1/(x²+1)(x²+4)の広義積分【複素数を実積分へ利用する話08】

[@かっぺん吉田]

とても楽しみにしてたシリーズなのでうれしいです！

[@tchaikovsky1026]

複素積分による解法と部分分数分解による解法の両方を使いこなせるといいですね。

[@anasuit1111]

部分分数分解だと1/3(2・π/2−2・π/4)

[@田舎の爺さん]

爺も留数定理で、求めました。(解) π/6

[@勉強用-e3d]

こういうのって普通の広義積分と極限の取り方が変わってしまうと思うんですけど、なぜ正当化されるんですか?

[@G_sen_sei]

この動画では
∫[-R,R]f(z)dx
=-(半径R上での線積分の値)+2π i(留数の和)
が言えたのでこれをR→∞とした感じです。
本来の広義積分の定義から考えれば、厳密には
今回求めた積分値は、RやR'をうごかして得られる極限
lim[R,R'→∞] ∫[-R',R]f(z)dx
と一致するのか保証する必要があると思います
(問題を解く前に収束することを確認すればよいと思います)

[@sugakunosu]

宿題の1/((x^2+1)(x^2+4)(x^2+9))の-∞から∞までの積分は
動画と同様に計算すると、
2πi(1/(2i・3・8)+1/((-3)4i・5)+1/((-8)(-5)6i))=π/60.

[@G_sen_sei]

実は、それを扱う予定だったのですが、サムネに入れると数式が小さくなりすぎる！というRUclipsｒ的な事情で今回の短い方の問題にしました

[@sugakunosu]

ちなみに、f(x)=1/((x^2+1)(x^2+4)(x^2+9))の部分分数分解は
g(X)=1/((X+1)(X+4)(X+9))の部分分数分解が分かればよく、
g(X)=a/(X+1)+b/(X+4)+c/(X+9)とすると
a=lim_{X→-1}(X+1)g(X)=1/24,
b=lim_{X→-4}(X+4)g(X)=-1/15,
c=lim_{X→-9}(X+9)g(X)=1/40であるので、
f(x)=1/(24(x^2+1))-1/(15(x^2+4))+1/(40(x^2+9)).

[@G_sen_sei]

なるほどです。係数比較の仕方は留数計算ととてもよく似ていますね