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Hey, gibt es eine einfach Möglichkeit auszurechnen, wieviel Geld ich nach 20 Jahren habe, wenn ich 100k Startkapital habe und der jährliche Zins bei 5% liegt? Ich habe das mal mit Excel gemacht, aber empfinde es als umständlich. MUss natürlich auch den Zinsensins berücksichtigen
@@Euathlus1985 Natürlich - das ist die Ausgangsformel am Anfang des Videos: Kn = K0 * (1 + P/100)^n Mit n=20, K0=100k und P=5 kommst du auf 265,3k (ich würde bei so einer langen Laufzeit aber ehrlich gesagt einen weltweit investierenden ETF nehmen)
@@Euathlus1985 100.000 * (1,05)^20 = 265.329,77 € oder 100.000 * 20 * 0,1325---- Das 1. ist genau aber ohne Steuerabzug das 2. ist ca. mit Steuerabzug.
Ey, ich bin 30, Hauptberuflich im Maschinenbau/Elektrotechnik angestellt, (noch) privater Immobilieninvestor und bin fasziniert, wie analytisch und logisch man so Sachen aufdröseln kann, wie so ein Grundschüler 😅 erschreckend! 😂 Super Arbeit! Wie immer 😊
Ich hab vor einer weile eine Weiterbildung zum Beruf Spezialisten für Theatertechnik(Theatermeister) angefangen und hab dafür einen Vorbereitungskurs Mathe/Physik gemacht. Es ist faszinierend. Ich bin jetzt über über 20 Jahre aus der Schule raus und hab jetzt meine Faszination für Mathematik entdeckt. Ich muss viel nachholen aber deine Videos sind enorm gut erklärt und nachvollziehbar. Gerade als "Altsemester" wie ich ist es sehr gut deine Videos zu schauen. Danke.
Das ist wieder mal super erklärt. Ich hätte das nicht mehr bewußt, obwohl in Mathe immer sehr gut war. Aber ich bin jetzt auch fast 84 Jahre alt. Vielen Dank für die interessanten Aufgaben, Mit freundlichen Gruß Reiner Cremer
Es gibt übrigens eine nette Überschlagsrechnung für Kapitalverdopplung in Jahren bei gegebenem Zinssatz p: 70/p≈n Beispiel: 70 Jahre bei 5% -> 70/5 = 14. Exakter Wert: 14,2
Ja, das ist (gerundet) das erste Glied der Laurent-Reihenentwicklung von ln(2)/ln(1+p/100) um den singulären Punkt p0=0. Exakt lautet das erste Glied 100 ln(2)/p, also etwa 69,3/p oder aufgerundet die von Dir genannten 70/p. Du könntest Dein Ergebnis sogar noch verbessern, wenn Du das Folgeglied mitnimmst: 70/p + 0,35. Wenn Du Susannes Ergebnis mit der Verdreifachung haben möchtest, dann musst Du die Näherung 100 ln(3)/p verwenden, also etwa 110/p = 22 rechnen. Die ersten beiden Glieder der Reihe lauten gerundet 110/p + 0,55, also hier 110/5 + 0,55 = 22,55 - schon recht nah an Susannes Ergebnis. Generell findest Du für eine Ver-n-fachung des Ausgangskapitals die Näherung 100 ln(n)/p bzw. 100 ln(n)/p + ln(p)/2. 🙂
@@user-cg7zn8ey5k Danke. Super Info. Aber es geht um die Kopfrechnung. Wenn man Dir 1% am Sparbuch bietet, solltest Du wissen dass es rund 70 Jahre dauert, bis sich Dein Kapital verdoppelt. Ohne solche Kleinigkeiten wie KESt oder Inflation. :))
@@detlevuhrig6065 Nein, die beste Näherung erster Ordnung ist 100*ln(2)/p, also etwa 69.31471805599453/p. Das lässt sich halt nur schlecht im Kopf rechnen. Daher rundet man auf 70 oder 72. Die Zahl 70 lässt sich ohne Rest durch die sieben Zahlen 2, 5, 7, 10, 14, 35 und 70 dividieren, die Zahl 72 lässt die zwölf Zahlen 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 und 72 dividieren. Daher bietet sich für das Kopfrechnen 72 an. Für eine "Abschätzung" macht das aber keinen nennenswerten Unterschied.
Tolle Erklärung. Der Vollständigkeit halber müsstest Du präzisieren, dass es sich um einen Zinssatz pro Anno bei nachträglicher Verzinsung handelt, ebenso die deutsche Inlandsmethode, also 360 Tage.
Hallo!👋Ich wollte dir mal sagen, dass ich finde, dass du einen echt tollen Job hier machst :) Habe dieses Jahr mein Abitur gemacht und vorher ein paar deiner Videos zu Themen, die ich noch nicht gut konnte, geschaut. Da du den Lösungsweg und die Logik dahinter so sorgfältig erklärst, dass wirklich jeder im Boot ist, hat es mir echt geholfen! Gerade wenn man irgendwo Lücken hat (hatte ich, weil ich früher echt faul war) hilft das so viel! Deine sind auch die einzigen Mathe-Videos, die mir wirklich Spaß machen und die ich auch jetzt noch gerne anschaue bzw. bei denen ich mitrechne 😇
Herzlichen Dank für diese Aufgabe 🙏 Mein Lösungsvorschlag lautet: A= P*(1+r)ᵗ, bei dieser Gleichung: A: Die Summe die man nach Jahren bekommt, Endbilanz P: Kapital r: Zinssatz t: Zeit Somit hätten wir: A= 3*P (6000 €) P= (2000 €) r= 5/100 r= 0,05 3P=P*(1+0,05)ᵗ 3= (1+0,05)ᵗ log3= t*log1,05 t= log3/log1,05 t= 0,47712/0,021189 t = 22,517 Jahren t ≅ 22,5 Jahren wären notwendig so dass sich das Kapitel verdreichfacht 🤗
Ob das im wirklichen Leben auch so ist ? 🤔 Wir haben eine Inflationsrate durchschnittlich 7 % und bei einem Zinssatz von 5 %, hätten wir einen Verlust pro Jahr von 2 %. Die Frage wäre, was würde mit dem Geld unter diesen Umständen nach 22,5 Jahren passieren ? A= P*(1-r)ᵗ diesmal minus Zeichen wegen dem Verlust ! A= 2000*(1-0,02)²²,⁵⁰ ᵗ A= 1269,45 € würde man bekommen. Selbst wenn die Bank uns diese 6000 € auszahlen würde, hätte diese Summe nur eine Kaufkraft von 1269,45 €, oder auch äquivalent zu dieser Summe. Der Zinssatz sollte immer höher als die Inflationsrate sein, wenn es gleich wäre, würde das Geld an Wert nicht verlieren, wenn es höher ist, könnte man dadurch noch Geld verdienen, sonst würde das Geld mit der Zeit durch Verluste schrumpfen. Welche Bank gibt heutzutage einen höheren Zinssatz als die Inflationsrate, das könnte man sich fragen........Ist dann der Zinssatz nur ein psychologischer Effekt ?
Bisher konnte ich - 26 Jahre nach meinem Abi - immer noch gut mithalten, aber den Logarithmus hatte ich völlig verdrängt. Name war natürlich noch bekannt, aber wofür man den braucht??? Danke für die Auffrischung. PS: Ausnahmsweise nicht nur in schwarz war auch eine positive Überraschung.
Einfacher? Wieso? Sicher, log3(3) ist zwar 1, aber log3(1,05) lässt sich nicht so einfach ausrechnen, denn denn die meisten Taschenrechner bieten nicht die Möglichkeit, Logarithmen zu beliebiger Basis zu nehmen. Man muss darauf zurückgreifen, dass log(basis x)(y) = log(basis z)(y)/log(basis z)(x) ist, wobei wir uns z beliebig aussuchen können (also z.B. 10 oder e). Wir kommen also nicht daran vorbei, dass n entweder log(3)/log(1,05) oder ln(3)/ln(1,05) ist.
@@rainerinedinburgh5807 Ob man ln von 1,05 oder log(3) von 1,05 in den Rechner tippt ist auch schon egal, denn im Kopf geht beides nicht. Aber selbstverständlich nur wenn es der Taschenrechner auch kann, da haben Sie freilich recht. Mein TI 30 X Pro hat die Taste lnlog. Drückt man einmal hat man den 10er log, drückt man 2Mal den ln und drückt man 3x, so kann man den log mit frei wählbarer Basis berechnen. Vielleicht kann's ja Ihrer auch?
Habe ich genauso gemacht. Dies bietet sich in diesem Fall einfach an. Bei krummen Zahlen - nach wie vielen Jahren - erhöht sich das Kapital um 250% - würde ich aber den anderen Lösungsweg beschreiten, da mein Taschenrechner hier streiken würde 🤔
Toll erklärt, aber eine ziemlich einfache Problemstellung. Mach doch mal ein entsprechendes Video zu Zerfallsprozessen, z.B der Halbwertszeit. Liebe Grüße, Andreas
Interessant auch: bei monatlicher Zinsauszahlung ist die Verdreifachung bereits nach 22,0 Jahren erreicht, weil die Zinsen dann jeweils mit verzinst werden. (Dazu einfach den Zinssatz durch 12 teilen - Ergebnis ist dann in Monaten)
Ich würde mich über die Herleitung der Formel wirklich freuen. Hat unser ReWe Prof früher immer mit uns gemacht. Was haben wir ihn damals gehasst... Heute sieht das anders aus!
Im 1. Jahr wird einfach das Startkapital verzinst: K_1 = K_0 + K_0 * p = K_0 (1 + p) Im 2. Jahr werden das Startkapital und die Zinsen aus dem 1. Jahr verzinst: K_2 = K_1 + K_1 * p = K_0 (1 + p) + K_0 (1 + p) * p = K_0 (1 + p) (1 + p) = K_0 (1 + p)² usw.; mathematisch leicht mit vollständiger Induktion beweisbar.
Du könntest noch erklären, dass für kleine Zinssätze p gilt, dass ln(1 + p/100) ungefähr p ist und somit die Rechnung auch ohne Taschenrechner möglich ist
Der dreifache Wert nicht nach 22.5 Jahren erreicht, sondern erst nach 23; dann wenn der letzte Zins hinzukommt. Für eine monatliche Abrechnung müssten wir die Zahlen anpassen und wären 9 Monate früher am Ziel.
Wäre das dann auch eine vereinfachte Variant, beim Einsetzen der Endformel ln(x)/ln(1,0y)=Jahre Wobei x für Faktor der Vervielfachung ist und y der Prozentsatz mit dem das Geld angelegt wird?
Toller Kanal! Wie sieht die Formel zur realen Kaufkraftverdreifachung aus, also in wieviel Jahren wäre das Kapital inflationsvereinigt verdreifacht, wenn 2000 Euro 5% Rendite abwerfen, die Inflation 6% p.a. beträgt und auf die Zins-/Dividendeneinnahmen 28% (25%+Soli+Kirchensteuer) Steuern jährlich zu zahlen sind?
Wenn die Inflation höher ist als der Nominalzins, kommst du NIE ins Plus, geschweige auf eine Verdreifachung. Eine Steuer verschlimmert die Situation logischerweise noch zusätzlich. Zum Rechnen einfach statt 1,05 den Ausdruck (1,05 * (1-0,28) - 1,06) einsetzen.
sehr interessant - mich interessiert, wieviel von einem kredit von 300000 € zu einem zins von 5% bei einer annuitätentilgung von 3% nach 10 jahren abgetragen ist
Ist es korrekt, dass diese Rechnung nur stimmt, wenn der Zins - und Zinseszinssatz jährlich zum Kapital zugerechnet wird. Bei einer vierteljährlichen oder monatlichen Ausschüttung müsste sich der Wert verkürzen.
@@hans7831 Bei einer vierteljährlichen Ausschüttung der 5% Jahreszinsen muss man mit 1,0125 rechnen und kommt nicht auf 1/4 der Jahre sondern auf 22,1 Jahre. Bei einer vierteljährlichen Ausschüttung von 5% Quartalszins muss man weiter mit 1,05 rechnen kommt aber auf ein Viertel der Jahre (5,63 Jahre).
@@robinhuebner66 Wie oben geschrieben kommen die ¼Jahre heraus, also nach 88,437 Vierteljahren oder nach dem 89. Vierteljahr hast Du das Anfangskapital verdreifacht.
Normalerweise stellt man erst die Gleichung um und setzt dann die Zahlenwerte ein. Dann sieht man auch schöner, dass das K0 gleich am Anfang rausfliegt. Wenigstens etwas, was ich von damals behalten habe.
Das Video enthält eine Inkonsistenz in der Notation. Wenn p für den Zinssatz steht, also hier für 5%, dann darf in der Formel nicht der Nenner 100 auftauchen, da p bereits den Wert 5/100 besitzt. Will man dagegen in der Formel den Nenner 100 haben, darf man p nicht gleich 5%, sondern muss p gleich 5 setzen. Für die Antwort auf die Frage müsste man wissen, nach welchen Zeiträumen verzinst wird. Geht man von einer jährlichen Verzinsung aus, bekäme man 23 Jahre heraus.
Sehr interessant ich bin Jahrgang 1960 und frische mein Wissen auf. 1,05^x=3 sehe ich sofort, gebe ich so in den Solver ein, darum ist dein Ln(3)/Ln(1,05) das was ich nun gelernt habe. Ich meine, dass die Basis des Logarithmus in dieser Rechnung keine Rolle spielt. Darum ginge hier auch Log (3)/Log(1,05) oder jede beliebige andere Basis.
Auf die Art kann man auch den Kaufkraftverlust durch Inflation berechnen! Der Prozentsatz ist dabei der Inflationssatz (z.B. aktuell 8%) und K0 sind 100 €, Kp sind 200 €, d.h. Kaufkraftverlust von 50%. Da schlackern einem die Ohren, wie sich der Geldwert in Luft auflöst!
Ich habe eine ernst gemeinte Frage, warum bei Prozentrechnung immer die obligatorische mal 100 oder geteilt durch 100 drangehangen wird. 0:58 Wenn p=5% (beachte, da steht schon Prozent) dann ergibt die Klammer nicht 1,05, sondern 1,0005). Habe ich hier einen Denkfehler, oder ist das einfach Service am idiotismus ?
was passiert mit der Kaufkraft, wenn ab dem zehnten Jahr eine Inflation von 7,5 % p.a. einsetzt (Inflation Jahre 1-9 = 0%)? Wäre doch mal eine aktuelle Aufgabe b)
Hi Susanne, Ja, den natürlichen Logarithmus zu verwenden, ist eine sinnvolle Entscheidung, denn die Taschenrechner und die Computer-Programmiersprachen bieten in jedem Fall diese Funktion an, den dekadischen nicht immer. ❤liche Grüße
Es ist egal, welche Basis der Logarithmus hat, es muss nur überall dieselbe sein. Und Naturwissenschaftler verwenden grundsätzlich den Briggsschen Logarithmus, nicht den natürlichen! Allein schon, weil man damit die Größenordnung besser abschätzen kann.
@@Nikioko Hallo Nikioko, danke für deine Nachricht. Habe den Ausdruck "Briggsscher Logarithmus" für den dekadischen Logarithmus noch nicht gehört- habe wieder etwas gelernt. Beim Programmieren hat man halt manchmal nur den natürlichen Logarithmus oder die Winkelfunktionen nur im Bogenmaß. Dann muss man halt vor und nach der Verarbeitung umrechnen.
@@uwelinzbauer3973 Brauchst ja nur ln(10) bzw. lg(e) als Umrechnungsfaktor zwischen ln und lg. Aber Logarithmentafeln und Rechenschieber funktionieren immer mit Basis 10. Die Mantisse legt die Ziffernfolge fest und die Kennziffer die Größenordnung. Und wenn ich einen pEC50 von 5 habe, dann weiß ich, dass ich mich im niedrigen mikromolaren Bereich bewege, also zwischen 10⁻⁶ und 10⁻⁵ mol/l. Das wäre mit dem natürlichen Logarithmus nicht so einfach abzulesen.
@@Nikioko Aus mathematischen Reihenentwicklungen kommen zunächst pi, e, Kreisfunktionen im Bogenmaß sowie die natürliche Logarithmusfunktion heraus, die lassen sich gut "computerisieren", aber Du hast recht, wir sind in unserem Alltag an das dekadische System zur Basis 10 gewöhnt, da können wir uns besser etwas darunter vorstellen, und riesige Größenverhältnisse bequem und kompakt darstellen. - Ich habe zwar noch einen alten Rechenschieber von meinem Vater, und auch Bücher mit Logarithmentafeln, bin aber schon aufgewachsen mit modernen Taschenrechnern und Computern, kann also mit deren Vorläufern nicht mehr so gut umgehen. - Hört sich so an, als kämest Du aus der Chemie?
@@uwelinzbauer3973 Genau. Und da wird bei Konzentrationen logarithmisch gedacht. Der pH-Wert ist ja auch eine logarithmische Angabe. Generell ist unsere Welt logarithmisch, wenn man an das Benfordsche Gesetz denkt.
Das kommt darauf an wie oft im Jahr die 5% bezahlt werden, Also wenn monatlich also jeden Monat 1/12der 5% errechnet werden ist das anders als bei einer 1x Zahlung am Jahresende. Ähnlich wie bei einer Hypothek, manche Geldinstitute reduzieren die Restschuld monatlich, andere nur am Ende des Jahres
Man kennt die schöne Frage mit dem Josephs-Pfennig? Vater Joseph spendiert seinem Sohn Jesus einen Pfennig zu Weihnachten und legt ihn mit 3% aufs Sparbuch. Kann Jesus sich heute davon ein Ruderboot kaufen oder muss er immer noch zu Fuß übers Wasser laufen?
Naja, ich glaube nicht, es sei denn das Ruderboot kostet 1 Pfennig! 1) Weihnachten war erst vor 6 Monaten (aber da gabs ja den Pfenning nicht mehr) daher 2) muss das vor Weihnachten 2001 geschehen sein, aber erst nach ca. 800.
@@walter_kunz Mein lieber Walter; Deine Antwort ist sehr lustig. Aber die Frage steht noch im Raum: Was ist aus diesem Pfennig heute geworden? (Wir reden von Jesus...)
@@openclassics Ist aber nicht lustig! Pfennig gibt es erst seit Karl dem Großen de.wikipedia.org/wiki/Pfennig also seit ca. dem Jahre 800 n.Chr.! Ich nehme an, dass es sehr viele Leute mit dem Namen Jesus gibt, deren Vater Joseph hieß! Mal ganz abgesehen davon, dass es ein Sparbuch wohl erst seit 15. Juni 1818 gibt de.wikipedia.org/wiki/Spareinlage
@@walter_kunz High Walter! Also hier die Antwort: Bei einer Verzinsung von 3% verdoppelt sich der Pfennig alle 23 Jahre. Teilen wir diese 23 Jahre durch 2000 Jahre Christus, kommen wir auf 87, Das ist also 2 hoch 87 Pfennige. Das entspricht 10 mal das Mondvolumen in Gold. Hättste mal früher angelegt Alter! Ich denke, dass sich Jesus davon eigentlich schon ein Ruderboot leisten könnte. Tja so ist das mit Exponentialverläufen. Wird immer wieder von den Leuten unterschätzt. Das gilt auch für die ökologische Zukunft unseres Planeten. Aber Deine Antwort mit "Bismark"" und "Pfennige" war der ABSOLUTE Schenkelklopfer...
Und die Bankprämie! Die genannten drei Kurven (Inflation, Steuer und Prämie) habe ich mal mit einem dicken Filzstift in die e-Funktion eingezeichnet, die mir ein Bankberater vor die Nase gehalten hat. - Fand er nicht lustig. Kritisch wurde es, als ich angermerkt hatte, dass die e-Funktion ja nicht korrekt sei, da das Geld ja nicht kontinuierlich verzinst würde, sondern nur jahresweise, und das obwohl die Bank das Geld ja die ganze Zeit über hat...
5:00 Da sich der Anfangswert a bzw. das Startkapital K0 sowieso aus der Gleichung herausdividiert, rechne ich in diesem Beispiel das Produkt 3 * 2000 = 6000 gar nicht erst aus, sondern schreibe: K(n) = 3 * K0 2000 * 1,05^n = 3 * 2000 Jetzt durch den Anfangswert 2000 teilen: 1,05^n = 3 Und dann wie gehabt n = log_1,05_(3) = ... (Taschenrechner mit allgemeiner Log-Funktion) oder halt mit dem Basiswechselsatz n = ln(3)/ln(1,05) = lg(3)/lg(1,05) Wenn man nur ln oder lg auf dem Taschenrechner zur Verfügung hat.
Der gewünschte Hebel war 3 (Verdreifachung des Kapitals ). Dass die Höhe des Kapital dabei ohne Relevanz ist, sollte auch vorher jeder gewusst haben. Ich hoffe jeder hat sich eine Exceltabelle gebastelt, um solche Sachen innerhalb von Sekunden auszurechen. Sehr interessant ist z.B. zu sehen, wie viel schneller ihr tilgen könnt, wenn ihr den Zinssatz nur um 0,1000 Nominal senken könnt. Auch gut zu sehen ist, wie wenig zielführend es ist, ein Grundstück zu behalten, das man gar nicht brauchen kann. Denn da spielt der Zinseszins gegen dich. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Grundstück A in B nach 22,5 Jahren den dreifachen wert hat, liegt wie hoch? Bei nur angenommenen 5% als Inflation, kann man gut sehen, wie rasant der Wertverfall sein kann. Da erscheint sich der Wertzuwachs von X aus 2010 zu 2023 sich dann doch arg in Luft aufzulösen. Wer sich nicht regelmäßig mit den Zinseszins (Effekte) beschäftigt, hat auf jeden Fall verloren.
Die präzise Antwort wäre doch aber 23, oder? die Formel geht von jährlichen Zinszahlungen aus. Noch 22,5 Jahren hat man also noch nicht den notwendigen Betrag erreicht. Ansonsten wollte ich sagen, dass ich den Kanal total super finde. Vielen Dank es macht Spaß . Das Mikrofon nervt kriegst du das aus dem Bild raus? Vielen Dank für die tollen Videos!
Im Grunde hat man fast zu viele Informationen, weil Kn und K0 benötigt man nicht wirklich .. die Potenz da "hinten" muss halt mindestens 3 ergeben... Allerdings bin ich mit der Lösung nicht ganz zufrieden. Es wurden aber auch keinerlei Angaben zur Anlageform gemacht, so dass ich davon ausgehen muss, dass die Zinsen jeweils nach Ablauf eines Anlagejahres ausgezahlt werden - und nicht mittendrin...
Dann kommt was anderes raus. Ist aber nicht gefragt. (Sonst hätte die Aufgabe nach der Kaufkraft fragen müssen.) Mir ist jetzt auch nicht ganz klar, was genau du wissen willst. Logischerweise ist es so, dass die Kaufkraft in einer Phase, in der die Inflationsrate größer als null ist, sinkt. Man bekommt dann eine echte Wertsteigerung, wenn das geometrische Mittel der jährlichen Inflation unter dem Zinsgewinn liegt.
Man möge mich korrigieren, wenn ich mich irre, aber der Logarithmus wird immer dann benötigt, wenn ein unbekannter Exponent errechnet werden soll, 3 hoch x = 9 => x ln(3) = ln(9) => x = ln(9) : ln(3) => x = 2
Leider ist das Ergebnis nur dann richtig, wenn man das Geld etwa am 25. Juni anlegt. Legt man das Geld Ende Dezember an, dauert es bis zur Verdreifachung ein halbes Jahr länger (also 23 Jahre): Wenn die Zinsen immer Ende Dezember gutgeschrieben werden, hat man nach exakt 22 Jahren Anlagedauer das Geld ver-2,925-facht. Nach Deinen Berechnungen wäre theoretisch ein gutes halbes Jahr später (Anfang Juli) das Kapital verdreifacht - aber die Zinsen gibt es ja erst Ende Dezember, also ein halbes Jahr "später" (dann ist es aber etwas mehr als eine Verdreifachung!). Sollten die Zinsen quartalsweise oder gar monatlich gutgeschrieben werden, geht es etwas schneller.
@@hans7831 😆 Logo. Aber wenn man das jetzt wieder auf z.B. 22,5 Jahre hochrechnen möchte. Wäre realistische Alltagskalkulation (klar - es gibt Kalkulationstabellen dafür - aber eine Formel in Anwendung zu sehen wäre doch nett und auch alltagsnah)
eines ist mir bei deiner Zins Berechnung unklar, mir scheint das eine rein Mathematische Berechnung zu sein, die nichts mit der wirklichchen Berechnung zu tun hat. Bei Banken wird das unterschiedlich Berechnet, entweder werden die Zinsen erst nach einem Jahr, oder nach 1 Monat, oder Täglich gutgeschrieben, immer ergeben sich dadurch unterschiedliche Zeiten, wie ist das nach deiner Formel ?
Also kann man verkürzt sagen: ln(jahre)/ln(zins)=jahre bis zur ver x-fachung. dann braucht man sich nur noch das zu merken und den ganzen batzen vorher hätte man gar net berechnen müssen :)
Man sollte in diesem Beispiel aufrunden auf 23 Jahre, da der Zins ja am Ende des Jahres gezahlt wird. Wenn statt Jährlich 5% dann monatlich (5/12)% bezahlt wird hat man sein Geld schon nach 22,0833 Jahren verdreifacht. Das könnte ein schönes Video zur Eulerschen Zahl werden ;D
Ich bin bei allen Rechenaufgaben zur Zinseszinsrechnung immer über den dekadischen Logarithmus ("log") gegangen. Da kommt natürlich dasselbe Ergebnis raus.
Was immer vergessen wird zu sagen, dass der Zins "per annum" ausgeschüttet wird. Aber ein Jahreszins der (bei mir) Täglich ausgeschüttet wird, da musste ich mir selbst die Formel hinbasteln.
Ich mag deine Videos wirklich, aber dieses mal habe ich eine kleine Kritik: wenn p der Zinssatz IN PROZENT ist, dann ist das "geteilt durch 100" falsch.
Das schöne ist, man kann das gleiche Schema für die Inflationsrechnung anwenden: Hätten wir jährlich 5% Inflation wäre das Geld nach 22,5 Jahren nur noch 1/3 Wert Auch wenn es jetzt mal höher liegt, ist ein Durchschnitt von 3% Inflation eine gute Annahme. Bei 3% Inflation hat sich der Wert des Geldes nach rund 23,4 Jahren halbiert. 2002 wurde der Euro eingeführt. Die Preise sind jetzt also ungefähr die selben wie vor 2002 - halt nur in EUR anstatt DM
Nicht ganz... Bei Einführung des Euro kostete dieser 1.60 CHF, stieg dann auf 1,70 CHF, fiel dann auf 1,50 CHF und heute kostet ein Euro 1,00 CHF - und die Schweiz hatte in der Zeit auch Inflation.
Zwei kleine Fallen: erstens verdreifachen ,heisst es kommen 200 % dazu ,zweitens Zinseszins nicht vergessen. Also ln2 /ln 1.05 = 14. 2067, das Anfangskapital ist gleichgültig.
Interessanter scheint mir zu sein, dass bei der aktuellen Inflation, wir nehmen mal die Verdoppelungszahl von 6,93 als %, sich in 10 Jahren, der Geldwert halbiert hat. Und das ist nur die Inflation. Unabhängig davon werden auch noch Steuern und Abgaben erhöht. Rechnet man dann noch oder hat man nichts mehr mit dem man rechnen kann. 😢 vs. 😂
Es ist immer bitter, die Realität zu betrachten.... und leider schläft da die Mathematik (oder soll ich sagen Politik...) gnadenlos zu. Es gibt einen Grund, warum Kapitalanlagen bis 2009 nach Haltedauer von einem Jahr steuerfrei waren. Damals hat man dem Menschen/Sparer noch gegönnt, sich etwas real zurücklegen zu können bzw. zusätzliche Altersvorsorge aufbauen zu können. Jetzt wird abgeschöpft. Aber ein Glück, dass es noch Mathematiker gibt. Die Meisten laufen ein und sagen: Das, Du hast 2000 oder x Euro und kriegst 5% Rendite, du bist reich und die Rendite ist doch bestimmt Ausbeutung....". Will nicht sagen, früher war alles besser, aber ein bisschen mehr Vernunft oder finanzieller Sachverstand war m .E. schon vorhanden in der Politik und in der breiten Masse.
Auf die Gefahr hin, das ich zu Doof für diese Aufgabe bin. Denn bei mir kommt, wenn 2000 durch 2000 dividiere 1 als Ergebnis her raus. Bitte um Aufklärung!
schöne Rechnung mit kleinen Fehler, in 22,5 Jahren ist die Anlage Pleite gegangen oder hat die Gebühren erhöht, die Rechnung stimmt also nur mathematisch aber nicht im realen Leben.
Ich dachte, die Formel lautet Kn=Ko(1+P/100)^n. Wenn man 2000 Euro Startkapital haben und es verdreifachen möchtet, dann ist das Endkapital 2000*3=6000 Euro. Wenn man diese Werte in die Formel einsetzen und nach n auflösen, erhaltet man n=log(3)/log(1+5/100)=14,21 Jahre. Oder habe ich falsch verstanden?🤔🤭
Hätte ich vor 2000 Jahren einen Euro angelegt, mit dem aktuellen Zinssatz von 0,000000000 % dann hätte ich heute einen Euro. Die Jahrzehnte andauernde Raubherrschaft des Filzparteien-Regimes hat das berechnen von Zinseszinsen extrem vereinfacht.
Bitte realistisch bleiben und auch die Inflationsrate mit einbeziehen und die dazugehörigen Steuern, damit die Kinder schnell lernen wie unser Finanzsystem funktioniert.
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25.12.2045 leider Feiertag im Mini-Shop 💯
Hey, gibt es eine einfach Möglichkeit auszurechnen, wieviel Geld ich nach 20 Jahren habe, wenn ich 100k Startkapital habe und der jährliche Zins bei 5% liegt? Ich habe das mal mit Excel gemacht, aber empfinde es als umständlich. MUss natürlich auch den Zinsensins berücksichtigen
@@Euathlus1985 Natürlich - das ist die Ausgangsformel am Anfang des Videos: Kn = K0 * (1 + P/100)^n
Mit n=20, K0=100k und P=5 kommst du auf 265,3k
(ich würde bei so einer langen Laufzeit aber ehrlich gesagt einen weltweit investierenden ETF nehmen)
1/0,04444 = +- 22,5
@@Euathlus1985 100.000 * (1,05)^20 = 265.329,77 € oder 100.000 * 20 * 0,1325---- Das 1. ist genau aber ohne Steuerabzug das 2. ist ca. mit Steuerabzug.
Ey, ich bin 30, Hauptberuflich im Maschinenbau/Elektrotechnik angestellt, (noch) privater Immobilieninvestor und bin fasziniert, wie analytisch und logisch man so Sachen aufdröseln kann, wie so ein Grundschüler 😅 erschreckend! 😂
Super Arbeit! Wie immer 😊
Eine wirklich schöne, sympathische und verständliche Art Mathematik zu präsentieren und zu erklären. Bitte weiter so !!!!
Dankeschön Marc! 🥰
Hast mich durch meine Matura 2023 begleitet… bin endlich fertig… vielen Dank dir!♥️🥹
Ich hab vor einer weile eine Weiterbildung zum Beruf Spezialisten für Theatertechnik(Theatermeister) angefangen und hab dafür einen Vorbereitungskurs Mathe/Physik gemacht. Es ist faszinierend. Ich bin jetzt über über 20 Jahre aus der Schule raus und hab jetzt meine Faszination für Mathematik entdeckt. Ich muss viel nachholen aber deine Videos sind enorm gut erklärt und nachvollziehbar. Gerade als "Altsemester" wie ich ist es sehr gut deine Videos zu schauen. Danke.
Danke wiedermal, das Thema ist sehr wichtig, aber kaum jemand kennt sich damit aus.
Das ist wieder mal super erklärt. Ich hätte das nicht mehr bewußt, obwohl in Mathe immer sehr gut war. Aber ich bin jetzt auch fast 84 Jahre alt. Vielen Dank für die interessanten Aufgaben, Mit freundlichen Gruß
Reiner Cremer
Es gibt übrigens eine nette Überschlagsrechnung für Kapitalverdopplung in Jahren bei gegebenem Zinssatz p: 70/p≈n
Beispiel: 70 Jahre bei 5% -> 70/5 = 14. Exakter Wert: 14,2
Ja, das ist (gerundet) das erste Glied der Laurent-Reihenentwicklung von ln(2)/ln(1+p/100) um den singulären Punkt p0=0. Exakt lautet das erste Glied 100 ln(2)/p, also etwa 69,3/p oder aufgerundet die von Dir genannten 70/p. Du könntest Dein Ergebnis sogar noch verbessern, wenn Du das Folgeglied mitnimmst: 70/p + 0,35.
Wenn Du Susannes Ergebnis mit der Verdreifachung haben möchtest, dann musst Du die Näherung 100 ln(3)/p verwenden, also etwa 110/p = 22 rechnen. Die ersten beiden Glieder der Reihe lauten gerundet 110/p + 0,55, also hier 110/5 + 0,55 = 22,55 - schon recht nah an Susannes Ergebnis.
Generell findest Du für eine Ver-n-fachung des Ausgangskapitals die Näherung 100 ln(n)/p bzw. 100 ln(n)/p + ln(p)/2. 🙂
@@user-cg7zn8ey5k Danke. Super Info.
Aber es geht um die Kopfrechnung. Wenn man Dir 1% am Sparbuch bietet, solltest Du wissen dass es rund 70 Jahre dauert, bis sich Dein Kapital verdoppelt. Ohne solche Kleinigkeiten wie KESt oder Inflation. :))
Soweit ich mich erinnere, ist die Überschlagsrechnung für die Verdoppelung des Startkapitals 72/p (nicht 70/p).
@@detlevuhrig6065 Nein, die beste Näherung erster Ordnung ist 100*ln(2)/p, also etwa 69.31471805599453/p. Das lässt sich halt nur schlecht im Kopf rechnen. Daher rundet man auf 70 oder 72. Die Zahl 70 lässt sich ohne Rest durch die sieben Zahlen 2, 5, 7, 10, 14, 35 und 70 dividieren, die Zahl 72 lässt die zwölf Zahlen 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 und 72 dividieren. Daher bietet sich für das Kopfrechnen 72 an.
Für eine "Abschätzung" macht das aber keinen nennenswerten Unterschied.
Höchstinterssante Allgemein-Gültigkeit Deiner Aufgabe. Danke.👍🌷
Tolle Erklärung. Der Vollständigkeit halber müsstest Du präzisieren, dass es sich um einen Zinssatz pro Anno bei nachträglicher Verzinsung handelt, ebenso die deutsche Inlandsmethode, also 360 Tage.
du carriest mich gerade durch die mathe MSA vorbereitung, danke!!! ich verstehe alles direkt, und kann mir formeln und so viel besser merken. ^^
Hallo!👋Ich wollte dir mal sagen, dass ich finde, dass du einen echt tollen Job hier machst :) Habe dieses Jahr mein Abitur gemacht und vorher ein paar deiner Videos zu Themen, die ich noch nicht gut konnte, geschaut. Da du den Lösungsweg und die Logik dahinter so sorgfältig erklärst, dass wirklich jeder im Boot ist, hat es mir echt geholfen! Gerade wenn man irgendwo Lücken hat (hatte ich, weil ich früher echt faul war) hilft das so viel!
Deine sind auch die einzigen Mathe-Videos, die mir wirklich Spaß machen und die ich auch jetzt noch gerne anschaue bzw. bei denen ich mitrechne 😇
Stimmt ! Und dazu ist Sie einfach auch wahnsinnig süss !!!
Super Video. Danke dir. Lang ist die Abizeit her, aber das hat es gut aufgefrischt.
Sehr gut. Danke, dass du das so gut erklärst! :)
Einfach: das ist der Logarithmus von 3 mit Basis 1,05 ----> 22,5 Jahre.
@@spot997
ln(3)/ln(1,05)
Den ln() Befehl findest du oben rechts, bei mir ist das 3 Tasten über dem alles löschen (AC)
Danke für die Erklärung
Genau die gleiche Aufgabe für das Studium jetzt gebraucht
um es ganz simplifiziert auszufrücken: ln( “Faktor der Kapital-Vervielfachung” ) geteilt durch ln( “1 + Zins)…in unserem Fall ln(3)/ln(1,05)
Herzlichen Dank für diese Aufgabe 🙏
Mein Lösungsvorschlag lautet:
A= P*(1+r)ᵗ, bei dieser Gleichung:
A: Die Summe die man nach Jahren bekommt, Endbilanz
P: Kapital
r: Zinssatz
t: Zeit
Somit hätten wir:
A= 3*P (6000 €)
P= (2000 €)
r= 5/100
r= 0,05
3P=P*(1+0,05)ᵗ
3= (1+0,05)ᵗ
log3= t*log1,05
t= log3/log1,05
t= 0,47712/0,021189
t = 22,517 Jahren
t ≅ 22,5 Jahren wären notwendig so dass sich das Kapitel verdreichfacht 🤗
Die 2000 €sind für die Aufgabe völlig egal. Es geht hier ums Verdreifachen, also kann man direkt 1,05^x = 3 schreiben und nach x lösen.
@@Nikioko Dies habe ich genau so bei der fünften Zeile, was mein Lösungsvorschlag betraf angegeben als: 3P=P*(1+0,05)ᵗ und
3= (1+0,05)ᵗ........ 😀🙏👍
Ob das im wirklichen Leben auch so ist ? 🤔 Wir haben eine Inflationsrate durchschnittlich 7 % und bei einem Zinssatz von 5 %, hätten wir einen Verlust pro Jahr von 2 %. Die Frage wäre, was würde mit dem Geld unter diesen Umständen nach 22,5 Jahren passieren ?
A= P*(1-r)ᵗ
diesmal minus Zeichen wegen dem Verlust !
A= 2000*(1-0,02)²²,⁵⁰ ᵗ
A= 1269,45 € würde man bekommen.
Selbst wenn die Bank uns diese 6000 € auszahlen würde, hätte diese Summe nur eine Kaufkraft von 1269,45 €, oder auch äquivalent zu dieser Summe.
Der Zinssatz sollte immer höher als die Inflationsrate sein, wenn es gleich wäre, würde das Geld an Wert nicht verlieren, wenn es höher ist, könnte man dadurch noch Geld verdienen, sonst würde das Geld mit der Zeit durch Verluste schrumpfen. Welche Bank gibt heutzutage einen höheren Zinssatz als die Inflationsrate, das könnte man sich fragen........Ist dann der Zinssatz nur ein psychologischer Effekt ?
Falsch. Zinsen sind Haram, deswegen kann sich das Kapital nicht vervielfachen.
die Formel hat aber mit der Zinsberechnung der Banken nichts zu tun !
Interessant. Kannst du mir bitte noch sagen, wo ich für mein Kapital 5% erhalte.
Z.B. am Aktienmarkt...
Bisher konnte ich - 26 Jahre nach meinem Abi - immer noch gut mithalten, aber den Logarithmus hatte ich völlig verdrängt. Name war natürlich noch bekannt, aber wofür man den braucht??? Danke für die Auffrischung.
PS: Ausnahmsweise nicht nur in schwarz war auch eine positive Überraschung.
Danke.
Ich hab's mit dem 3er Logarithmus gerechnet, dann geht's einfacher, denn im Zähler steht dann 1 weil der 3er Logarithms von 3 =1.
Einfacher? Wieso? Sicher, log3(3) ist zwar 1, aber log3(1,05) lässt sich nicht so einfach ausrechnen, denn denn die meisten Taschenrechner bieten nicht die Möglichkeit, Logarithmen zu beliebiger Basis zu nehmen. Man muss darauf zurückgreifen, dass
log(basis x)(y) = log(basis z)(y)/log(basis z)(x) ist, wobei wir uns z beliebig aussuchen können (also z.B. 10 oder e).
Wir kommen also nicht daran vorbei, dass n entweder log(3)/log(1,05) oder ln(3)/ln(1,05) ist.
@@rainerinedinburgh5807
Ob man ln von 1,05 oder log(3) von 1,05 in den Rechner tippt ist auch schon egal, denn im Kopf geht beides nicht. Aber selbstverständlich nur wenn es der Taschenrechner auch kann, da haben Sie freilich recht.
Mein TI 30 X Pro hat die Taste lnlog. Drückt man einmal hat man den 10er log, drückt man 2Mal den ln und drückt man 3x, so kann man den log mit frei wählbarer Basis berechnen.
Vielleicht kann's ja Ihrer auch?
@@hans7831 Interessant. Aber meiner kann sowas leider nicht. Da sind ln und log10 zwei separate Knöpfe.
Habe ich genauso gemacht. Dies bietet sich in diesem Fall einfach an. Bei krummen Zahlen - nach wie vielen Jahren - erhöht sich das Kapital um 250% - würde ich aber den anderen Lösungsweg beschreiten, da mein Taschenrechner hier streiken würde 🤔
Toll erklärt, aber eine ziemlich einfache Problemstellung. Mach doch mal ein entsprechendes Video zu Zerfallsprozessen, z.B der Halbwertszeit. Liebe Grüße, Andreas
Das ist ja ein Kanal nicht nur für Mathematikprofessoren😅
@@angelikaraabe2524 Richtig! Leider habe ich es nicht zum Prof. geschafft 😂
Interessant auch: bei monatlicher Zinsauszahlung ist die Verdreifachung bereits nach 22,0 Jahren erreicht, weil die Zinsen dann jeweils mit verzinst werden. (Dazu einfach den Zinssatz durch 12 teilen - Ergebnis ist dann in Monaten)
Ich würde mich über die Herleitung der Formel wirklich freuen. Hat unser ReWe Prof früher immer mit uns gemacht. Was haben wir ihn damals gehasst... Heute sieht das anders aus!
Im 1. Jahr wird einfach das Startkapital verzinst:
K_1 = K_0 + K_0 * p = K_0 (1 + p)
Im 2. Jahr werden das Startkapital und die Zinsen aus dem 1. Jahr verzinst:
K_2 = K_1 + K_1 * p = K_0 (1 + p) + K_0 (1 + p) * p = K_0 (1 + p) (1 + p) = K_0 (1 + p)²
usw.; mathematisch leicht mit vollständiger Induktion beweisbar.
Danke, das Video war sehr hilfreich.
Das freut mich sehr ☺️
Du könntest noch erklären, dass für kleine Zinssätze p gilt, dass ln(1 + p/100) ungefähr p ist und somit die Rechnung auch ohne Taschenrechner möglich ist
Wird bei. Zinssatz nicht pa (per Anno) angegeben? Mir war erst nicht klar auf was sich die 5% beziehen…
Der dreifache Wert nicht nach 22.5 Jahren erreicht, sondern erst nach 23; dann wenn der letzte Zins hinzukommt. Für eine monatliche Abrechnung müssten wir die Zahlen anpassen und wären 9 Monate früher am Ziel.
Also, bei meiner Bank wird monatlich verzinst.
Wenn man nach 22.5 Jahren das Konto saldieren lässt, wird der letzte Zins pro Rata gutgeschrieben.
Wäre das dann auch eine vereinfachte Variant, beim Einsetzen der Endformel
ln(x)/ln(1,0y)=Jahre
Wobei x für Faktor der Vervielfachung ist und y der Prozentsatz mit dem das Geld angelegt wird?
Toller Kanal!
Wie sieht die Formel zur realen Kaufkraftverdreifachung aus, also in wieviel Jahren wäre das Kapital inflationsvereinigt verdreifacht, wenn 2000 Euro 5% Rendite abwerfen, die Inflation 6% p.a. beträgt und auf die Zins-/Dividendeneinnahmen 28% (25%+Soli+Kirchensteuer) Steuern jährlich zu zahlen sind?
Wenn die Inflation höher ist als der Nominalzins, kommst du NIE ins Plus, geschweige auf eine Verdreifachung. Eine Steuer verschlimmert die Situation logischerweise noch zusätzlich.
Zum Rechnen einfach statt 1,05 den Ausdruck (1,05 * (1-0,28) - 1,06) einsetzen.
@@wbaumschlager Ja eben, genau das ist das Dilemma eines jeden Anlegers/Investors jetzt, bzw. auf unabsehbare Zeit.
Vielen, vielen Dank! Da sind mir über die (vielen) Jahre doch ein paar Details entflogen.🙈
sehr interessant - mich interessiert, wieviel von einem kredit von 300000 € zu einem zins von 5% bei einer annuitätentilgung von 3% nach 10 jahren abgetragen ist
Ist es korrekt, dass diese Rechnung nur stimmt, wenn der Zins - und Zinseszinssatz jährlich zum Kapital zugerechnet wird. Bei einer vierteljährlichen oder monatlichen Ausschüttung müsste sich der Wert verkürzen.
Ja, für ¼ Jahreszins muss man eben statt mit 1,05 mit 1,0125 rechnen. Es komme dann die ¼Jahre raus.
@@hans7831 Bei einer vierteljährlichen Ausschüttung der 5% Jahreszinsen muss man mit 1,0125 rechnen und kommt nicht auf 1/4 der Jahre sondern auf 22,1 Jahre. Bei einer vierteljährlichen Ausschüttung von 5% Quartalszins muss man weiter mit 1,05 rechnen kommt aber auf ein Viertel der Jahre (5,63 Jahre).
@@robinhuebner66
Wie oben geschrieben kommen die ¼Jahre heraus, also nach 88,437 Vierteljahren oder nach dem 89. Vierteljahr hast Du das Anfangskapital verdreifacht.
5:40 Aber woher die Annahme, dass hier die Zinsen mitverzinst werden? Steht nirgends?
Mit welcher Software schreiben Sie?
Normalerweise stellt man erst die Gleichung um und setzt dann die Zahlenwerte ein. Dann sieht man auch schöner, dass das K0 gleich am Anfang rausfliegt.
Wenigstens etwas, was ich von damals behalten habe.
Das Video enthält eine Inkonsistenz in der Notation. Wenn p für den Zinssatz steht, also hier für 5%, dann darf in der Formel nicht der Nenner 100 auftauchen, da p bereits den Wert 5/100 besitzt. Will man dagegen in der Formel den Nenner 100 haben, darf man p nicht gleich 5%, sondern muss p gleich 5 setzen.
Für die Antwort auf die Frage müsste man wissen, nach welchen Zeiträumen verzinst wird. Geht man von einer jährlichen Verzinsung aus, bekäme man 23 Jahre heraus.
🌷
Super 🎉 ich habe einem Schulfreund 100,-DM geliehen, vor 50 Jahren, wenn's nicht verjährt mach ich ne Fete!
Sehr interessant ich bin Jahrgang 1960 und frische mein Wissen auf. 1,05^x=3 sehe ich sofort, gebe ich so in den Solver ein, darum ist dein Ln(3)/Ln(1,05) das was ich nun gelernt habe.
Ich meine, dass die Basis des Logarithmus in dieser Rechnung keine Rolle spielt. Darum ginge hier auch Log (3)/Log(1,05) oder jede beliebige andere Basis.
Hallo
Wie rechnet man dann LN aus?
Auf die Art kann man auch den Kaufkraftverlust durch Inflation berechnen! Der Prozentsatz ist dabei der Inflationssatz (z.B. aktuell 8%) und K0 sind 100 €, Kp sind 200 €, d.h. Kaufkraftverlust von 50%. Da schlackern einem die Ohren, wie sich der Geldwert in Luft auflöst!
Das Beste ist: Wenn es um 8% fällt und dann um 8% steigt hat man weniger als vorher
Ich habe eine ernst gemeinte Frage, warum bei Prozentrechnung immer die obligatorische mal 100 oder geteilt durch 100 drangehangen wird.
0:58 Wenn p=5% (beachte, da steht schon Prozent) dann ergibt die Klammer nicht 1,05, sondern 1,0005). Habe ich hier einen Denkfehler, oder ist das einfach Service am idiotismus ?
was passiert mit der Kaufkraft, wenn ab dem zehnten Jahr eine Inflation von 7,5 % p.a. einsetzt (Inflation Jahre 1-9 = 0%)? Wäre doch mal eine aktuelle Aufgabe b)
x = (1,05)^10 * (1,05 - 0,075)^12,5
Hi Susanne,
Ja, den natürlichen Logarithmus zu verwenden, ist eine sinnvolle Entscheidung, denn die Taschenrechner und die Computer-Programmiersprachen bieten in jedem Fall diese Funktion an, den dekadischen nicht immer.
❤liche Grüße
Es ist egal, welche Basis der Logarithmus hat, es muss nur überall dieselbe sein. Und Naturwissenschaftler verwenden grundsätzlich den Briggsschen Logarithmus, nicht den natürlichen! Allein schon, weil man damit die Größenordnung besser abschätzen kann.
@@Nikioko
Hallo Nikioko, danke für deine Nachricht.
Habe den Ausdruck "Briggsscher Logarithmus" für den dekadischen Logarithmus noch nicht gehört- habe wieder etwas gelernt.
Beim Programmieren hat man halt manchmal nur den natürlichen Logarithmus oder die Winkelfunktionen nur im Bogenmaß.
Dann muss man halt vor und nach der Verarbeitung umrechnen.
@@uwelinzbauer3973 Brauchst ja nur ln(10) bzw. lg(e) als Umrechnungsfaktor zwischen ln und lg.
Aber Logarithmentafeln und Rechenschieber funktionieren immer mit Basis 10. Die Mantisse legt die Ziffernfolge fest und die Kennziffer die Größenordnung.
Und wenn ich einen pEC50 von 5 habe, dann weiß ich, dass ich mich im niedrigen mikromolaren Bereich bewege, also zwischen 10⁻⁶ und 10⁻⁵ mol/l. Das wäre mit dem natürlichen Logarithmus nicht so einfach abzulesen.
@@Nikioko
Aus mathematischen Reihenentwicklungen kommen zunächst pi, e, Kreisfunktionen im Bogenmaß sowie die natürliche Logarithmusfunktion heraus, die lassen sich gut "computerisieren", aber Du hast recht, wir sind in unserem Alltag an das dekadische System zur Basis 10 gewöhnt, da können wir uns besser etwas darunter vorstellen, und riesige Größenverhältnisse bequem und kompakt darstellen.
- Ich habe zwar noch einen alten Rechenschieber von meinem Vater, und auch Bücher mit Logarithmentafeln, bin aber schon aufgewachsen mit modernen Taschenrechnern und Computern, kann also mit deren Vorläufern nicht mehr so gut umgehen.
- Hört sich so an, als kämest Du aus der Chemie?
@@uwelinzbauer3973 Genau. Und da wird bei Konzentrationen logarithmisch gedacht. Der pH-Wert ist ja auch eine logarithmische Angabe. Generell ist unsere Welt logarithmisch, wenn man an das Benfordsche Gesetz denkt.
Dieselbe Gesetzmässigkeit gilt auch, wenn einem 5% Inflation das Sparguthaben bzw. dessen Kaufkraft wegschmilzt, nur eben mit 0.95^n = 0.333...
Dankeschön
Der Wert des Kaptals ist an sich egal, denn zu lösen ist lediglich 1,05^x = 3, also log 3 zur Basis 1,05, was knapp über 22,5 Jahre ergibt. 🙂
Wenn man bei einem Jahreszins von 5% den Zins jeden Monat berechnet, nach wievielt Monaten hat sich das Kapital dan verdreifacht?
Wie das Kapital rausfliegt sieht man schön, wenn man im ersten Term Kn mit 3xK0 ersetzt: 3xK0 = K0x... Danach auf beiden Seiten :K0 und weg ist das K
Wie immer cooles video wirklich...❤
Das kommt darauf an wie oft im Jahr die 5% bezahlt werden,
Also wenn monatlich also jeden Monat 1/12der 5% errechnet werden ist das anders als bei einer 1x Zahlung am Jahresende. Ähnlich wie bei einer Hypothek, manche Geldinstitute reduzieren die Restschuld monatlich, andere nur am Ende des Jahres
Man kennt die schöne Frage mit dem Josephs-Pfennig? Vater Joseph spendiert seinem Sohn Jesus einen Pfennig zu Weihnachten und legt ihn mit 3% aufs Sparbuch.
Kann Jesus sich heute davon ein Ruderboot kaufen oder muss er immer noch zu Fuß übers Wasser laufen?
Naja, ich glaube nicht, es sei denn das Ruderboot kostet 1 Pfennig! 1) Weihnachten war erst vor 6 Monaten (aber da gabs ja den Pfenning nicht mehr) daher 2) muss das vor Weihnachten 2001 geschehen sein, aber erst nach ca. 800.
@@walter_kunz Mein lieber Walter;
Deine Antwort ist sehr lustig. Aber die Frage steht noch im Raum: Was ist aus diesem Pfennig heute geworden?
(Wir reden von Jesus...)
@@openclassics Ist aber nicht lustig!
Pfennig gibt es erst seit Karl dem Großen de.wikipedia.org/wiki/Pfennig also seit ca. dem Jahre 800 n.Chr.!
Ich nehme an, dass es sehr viele Leute mit dem Namen Jesus gibt, deren Vater Joseph hieß!
Mal ganz abgesehen davon, dass es ein Sparbuch wohl erst seit 15. Juni 1818 gibt de.wikipedia.org/wiki/Spareinlage
@@walter_kunz
High Walter!
Also hier die Antwort:
Bei einer Verzinsung von 3% verdoppelt sich der Pfennig alle 23 Jahre. Teilen wir diese 23 Jahre durch 2000 Jahre Christus, kommen wir auf 87, Das ist also 2 hoch 87 Pfennige.
Das entspricht 10 mal das Mondvolumen in Gold.
Hättste mal früher angelegt Alter!
Ich denke, dass sich Jesus davon eigentlich schon ein Ruderboot leisten könnte.
Tja so ist das mit Exponentialverläufen.
Wird immer wieder von den Leuten unterschätzt. Das gilt auch für die ökologische Zukunft unseres Planeten.
Aber Deine Antwort mit "Bismark"" und "Pfennige" war der ABSOLUTE Schenkelklopfer...
Wie sieht das aus, wenn man die Kapitalertragsteuer mit berücksichtigt? :D
...und die Inflation mit momentan 7%? Dann sollte die Frage lieber lauten: In wieviel Jahren verdampft ein Anfangskapital von x-tausend Euro? 🤔
Und die Bankprämie! Die genannten drei Kurven (Inflation, Steuer und Prämie) habe ich mal mit einem dicken Filzstift in die e-Funktion eingezeichnet, die mir ein Bankberater vor die Nase gehalten hat. - Fand er nicht lustig. Kritisch wurde es, als ich angermerkt hatte, dass die e-Funktion ja nicht korrekt sei, da das Geld ja nicht kontinuierlich verzinst würde, sondern nur jahresweise, und das obwohl die Bank das Geld ja die ganze Zeit über hat...
5:00 Da sich der Anfangswert a bzw. das Startkapital K0 sowieso aus der Gleichung herausdividiert, rechne ich in diesem Beispiel das Produkt 3 * 2000 = 6000 gar nicht erst aus, sondern schreibe:
K(n) = 3 * K0
2000 * 1,05^n = 3 * 2000
Jetzt durch den Anfangswert 2000 teilen:
1,05^n = 3
Und dann wie gehabt
n = log_1,05_(3) = ... (Taschenrechner mit allgemeiner Log-Funktion)
oder halt mit dem Basiswechselsatz
n = ln(3)/ln(1,05) = lg(3)/lg(1,05)
Wenn man nur ln oder lg auf dem Taschenrechner zur Verfügung hat.
Der gewünschte Hebel war 3 (Verdreifachung des Kapitals ). Dass die Höhe des Kapital dabei ohne Relevanz ist, sollte auch vorher jeder gewusst haben. Ich hoffe jeder hat sich eine Exceltabelle gebastelt, um solche Sachen innerhalb von Sekunden auszurechen. Sehr interessant ist z.B. zu sehen, wie viel schneller ihr tilgen könnt, wenn ihr den Zinssatz nur um 0,1000 Nominal senken könnt. Auch gut zu sehen ist, wie wenig zielführend es ist, ein Grundstück zu behalten, das man gar nicht brauchen kann. Denn da spielt der Zinseszins gegen dich. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Grundstück A in B nach 22,5 Jahren den dreifachen wert hat, liegt wie hoch? Bei nur angenommenen 5% als Inflation, kann man gut sehen, wie rasant der Wertverfall sein kann. Da erscheint sich der Wertzuwachs von X aus 2010 zu 2023 sich dann doch arg in Luft aufzulösen. Wer sich nicht regelmäßig mit den Zinseszins (Effekte) beschäftigt, hat auf jeden Fall verloren.
Die präzise Antwort wäre doch aber 23, oder? die Formel geht von jährlichen Zinszahlungen aus. Noch 22,5 Jahren hat man also noch nicht den notwendigen Betrag erreicht.
Ansonsten wollte ich sagen, dass ich den Kanal total super finde. Vielen Dank es macht Spaß .
Das Mikrofon nervt kriegst du das aus dem Bild raus?
Vielen Dank für die tollen Videos!
Im Grunde hat man fast zu viele Informationen, weil Kn und K0 benötigt man nicht wirklich .. die Potenz da "hinten" muss halt mindestens 3 ergeben... Allerdings bin ich mit der Lösung nicht ganz zufrieden. Es wurden aber auch keinerlei Angaben zur Anlageform gemacht, so dass ich davon ausgehen muss, dass die Zinsen jeweils nach Ablauf eines Anlagejahres ausgezahlt werden - und nicht mittendrin...
Cooles Video! Vielen Dank ☺👌
Sehr gerne! ☺️
2:36 Also wir haben in der 10. Klasse (meine ich) solche Aufgaben gehabt und haben noch nie vom Logarithmus gesprochen.
Und wenn wir es mit der erwarteten Inflation vergleichen?
Dann kommt was anderes raus. Ist aber nicht gefragt. (Sonst hätte die Aufgabe nach der Kaufkraft fragen müssen.)
Mir ist jetzt auch nicht ganz klar, was genau du wissen willst.
Logischerweise ist es so, dass die Kaufkraft in einer Phase, in der die Inflationsrate größer als null ist, sinkt. Man bekommt dann eine echte Wertsteigerung, wenn das geometrische Mittel der jährlichen Inflation unter dem Zinsgewinn liegt.
Woher weiß man, dass der Logarithmus anzuwenden ist?
Man möge mich korrigieren, wenn ich mich irre, aber der Logarithmus wird immer dann benötigt, wenn ein unbekannter Exponent errechnet werden soll, 3 hoch x = 9 => x ln(3) = ln(9) => x = ln(9) : ln(3) => x = 2
Was ist der Unterschied zwischen ln und log? Warum gibt es nicht nur eins von beidem?
Leider ist das Ergebnis nur dann richtig, wenn man das Geld etwa am 25. Juni anlegt.
Legt man das Geld Ende Dezember an, dauert es bis zur Verdreifachung ein halbes Jahr länger (also 23 Jahre):
Wenn die Zinsen immer Ende Dezember gutgeschrieben werden, hat man nach exakt 22 Jahren Anlagedauer das Geld ver-2,925-facht. Nach Deinen Berechnungen wäre theoretisch ein gutes halbes Jahr später (Anfang Juli) das Kapital verdreifacht - aber die Zinsen gibt es ja erst Ende Dezember, also ein halbes Jahr "später" (dann ist es aber etwas mehr als eine Verdreifachung!).
Sollten die Zinsen quartalsweise oder gar monatlich gutgeschrieben werden, geht es etwas schneller.
ganz einfach - nur Mathe!( küßß)
Wie müsste man rechnen, wenn jährlich noch jeweils 2000€ (quasi als Dauerauftrag) zu dem Erstbetrag zinswirksam dazu gezahlt werden?
Na dann hat man ja schon nach dem 3.Jahr über 6000€ am Konto
Na dann hat man ja schon nach dem 3.Jahr über 6000€ am Konto
@@hans7831 😆 Logo. Aber wenn man das jetzt wieder auf z.B. 22,5 Jahre hochrechnen möchte. Wäre realistische Alltagskalkulation (klar - es gibt Kalkulationstabellen dafür - aber eine Formel in Anwendung zu sehen wäre doch nett und auch alltagsnah)
@@OS-cf1qo wär für mich interessant, da ich jeden monat 500 euro vom gehalt spare :)
Und was ist mit der Kapitalertragsteuer? Die wird doch automatisch abgeführt...Und was ist mit der Inflation? Die liegt derzeit bei etwa 10% p.a....
eines ist mir bei deiner Zins Berechnung unklar, mir scheint das eine rein Mathematische Berechnung zu sein, die nichts mit der wirklichchen Berechnung zu tun hat. Bei Banken wird das unterschiedlich Berechnet, entweder werden die Zinsen erst nach einem Jahr, oder nach 1 Monat, oder Täglich gutgeschrieben, immer ergeben sich dadurch unterschiedliche Zeiten, wie ist das nach deiner Formel ?
Also kann man verkürzt sagen: ln(jahre)/ln(zins)=jahre bis zur ver x-fachung. dann braucht man sich nur noch das zu merken und den ganzen batzen vorher hätte man gar net berechnen müssen :)
Ich warte immer noch auf ein Video über die Rentenformel. Mach doch mal.... bitte!
Ich habe sofort ohne das explizite Startkapital gerechnet.
Man sollte in diesem Beispiel aufrunden auf 23 Jahre, da der Zins ja am Ende des Jahres gezahlt wird.
Wenn statt Jährlich 5% dann monatlich (5/12)% bezahlt wird hat man sein Geld schon nach 22,0833 Jahren verdreifacht.
Das könnte ein schönes Video zur Eulerschen Zahl werden ;D
Ich bin bei allen Rechenaufgaben zur Zinseszinsrechnung immer über den dekadischen Logarithmus ("log") gegangen. Da kommt natürlich dasselbe Ergebnis raus.
1,05^x = 3
x ⋅ lg(1,05) = lg(3)
x = lg(3) / lg(1,05)
≈ 22,52.
LN 3 / LN 1,05
Frage : verdreifachen heisst , es kommen 200% dazu, d.h. log 2/ log1.05 Jahre braucht es. Habe ich verdreifachen falsch verstanden?
Jetzt ist klar : es glit K* 1.05 ^n ist das Kapital + Zinseszins nach n Jahren, also n= log 3 /log 1.05, wie im Video erklärt.
@@renesperb Bitte nicht jedesmal einen neuen Kommentar schreiben.
Du kannst deine Kommentare ganz einfach bearbeiten ...
@@Ge_heim Sorry,habe ich nicht gewusst . Ich habe auch gelernt : nach einem Bier keine Mathematik.
5% Zins... 😍
1.05 ^ n = 3 und dann probieren / annähern -> 22.5 Jahre
Was immer vergessen wird zu sagen, dass der Zins "per annum" ausgeschüttet wird. Aber ein Jahreszins der (bei mir) Täglich ausgeschüttet wird, da musste ich mir selbst die Formel hinbasteln.
Und ich liebe ... Die Mathematik
Ich mag deine Videos wirklich, aber dieses mal habe ich eine kleine Kritik: wenn p der Zinssatz IN PROZENT ist, dann ist das "geteilt durch 100" falsch.
Nein, genau dann braucht man geteilt durch 100. Ansonsten hätte man astronomische Zahlen.
Stefan hat Recht!
Was auch interessant ist, wenn man täglich schon eine Teilgutschrift bekommt, dann ist man ein halbes Jahr früher am Ziel.
Top!
Dankesehr! :)
Wie entstehen die 4000,- € ? Aus dem "Nichts" ??
Yep.
Wäre die Welt Mathematik, wir hätten viel weniger Probleme.
Das schöne ist, man kann das gleiche Schema für die Inflationsrechnung anwenden:
Hätten wir jährlich 5% Inflation wäre das Geld nach 22,5 Jahren nur noch 1/3 Wert
Auch wenn es jetzt mal höher liegt, ist ein Durchschnitt von 3% Inflation eine gute Annahme.
Bei 3% Inflation hat sich der Wert des Geldes nach rund 23,4 Jahren halbiert.
2002 wurde der Euro eingeführt.
Die Preise sind jetzt also ungefähr die selben wie vor 2002 - halt nur in EUR anstatt DM
Nicht ganz... Bei Einführung des Euro kostete dieser 1.60 CHF, stieg dann auf 1,70 CHF, fiel dann auf 1,50 CHF und heute kostet ein Euro 1,00 CHF - und die Schweiz hatte in der Zeit auch Inflation.
In der Mathe-Abi-Prüfung habe ich die 1 verpaßt, weil ich bei der 5ten Wurzel einen Blackout bzgl. Logarithmen hatte.
Bei mir garnich, Geld brennt mir immer löcher in die taschen 😁😄
Zwei kleine Fallen: erstens verdreifachen ,heisst es kommen 200 % dazu ,zweitens Zinseszins nicht vergessen. Also ln2 /ln 1.05 = 14. 2067,
das Anfangskapital ist gleichgültig.
Das Anfangskapital ist gleichgültig, das Ergebnis ist trotzdem falsch.
@@Nikioko Ist mir auch schon vorher klar geworden .
Interessanter scheint mir zu sein, dass bei der aktuellen Inflation, wir nehmen mal die Verdoppelungszahl von 6,93 als %, sich in 10 Jahren, der Geldwert halbiert hat. Und das ist nur die Inflation. Unabhängig davon werden auch noch Steuern und Abgaben erhöht. Rechnet man dann noch oder hat man nichts mehr mit dem man rechnen kann. 😢 vs. 😂
Es ist immer bitter, die Realität zu betrachten.... und leider schläft da die Mathematik (oder soll ich sagen Politik...) gnadenlos zu. Es gibt einen Grund, warum Kapitalanlagen bis 2009 nach Haltedauer von einem Jahr steuerfrei waren. Damals hat man dem Menschen/Sparer noch gegönnt, sich etwas real zurücklegen zu können bzw. zusätzliche Altersvorsorge aufbauen zu können. Jetzt wird abgeschöpft.
Aber ein Glück, dass es noch Mathematiker gibt. Die Meisten laufen ein und sagen: Das, Du hast 2000 oder x Euro und kriegst 5% Rendite, du bist reich und die Rendite ist doch bestimmt Ausbeutung....". Will nicht sagen, früher war alles besser, aber ein bisschen mehr Vernunft oder finanzieller Sachverstand war m .E. schon vorhanden in der Politik und in der breiten Masse.
Auf die Gefahr hin, das ich zu Doof für diese Aufgabe bin. Denn bei mir kommt, wenn 2000 durch 2000 dividiere 1 als Ergebnis her raus. Bitte um Aufklärung!
1 mal x = x ... kann man also weglassen ;)
schöne Rechnung mit kleinen Fehler, in 22,5 Jahren ist die Anlage Pleite gegangen oder hat die Gebühren erhöht, die Rechnung stimmt also nur mathematisch aber nicht im realen Leben.
Interessant wäre auch, welche Bank zurzeit 5% Zinsen zahlt 😅
Man nehme einfach einen MSCI World oder nen FTSE All World. Da sind statistisch sogar mehr als 5% drin.
Bei der Bank bin ich mir nicht sicher, aber beim Bier sind's oft sogar 5,5 % 😂
@@hans7831 Ok, dann lass uns in Bier investieren 😅
Apple zahlt in USA 4,1 %
Bei monatlicher Zinsgutschrift sind es sogar nur 22,08 Jahre. :-)
Wieso sollte die Dauer auch von der Startsumme abhängen?! 🤔😜
Ich dachte, die Formel lautet Kn=Ko(1+P/100)^n. Wenn man 2000 Euro Startkapital haben und es verdreifachen möchtet, dann ist das Endkapital 2000*3=6000 Euro. Wenn man diese Werte in die Formel einsetzen und nach n auflösen, erhaltet man
n=log(3)/log(1+5/100)=14,21 Jahre.
Oder habe ich falsch verstanden?🤔🤭
Die Formel ist OK. Das Resultat aber nicht. Soll 22, 517 sein.
Du hast lg(2) / lg(1,05) gerechnet, und das ist falsch.
Man kann die Formel sogar noch mehr verallgemeinern.
gesucht ist x:
y*1.05^x>=3y
Beide Seiten durch y geteilt und es wird übersichtlicher und einfacher
Hätte ich vor 2000 Jahren einen Euro angelegt, mit dem aktuellen Zinssatz von 0,000000000 % dann hätte ich heute einen Euro.
Die Jahrzehnte andauernde Raubherrschaft des Filzparteien-Regimes hat das berechnen von Zinseszinsen extrem vereinfacht.
Bitte realistisch bleiben und auch die Inflationsrate mit einbeziehen und die dazugehörigen Steuern, damit die Kinder schnell lernen wie unser Finanzsystem funktioniert.
Den Kinderlein wird beigebracht, wie man mit Kleber die restlichen Leistungsträger drangsaliert.