Сумма косинусов ▶ №263 (Блок - интересные задачи)
HTML-код
- Опубликовано: 29 сен 2024
- Разбор интересной задачи.
Соц. сети: taplink.cc/pbv...
Запись на занятия и методички: t.me/PBVmaths_bot
Задачи присылайте через кнопку "Связаться" в группе ВК или на почту pbvmaths@gmail.com
По вопросам рекламы и сотрудничества: pbvmaths.comercial@gmail.com
Дзен : dzen.ru/id/642...
Rutube : rutube.ru/chan...
Поддержать канал: new.donatepay....
Бусти: boosty.to/pbvm...
Всё верно. Максимальная сумма cos(x)+cos(y)+cos(z) при ограничении x+y+z=180 градусов равна 3/2
Еще только прочитав условие задачи подумал, что максимум будет, если все углы треугольника будут равны между собой. И решение это подтвердило.
Предлагаю обобщить данную задачу: какова наибольшая и наименьшая сумма косинусов (синусов) в ЛЮБОМ треугольнике (рассматривая и вырожденные треугольники тоже)
Можно написать неравенство Йенсенна и понять, что сумма трёх косинусов не больше 3, при этом равенство достигается только если два угла по 0 градусов и один 180
Косинус развёрнутого угла вроде бы минус единица. Так что 1+1-1=1. С другой стороны, для вырожденного в полуполосу треугольника косинусы прямых углов - это нули, и 0+0+1=1. Опять единица, как ни крути.
@@ЖеняШешуков-ч9ы, по неравенству Йенсена получится, что она не больше 3/2, и равенство достигается только в правильном треугольнике.
Эту задачу также можно решить следующим образом: как известно, cosx+cosy+cosz=r/R+1≤3/2 в силу формулы Эйлера (d^2=R^2-2Rr)
@@romansharafutdinov5262 Отличное решение!
- Гоги, дакажи щто эта равнабэдрэный трэуголник.
- Мамой клянусь!
1.5. 2cosx-cos2x.
1.5
Молодец, попытался реализовать идею с исчезновением себя, а потом падением микрофона. Правда выглядит коряво, но если подумаешь, сможешь получше. Удачи.
Условие равнобедренности лишнее. Без него результат тот же.
Интересная задача, как ни странно я её решил, хотя с тригонометрией не дружу, пришлось подсматривать формулы приведения. Ну и вершину параболы нашел с помощью производной, не знал я той более простой формулы.
А чтобы в равнобедренном треугольнике сумма синусов была меньше, чем сумма косинусов, углы при основании должны быть максимум примерно по 16
градусов...
Всё строго и чётко. Ни одного лишнего слова.
Приятно посмотреть и послушать. Спасибо.
Рад, что вам нравится!
То, что максимум достигается в равностороннем треугольнике, очевидным образом следует из соображений симметрии :-).
Для функции вида f(x) = -2cosx*cosx+2cosx+1 через производную находим максимум. Скорее всего, он при угле в 60 градусов.
Условие задачи не полное. Необходимо уточнить, в мирное время или в военное и в какой стране😂
Не согласен с решением. Не рассмотрен еще один случай. В решении не обосновано ,почему экстремумы квадратичного уравнения после замены будут такими же у исходной функции (косинус осциллирует, поэтому сложная функция имеет и другие экстремумы). Надо использовать производную сложной функции, приравнять ее нулю и получить два варинта экстремума для косинуса: а) sqrt(2)/2 б) 0.5
Потом проверить сумму косинусов и получить два экстремума:
1) 1,5
2) sqrt(2) (что близко к 1,5, но по счастливому стечению обстоятельств меньше, чем 1,5)
Косинус 90 градусов равен 0, а не 1. Экстремум в данном случае абсолютный, поэтому он при замене сохраняется, если только точка экстремума входит в область значений формулы замены, что было проверено.
@@pskv20 да, насчет косинуса 90 опечатался. Тем не менее, откуда при решении можно заранее знать абсолютный это экстремум или нет? Когда знаешь график функции и другие экстремумы, то уже легко рассуждать. Однако переход не объяснен
@@pskv20например, если мы в задаче захотим искать максимальное (или минимальное) значение суммы синусов, то в итоге будет аналогичная парабола, и такие же рассуждения, как у автора, приведут к потере подходящего случая.
@@nickkarlov853не очень понял, какая с синусами парабола. Там будет 2*sin(a)*(1+cos(a)), не вижу, как это к квадратичной функции привести.
Максимальное значение выражения не зависит от того, что считается независимой переменной (а вот локальный экстремум - да, может зависеть, что вы вероятно и имели в виду). Нужно только проверить его достижимость.
В данном случае имеет значение только то что функция косинуса может занимать все значения от -1 до 1. Остальные её свойства не имеют значения. Нам в
общем то насрать какие там будет угол в аргументе, главное это значение его косинуса. Это уж потом когда мы нашли максимум, мы смотрим что за угол, и существует ли такой треугольник.
Тривиальная задачка, ее сможет решить даже почти хороший двоечник, которым ты и являешься.
Скажите, называние других двоечниками помогает вам бороться с комплексами?)
@@PBVmaths а причем тут комплексы? Задачи которых полным полно в учебниках, да еще и тривиальных. Обсуждать их - означает вы дегенерат или агрегат.
Хм, интересная логика) Давайте в целом прекратим обсуждать то, что мы уже знаем, чтобы подрастающим поколениям это было недоступно. Пусть они сами все открывают заново)
В военное время косинус может достигать значение 4😅
Надеюсь этот канал будет расти, доказательство без воды и хорошим объяснением. Успехов!
Блин, навскидку думал что около 2~2пи
так и есть, cos0 + cos0 + cos180 = 1 + 1 + 0 = 2, при основании почти 0, третий почти 180, на выходе почти 2
я большую чушь сморозил cos0 + cos0 + cos180 = 1 + 1 + (-1) = 1
Собственно спасибо за видео, собственно так-то за идею большое, собственно, но спасибо. Собственно
А для синусов результат будет ~3, но чуть-чуть поменьше?
Для синусов максимум 3√3/2 ≈ 2,598
И достигается тоже у раностороннего треугольника.
Спосибо!
Пожолуйсто)
Мне кажется не хватает пояснения по поводу формулы привидения cos(180 - 2a). В общем случае 2а должно быть острым углом, в нашем - угол тупой (2а = 2 * 60 = 120). Т.е. как бы формула приведения не работает.
Чушь, cos(180 - 2a) равен (-cos2a) при всех углах 2а, не обязательно острых. Формула косинуса разности углов вам в помощь
@@ДендроидВиверновичДраконов В видео ясно сказано "Воспользуемся формулой приведения...". По этому я и говорю что нужно пояснить.
Ответ лишь один. Не должно.
Если угол лежит в первой четверти - это лишь проще представлять в голове, и не более того. А сам 2a может быть абсолютно какой угодно.
cos 120º = − 0.5
Неравенство Йенсена: придержите моё пиво; (Знаю, что это не из школьной программы и что решение автора чёткое и на уровне школьных знаний)
А как же рассмотреть вырожденные случаи треугольника, когда углы при основании по нулям?)
А если серьезно, то, когда мы получили квадратичное уравнение по косинусам, разве нельзя найти необходимые значения через производные? Обычно же их используют для поиска максимумов и минимумов.
Можно, но смысл, если исследовать квадратичную функцию проще без производных)
Вырожденный треугольник это либо 0+0+180 либо 90+90+0. В обоих случаях сумма косинусов равна 1, что явно меньше, чем 1.5 в равностороннем
@@hktundra в любом случае, рассмотреть такой случай отдельно, наверное, было бы можно, да и времени сильно много не отняло. Да и в целом это была скорее шутка.
@@МониторКлавиатурович-з3ш Зачем? У функции только один максимум, рассмотрение других вариантов, говрит, что рассматривающий не понимает, что делает.
@@hktundra cos0 + cos0 + cos180 = 1 + 1 + 0 = 2