데 그 변화가 0이라는 건 x축의 변화가 없다는 것이죠) 자연스럽게 y축의 변화도 존재하지 않게 되죠 이러면 x축에 대한 y축의 변화를 알 수 없으니 미분이라는 의미가 존재하지 않는거구요.
평소 수학개념을 쉽게 설명해 주셔서 잘 보고 있습니다. 그런데 이번 주제를 다루는 논리가 다소 이상한 듯 합니다. 0.9999999.. 에서 소수점 아래로 계속 9가 이어지는 것. 9가 무한이 이어지는 지되(순환소수), 이것이 1에는 닿지는 않는데, 그게 과연 1과 같을까요? 영상에서는 풀이를 1 아래에, 0.9 + 0.1단위로 계속 잘게 나누어 덧셈으로 표현하셨는데, 그게 계속 이어지는 무한이라고 한다면, 결국 0.00000(무한)0001이 남죠! 이게 1과 같은가요. 그까지꺼 갈수록 1과의 차이가 좁혀지고 있는데 그냥 퉁쳐도 될까요? 그런식으로 해서 그 논리를 조금 더 부풀리면, 1과의 간격이 약간 더 클 뿐 0.0000(무한)0008도 1일 수 있습니다. 다른 0.000(무한)00007도 그렇고요. A = B의 의미는 A와 B의 양(부피)이나 셈(세기, 합)이 같은 것으로 알고 있습니다. 그리고 영상 마지막에 0.99999(무한)9999(순환소수)가 결국 9/9(9분에9)이고, 그렇기에 1이라고 하셨습니다. 9/9는 분명 1이 맞죠. 3/3, 8/8 처럼 분자가 분모의 양이나 셈으로 딱 맞아 떨어지니까요. 그런데, '0.99999(무한)99999(순환소수) 와 9/9이 같다.'라고 끌어내는 과정이 딱 부러지게 없었던 것으로 알고 있습니다. 왜 0.9999(무한)9999(순환소수)=1이라는 것을 증명하는 과정에서 9/9가 나오게 됐을까요? 잘못 이해하면 9라는 문자 때문에 0.9999(무한)9999(순환소수)와 9/9가 같게 느껴질 수도 있는데, 둘은 분명히 다른 개념이라고 생각이 됩니다. 이를 위해 두 개념을 다시 정리하면, 하나> 0.999(무한)9999(순환소수)는 1에 무한으로 다가서고 있지만, 1에 닿지 않는 수, 1과의 간격이 좁혀지고는 있으나, 그 간격이 있는 것으로 여겨지고, 그 간격이 무한으로 있는 개념입니다. 1 = 1과는 다른 개념 같습니다. 결국, 0.999(무한)999(순환소수) 에서 그 나머지 0.000(무한)0001을 더해야 1이 됩니다. 둘> 9/9 = 8/8 = 5/5 = 3/3 = 2/2 은 1입니다. 왜냐하면 분자 수나 양이, 분모 수나 양으로 딱 떨어지기 때문입니다.
@@이종석-e6i 1 = 0.999(순환)9 + 0.000(순환)1 이라는 수식에 의해서, 지금 0.999(순환)9가 결국 한없이 1에 무한으로 수렴하기에 1 이고, 0.000(순환)1이 생길 수 없다고 주장하셨습니다. 이 식은 1 = 0.999(순환)9 + 0.000(순환)1이고, 0.999(순환)9 의 순환소수가 결국, 0.000(순환)1의 소수와 더해져, 결국 1이 된다는 뜻입니다. 그럼, 0.999(순환)9 의 순환소수 자체로는 결코 1에 도달할 수 없습니다. 그야말로 계속 1이 되기 전에, 항상, 0.000(순환)1만큼을 남기는, 그 구조에 무한일 뿐입니다. 설사, 0.999(순환)9에 강조점을 둔다고 하더라도, 항상 동시로 0.000(순환)1로 생깁니다. 모든 무한의 크기는 같으니까요(숫자가 의미하는 수량에 대한 크기가 아니라, 일대일 대응에서 대응되는 쌍의 크기). 그리고 0.999(순환)9+0.000(순환)1이 일어나는 시점은 동시에 일어나기에, 이와 같이 나누어지기 전에 먼저 1에 도달하는 것은 안된다고 생각합니다. 그러므로, 0.999(순환)은 1이 될 수 없습니다. 여기까지가 제 반박 논리입니다. 혹시 이와 관련한 너튜브 영상이나, 수학 관련 자료에 대해 아시면, 알려주시면, 감사하겠습니다.
@@나무-m4j 1 = 0.999(순환)9 + 0.000(순환)1 이라는 수식에 의해서, 지금 0.999(순환)9가 결국 한없이 1에 무한으로 수렴하기에 1 이고, 0.000(순환)1이 생길 수 없다고 주장하셨습니다. 이 식은 1 = 0.999(순환)9 + 0.000(순환)1이고, 0.999(순환)9 의 순환소수가 결국, 0.000(순환)1의 소수와 더해져, 결국 1이 된다는 뜻입니다. 그럼, 0.999(순환)9 의 순환소수 자체로는 결코 1에 도달할 수 없습니다. 그야말로 계속 1이 되기 전에, 항상, 0.000(순환)1만큼을 남기는, 그 구조에 무한일 뿐입니다. 설사, 0.999(순환)9에 강조점을 둔다고 하더라도, 항상 동시로 0.000(순환)1로 생깁니다. 모든 무한의 크기는 같으니까요(숫자가 의미하는 수량에 대한 크기가 아니라, 일대일 대응에서 대응되는 쌍의 크기). 그리고 0.999(순환)9+0.000(순환)1이 일어나는 시점은 동시에 일어나기에, 이와 같이 나누어지기 전에 먼저 1에 도달하는 것은 안된다고 생각합니다. 그러므로, 0.999(순환)은 1이 될 수 없습니다. 여기까지가 제 반박 논리입니다. 혹시 이와 관련한 너튜브 영상이나, 수학 관련 자료에 대해 아시면, 알려주시면, 감사하겠습니다.
무한의 특징:어떤 실수나 자연수보다 항상 크다. 실수의 특징:대소 비교가 가능하다. 무한소수:소숫점 오른쪽으로 숫자가 끝없이(무한히) 나열된 수. 실수+1은 실수이다. 이때 무한이 실수라면 무한의 정의에 따라 ♾>♾+1 양 변에 1을 빼면 무한의 정의에 따라 ♾-11 거짓. 왼쪽의 일의 자리 수는 0, 오른쪽은 1이다. 0>1이 거짓이므로 0.999... >1 역시 거짓. 0.999...
0.999는 0에서 출발해서 0.999에 도착한 수가 아니라 태어났을때 부터 0.999인 수입니다. 0.999...도 0에서 1로 가고 있는데 거리가 무한이라 못 도착하는 것이 아니라. 이미 9가 무한개가 완성되어 1로 도착한 수입니다(그걸 넘어 애초에 출발부터 한적이 없고 태어났을 때부터 이미 0.999...인 수입니다). 단지 9무한개를 표기하기엔 자리가 부족해서 ...으로 표현한 것입니다
이 문제에 대해 질문한거에 감히 저도 칭찬하고 싶습니다. 당연하다는 원리에 의문을 갖는 건 아주 오랫동안 수학자들이 늘 해왔던 것들이고 그걸 계속 이루어내니 별의 거리마저 파악할 수도 있게 되었죠. 매우 어렵지만 컴퓨터가 아닌 직접 계산하는 걸로요. 제가 강조하고 싶은 건 "단순한 거에 의문을 갖는다는 것"에 있는데 철학은 이런 의문을 알아가는 학문입니다. 단지 '1+1=2' 라는 식은 큰 관심을 못받지만, '사과 1개와 귤 1개를 모으니 과일이 2개가 됐다.'라는 관계를 엮을 수 있기 때문에 "1+1=2"의 이유를 알고 실제로 보고 이해할 수 있으므로, 철학을 더한 수학은 이러한 묘미를 안다면, 충분히 즐길 수 있는 학문입니다.
차이가 없다는걸 납득할수 없습니다 1을 쪼개면 언제나 0.00,,,1 이 끝에 생기지만 0.999… 를 아무리 쪼개본들 0.00,,,,1 이 생기는게 아니잖아요 십자 형태이고 중간에 못으로 서로 고정되어있지만 서로 자유롭게 회전할수 있는 시계바늘같은 막대가 있다고 쳐봅시다 막대의 길이는 무한입니다 그 한쪽 사이에 지름이 10센치인 공이 끼어있고 두 막대는 공을 항상 접합니다 공이 중심에서 멀어지면 멀어질수록 공이 끼인쪽 막대의 각은 점점 줄겠죠 공이 무한에 속도로 무한에 시간만큼 중심에서 멀어진다고 그 공이 끼어있는 막대와 막대의 각이 0도라고 볼수 있을까요? 0에 수렴할것처럼 작아 지더라도 두 막대는 영원히 평행할수 없는거 아닌가요
저는 고등학교때 지수함수로그함수를 매우 흥미있어 했습니다. (물론, 미적분도 신세계였고, 확률통계,수열극한 이런것도 매우 재미있게 공부했었습니다.) 그런데, 초반에 언급했듯이 지수로그함수를 배우면서 고교과정 에서는 지수에 자연수만 올라가는 걸 알다가 그게 점점 확대 되면서 음수도 올라가고 유리수도 올라가고 무리수까지 올라가는 걸 배우게 되는데, 나중에 복소수,허수가 지수에 올라가면 어떨까 올라갈수 있나 하는 생각이 들었어요. 물론 추후에 수학적으로 복소수,허수가 지수로 가는게 가능하고 그것에 대한 수학적 학문체계가 어느정도 정립되어 있다는 것도 알게 되었는데요! 각설하고, 지수에 허수, 복소수가 올라가는게 어떤의미인지 매우 궁금합니다.
이 설명대로라면 모든 수는 3가지 이상으로 표기할 수 있는 것 같은데요. 0.99999………… 1 1.0000…………1 1.0000…………2 . . . 0.999……… + 1.000………2 = 2.000…………1 = 2 개인적으로는 10진수의 한계라고 느껴지고 이렇게 정의했다고 말하는게 더 합리적으로 보여집니다. 솔직히 무한히 1에 가까워지는게 1은 아니죠.
0.999... + 1.000...2 = 2.000...1 이 아닙니다! 1.000...2 라는것은 끝이있는 유한소수이고 0.999...는 끝이 없는 무한소수에요! 0.999...9 + 1.000...2 = 2.000...1이 맞겠다만, 0.999...는 끝이 없기때문에 1.000...2를 더해서 2.000...1이 될 끝 자체가 없습니다..! 2.000...1이라는건 끝이있는 유한소수이니까요! 따라서 0.999...는 무한히 1에 가까워지는것이 아니라 1과의 차이가 0.000...1도 있지않은, 즉 1인거죠..!
@@ronsa5636 0.0…1을 유한소수라고 할 수 있을까요? 사실 저런 표기법의 소수가 존재하지는 모르겠지만 가운데 자리가 무한히 반복되기 때문에 유한하냐 물으면 그렇지 않다고 말해야한다고 봅니다. 0.9……도 무한히 반복되지만 끝자리를 물으면 9라고 대답할 수 밖에 없다고 생각해요. 왜냐하면 무한히 반복하더라도 결국 이어지는 수는 9밖에 없고 미지막이 없더라도 마지막 수는 9일수 밖에 없어요.(표기의 정의상) 그걸 0.9……9처럼 저는 표기한 것이고 그 표기상의 연산도 보편적으로 이해 가능하다고 생각합니다. 선생님의 설명을 보면 1 = 0.9…… + 0.0…1(앞 무한소수보다 한자리 더 긴 소수)라는 결론으로 보이거든요. 물리적으로는 최소단위가 존재하기 때문에 그 이하로 떨어지면 동일하다고 판단할 수 있겠지만 논리적으로 보면 9가 무한히 반복 되어도 1과 같아지면 안된다고 생각됩니다. 그렇기 때문에 그렇게 정의했다고 말하는게 더 합리적으로 보이는거구요.
@@todoascoding7517 무한 소수는 말그대로 "끝이 없는 소수"여서 끝이 없습니다. 그래서 소수의 끝자리도 없습니다. 소수점에서 n번째가 끝자리라고 해도, n+1번째자리에 또 숫자가 있어서 그 자리는 끝자리가 아닙니다. 무한소수의 끝자리라는 개념을 사용하려면, 먼저 무한소수의 정의 부터 부정해야합니다. 0.99999...(9무한개)....9와 같은 형태는 아직 기초를 배우는 저로는 정확히는 모르겠고, 끝이 있으니 무한소수가 아니라는것만 알 수 있을것 같습니다.
@@todoascoding7517 +) 실수 a,b가 있을 때 둘이 같은 수인지 다른수인지 확인하는 방법 중 하나는, 둘 사이에 다른 실수가 있는지 확인하면 됩니다. 서로다른 실수 a,b 사이에는 적어도 하나의 실수 ((a+b)/2=(두수의 평균)이 있기때문)이 있습니다. 그러니 이 명제의 대우인 "두 실수 a,b 사이에 실수가 하나도 없다면 a,b는 같은 실수이다." 도 마찬가지로 참이 됩니다. 만약 0.9999999999.....와 1사이의 실수를 찾으면 두 실수는 다른 수라는것을 확실히 알 수 있겠죠. 단, 무한소수는 끝이라는 개념이 없기 때문에, 소수 끝자리에 숫자를 추가한다던가 하여 다른 실수를 만드는것은 불가능합니다. 이때문에 누구도 둘 사이의 실수를 찾지 못했습니다. 긴글 읽어주셔서 감사합니다.
0.999...는 0.9+0.09+0.009+0.0009... 로 표현이 가능하며, 이는 첫째 항이 0.9이고 공비가 1/10인 등비급수이다. 등비급수의 합에 의하여 계산하면 (9/10)/(9/10) 이며 약분하여 1이 나온다. 즉 0.999...=1 이거 말고도 증명법은 많음.
아니 결국 0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000보다 더많은무한대의 01 만큼 차이나야 되는거 아닌가? 그냥 너무 너무너무너무너무 작아서 1이랑 같다고 보는거 아니에요??? 왜 나는 저 쪼개는거 구조는 이해가도 궤변이라고 느껴지지
이렇게 설명했을때 이해하는 척하고 넘어가는 애가 수학을 못할듯하네요ㆍ 쉬운방법 두고 어렵게 설명하네요ㆍ 1/3을 소수점으로 표시하고 여기에 3을 곱하면 됩니다ㆍㆍ 그리고 0.9999 , 이렇게 무한히 가는 수는 언젠가 1 이 된다는 식의 교육은 맞지도 않고 이해도 안되고 학생에게 도움도 안될 것 같네요ㆍ 그래서 저는 수의 상태를 추가해서 설명합니다ㆍ
무한대분의 1은 0이 아닙니다. (3가지 증명) 1.첫번째 증명(수식으로 증명) 무한대분의 1이 0 이라면 (무한대분의 1은+무한대분의 1은=0) → (0+0=0) / 같은 방식으로 (무한대분의 2+무한대분의 2은 =0이런 식으로 계속 분자가 커지면 (무한대분의 무한대는 0 이 되야하는모순이 생깁니다. 이러한 모순은 처음부터 무한대분의 1이 0 이라는 가정이 틀렸기 때문에 발생한 것입니다. 2번째 증명(길이로 증명) 1m의 선이 있다고 하자1m선을 2등분 하고 그나눈 길이를 더하면 1m 이다. 1m선을 100등분 하고 그나눈 길이를 더하면 1m 이다. 1m를 아무리 많이 나눈다고 하더라도, 그모든 나눈 길이를 더하면 여전히 1m이다.1m선을 ∞등분 하고 그나눈 길이를 더하면 1m 이다. 만일 무한대분의 1이 0 이라면 0m의 조각들을 모두더하면 0이므로, 1m 가 0m 가되는 모순이 생긴다. 그러므로 무한대분의 1은 0이 아닙니다. 3번째 증명(시간으로 증명) 우주의 나이는 약 138억년태양의 나이는 약 45억년인류의 조상이라고 주장하는 호모사피엔스가 약40만년인류가 약 6000년 무한한 시간 분의 138억년은 0 인가? 무한한 시간 분의 6000년은 0 인가? 그렇다면 현재우리의 삶은 0인가?현재 우리의 삶은 존재하지 않는 것인가?현재우리의 삶은 의미가 없는 0인가?무한한 시간 가운데 유한한 우리삶은 무의하다고 할수 있는가? 그럴 수 없다.그러므로 무한대분의 유한은 0이 아니다.
무한도 종류가 많죠. 무한집합에서 자연수의 개수를 나타내는 '셀 수 있는 무한'과 무리수 또는 실수의 개수를 나타내는 '셀 수 없는 무한'으로 나뉩니다. 무한집합 X의 원소X의 개수는 X의 '농도'이고 집합X와 집합Y 사이 1대1 대응이 존재하면 두 집합은 같은 농도라고 하고 |X|=|Y|라고 합니다. 이때 자연수의 개수와 정수의 개수는 1대1 대응을 통해 자연수와 정수의 개수의 농도는 같다고 할 수 있으며 이를 통해 자연수의 개수와 정수의 개수는 같다고 할 수 있습니다. 이렇게 될 경우 (정수의 개수)=(음의 정수)+0+(양의 정수)이고 (양의 정수)=(자연수의 개수) 이므로 위의 (정수의 개수)=(자연수의 개수) 에 따라 무한+무한=무한이 성립. 반대로 무한-무한=무한 역시 성립. 무한을 아무리 더하거나 빼도 무한 그 자체가 된다.
우리나라 대학시스템 너무 비효율적이고 이상해요. 유럽이나 미국은 누구나 입학해도 졸업이 어려워서 성취도가 갈린다는데... 우리나라는 대입은 왤케 어렵고, 대졸은 그냥 학위복사하듯이 학점만 따면 다 졸업장 주는지... 아무도 박사님처럼 저렇게 자세히 가르쳐주는 학원, 인강 없잖아요. 지금 인터넷강의 유튜브에서 미분 적분 검색만해도 제대로된 과정 알려주는 강사 아직 못봤는데...
위에 말은 틀린말은 아닙니다만 이런 강의는 고등학생에겐 비효율적인 강의입니다 ㅋㅋ 시간이 남는 중학생이면 모를까. 이 박사님의 미적분 영상을 보니 용어정리나 개념등을 아주 잘설명하시고 이해하기 쉬웠던건 맞습니다 ㅇㅇ 그러나 이거를 백날본다고해서 수능 미적분문제 건드리지고 못합니다 우리는 대학을 가기위해 수학을 공부하는거지 수학이란 과목을 탐구하기 위해서 배우는건 아니지 않습니까 고등학생에게 필요한건 이런 용어정리가 아니라 문제를 어떻게 해야 잘풀수있는지 유형별 공략이 필요합니다 그러니 인강이나 이런 과정을 가르켜주는 강사가 없는거지요
이런 공부해서 실제로 써먹은분? 그렇습니다 돈 버는데 별로 안중요함. 수학은 논리 입니다. 논리력이 향상되면 그것을 좋은 인성과 결합하여 타인에게 쓸수 있어야 합니다. 하지만 대부분의 사람들은 좋은 인성을 가르치는 스승을 만나지 못하고 자기 자신만을 위한 삶을 살게 됩니다. 수학은 인성과 결합해야 한다.
![[깨봉라이브] 모든 유한소수를 순환소수로 나타내는 법, 심지어 0까지!](http://i.ytimg.com/vi/1cY2_2Goc24/mqdefault.jpg)
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![[깨봉라이브] 분수, 그림으로 보는 통분! 머리로 그리면 끝!](http://i.ytimg.com/vi/gkm8GNT9GOA/mqdefault.jpg)
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깨봉 선생님, 질문 보낸 손지율 학생입니다.
메일로 보냈었는데 답변이 잘 안와서 포기했었었어요, 그런데 유튜브에 오니까 선생님 께서 영상을 올려주셨더라고요.
감사힙니다 선생님.
영상으로 만드느라 조금 걸렸습니다^^
도움이 되었으면 좋겠습니다~
이와같은 계열의 논쟁을 지켜보면서 패러다임의 혼란이 자리하고 있다는 것을 어렴풋이 알게 되었습니다. 무한이라는 개념을 철학과 신학에서 차용해 오면서 수학계에서 개념의 재단이 이루어졌다는 양해가 빠졌다는 것이지요. 이는 논리주의와 직관주의에서 벗어나 형식주의로 현대 수학이 흐르면서 발생한 현상입니다. 자신들의 공리체계를 기호화하여 그 안에서 수학을 발전시켜 나가자는 일종의 결의같은 것이었네요. 그러다 보니 그 패러다임 안에서 보면 일견 맞기도 하지만 그를 벗어나면 틀린 면도 선명해집니다. 위의 두 수를 거듭제곱해 나가면 두 수는 멀어져 갑니다. 참고로 같은 계열의 논쟁으로 "자연수와 유리수의 갯수는 같다" 라는 칸토어의 명제도 사실 그의 집합론 안에서 보면 일견 합당해 보입니다. 그러나 그의 집합론 자체가 논리적 모순이 있음을 러셀과 괴델, 코언에 의해 입증되었죠. 무조건 0.9`=1이 같은 수이다고 주장하는 것보다 이러한 현대수학의 해석도 있다 라고 양해를 구하고 설명하는 것이 타당하다고 봅니다.
많이 기다렸습니다 ㅎㅎ
눈에 보이게 이미지로 설명해주니 더 와닿아요. 저는 그 무슨 빼기 설명으로 이해시켜주는 간접적인 방법의 증명만 기억햇네요.
항상 쉽게 알려주셔서 감사합니다.
궁금한 수학원리나 문제를 질문해주시면 선정을 통해 영상으로 답변해 드릴게요~^^
1000000000000000000000000000000000000000000000÷99999999999999000900009909999999999999990990900009990999999999999999999999답이뭔가요
4원수(해밀턴수) 에 대해서 알고 싶어요 박사님. 인타넷에 찾아보니깐 나무 어려워서 그런데 좀 쉽게 설명해주실수 있으신가요?
@@TV-rw3cm 뭐라는거지...?ㅋ
그냥 1/3=0.333...이니까 양변에 3을 곱해주면 1=0.9999999....
굿ㅋㅋ
교수님 그러면 교육과정에는 빠졌지만 유한소수를 순환소수로 나타낼 수 있다라는 명제는 참인가요 거짓인가요? 0.99999...를 순환소수로 볼 것 인지 자연수로 볼것인지 둘 다 인지가 궁금합니다!
늘 잘보고 있습니다.
9 하나만 반복되는것도 순환이라 치면 순환소수겟고... 987987987 이렇게 주기를 가지는 것만 순환한다고 치면 순환소수가 아니지 않을까요..?
순환소수가 맞습니다.
@@young-hoonyoum2040 그러면 정수가 아닌 유리수를 순환소수와 유한소수로 나눠서 가르쳐지고있는데 엄밀이 말하면 아닌가해서요
어??
@@하루한문제-y7c 정수가 아닌 유리수에 소수가 무한소수와 유한소수로 나누어져 있습니다.
무한소수중에 비순환소수와 순환소수로 구분되어 있구요. 이 중 순환소수는 유한소수의 성질도 그대로 가지고 있어 아이들이 참,거짓 문제에서 많이들 헷갈려하구요
정말 아름다운 해석입니다...
x = 0.9
10x = 9
x = 0.99
10x = 9.9
x = 0.999
10x = 9.99
.
.
.
이렇게 무한으로 갔을때 소수점 아래의 9의 갯수가 같다고 할 수 있을까요? x가 항상 10X보다 하나 더 많은 상태에서 무한으로 가기 때문에 10x - x를 9로 볼 수 있을까 궁금합니다. 0.9999999....이렇게 무한히 뻗어나가는 그 어떤 수는 1보다 작지 않기 때문에 1과 같다던데.. 그러면 x와 10x가 동등하게 무한히 뻗어나가는 그 어떤 지점에서도 항상 소수점 아래의 9의 갯수는 x가10x보다 하나 더 많잖아요..
그래서 인간이 사용하는 숫자로 생각하지 않고 어떤 공간의 개념으로 생각해봤어요.
현재 인류가 관측 가능한 지구로 부터 반경 465억년 떨어진 거리를 지름으로 하는 우주공간을 1로 보고 그것을 무수히 반으로 잘랐을때 0이 된다면 우주의 존재를 부정하는게 아닌가요? 우주는 계속 팽창하기 때문에 무한으로 잘라도 절대로 무가 될 수 없잖아요.
그래서 제 생각은 수라는 개념도 결국 우주가 존재하고 지구가 생기고 거기에 존재하는 인간이 경계와 시작과 끝이 없는 공간(크기의 절대를 알 수 없는 모든 것, 부피(액체 기체 고체) 선, 점, 등 모든것들)을 개념화 해서 생각하기 때문에 답이 안나온다고 생각합니다. 시작과 끝도 인간이 만든 개념....
일(하나)라는 것은 이미 인간이 개념화 한것이기 때문에..물방울하나, 지구하나, 태양하나, 465억년 떨어진 거리를 지름으로 하는 우주공간 하나, 등... 그래서 수로 그 끝이 있냐고 논하는 것은 첨부터 오류가 있는게 아닌가 생각합니다. 공간의 개념으로 받아 들이는 것이 맞지 않을까요?
재밌네요 ㅋㅋㅋ 틀려도 참신했습니다!! 좋은 인사이트가 됐습니다
어디가 틀렸죠?
수학적 궤변. 화살이 영원히 표적지에 도달하지 못하는 이유 같은 것. 활을 쏜다. 화살이 언젠가 활과 표적지 까지의 중간에 도달한다. 거기서 또 표적지 까지의 중간에 도달한다. 또 또 또....
극한에서 토끼와 거북이가 경주를 하는데 먼저 출발한 거북이를 토끼가 영원히 따라잡지 못한다는 이론이네요 ㅋㅋ 토끼가 거북이의 초기위치에 도달할때면 거북이는 이미 어느정도 가있고 그 위치만큼 토끼가 따라잡으면 또 거북이는 조금이라도 더 멀리 가있기 때문에 따라잡을수 없다는 궤변
입실론 델타 논법이라는 모순없는 더 완벽한 설명이 있으니 그걸 공부해 보셔요
사각형을 9등분하면 한조각에 1/9 즉 0.111111111111111111111111..... 그조각이 9개이니까 9를 곱하면 0.9999999999999999999999....가 전체 사각형이랑 같으므로 1
유투브 해주셔서 너무 감사합니다... ㅜㅠ
그냥 애초에 거기까지 생각 안하고 성립된 세계관이라 혼란스러운 상황이 생긴 것일 뿐.... 0!만 해도 일단 만들어놓고 보니 이걸 1로 하지 않으면 안되는 사단이 벌어지는 거고. 제논의 역설 역시 당시의 수체계와 논리가 절대적이라는 믿음 하에 상황을 해석하다보니 벌어진 촌극이 아니겠습니까. 유리수 체계 자체가 0.999...는 1이 되는 결론이 되는 세계관이라 그런 거로 설명하는 편입니다.
함수의 극한도 부탁드립니다....ㅠㅠ
같다는 전제하에
( = )
계속 수를 쪼개는 것이 어떻게 같은 것인지..
이게 잘 납득이 안됩니다.
구조는 이해가 가지만...
'교육과정' 내에서만 보면, '교과서'에 유한소수는 정수가 아닌 유리수로 분류했습니다. 그리고 유한소수의 개념 정의는 소수점 밑에 '0이 아닌 수'가 유한한 소수입니다. 이런 관점에서 보면 자연수나 정수를 유한소수라고 할 수 없다고 생각하는데 어떤까요?
와
이걸 무한등비급수로 설명을 안할수가 있구나 ㄷㄷㄷ
(설명의 내용은 무한등비급수지만요...
어쨋든 설명의 수준은 중학생이 이해할수 있는 범위에서 하신거니까요.)
감사합니다!
수학은 가능성이 무궁무진해요! 9분의1이 소수로 0.1111111...인데 9분의1의 소수를 9개를 더하면 0.99999999... 이런식으로 설명할수도 있어요!
@@이동연-m8u 그리고 1-0.9999999...=0.000000...=0이라고 할 수도 있어요!
부등식 관련 영상 부탁드립니다.~~
0.0...1은 어디에 팔아먹나요?
결국에 0.999...는 +0.0...1이 뒤에 붙어야 1이 되는건데
그냥 허용을 한거지 완벽히 같다 라고 볼 수 있는 수는 아니잖아요?
0.999...에 0.0...1을 더하면 1.0...0999...가 되지, 1이 되지 않습니다.
무한소수는 소수점 아래 끝이라는 것이 없습니다.
'0.999...과 1은 차이가 아주 미세하니 그냥 1이라고 쳐주자.'가 아니라, 대학교 수학으로 0.999...와 1은 완전히 같은 수로 증명되었고, 단지 1의 다른 표현일 뿐입니다.
0.999... + 0.00...1 은 1.00...1 인데요
무한으로 가는 것은 그것의 해석에 따라서 이상한 답이 나오는데, 예를들어 1-1+1-1 .... 의 경우, 1 도 되고 0 도 되고 1/2 도 되고 그러는데... 쩜쩜점처럼 무한으로 나가는 것은 그 식이 오류가 나게 되어있다. 다른예로 1+2+3+..... 는 -1/12 도될 수 있어서 무한나가는 것]으로 증명을 사용하는것 자체가 무지이다
무한급수의 개념을 잘 모르고 쓸 경우 오류가 발생하는 겁니다. 1-1+1-1+...의 경우 부분합 자체가 수렴하지 않기 때문에 극한을 취해도 합이 존재하지 않는 겁니다. 1+2+3+...=-1/12는 라마누잔 합으로 유명한 결과죠. 이 경우에는 해석적 확장이라는 특별한 개념을 끌고와서 상식과 다른 답을 내놓은 겁니다.
자 이제 입실론 델타라는 것에 대해서 설명해 주겠어요. 라면서 깨봉 선생님이 설명을 하시는데..
그러니까, 말씀인 즉슨 0.9999999999•••는 1을 계~~~속 작은 단위로 표현하는 중인거군요!
다만 진행형이므로 네버 스탑일 수 밖에 없고요! 그러므로, 아니라고 말할 수 없는거고요. 😂
그런 논리면 0.8888888888•••도 0.99999처럼 1을 표현하기 위해 나눠서 계~~속 더해가고 있으니 기다려줘 말할 수 있지 않을까요?
갑자기 0.99999•••=1이 이해되다가 궁금증이 불쑥 생겼어요. 😅
실제로 0.999...라는 표현은 어떤 수를 향해 계속 나아가는 상황이 아니라 이미 특정 위치에 고정된 수입니다.
수학에 움직이는 수라는 표현은 존재하지 않습니다.
-1 x -1이 왜 1인지 궁금합니다!!!
방향으로 생각하면 쉬워요
+ :앞 , - : 뒤
1+1=앞을보고 1칸가고 1칸더간다
1x3=앞을보고 1칸씩 3번간다
(-1)×2=뒤를보고 1칸씩 2번간다 = -2
(-1)×(-1)=뒤를보고 다시 뒤를보고 1칸씩 1번간다 = 1
숫자에도 방향성 즉 vector 개념이 있다고...
-1 x 0=0
-1 x (1-1)=0
-1 x1 + (-1)(-1)=0
-1+ (-1)(-1)=0
-1x-1=1
실수체에서 덧셈항등원은 0이고 곱셈항등원은 1입니다.
이때 (-1)×0을 생각해봅시다.
일단 (-1)×0=0임을 보입시다. (-1)×0=(-1)×1×0=1×(-1)×0=1×(-0)=1×0=0 따라서 0=(-1)×0=(-1)×(1-1)=(-1)×1+(-1)×(-1)=(-1)+(-1)×(-1)로 증명이 끝납니다.
이 증명에 쓰인 사실은 실수체에서 1이 곱셈항등원이라는것, 곱셈에 대하여 교환법칙이 성립한다는것, 1의 덧셈역원이 -1이라는것, 분배법칙이 성립한다는것, 0이 덧셈항등원이므로 0=0+0=0-0이고 소거법칙에 의하여 0=-0이라는 것입니다.
분수함수의 미분의 원리를 알려주시면 합니다.
예) y=1/x의 미분은
-1/x의 제곱
그럼 미분에서 dx도 0 아닌가요?
0.0000000...1 1앞에0이무한대 인데 0으로 향해가는데 0아닌지..
그건 아니죠
미분은 한없이 작은 상태를 순간적인 변화를 보기 위한 것이기 때문에 0에 가까울 뿐 절대로 0이 아닙니다.
미분에서의 dx의 개념은 0에 지극히 가까운 명사의 개념인 반면에
저 0.9999... 는 끝나지 않는 동사의 개념
1에 지극히 가까운 0.999999.... 가 아닌 그냥 1 그 자체를 굉장히 길게 늘이는 방법인거죠
미분의 개념이 순간적인 변화를 알고 싶을 때 유용하게 쓰이는 도구라는 점을 알면
x축의 변화가 존재하지 않는데(이게 dx가 0이라는 의미입니다. 여기서 dx는 x의 극히 짧은 변화인데 그 변화가 0이라는 건 x축의 변화가 없다는 것이죠)
자연스럽게 y축의 변화도 존재하지 않게 되죠
이러면 x축에 대한 y축의 변화를 알 수 없으니 미분이라는 의미가 존재하지 않는거구요.
아..그렇군요
변화량을 0이라고 해버리면 미분의 의미가 없어지네요..0에 가깝지만 분명 존재한다고 봐야겠군요
@@jameslee-wn1vl 그렇죠
이게 곧 상수를 미분하면 0이 되는 이유이기도 합니다.
변하지 않는 수인 상수는 아무리 짧은 순간을 측정한들 이미 정해진 수에 변화는 존재하지 않으니까요.
@@jameslee-wn1vl 헐 모라는건지 도라는건지 ㅠㅠ 애매하네오 ㅠㅠ
짧게 설명하면 1 나누기 3은 삼분의 일,0.999.... 나누기 3은 0.333.....이므로 1=0.999....
+깨봉님 100! 이런 감마함수를 쉽게 구하는 법은 없나요? 유튭에서 일의 자리 감마함수의 대해서 보긴 했는데 궁금해서용!
감마함수는 정수 범위에서 (x-1)!으로 정리되기에
질문 내용은 팩토리얼에 관한 내용으로 오인될수 있습니다.
그리고 아직 방법이 없습니다. 그냥 10!까지 외우면 끝입니다.
꽉 차면 다음 상위단계로 넘어가버리는게 너무 감동임
평소 수학개념을 쉽게 설명해 주셔서 잘 보고 있습니다. 그런데 이번 주제를 다루는 논리가 다소 이상한 듯 합니다.
0.9999999.. 에서 소수점 아래로 계속 9가 이어지는 것. 9가 무한이 이어지는 지되(순환소수), 이것이 1에는 닿지는 않는데, 그게 과연 1과 같을까요?
영상에서는 풀이를 1 아래에,
0.9 + 0.1단위로 계속 잘게 나누어 덧셈으로 표현하셨는데, 그게 계속 이어지는 무한이라고 한다면, 결국 0.00000(무한)0001이 남죠!
이게 1과 같은가요.
그까지꺼 갈수록 1과의 차이가 좁혀지고 있는데 그냥 퉁쳐도 될까요?
그런식으로 해서 그 논리를 조금 더 부풀리면, 1과의 간격이 약간 더 클 뿐 0.0000(무한)0008도 1일 수 있습니다. 다른 0.000(무한)00007도 그렇고요.
A = B의 의미는 A와 B의 양(부피)이나 셈(세기, 합)이 같은 것으로 알고 있습니다.
그리고 영상 마지막에 0.99999(무한)9999(순환소수)가 결국 9/9(9분에9)이고, 그렇기에 1이라고 하셨습니다.
9/9는 분명 1이 맞죠. 3/3, 8/8 처럼 분자가 분모의 양이나 셈으로 딱 맞아 떨어지니까요.
그런데, '0.99999(무한)99999(순환소수) 와 9/9이 같다.'라고 끌어내는 과정이 딱 부러지게 없었던 것으로 알고 있습니다.
왜 0.9999(무한)9999(순환소수)=1이라는 것을 증명하는 과정에서 9/9가 나오게 됐을까요?
잘못 이해하면 9라는 문자 때문에 0.9999(무한)9999(순환소수)와 9/9가 같게 느껴질 수도 있는데, 둘은 분명히 다른 개념이라고 생각이 됩니다.
이를 위해 두 개념을 다시 정리하면,
하나> 0.999(무한)9999(순환소수)는 1에 무한으로 다가서고 있지만, 1에 닿지 않는 수, 1과의 간격이 좁혀지고는 있으나, 그 간격이 있는 것으로 여겨지고, 그 간격이 무한으로 있는 개념입니다.
1 = 1과는 다른 개념 같습니다.
결국,
0.999(무한)999(순환소수) 에서 그 나머지 0.000(무한)0001을 더해야 1이 됩니다.
둘> 9/9 = 8/8 = 5/5 = 3/3 = 2/2 은 1입니다.
왜냐하면 분자 수나 양이, 분모 수나 양으로 딱 떨어지기 때문입니다.
0.999999••••이 1보다 0.0000•••1 앞에 있는거라고 생각하면 안되는겨
0.0000000(무한)0001 이남는다고 하신부분이 오류에요. 마지막에 쓰신 1이 등장하지못합니다. 영원히 0만 나올수밖에없어요.
@@이종석-e6i
1 = 0.999(순환)9 + 0.000(순환)1 이라는 수식에 의해서,
지금 0.999(순환)9가 결국 한없이 1에 무한으로 수렴하기에 1 이고, 0.000(순환)1이 생길 수 없다고 주장하셨습니다.
이 식은 1 = 0.999(순환)9 + 0.000(순환)1이고,
0.999(순환)9 의 순환소수가 결국, 0.000(순환)1의 소수와 더해져, 결국 1이 된다는 뜻입니다.
그럼, 0.999(순환)9 의 순환소수 자체로는 결코 1에 도달할 수 없습니다.
그야말로 계속 1이 되기 전에, 항상, 0.000(순환)1만큼을 남기는, 그 구조에 무한일 뿐입니다.
설사, 0.999(순환)9에 강조점을 둔다고 하더라도, 항상 동시로 0.000(순환)1로 생깁니다. 모든 무한의 크기는 같으니까요(숫자가 의미하는 수량에 대한 크기가 아니라, 일대일 대응에서 대응되는 쌍의 크기).
그리고 0.999(순환)9+0.000(순환)1이 일어나는 시점은 동시에 일어나기에, 이와 같이 나누어지기 전에 먼저 1에 도달하는 것은 안된다고 생각합니다.
그러므로, 0.999(순환)은 1이 될 수 없습니다.
여기까지가 제 반박 논리입니다. 혹시 이와 관련한 너튜브 영상이나, 수학 관련 자료에 대해 아시면, 알려주시면, 감사하겠습니다.
@@나무-m4j
1 = 0.999(순환)9 + 0.000(순환)1 이라는 수식에 의해서,
지금 0.999(순환)9가 결국 한없이 1에 무한으로 수렴하기에 1 이고, 0.000(순환)1이 생길 수 없다고 주장하셨습니다.
이 식은 1 = 0.999(순환)9 + 0.000(순환)1이고,
0.999(순환)9 의 순환소수가 결국, 0.000(순환)1의 소수와 더해져, 결국 1이 된다는 뜻입니다.
그럼, 0.999(순환)9 의 순환소수 자체로는 결코 1에 도달할 수 없습니다.
그야말로 계속 1이 되기 전에, 항상, 0.000(순환)1만큼을 남기는, 그 구조에 무한일 뿐입니다.
설사, 0.999(순환)9에 강조점을 둔다고 하더라도, 항상 동시로 0.000(순환)1로 생깁니다. 모든 무한의 크기는 같으니까요(숫자가 의미하는 수량에 대한 크기가 아니라, 일대일 대응에서 대응되는 쌍의 크기).
그리고 0.999(순환)9+0.000(순환)1이 일어나는 시점은 동시에 일어나기에, 이와 같이 나누어지기 전에 먼저 1에 도달하는 것은 안된다고 생각합니다.
그러므로, 0.999(순환)은 1이 될 수 없습니다.
여기까지가 제 반박 논리입니다. 혹시 이와 관련한 너튜브 영상이나, 수학 관련 자료에 대해 아시면, 알려주시면, 감사하겠습니다.
무한개념이 약해서 그래요. 그냥 유한수를 굳이 무한개념으로 표현한거라 보심 돼요. 어차피 둘은 같은 수에요. 표기법 / 형태만 다를 뿐이에요.
1/3을 소수로 바꾸면 0.333333333333......이되고 0.33333333333333에 3을 곱하면 0.999999...... 가되지만 1/3에 3을 곱하면 1이 되죠? 그래서 0.9999999....는 1입니다
1/3 이 0.3333... 이라는 전제 자체가
1 이 0.9999... 이라는 전제에서 나올 수 있죠
결과를 전제로 사용하니 논리적으로 모순이 있어 보입니다
내 인생의 큰 궁금증이 이 영상으로 풀렸습니다
x = 0.99999.... 이고 y. = 1 이라할때, x=y 라면, 가우스함수를 씌우면 [x]=0, [y]=1 인데, 둘은 결코 같지 않다. 그래서 가우스함수가 있는것이다.
[0.999...]의 값은 0이 아니라 1입니다. (울프람알파 참고)
화살의 표적지를 정확히 맞히겠네요 눈으로 확인할수 없을만큼 미세함도 찾을수 없을정도로 정확해보이게. .0. 999999999는 무한이니까요.
1÷1 나눗셈 세로식에서.... 1이라는 몫 대신에 0.9로 나눠보세요. 아직까지도 순환소수에 대한 오해가 지속되고 있다면, 개념을 수정할 필요는 있어 보입니다. 현실적으로 순환의 끝이 존재하냐 존재하지 않느냐는 걸 사람으로썬 알 수가 없으니까요;;
이건 뭔 쌉소리야 ㅋㅋ
잘 있는 순환소수 개념을 왜 수정하냐
무한의 특징:어떤 실수나 자연수보다 항상 크다.
실수의 특징:대소 비교가 가능하다.
무한소수:소숫점 오른쪽으로 숫자가 끝없이(무한히) 나열된 수.
실수+1은 실수이다.
이때 무한이 실수라면 무한의 정의에 따라
♾>♾+1
양 변에 1을 빼면 무한의 정의에 따라
♾-11
거짓. 왼쪽의 일의 자리 수는 0, 오른쪽은 1이다.
0>1이 거짓이므로 0.999... >1 역시 거짓.
0.999...
저희 아들이 3분의1이 3개면 3분의3이라 1이 되는데 0.3은 세개면 0.9인데 어떻게 같냐고 하는데 이것과 같은 원리일까요?
이산수학 전문으로 하는 교사로, 영재고나 영재교육기관 교사되고싶어요. 풍족하게 살려면 세무사나 세무공무원 후 전관경력인정받는 세무사 하는게 나은데... 풍족하게 살긴 글렀다, 수학 과학 좋아해서...
컴퓨터 계통을 하자니 야근하기 싫고...
실수의 순서공리로서는 임의의 두 실수는 1.같거나 2.한쪽이 커야 합니다.
그런데 한 쪽의 실수가 더 크다면 두 실수 사이에는 또 다른 실수가 존재해야합니다.
하지만 0.9땡과 1사이에는 그런 실수가 존재할 수 없습니다.
그래서 0.9땡과 1은 같습니다.
음..모르겠네요ㅋㅋ
그런데, 1과 0.999(무한)999(순환소수) 사이에 틈이 계속 좁혀질지라도, 그 틈이 없다고 할 수 없지 않나요?
1= 1라는 개념과는 분명 다르지 않을까요?
수학도자세희보면 끼워맞추기임
다른수라는게 그럼 사이에 실수가있을때만성립함?
1을 무한을 이용해서 다른 모양으로 표현한 게 0.99999....~
같다는 말씀이 이해가 안되요ㅠㅠ
한없이(무한대)가면 ... 1에 근접한 한다
뜻인거 같은데
마치 1에 무한히 근접한다는 개념처럼 보이겠지만 수학에는 움직이는 수란 개념은 없습니다. 신기하게도 0.999...와 1 사이엔 어떤 오차도 없습니다.
그냥 1/3=0.3333333... 이니까 양변에 3을 곱해서 1=0.999999999999... 하면 안되나요?
그러면 3분의 1이 왜 그렇게 되는지를 설명해야 됩니다
그냥 놀라울 따름입니다.
이해가 될 것 같은데 안 되는게.
그냥 유한형태로 표현되는 유리수를 무한형태로 표현한 것. 표현방식만 다를 뿐.
무한개념이 부족해서 그래요.
이해 안 되는 게 정상입니다. 저건 애초에 성립하지 않으니까요. 이해했다는 사람은 이해한 게 아니라 그냥 외운 겁니다. 일종의 리플리 증후군이지요. 추상화된 방법으로 접근해도 본질은 달라지지 않습니다. 그런 거에 현혹되시면 안 됩니다. 당신이 옳으니 자학하지 마세요.
설명은 열심히 하셨는데 문제는 궁금증을 해결한게 아니라 사람들이 궁금해하는부분을 다시금 보여주는것에 그칠뿐이네요.
그니까. 저끌에남은부스러기 0.1 0.01 0.001 애내들은 왜 무시되는거지
@@in-youngjung3361 0.99999….는 순환소수로 분수로 나타내면 9/9인데 이것은 1과 같으므로 1=0.9999….가 성립하는 것 입니다.
0.999는 0에서 출발해서 0.999에 도착한 수가 아니라 태어났을때 부터 0.999인 수입니다. 0.999...도 0에서 1로 가고 있는데 거리가 무한이라 못 도착하는 것이 아니라. 이미 9가 무한개가 완성되어 1로 도착한 수입니다(그걸 넘어 애초에 출발부터 한적이 없고 태어났을 때부터 이미 0.999...인 수입니다). 단지 9무한개를 표기하기엔 자리가 부족해서 ...으로 표현한 것입니다
그러면 0.99999........도 자연수인가요?
네
결국역으로보면 0.1 0.01 0.001 으로 모자는데 이런거는 무시해도된다는겁니까
유한소수가 아니라 무한소수이므로 어떤 오차도 없습니다.
1을 9와 1로 나눠도 결국 1이 조금씩 남는데용?
1을 9로 직접 나누는 경우의 연산은 1을 유한소수와 나머지의 합으로 표현밖에 못합니다.
0.999...와 1이 다른 수라면 이 사이에 다른 실수가 존재하는지 알아보면 됩니다.
0.999999...는 1이라는것은 그냥 약속이다 이렇게 정의내리면 이건 잘못된건가요?
그렇게 정의해도 상관없습니다.
0.9999••••은 1과 0.00000001만큼 차이가있는거 아닌가요? 잘 이해가 안되요
1과 0.999...는 그 0.00...0001이란 어떤 오차도 없습니다. 실제로 1과 0.999... 사이엔 어떤 실수도 존재하지 않습니다.
@@ROTY22 그럼 실수말고 다른수는요?
@@in-youngjung3361 실수는 a
0.99999... 를 3으로 나누면 0.333333...이 되는데 이게 바로 1/3임. 여기에 다시 3을 곱하면 1.
이 문제에 대해 질문한거에 감히 저도 칭찬하고 싶습니다.
당연하다는 원리에 의문을 갖는 건 아주 오랫동안 수학자들이 늘 해왔던 것들이고 그걸 계속 이루어내니 별의 거리마저 파악할 수도 있게 되었죠. 매우 어렵지만 컴퓨터가 아닌 직접 계산하는 걸로요.
제가 강조하고 싶은 건 "단순한 거에 의문을 갖는다는 것"에 있는데 철학은 이런 의문을 알아가는 학문입니다.
단지 '1+1=2' 라는 식은 큰 관심을 못받지만, '사과 1개와 귤 1개를 모으니 과일이 2개가 됐다.'라는 관계를 엮을 수 있기 때문에 "1+1=2"의 이유를 알고 실제로 보고 이해할 수 있으므로, 철학을 더한 수학은 이러한 묘미를 안다면, 충분히 즐길 수 있는 학문입니다.
10x=9.99999999
x=0.999999999....... 빼주면
9x=9
x=1
그래서 0.99999....는 1이다!
그런데0.99999........는1이니까
1.99999.....도 2인가요?
Yes
차이가 없다는걸 납득할수 없습니다
1을 쪼개면 언제나 0.00,,,1 이 끝에 생기지만
0.999… 를 아무리 쪼개본들
0.00,,,,1 이 생기는게 아니잖아요
십자 형태이고 중간에 못으로 서로 고정되어있지만
서로 자유롭게 회전할수 있는 시계바늘같은 막대가
있다고 쳐봅시다 막대의 길이는 무한입니다
그 한쪽 사이에 지름이 10센치인 공이 끼어있고
두 막대는 공을 항상 접합니다
공이 중심에서 멀어지면 멀어질수록
공이 끼인쪽 막대의 각은 점점 줄겠죠
공이 무한에 속도로 무한에 시간만큼
중심에서 멀어진다고 그 공이 끼어있는
막대와 막대의 각이 0도라고 볼수 있을까요?
0에 수렴할것처럼 작아 지더라도
두 막대는 영원히 평행할수 없는거 아닌가요
0.999...=1이 아니라고 하자. 그렇다면 0.999...>1 또는 0.999...1은 성립할 수 없다. 그렇다면 0.999...
1을 쪼갰는데 0.00,,,1이 생기면 그건 1이 아니라 1.00,,,1이죠
그럼 0.888888... 은 간단히쓰면 뭐죠? 이런숫자자체가 없는건가??...
0.8͞ 이요.
10x-x=8.8888..-0.8888....=8, x=8/9
댓글들 진짜 국평오 대잔치네 유튜브에 널려있는 수많은 0.999..=1 영상중에서도 레전드급이다
하지만 3:36초 에는
오른쪽은 언젠가는 ... 0.0000.....9+0.0000.....1이 나오는데
그럼 왼쪽과 똑같다고 하지 못하지 않을까요?
정확히 말하면,
1 = 0.9999..... + 무한히 작은 알파 아닐까요?
그 미세한 차이란 게 없습니다.
말 그대로 0.999...=1이란 거죠.
@@ROTY22그럼 자에서 1센티미터와 0.99999999...(무한)센티미터가 같다는 말씀인가요???
그러면 문제에서 0.999999…를 1로 바꿔서도 아무 문제 없는거에요?
보통실수공간에서는 문제없습이다.
또 다른 방법은 0.999999999999…을 x라고 잡고 1x는 0.99999999999…, 10x는 9.99999999999…로 10x-1x=9.999999999…-0.99999999999…으로 9x는 9라는 것으로, 즉 1x는 1이다
라는 방법이 있어요^^
무한에 10을 곱하는게 가능합니까?
무한은 그냥 무한인데?
무한-무한이 성립할 수 있는 근거는요?
무한에서 뭘 더하고 빼고 곱하고 나누고가 가능한지부터 설명이 되어야하는데???
그건 그저 중학생들한테 이해시키려는 목적으로 만든 '설명'에 불과합니다. 증명이라고 보기에는 모호해요
계산과정에서 0.0000...1을 무시 해버린 방법이죠
?? 정수도 유리수안에 포함됩니다
자막 겁나 잘썼네 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
근데 결국은 1이 0.9999....보다 큰거아니에요?
아무리 쫀갠다고는 하지만 결국은 아주 조금보다 더 큰거 아니에요...?
0.999...와 1이 다른 수라면 이 사이에 다른 실수가 존재해야 하지만 이 실수는 절대 존재하지 않습니다.
@@ROTY22 실수가 존재해야만 다르다로정의되나요..?
@@in-youngjung3361 당연한거 아님?
실수의 법칙 a
그렇게 치면 0.99999.... 가 자연수 인가요?
저는 고등학교때
지수함수로그함수를 매우 흥미있어 했습니다.
(물론, 미적분도 신세계였고, 확률통계,수열극한 이런것도 매우 재미있게 공부했었습니다.)
그런데, 초반에 언급했듯이
지수로그함수를 배우면서
고교과정 에서는 지수에 자연수만 올라가는 걸 알다가 그게 점점 확대 되면서 음수도 올라가고 유리수도 올라가고 무리수까지 올라가는 걸 배우게 되는데,
나중에 복소수,허수가 지수에 올라가면 어떨까 올라갈수 있나 하는 생각이 들었어요. 물론 추후에 수학적으로 복소수,허수가 지수로 가는게 가능하고 그것에 대한 수학적 학문체계가 어느정도 정립되어 있다는 것도 알게 되었는데요!
각설하고, 지수에 허수, 복소수가 올라가는게 어떤의미인지 매우 궁금합니다.
ruclips.net/video/0ffflB16jFg/видео.html 이 영상을 보시면 깨봉님은 뭐라하실까?
ㅋㅋ 로지컬
아니 0.9999...면 1에서 조금이라도 항상 비어있는거니까 결국 1과 같은게 아닌거 아닌가요? ㅠㅠ 이해 못하는 1인입니다. 으헝헝ㅠㅠ
0.999...와 1 사이에 어떤 오차도 없습니다. 만약 0.999...와 1이 다른 수라면 이 사이에 다른 실수가 존재해야 하지만 이 실수는 절대 존재하지 않습니다.
1- x = 0.99999... 일때 x를 리미트 0으로 보내서 1=0.999...라는건가??
넌 그냥 침묵하고 살길...
@@lkh0120 이건쫌너무했다
저 말대로면 0.999……+0.00…01=1 이란 말인데 0.999…은 무한소수인데 0.00…01은 유리수 이므로 성립하지 않는다
실제로 0.999...와 1 사이엔 어떤 오차도 존재하지 않지요. 즉 0.999...=1
이 설명대로라면 모든 수는 3가지 이상으로 표기할 수 있는 것 같은데요.
0.99999…………
1
1.0000…………1
1.0000…………2
.
.
.
0.999……… + 1.000………2 = 2.000…………1 = 2
개인적으로는 10진수의 한계라고 느껴지고
이렇게 정의했다고 말하는게 더 합리적으로 보여집니다.
솔직히 무한히 1에 가까워지는게 1은 아니죠.
0.999... + 1.000...2 = 2.000...1 이 아닙니다!
1.000...2 라는것은 끝이있는 유한소수이고 0.999...는 끝이 없는 무한소수에요!
0.999...9 + 1.000...2 = 2.000...1이 맞겠다만,
0.999...는 끝이 없기때문에 1.000...2를 더해서 2.000...1이 될 끝 자체가 없습니다..!
2.000...1이라는건 끝이있는 유한소수이니까요!
따라서 0.999...는 무한히 1에 가까워지는것이 아니라 1과의 차이가 0.000...1도 있지않은, 즉 1인거죠..!
@@ronsa5636 0.0…1을 유한소수라고 할 수 있을까요?
사실 저런 표기법의 소수가 존재하지는 모르겠지만 가운데 자리가 무한히 반복되기 때문에 유한하냐 물으면 그렇지 않다고 말해야한다고 봅니다.
0.9……도 무한히 반복되지만 끝자리를 물으면 9라고 대답할 수 밖에 없다고 생각해요. 왜냐하면 무한히 반복하더라도 결국 이어지는 수는 9밖에 없고 미지막이 없더라도 마지막 수는 9일수 밖에 없어요.(표기의 정의상)
그걸 0.9……9처럼 저는 표기한 것이고 그 표기상의 연산도 보편적으로 이해 가능하다고 생각합니다.
선생님의 설명을 보면 1 = 0.9…… + 0.0…1(앞 무한소수보다 한자리 더 긴 소수)라는 결론으로 보이거든요.
물리적으로는 최소단위가 존재하기 때문에 그 이하로 떨어지면 동일하다고 판단할 수 있겠지만
논리적으로 보면 9가 무한히 반복 되어도 1과 같아지면 안된다고 생각됩니다.
그렇기 때문에 그렇게 정의했다고 말하는게 더 합리적으로 보이는거구요.
@@todoascoding7517 무한 소수는 말그대로 "끝이 없는 소수"여서 끝이 없습니다. 그래서 소수의 끝자리도 없습니다. 소수점에서 n번째가 끝자리라고 해도, n+1번째자리에 또 숫자가 있어서 그 자리는 끝자리가 아닙니다.
무한소수의 끝자리라는 개념을 사용하려면, 먼저 무한소수의 정의 부터 부정해야합니다.
0.99999...(9무한개)....9와 같은 형태는 아직 기초를 배우는 저로는 정확히는 모르겠고, 끝이 있으니 무한소수가 아니라는것만 알 수 있을것 같습니다.
@@todoascoding7517
+)
실수 a,b가 있을 때 둘이 같은 수인지 다른수인지 확인하는 방법 중 하나는, 둘 사이에 다른 실수가 있는지 확인하면 됩니다. 서로다른 실수 a,b 사이에는 적어도 하나의 실수 ((a+b)/2=(두수의 평균)이 있기때문)이 있습니다. 그러니 이 명제의 대우인 "두 실수 a,b 사이에 실수가 하나도 없다면 a,b는 같은 실수이다." 도 마찬가지로 참이 됩니다.
만약
0.9999999999.....와 1사이의 실수를 찾으면 두 실수는 다른 수라는것을 확실히 알 수 있겠죠.
단, 무한소수는 끝이라는 개념이 없기 때문에, 소수 끝자리에 숫자를 추가한다던가 하여 다른 실수를 만드는것은 불가능합니다. 이때문에 누구도 둘 사이의 실수를 찾지 못했습니다.
긴글 읽어주셔서 감사합니다.
0.999...는 무한이 1에 가까워지는 게 아니라 그냥 1입니다. 가까이 다가가는 수는 존재하지 않습니다.
마참네!
나는 이해가 안되는데? 영원히 1이 되는게 불가능한거 아닌가?? 어떻게 1이됨??
0.99999...를 X로 두고 10X - X를 계산해보세요.
0.999...는 0.9+0.09+0.009+0.0009... 로 표현이 가능하며, 이는 첫째 항이 0.9이고 공비가 1/10인 등비급수이다. 등비급수의 합에 의하여 계산하면 (9/10)/(9/10) 이며 약분하여 1이 나온다.
즉 0.999...=1
이거 말고도 증명법은 많음.
0.9999...는 1이 아니죠..맨끝0.0....1을 더해줘야 1이죠..
무한소수 0.999...에 0.0...1을 더하면 1이 되는 게 아니라 1.0...0999...가 됩니다.
0.999...는 소수점 아래에 끝자리라는 게 절대 없습니다.
맨끝이 어디있는데요? 9가 무한히 이어지는데?
요고 보고 자야지
근데1은 계속 해도 마지막엔 0.0000 1아닌가
무한이 가면 결국 1이다 ㅋㅋ 이해할수없네요
산수도 수학도 모르지만 좀 많이 수학이 정밀그렇다면 자기들끼리 그렇게하자 라고 한거네
불교에 동정일여라고 하자나요 고정된것도 =무한순환소수형태가 가능하다고 이해합니다 또 무한=유한 같을수도 있구요
미분계수도 부탁드립니다.
걍 대수로 증명하면 되는거 아닌가
아니 결국 0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000보다 더많은무한대의 01 만큼 차이나야 되는거 아닌가? 그냥 너무 너무너무너무너무 작아서 1이랑 같다고 보는거 아니에요??? 왜 나는 저 쪼개는거 구조는 이해가도 궤변이라고 느껴지지
무한은 끝이 없습니다.말 그대로 숫자가 큰 거랑 무한대랑은 다르듯이요.
그러면 0.999999999999999는 1이라는 말인가용??
0.9999.......가 1입니다.
헐 대박...
헐 ... 나 중학교때 동네학원에서 저렇게 안가르쳐줌 ㅠ... 증명은 해줬는데 이해를 못햇는지 기억을 못할 뿐... 뭐 빼기 해서 저 등식이 참이라고 증명해줬던것같은데...
10을 곱해서 빼서 구하는걸로 배울걸요
0.999 × 10 = 1 × 10
(0.999 ×10) - 0.999 = (1×10) - 1
9 = 9
@@syangfa 오 맞아요. 그러고 식끼리 빼서 9999 뒷부분 제거하는걸로
아 그냥 유리수의 형태를 무한을 이용해서 나타낸거네.
계속 2과 슨소해짐으로 그럼에도 불구하고 과녁을 명중할거 같네요.
오
이렇게 설명했을때 이해하는 척하고 넘어가는 애가 수학을 못할듯하네요ㆍ 쉬운방법 두고 어렵게 설명하네요ㆍ 1/3을 소수점으로 표시하고 여기에 3을 곱하면 됩니다ㆍㆍ 그리고 0.9999 , 이렇게 무한히 가는 수는 언젠가 1 이 된다는 식의 교육은 맞지도 않고 이해도 안되고 학생에게 도움도 안될 것 같네요ㆍ 그래서 저는 수의 상태를 추가해서 설명합니다ㆍ
디스 이즈 악프 ㄹ
하... 님 말보다 깨봉선생님말이 훠얼씬 직관적으로 알기쉽답니다^^ 언젠가 1이된다고 말안했고 정확히 1과 같다고 말했고, 십진수 체계에서 1을 표현한 다른 방법이라고 설명하고 있습니다. 이거만큼 쉽게 설명할 방법이 있나요? 정말 어이가 없네요^^
님의 설명은 1/3이 즉 0.33333이 왜 유리수인가를 다시 설명 해야 합니다. 그러러면 깨봉설명으로 다시 가야죠
1÷3×3=0.99999‥
무한대분의 1은 0이 아닙니다. (3가지 증명)
1.첫번째 증명(수식으로 증명)
무한대분의 1이 0 이라면 (무한대분의 1은+무한대분의 1은=0) → (0+0=0) / 같은 방식으로 (무한대분의 2+무한대분의 2은 =0이런 식으로 계속 분자가 커지면 (무한대분의 무한대는 0 이 되야하는모순이 생깁니다.
이러한 모순은 처음부터 무한대분의 1이 0 이라는 가정이 틀렸기 때문에 발생한 것입니다.
2번째 증명(길이로 증명)
1m의 선이 있다고 하자1m선을 2등분 하고 그나눈 길이를 더하면 1m 이다. 1m선을 100등분 하고 그나눈 길이를 더하면 1m 이다.
1m를 아무리 많이 나눈다고 하더라도, 그모든 나눈 길이를 더하면 여전히 1m이다.1m선을 ∞등분 하고 그나눈 길이를 더하면 1m 이다.
만일 무한대분의 1이 0 이라면 0m의 조각들을 모두더하면 0이므로, 1m 가 0m 가되는 모순이 생긴다.
그러므로 무한대분의 1은 0이 아닙니다.
3번째 증명(시간으로 증명)
우주의 나이는 약 138억년태양의 나이는 약 45억년인류의 조상이라고 주장하는 호모사피엔스가 약40만년인류가 약 6000년
무한한 시간 분의 138억년은 0 인가?
무한한 시간 분의 6000년은 0 인가?
그렇다면 현재우리의 삶은 0인가?현재 우리의 삶은 존재하지 않는 것인가?현재우리의 삶은 의미가 없는 0인가?무한한 시간 가운데 유한한 우리삶은 무의하다고 할수 있는가?
그럴 수 없다.그러므로 무한대분의 유한은 0이 아니다.
무한대는 끝없이 커지는 '상태'를 나타내는 표현으로서, '실수'가 아닙니다.
무한의 특징:어떤 실수보다 항상 크다.
실수에 1을 더해도 실수이므로
무한의 특징에 따라 1
무한도 종류가 많죠. 무한집합에서 자연수의 개수를 나타내는 '셀 수 있는 무한'과
무리수 또는 실수의 개수를 나타내는 '셀 수 없는 무한'으로 나뉩니다. 무한집합 X의 원소X의 개수는 X의 '농도'이고 집합X와 집합Y 사이 1대1 대응이 존재하면 두 집합은 같은 농도라고 하고 |X|=|Y|라고 합니다. 이때 자연수의 개수와 정수의 개수는 1대1 대응을 통해 자연수와 정수의 개수의 농도는 같다고 할 수 있으며 이를 통해 자연수의 개수와 정수의 개수는 같다고 할 수 있습니다.
이렇게 될 경우 (정수의 개수)=(음의 정수)+0+(양의 정수)이고 (양의 정수)=(자연수의 개수) 이므로 위의 (정수의 개수)=(자연수의 개수) 에 따라 무한+무한=무한이 성립. 반대로
무한-무한=무한 역시 성립.
무한을 아무리 더하거나 빼도 무한 그 자체가 된다.
무한대의 정의는 어떻게 되는지?
1. lim n=>0+ (1/n)
2. 자연수의 개수 (셀 수 있는 무한)
3. 무리수 또는 실수의 개수 (셀 수 없는 무한)
4. 절대적 무한
무한대의 정의가 확실하지 못한 말 그대로 궤변.
다른 증명 [ 스포 주의 ]
01X = 0.99999999999...
10X = 9.99999999999...
10X - X = 9X
= 9
9X = 9
X = 1 = 0.9999999999...
이와 같은 방법으로 증명하려면 우선 x의 수렴가능성과 위로 유계라는 것을 보여야 합니다.
우리나라 대학시스템 너무 비효율적이고 이상해요. 유럽이나 미국은 누구나 입학해도 졸업이 어려워서 성취도가 갈린다는데... 우리나라는 대입은 왤케 어렵고, 대졸은 그냥 학위복사하듯이 학점만 따면 다 졸업장 주는지...
아무도 박사님처럼 저렇게 자세히 가르쳐주는 학원, 인강 없잖아요. 지금 인터넷강의 유튜브에서 미분 적분 검색만해도 제대로된 과정 알려주는 강사 아직 못봤는데...
위에 말은 틀린말은 아닙니다만
이런 강의는 고등학생에겐 비효율적인 강의입니다 ㅋㅋ 시간이 남는 중학생이면 모를까. 이 박사님의 미적분 영상을 보니
용어정리나 개념등을 아주 잘설명하시고
이해하기 쉬웠던건 맞습니다 ㅇㅇ
그러나 이거를 백날본다고해서
수능 미적분문제 건드리지고 못합니다
우리는 대학을 가기위해 수학을 공부하는거지
수학이란 과목을 탐구하기 위해서 배우는건 아니지 않습니까 고등학생에게 필요한건
이런 용어정리가 아니라 문제를 어떻게 해야 잘풀수있는지 유형별 공략이 필요합니다
그러니 인강이나 이런 과정을 가르켜주는 강사가 없는거지요
1^n은 n을 무한대로 보내도 1
0.999999^n 무한대로 보내면 0
공학적으로 보면 무시할 수 있는 오차도
수학적으로 보면 엄청난 차이가 생길수 있음
하지만 0.9999...와 1 사이엔 어떤 오차도 없는 것은 사실
팩트:1^(무한대) 는 정의되지 않는다.
0.999 ... 가 1 이라면
0.000 ... 1 은 0 입니까?
0.999...는 1이지만
0.000...1은 0이 아닙니다.
그리고 0.999...와 1 사이엔 0.000...1이란 어떤 오차도 존재하지 않습니다.
이런 공부해서
실제로 써먹은분?
그렇습니다 돈 버는데 별로 안중요함.
수학은 논리 입니다.
논리력이 향상되면 그것을 좋은 인성과
결합하여 타인에게 쓸수 있어야 합니다.
하지만 대부분의 사람들은 좋은 인성을
가르치는 스승을 만나지 못하고
자기 자신만을 위한 삶을 살게 됩니다.
수학은 인성과 결합해야 한다.
저런 거 답해주는 제대로 된 수학선생님 별로 없을걸요.
말도 안되는 논리군요 :)
핵심은 극한개념인데 극한이 뭔지 초딩에게 가르치는게 문제지
구라임. 말 장난
무한개념과1 이건가?
50년이넘도록 내가본 1(실존을)의심하게돼는 영상..........