Olá, professor Aquino. Sou estudante de física do curso de mestrado. Estou me preparando para a disciplina de mecânica quântica, uma disciplina que exige muito conhecimento em álgebra linear. Os quatro módulos deste curso me conduziram muito bem até agora. O senhor tem uma habilidade incrível para ajudar os estudantes na construção do conhecimento. Muito obrigado.
Professor, você é surreal, é exatamente o que eu precisava.. uma aula que não só se preocupa e falar e mostrar conteúdo, mas em explicar cada detalhe e o significado do que tô aprendendo. Muito obrigado mesmo !
uma forma diferente de avaliar se aos vetores são geradores do espaço seria verificar se os vetores dados são capazes de gerar a base canônica, pois se eles conseguem gerar os vetores que, por combinação linear, geram todos os outros vetores do espaço vetorial, então, eles são também geradores de todo o espaço.
Sobre a questão final, achei que esses vetores são sim base de R^2. Fiz como ensinado, e achei a = (- y + 4x)/10 e b = (3y - 2x) / 10 Verifiquei e realmente gera um vetor qualquer (x,y)
@@gabrielcarvalho3115tanto faz, a soma é comutativa, visto que ali é soma de números reais. Exemplo: Tanto faz somar 2 com 3 ou somar 3 com 2, da no mesmo.
Muito Obrigada Professor por suas aulas, estou no inicio da graduação em Física e esta muito complicado a matéria de álgebra linear e vetores, mas suas aulas estão ajudando muito a compreender a disciplina e ter boa base para ler os livros.
Professor as aulas ajudarão muito. Pena que eu já fiz a prova antes. Sabe quanto eu tirei? 0 vou me preparar para recuperação tenho certeza que vou tirar um 10 agora. Obrigado
Professor, no exercício que fez é mesmo necessário fazer aqueles passos involvendo o a e o b? Não pudemos apenas dizer que já que existem n vetores linearmente independentes pertencentes a R^n que esses vetores seriam sempre bases de R^n?
Nesse seu caso você estaria usando o teorema: se {v1, v2, …, vn} é LI em ℝ^n, então {v1, v2, …, vn} é base de ℝ^n. Desde que você já tenha provado esse teorema antes, então você poderia usá-lo. Entretanto, perceba que esse não é o contexto da videoaula, pois nela apenas fizemos a definição de base.
professor o senhor poderia me dizer por favor em qual aula que o senhor apresentou essa técnica de atráves do determinante da matriz saber se é li ou ld por favor? Porque não me recordo disso na aula sobre li e ld na playlist de espaço vetorial
Não serve para todos os casos. Só serve quando temos n vetores e cada um deles têm n coordenadas. Por exemplo, na videoaula note que os exercícios foram com 2 vetores e cada um deles tinha 2 coordenadas.
No exercício final você precisa fazer duas coisas: (i) verificar que {(3, 2), (1, 4)} é LI; (ii) verificar que {(3, 2), (1, 4)} gera ℝ²; Ao resolver a parte (ii), você deve encontrar: a = (4x - y)/10 b = (- 2x + 3y)/10 Obs.: cuidado, pois você esqueceu de escrever os parênteses! Por exemplo, ao escrever a = 4x - y/10 nós temos a fração com o numerador - y e o denominador 10. Por outro lado, ao escrever a = (4x - y)/10 nós temos a fração com numerador (4x - y) e denominador 10. Você pode escolher qualquer ponto de ℝ² para testar suas contas. Por exemplo, escolhendo (x, y) = (1, 5) como você mencionou, vamos encontrar: a = [(4·1) - 5]/10 = -1/10 b = {[(- 2)·1] + 3·5}/10 = 13/10 Ou seja, temos que: (1, 5) = (-1/10)(3, 2) + (13/10)(1, 4)
@@LCMAquino professor, tava errando justamente nisso, mas tinha entendido toda a questão, muito obrigado o senhor é exemplar, tirei 8.5 na média de álgebra linear graças a suas aulas
Professor, ser gerador do espaço V é o mesmo que ser gerador do subespaço W (no caso sendo w o subconjunto formado por todas as C.L dos vetores de V) ?
@@LCMAquino dei uma assistida professor. Ficou mais claro mesmo, mas ainda tenho uma dúvida. Naquele caso, o senhor definiu W como um subespaço formado por todas as C.L de certos vetores quaisquer do espaço V né? Estes vetores quaisquer são então geradores de W, pois conseguem formar todos os elementos de W a partir da C.L. Sendo agora a base uma geradora de V, e não mais apenas de um subespaço de V, ela então forma qualquer elemento do próprio V? Uma base de R² forma todos os elementos de R²? É só pra saber se o que eu entendi está certo obrigado, professor !
Vou separar suas perguntas para facilitar a resposta. 1) Sendo agora a base uma geradora de V, e não mais apenas de um subespaço de V, ela então forma qualquer elemento do próprio V? Sim. Se {v1, v2, …, vn} é uma base de V, então qualquer elemento v de V que você pegar, você vai poder escrever que: v = a1v1 + a2v2 + … + anvn Isto é, v será formado por uma combinação linear dos elementos da base de V. 2) Uma base de R² forma todos os elementos de R²? Sim. Vide a resposta anterior. Basta ter, por exemplo, a base {(1, 0), (0, 1)}. Veja que dado qualquer (x, y) de ℝ², podemos escrever que: (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1). Ou seja, (x, y) será formado por uma combinação linear dos elementos da base de ℝ². Agora sua dúvida foi esclarecida? Comente aqui!
Você se refere ao determinante da matriz formada com os vetores que desejamos testar? Se for isso, então o determinante igual a 0 indica que os vetores são LD. Se o determinante for diferente de 0, então indica que os vetores são LI.
Oi Danilo, você precisa verificar se duas coisas são verdadeiras: (i) {1 + 2x - x^2, x + 3x^2, 2 - x} é LI; (ii) {1 + 2x - x^2, x + 3x^2, 2 - x} gera P2; Para verificar (i), comece desenvolvendo a equação: a(1 + 2x - x^2) + b(x + 3x^2) + c(2 - x) = 0 a + 2ax - ax^2 + bx + 3bx^2 + 2c - cx = 0 (-a + 3b)x^2 + (2a + b - c)x + (a + 2c) = 0 Considerando que 0 = 0x^2 + 0x + 0, você pode escrever: (-a + 3b)x^2 + (2a + b - c)x + (a + 2c) = 0x^2 + 0x + 0 Comparando os coeficientes dos polinômios em cada lado da equação, você vai montar o sistema: -a + 3b = 0 2a + b - c = 0 a + 2c = 0 Resolvendo esse sistema, você vai obter que a única solução possível é a = b = c = 0. Sendo assim, o conjunto {1 + 2x - x^2, x + 3x^2, 2 - x} é LI. Agora você precisa verificar (ii). Para isso, você tem que verificar se é possível escrever qualquer polinômio p(x) = ax^2 + bx + c como combinação linear dos vetores no conjunto {1 + 2x - x^2, x + 3x^2, 2 - x}. Ou seja, dado p(x) = ax^2 + bx + c, você precisa verificar se existem escalares k1, k2 e k3 tais que: k1(1 + 2x - x^2) + k2(x + 3x^2) + k3(2 - x) = ax^2 + bx + c Desenvolvendo o primeiro membro da equação, você tem que: k1 + 2k1x - k1x^2 + k2x + 3k2x^2 + 2k3 - k3x = ax^2 + bx + c (-k1 + 3k2)x^2 + (2k1 + k2 - k3)x + (k1 + 2k3) = ax^2 + bx + c Comparando os coeficientes dos polinômios em cada lado da equação, você vai montar o sistema: -k1 + 3k2 = a 2k1 + k2 - k3 = b k1 + 2k3 = c Resolvendo esse sistema, você vai obter que a única solução possível é: k1 = (-2a + 6b + 3c)/17 k2 = (5a + 2b + c)/17 k3 = (a - 3b + 7c)/17 Sendo assim, é possível escrever qualquer polinômio p(x) = ax^2 + bx + c como combinação linear dos vetores no conjunto {1 + 2x - x^2, x + 3x^2, 2 - x}. Portanto, como (i) e (ii) são verdadeiras, o conjunto {1 + 2x - x^2, x + 3x^2, 2 - x} é base de P2. Ficou clara a resolução? Comente aqui!
@@LCMAquino Você igualou tudo a 0 pra mostrar que é LI, tipo, em que fase dos vetores essa expresso está? Por que eu aprendi a saber se é LI com matrizes e tals, e normalmente era pedido: {(1,2,3),(4,5,6),(7,8,9)} nessa eu já sabia que eram três vetores e resolvia o sistema pra ver se um dependia do outro... Neste caso o senhor igualou tudo a 0 e tals, se no caso dos vetores eu igualasse a 0 iria dar na mesma? Em vez de usar K, eu poderia usar um número real comum pra provar que o segundo é verdadeiro? E este segundo só é verdadeiro por que está tudo em função de variáveis livres? Tipo, se fosse uma solução única e real, então ele só iria gerar apenas 1 polinômio, negando o (ii) né? Enfim, essa questão me fugiu a receita de bolo... De fato que você resolveu através de sistemas...
Danilo, eu vou separar suas perguntas para organizar a resposta. 1) Neste caso o senhor igualou tudo a 0 e tals, se no caso dos vetores eu igualasse a 0 iria dar na mesma? Eu sugiro que você veja a videoaula: ruclips.net/video/T4LLCJHylpQ/видео.html Nessa videoaula eu explico que dado um conjunto QUALQUER de vetores {v1, v2, v3, …, vn}, para verificar se esse conjunto é LI precisamos analisar a equação: a1v1 + a2v2 + a3v3 + … + anvn = 0 Nessa equação, o "0" representa o VETOR NULO do Espaço Vetorial sendo considerado. O conjunto de vetores será LI se a ÚNICA solução dessa equação for a1 = a2 = a3 = … = an = 0 (aqui esse "0" é o escalar zero, isto é, o "número" zero). NÃO IMPORTA se o conjunto é formado por vetores de ℝ^3 (como em {v1 = (1, 2, 3), v2 = (4, 5, 6), v3 = (7, 8, 9)}) ou se é formado por vetores de P2 (como em {v1(x) = 1 + 2x - x^2, v2(x) = x + 3x^2, v3(x) = 2 - x}). Podemos usar a mesma forma de resolver: isto é, analisar a solução daquela equação acima. 2) Em vez de usar K, eu poderia usar um número real comum pra provar que o segundo é verdadeiro? Não poderia. 3) E este segundo só é verdadeiro por que está tudo em função de variáveis livres? Tipo, se fosse uma solução única e real, então ele só iria gerar apenas 1 polinômio, negando o (ii) né? Exato. A solução precisa ficar em função das variáveis livres. Agora ficou mais claro? Comente aqui se ainda ficou com dúvidas!
Oi Alice, eu não fiz um cronograma exato, mas eu tenho seguido mais ou menos a sequência do conteúdo no livro: BOLDRINI, José Luís; et al. Álgebra Linear. Editora Harper & Row do Brasil. São Paulo,1980.
professor estou vendo suas aulas e me bateu uma duvida. nesse video o senhor fala que a determinante sendo diferente de zero e li. e nesse video (Dependência e Independência Linear. | 02. Álgebra Linear.) o senhor diz que li e igual a zero. ai nao entendi. o senhor pode sanar essa minha duvida?
Oi Camilo, na aula "Dependência e Independência Linear. | 02. Álgebra Linear" ( ruclips.net/video/T4LLCJHylpQ/видео.html ), eu expliquei que a equação a1v1 + a2v2 + … + anvn = 0 (aqui 0 sendo o vetor nulo) terá APENAS a solução trivial a1 = a2 = … = an = 0 (aqui 0 sendo o número zero) quando {v1, v2, …, vn} for LI. Por outro lado, se você tem um conjunto com n vetores {v1, v2, …, vn} no espaço vetorial ℝ^n, é possível verificar se esse conjunto de vetores é LI analisando o determinante da matriz formada com as coordenadas desses vetores. Quando esse determinante é diferente de 0, o conjunto será LI. Eu fiz um exercício explicando isso na aula "Exercício #1 - Dependência e Independência Linear. | 03 - Álgebra Linear" ( ruclips.net/video/dzucalitpDM/видео.html ). Para resumir, se o conjunto {v1, v2, …, vn} no ℝ^n for LI, então AS DUAS AFIRMAÇÕES abaixo são verdadeiras: i) a1 = a2 = … = an = 0 é a ÚNICA solução da equação a1v1 + a2v2 + … + anvn = 0; ii) det(M) ≠ 0, onde M é a matriz formada com as coordenadas dos vetores v1, v2, …, vn. Por favor, assista a videoaula com o exercício que citei e comente se sua dúvida foi esclarecida.
Olá, professor. Achei bem interessante a sua explicação, porém quando fui tentar aplicar tive muita dificuldade em uma questão: 𝑣1 = (2,1) e 𝑣2 = (1,1) formam uma base para o ℝ2
Comente aqui a sua tentativa de resolução e diz em qual parte você teve dificuldade. Essa questão que você colocou é muito parecida com o exercício que resolvi aos 6:24 da videoaula.
Oi Gabriel, vamos supor que você montou a equação: (x, y) = a(3, 2) + b(1, 4) Sendo assim, você vai ter o sistema: 3a + b = x 2a + 4b = y Fazendo as contas você deve encontrar: a = (4x - y)/10 b = (- 2x + 3y)/10 Confira suas contas e depois comente aqui o que conseguiu.
@@LCMAquino professor, nao to conseguindo chegar nesses resultados, creio que to fazendo o sistema errado, por qual numero o sr multiplicou pra fazer a soma??
@@ouagaby , temos o sistema: 3a + b = x 2a + 4b = y Multiplicando a primeira equação por -4, temos que: -12a - 4b = -4x 2a + 4b = y Somando as duas equações membro a membro, ficamos com: (-12a - 4b) + (2a + 4b) = -4x + y -12a + 2a = -4x + y -10a = -4x + y Multiplicando ambos os lados por (-1): 10a = 4x - y a = (4x - y)/10 Agora podemos substituir o valor de a em qualquer uma das duas equações anteriores. Por exemplo, substituindo na primeira: 3a + b = x 3[(4x - y)/10] + b = x [(12x - 3y)/10] + b = x [(12x - 3y) + 10b]/10 = x (12x - 3y) + 10b = 10x 10b = 10x - 12x + 3y 10b = -2x + 3y b = (-2x + 3y)/10
@@LCMAquino professor pq nesse caso especifico o senhor dividiu tudo por 10 [(12x - 3y) + 10b]/10 = x nesse momento da expressão usando o método da fração sendo que no exemplo anterior o senhor só jogou a equação de ''a'' que seria [(12x - 3y)/10] pro outro lado da igualdade trocando o sinal, essa foi uma duvida que me surgiu.
@@yurisSilva97 , na verdade, qualquer uma das duas maneiras está correta. Eu não lembro porque eu expliquei aqui nos comentários usando o desenvolvimento com frações. O mais prático nesse caso seria mesmo "jogar" a expressão [(12x - 3y)/10] "para o outro lado" e ficar com b = x - [(12x - 3y)/10].
Olá, professor Aquino. Sou estudante de física do curso de mestrado. Estou me preparando para a disciplina de mecânica quântica, uma disciplina que exige muito conhecimento em álgebra linear. Os quatro módulos deste curso me conduziram muito bem até agora. O senhor tem uma habilidade incrível para ajudar os estudantes na construção do conhecimento. Muito obrigado.
Oi Júlio, fico feliz que minha videoaula esteja lhe ajudando. Desejo bons estudos de Mecânica Quântica!
Professor, você é surreal, é exatamente o que eu precisava.. uma aula que não só se preocupa e falar e mostrar conteúdo, mas em explicar cada detalhe e o significado do que tô aprendendo. Muito obrigado mesmo !
Disponha!
Aquino você é brabo demais, ensina muito bem, parabéns!!
Muito bem explicado! Entendi finalmente.
uma forma diferente de avaliar se aos vetores são geradores do espaço seria verificar se os vetores dados são capazes de gerar a base canônica, pois se eles conseguem gerar os vetores que, por combinação linear, geram todos os outros vetores do espaço vetorial, então, eles são também geradores de todo o espaço.
De fato, essa é outra forma de avaliar!
Olá Professor, suas aulas tem me ajudado bastante no meu curso de graduação! Obrigado pelo conteúdo!
Que bom saber que as aulas estão te ajudando! 😃
Perfeito, professor Aquino! Aula perfeita.
Muito obrigado!
Obrigada Aquino, vc explica muito bem.
Sobre a questão final, achei que esses vetores são sim base de R^2.
Fiz como ensinado, e achei a = (- y + 4x)/10 e b = (3y - 2x) / 10
Verifiquei e realmente gera um vetor qualquer (x,y)
Tbm achei este msm resultado, agora a minha ordem do x e y esta inversa com o x na frente kkk
Cheguei nesse mesmo resultado também, é nóizes!!
Mesmo Aqui
@@gabrielcarvalho3115tanto faz, a soma é comutativa, visto que ali é soma de números reais. Exemplo: Tanto faz somar 2 com 3 ou somar 3 com 2, da no mesmo.
Sensacional professor, com a sua explicação ficou muito fácil entender parabéns e obrigado!.
Muito Obrigada Professor por suas aulas, estou no inicio da graduação em Física e esta muito complicado a matéria de álgebra linear e vetores, mas suas aulas estão ajudando muito a compreender a disciplina e ter boa base para ler os livros.
Tu é foda irmao. Me salvou aqui
Obrigado pela ajuda
Aula muito boa.
ótimo video professor, muito obrigado!
Assistir umas aulas aqui que não gostei .Umas de cálculo.
Mas essa foi fantástica.
Valeu...Excelente aula!
Obrigado! 😃
Professor as aulas ajudarão muito. Pena que eu já fiz a prova antes. Sabe quanto eu tirei?
0 vou me preparar para recuperação tenho certeza que vou tirar um 10 agora. Obrigado
Aquino é top!!!
Obrigado
exceleeeeente
show
Professor, no exercício que fez é mesmo necessário fazer aqueles passos involvendo o a e o b? Não pudemos apenas dizer que já que existem n vetores linearmente independentes pertencentes a R^n que esses vetores seriam sempre bases de R^n?
Nesse seu caso você estaria usando o teorema: se {v1, v2, …, vn} é LI em ℝ^n, então {v1, v2, …, vn} é base de ℝ^n. Desde que você já tenha provado esse teorema antes, então você poderia usá-lo. Entretanto, perceba que esse não é o contexto da videoaula, pois nela apenas fizemos a definição de base.
Quando você fala bem-vindo já contempla todos, sejam de que sexo for...
basta verificar se são paralelos os vetores em R2 e em R3 verifique se os vetores são coplanares, se forem paralelos é LD E se forem coplanares é LD.
professor o senhor poderia me dizer por favor em qual aula que o senhor apresentou essa técnica de atráves do determinante da matriz saber se é li ou ld por favor? Porque não me recordo disso na aula sobre li e ld na playlist de espaço vetorial
Eu apresentei essa técnica na resolução desse exercício: ruclips.net/video/dzucalitpDM/видео.html .
@@LCMAquino obrigada professor
Professor essa parte de tirar o determinante da matriz serve pra todos os casos ?
Não serve para todos os casos. Só serve quando temos n vetores e cada um deles têm n coordenadas. Por exemplo, na videoaula note que os exercícios foram com 2 vetores e cada um deles tinha 2 coordenadas.
O q eu encontraria como resultado sistema caso gerasse apenas um subespaço?
Eu não entendi sua dúvida. Você poderia dar um exemplo?
Professor, posso escolher qualquer vetor para fazer a verificação?
Você se refere aos 13:14 da videoaula? Se for isso, então sim. Você poderia escolher qualquer vetor para verificar.
@@LCMAquino Isso professor!
O resultado do exercício proposto é esse?
a=4x-y/10
b=-2x+3y/10
Se substituir, por exemplo x=1 e y=5, é para dar certo né?
No exercício final você precisa fazer duas coisas:
(i) verificar que {(3, 2), (1, 4)} é LI;
(ii) verificar que {(3, 2), (1, 4)} gera ℝ²;
Ao resolver a parte (ii), você deve encontrar:
a = (4x - y)/10
b = (- 2x + 3y)/10
Obs.: cuidado, pois você esqueceu de escrever os parênteses! Por exemplo, ao escrever a = 4x - y/10 nós temos a fração com o numerador - y e o denominador 10. Por outro lado, ao escrever a = (4x - y)/10 nós temos a fração com numerador (4x - y) e denominador 10.
Você pode escolher qualquer ponto de ℝ² para testar suas contas. Por exemplo, escolhendo (x, y) = (1, 5) como você mencionou, vamos encontrar:
a = [(4·1) - 5]/10 = -1/10
b = {[(- 2)·1] + 3·5}/10 = 13/10
Ou seja, temos que:
(1, 5) = (-1/10)(3, 2) + (13/10)(1, 4)
@@LCMAquino Fiz ontem e deu certo professor!
Obrigado por responder e pela orientação sobre os parênteses!!
@@LCMAquino professor, tava errando justamente nisso, mas tinha entendido toda a questão, muito obrigado o senhor é exemplar, tirei 8.5 na média de álgebra linear graças a suas aulas
Professor, ser gerador do espaço V é o mesmo que ser gerador do subespaço W (no caso sendo w o subconjunto formado por todas as C.L dos vetores de V) ?
Olá Nickolas, veja a videoaula 6 onde eu falo sobre geradores: ruclips.net/video/ajhvzTquETs/видео.html . Eu acho que vai ficar mais claro.
@@LCMAquino dei uma assistida professor. Ficou mais claro mesmo, mas ainda tenho uma dúvida. Naquele caso, o senhor definiu W como um subespaço formado por todas as C.L de certos vetores quaisquer do espaço V né? Estes vetores quaisquer são então geradores de W, pois conseguem formar todos os elementos de W a partir da C.L.
Sendo agora a base uma geradora de V, e não mais apenas de um subespaço de V, ela então forma qualquer elemento do próprio V? Uma base de R² forma todos os elementos de R²?
É só pra saber se o que eu entendi está certo
obrigado, professor !
Vou separar suas perguntas para facilitar a resposta.
1) Sendo agora a base uma geradora de V, e não mais apenas de um subespaço de V, ela então forma qualquer elemento do próprio V?
Sim. Se {v1, v2, …, vn} é uma base de V, então qualquer elemento v de V que você pegar, você vai poder escrever que:
v = a1v1 + a2v2 + … + anvn
Isto é, v será formado por uma combinação linear dos elementos da base de V.
2) Uma base de R² forma todos os elementos de R²?
Sim. Vide a resposta anterior. Basta ter, por exemplo, a base {(1, 0), (0, 1)}. Veja que dado qualquer (x, y) de ℝ², podemos escrever que:
(x, y) = x(1, 0) + y(0, 1).
Ou seja, (x, y) será formado por uma combinação linear dos elementos da base de ℝ².
Agora sua dúvida foi esclarecida? Comente aqui!
foi sim! muito obrigado professor
Prof, LI = 0 e LD é diferente de zero, não?
Você se refere ao determinante da matriz formada com os vetores que desejamos testar? Se for isso, então o determinante igual a 0 indica que os vetores são LD. Se o determinante for diferente de 0, então indica que os vetores são LI.
{1+2x-x^2, x+3x^2, 2-x} é base de P2? Polinômios de segundo grau.
Oi Danilo, você precisa verificar se duas coisas são verdadeiras:
(i) {1 + 2x - x^2, x + 3x^2, 2 - x} é LI;
(ii) {1 + 2x - x^2, x + 3x^2, 2 - x} gera P2;
Para verificar (i), comece desenvolvendo a equação:
a(1 + 2x - x^2) + b(x + 3x^2) + c(2 - x) = 0
a + 2ax - ax^2 + bx + 3bx^2 + 2c - cx = 0
(-a + 3b)x^2 + (2a + b - c)x + (a + 2c) = 0
Considerando que 0 = 0x^2 + 0x + 0, você pode escrever:
(-a + 3b)x^2 + (2a + b - c)x + (a + 2c) = 0x^2 + 0x + 0
Comparando os coeficientes dos polinômios em cada lado da equação, você vai montar o sistema:
-a + 3b = 0
2a + b - c = 0
a + 2c = 0
Resolvendo esse sistema, você vai obter que a única solução possível é a = b = c = 0. Sendo assim, o conjunto {1 + 2x - x^2, x + 3x^2, 2 - x} é LI.
Agora você precisa verificar (ii). Para isso, você tem que verificar se é possível escrever qualquer polinômio p(x) = ax^2 + bx + c como combinação linear dos vetores no conjunto {1 + 2x - x^2, x + 3x^2, 2 - x}. Ou seja, dado p(x) = ax^2 + bx + c, você precisa verificar se existem escalares k1, k2 e k3 tais que:
k1(1 + 2x - x^2) + k2(x + 3x^2) + k3(2 - x) = ax^2 + bx + c
Desenvolvendo o primeiro membro da equação, você tem que:
k1 + 2k1x - k1x^2 + k2x + 3k2x^2 + 2k3 - k3x = ax^2 + bx + c
(-k1 + 3k2)x^2 + (2k1 + k2 - k3)x + (k1 + 2k3) = ax^2 + bx + c
Comparando os coeficientes dos polinômios em cada lado da equação, você vai montar o sistema:
-k1 + 3k2 = a
2k1 + k2 - k3 = b
k1 + 2k3 = c
Resolvendo esse sistema, você vai obter que a única solução possível é:
k1 = (-2a + 6b + 3c)/17
k2 = (5a + 2b + c)/17
k3 = (a - 3b + 7c)/17
Sendo assim, é possível escrever qualquer polinômio p(x) = ax^2 + bx + c como combinação linear dos vetores no conjunto {1 + 2x - x^2, x + 3x^2, 2 - x}.
Portanto, como (i) e (ii) são verdadeiras, o conjunto {1 + 2x - x^2, x + 3x^2, 2 - x} é base de P2.
Ficou clara a resolução? Comente aqui!
@@LCMAquino
Você igualou tudo a 0 pra mostrar que é LI, tipo, em que fase dos vetores essa expresso está? Por que eu aprendi a saber se é LI com matrizes e tals, e normalmente era pedido:
{(1,2,3),(4,5,6),(7,8,9)} nessa eu já sabia que eram três vetores e resolvia o sistema pra ver se um dependia do outro... Neste caso o senhor igualou tudo a 0 e tals, se no caso dos vetores eu igualasse a 0 iria dar na mesma?
Em vez de usar K, eu poderia usar um número real comum pra provar que o segundo é verdadeiro?
E este segundo só é verdadeiro por que está tudo em função de variáveis livres? Tipo, se fosse uma solução única e real, então ele só iria gerar apenas 1 polinômio, negando o (ii) né?
Enfim, essa questão me fugiu a receita de bolo... De fato que você resolveu através de sistemas...
Danilo, eu vou separar suas perguntas para organizar a resposta.
1) Neste caso o senhor igualou tudo a 0 e tals, se no caso dos vetores eu igualasse a 0 iria dar na mesma?
Eu sugiro que você veja a videoaula: ruclips.net/video/T4LLCJHylpQ/видео.html
Nessa videoaula eu explico que dado um conjunto QUALQUER de vetores {v1, v2, v3, …, vn}, para verificar se esse conjunto é LI precisamos analisar a equação:
a1v1 + a2v2 + a3v3 + … + anvn = 0
Nessa equação, o "0" representa o VETOR NULO do Espaço Vetorial sendo considerado. O conjunto de vetores será LI se a ÚNICA solução dessa equação for a1 = a2 = a3 = … = an = 0 (aqui esse "0" é o escalar zero, isto é, o "número" zero).
NÃO IMPORTA se o conjunto é formado por vetores de ℝ^3 (como em {v1 = (1, 2, 3), v2 = (4, 5, 6), v3 = (7, 8, 9)}) ou se é formado por vetores de P2 (como em {v1(x) = 1 + 2x - x^2, v2(x) = x + 3x^2, v3(x) = 2 - x}). Podemos usar a mesma forma de resolver: isto é, analisar a solução daquela equação acima.
2) Em vez de usar K, eu poderia usar um número real comum pra provar que o segundo é verdadeiro?
Não poderia.
3) E este segundo só é verdadeiro por que está tudo em função de variáveis livres? Tipo, se fosse uma solução única e real, então ele só iria gerar apenas 1 polinômio, negando o (ii) né?
Exato. A solução precisa ficar em função das variáveis livres.
Agora ficou mais claro? Comente aqui se ainda ficou com dúvidas!
Olá! Por acaso tem algum cronograma com os próximos tópicos dos vídeos?
Oi Alice, eu não fiz um cronograma exato, mas eu tenho seguido mais ou menos a sequência do conteúdo no livro:
BOLDRINI, José Luís; et al. Álgebra Linear. Editora Harper & Row do Brasil. São Paulo,1980.
professor estou vendo suas aulas e me bateu uma duvida. nesse video o senhor fala que a determinante sendo diferente de zero e li. e nesse video (Dependência e Independência Linear. | 02. Álgebra Linear.) o senhor diz que li e igual a zero. ai nao entendi. o senhor pode sanar essa minha duvida?
Oi Camilo, na aula "Dependência e Independência Linear. | 02. Álgebra Linear" ( ruclips.net/video/T4LLCJHylpQ/видео.html ), eu expliquei que a equação a1v1 + a2v2 + … + anvn = 0 (aqui 0 sendo o vetor nulo) terá APENAS a solução trivial a1 = a2 = … = an = 0 (aqui 0 sendo o número zero) quando {v1, v2, …, vn} for LI.
Por outro lado, se você tem um conjunto com n vetores {v1, v2, …, vn} no espaço vetorial ℝ^n, é possível verificar se esse conjunto de vetores é LI analisando o determinante da matriz formada com as coordenadas desses vetores. Quando esse determinante é diferente de 0, o conjunto será LI. Eu fiz um exercício explicando isso na aula "Exercício #1 - Dependência e Independência Linear. | 03 - Álgebra Linear" ( ruclips.net/video/dzucalitpDM/видео.html ).
Para resumir, se o conjunto {v1, v2, …, vn} no ℝ^n for LI, então AS DUAS AFIRMAÇÕES abaixo são verdadeiras:
i) a1 = a2 = … = an = 0 é a ÚNICA solução da equação a1v1 + a2v2 + … + anvn = 0;
ii) det(M) ≠ 0, onde M é a matriz formada com as coordenadas dos vetores v1, v2, …, vn.
Por favor, assista a videoaula com o exercício que citei e comente se sua dúvida foi esclarecida.
@@LCMAquino ok professor irei ver a aula e já deu pra compreender um pouco mais. Obrigado
Algebra linear é MT lindo
Olá, professor. Achei bem interessante a sua explicação, porém quando fui tentar aplicar tive muita dificuldade em uma questão:
𝑣1 = (2,1) e 𝑣2 = (1,1) formam uma base
para o ℝ2
Comente aqui a sua tentativa de resolução e diz em qual parte você teve dificuldade. Essa questão que você colocou é muito parecida com o exercício que resolvi aos 6:24 da videoaula.
@@LCMAquino
Poxa, valeu professor. Acabei de assistir o vídeo com bastante atenção e dessa vez eu consegui. Valeu demais, obrigado.
@@fredysilva1315 , que bom que você conseguiu! Agora é fazer mais exercícios para treinar!
Como eu posso ter certeza que um conjunto não gera um espaço?
Você pode ter certeza disso se for possível encontrar um elemento do espaço que NÃO SEJA escrito como combinação linear dos elementos no conjunto.
@@LCMAquino então só consigo ter certeza encontrando um contra-exemplo?
@@miranhabrabo158 , basicamente, sim.
Olá professor, encontrei esses resultados:
a= -4x+y/-10. b= -12x-7y/-10
Será que o Sr poderia me dizer se está correto?
Lhe agradeço desde já 👍
Oi Gabriel, vamos supor que você montou a equação:
(x, y) = a(3, 2) + b(1, 4)
Sendo assim, você vai ter o sistema:
3a + b = x
2a + 4b = y
Fazendo as contas você deve encontrar:
a = (4x - y)/10
b = (- 2x + 3y)/10
Confira suas contas e depois comente aqui o que conseguiu.
@@LCMAquino professor, nao to conseguindo chegar nesses resultados, creio que to fazendo o sistema errado, por qual numero o sr multiplicou pra fazer a soma??
@@ouagaby , temos o sistema:
3a + b = x
2a + 4b = y
Multiplicando a primeira equação por -4, temos que:
-12a - 4b = -4x
2a + 4b = y
Somando as duas equações membro a membro, ficamos com:
(-12a - 4b) + (2a + 4b) = -4x + y
-12a + 2a = -4x + y
-10a = -4x + y
Multiplicando ambos os lados por (-1):
10a = 4x - y
a = (4x - y)/10
Agora podemos substituir o valor de a em qualquer uma das duas equações anteriores. Por exemplo, substituindo na primeira:
3a + b = x
3[(4x - y)/10] + b = x
[(12x - 3y)/10] + b = x
[(12x - 3y) + 10b]/10 = x
(12x - 3y) + 10b = 10x
10b = 10x - 12x + 3y
10b = -2x + 3y
b = (-2x + 3y)/10
@@LCMAquino professor pq nesse caso especifico o senhor dividiu tudo por 10 [(12x - 3y) + 10b]/10 = x nesse momento da expressão usando o método da fração sendo que no exemplo anterior o senhor só jogou a equação de ''a'' que seria [(12x - 3y)/10] pro outro lado da igualdade trocando o sinal, essa foi uma duvida que me surgiu.
@@yurisSilva97 , na verdade, qualquer uma das duas maneiras está correta. Eu não lembro porque eu expliquei aqui nos comentários usando o desenvolvimento com frações. O mais prático nesse caso seria mesmo "jogar" a expressão [(12x - 3y)/10] "para o outro lado" e ficar com b = x - [(12x - 3y)/10].
meu b deu b= -2x - 3y/10 . ta correto ?
No exercício do final seria a = (4x - y)/10 e b = (-2x + 3y)/10. Confere suas contas e depois comenta aqui se conseguiu.
Aula excelente.
Obrigado! 😃
Excelente aula...