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앗, 사실 두 곡선 C, X에 대하여 C+X가 수학적으로 엄밀하게 정의된 정식적인 표현은 아니고, 제가 편의를 위해 도입한 것입니다. 갑자기 저만의 notation을 자세한 설명 없이 도입해서 죄송합니다. 😭 그래서 사실 C+X가 잘 정의되어있고, C+X가 선생님께서 말씀하신 성질을 갖는 곡선이 된 것이 아니라 반대로 선생님께서 말씀하신 성질을 갖는 "(우리가 그린 정리를 적용하여 문제를 잘 풀기 위해 응당 그렇게 잡아야 하는) X와 C를 자연스럽게 연결시켜 만든 그 새로운 곡선" 자체를 제가 편의상 C+X라고 불렀다고 표현하는 것이 정확한 것 같습니다. 혹시 제가 선생님 질문을 잘못 이해하였거나, 또 궁금하신 점이 있으면 언제든 또 질문 주시기 바랍니다!

우선 주어진 벡터장은 원점에서 singular하기 때문에 이를 피해서 우리는 영역 S:= {x^2+y^2 <=1} - D 에 그린정리를 적용하고자 하는 상황입니다. S의 그린 정리를 적용하기 위해서는 (시계방향이든, 반시계방향이든) 우선 S 영역의 경계에 향을 부여해야 하는데 곡선 C에는 이미 향이 주어진 것이 있으므로 이 향을 그대로 연장시켜 S의 경계의 향으로 만들기 위해 곡선 X의 향을 시계방향으로 설정한 것입니다! 실제로 만약 X의 향을 반시계 방향으로 잡으면 영역 S 입장에서는 경계의 매개화 방향이 경계를 일정한 방향으로 한바퀴 회전하도록 잡힌 정상적인 향이 안된다는 것을 확인하실 수 있습니다! 답변이 도움이 되었길 바라고, 제 답변이 이해 안되시거나 추가적으로 궁금한점이 있으면 언제든 다시 질문 주시기 바랍니다 😊

@@snu7244 감사합니다!

원리를 완벽하게 이해하지 못하더라도 시험문제는 풀 수있겠지만, 물론 원리를 이해하는 것이 더 좋습니다! 다변수함수에서의 치환적분의 원리도 일변수함수의 치환적분 원리랑 큰 차이는 없는거 같은데 혹시 후자는 이해하고 계실까요?

@@snu7244 일변수함수 치환적분은 진짜 잘 이해하고 있다고 생각합니다.. 그런데 변수 한 두개 늘었다고 그래프도 머릿속에 잘 안그려지고, 식도 뭔가 확실하게 이해가 안되는 느낌이에요

앗 그럼 선생님의 이해방식이 궁금한데, 혹시 선생님께서는 왜 일변수함수 치환적분, 예를들어 x^2=t로 바꾸는 치환, 을 할 때 왜 적분인자의 x^2만 t로 바꿔서 int_(x=0 to 2)f(x^2)dx = int_(x=0 to 4)f(t)dt 를 얻는 것이아닌 int_(x=0 to 2)f(x^2)*2x dx = int_(x=0 to 4)f(t)dt 가 되어야 맞다고 생각하고 계시나요?

@ x^2를 t로 치환하면 2xdx = dt이기에 후자가 맞다고 알고 있어요

제가 어제 중간고사를 봐서 답변이 조금 늦은 점 죄송합니다 ㅠㅠ 아마 다변수함수의 치환적분에 대해서는 교재나 인터넷에 훨씬 잘 설명되어 있는 곳이 많겠지만, 제가 이해하고 있는 바를 대략적으로 말씀드리겠습니다. 머리속에서 그림을 그려보며 생각하면 좋을 것 같은데 정적분의 정의를 생각해보면 예를들어 int(x=4 to 9) f(x) dx는 0으로 접근하는 무한소 dx에 대해 세로길이가 f(x), 가로길이가 dx인 직사각형의 넓이 합입니다. 그런데 각 직사각형의 세로 길이는 유지한 채 정의역(가로길이)만 변환 x->x^2에 의해 [2,3]에서 [4,9]로 늘리면 (즉, 함수에 관점에서는 거꾸로 f(x^2) (2<x<3)을 f(x) (4<x<9)로 보면) y=f(x^2) (2<x<3)의 그래프 상에서 네 점 (x,0), (x+dx,0), (x,f(x)), (x+dx, f(x))으로 이루어진 직사각형은 y=f(x) (4<x<9)의 그래프 상에서 네 점 (x^2,0), ((x+dx)^2,0), (x^2, f(x)), ((x+dx)^2, f(x))으로 이루어진 직사각형으로 바뀌게 되고 결국 세로의 길이는 그대로인 채 가로의 길이가 [(x+dx)^2 - x^2]/[x+dx - x] = 2x 배가 됨을 확인할 수 있습니다. 따라서 각 직사각형의 넓이도 2x배 만큼 됨에도 불구하고 치환적분 시 적분값을 같게 만들기 위해서는 2x배 만큼 팽창된 가로길이를 보정하기 위해 f(x^2)쪽에 2x를 곱해야 하는 것입니다. 즉, 치환적분에서 g(x)=t로 치환할 때 g'(x)dx=dt가 되는 이유를 기하학적으로 보면 직사각형의 가로에 해당하는 아주 작은 구간 [x,x+dx]을 변환 x -> g(x)에 의해서 팽창시켜 [g(x), g(x+dx)]가 되었을 때 그 길이가 g'(x)배 팽창되기 때문입니다. 지금까지 일변수함수 얘기를 했지만 직사각형의 넓이합을 직육면체의 부피합으로 생각함으로써 다변수함수 세팅으로 그대로 가져가면 F(x,y)=(X,Y)로 치환할 때 ▢dxdy=dXdY에서 ▢자리에 들어올 값은 아주 작은 직사각형 [x,x+dx] x [y,y+dy]를 변환 (x,y)->F(x,y)에 의해 변환시켰을 때 넓이가 몇배 팽창되는 지를 나타내어야만 하고, 이는 수1 때 행렬식 파트에서 배운 바와 같이 Jacobian과 같기에 치환적분 공식이 그렇게 나온 것입니다. 혹시 또 궁금하신 점이나 이해 안 되는 점이 있으시면 언제든 말씀해주시기 바랍니다!

우선 푸앵카레의 도움 정리는 특정 조건(별꼴집합, 닫힌벡터장)을 만족하면 뭔지는 몰라도 잠재함수를 가진다는 것을 말해주는 정리입니다. 그래서 이 정리를 적용하여 잠재함수를 가진다는 것을 보일 수는 있지만, 저희는 단순히 잠재함수의 존재성이 목적이 아니라 이를 이용하여 실제 선적분의 값을 구하는 것이 목적이므로 잠재함수가 존재한다는 사실만 알아서는 값을 구하는데 도움을 받지 못하기 때문에 우선 푸앵카레 도움정리를 사용할 필요가 크게 없는 것 같습니다. 그리고 질문주신 것에 대한 좀 더 본질적인 얘기를 하자면, 아마 잠재함수의 존재성을 보이는 것의 가장 명확한 방법은 직접 잠재함수를 찾아서 보여주는 것일 것입니다. 그래서 문제를 풀기 위해 저희가 실제로 잠재함수를 명확히 찾았기 때문에 존재성이 의심의 여지 없이 이미 증명된 것이고, 굳이 푸앵카레 도움정리를 써서 잠재함수를 가진다고 중복으로 서술할 필요가 없는 것입니다! 답변이 도움이 되었길 바라며, 혹시 또 궁금하신 점이 있으시면 언제든 또 질문 주시기 바랍니다 😊

푸앵카레 도움정리는 특정 조건(별꼴집합, 닫힌벡터장)을 만족하면 뭔지는 몰라도 벡터장이 일단 잠재함수를 가진다는 것을 말해주는 정리로서, 해당 문제의 경우 말씀하신 '벡터장의 정의역이 별꼴집합이 아니여서 푸엥카레 도움정리를 적용할 수 없다' 라는 사실은 맞습니다. 하지만 푸앵카레 도움정리를 적용할 수 없다(즉, 정의역이 별꼴집합이 아니다) 라는 사실이 잠재함수가 존재하지 않는다를 imply하는 것은 전혀 아닙니다. 즉, 정의역이 별꼴집합이 아니어도 얼마든지 잠재함수는 존재할 수 있습니다. 예를들어 벡터장 (-2x/(x^2+y^2)^2, -2y/(x^2+y^2)^2)은 원점이 뚤려있어서 푸앵카레의 도움 정리를 적용할 수 없지만 잠재함수 f(x,y)=1/(x^2+y^2)를 갖는것을 직접 확인하실 수 있습니다. 그리고 아마도 잠재함수의 존재성을 보이는 가장 직접적이고 명확한 방법은 실제로 잠재함수를 찾아서 보여주는 것일 것입니다. 문제를 푸는 과정에서 저희가 실재로 잠재함수를 찾아서 보여주었기 때문에, 사실 푸앵카레의 도움정리랑 전혀 관련짓지 않고도 이미 잠재함수의 존재성이 증명이 된 것이라고 할 수 있습니다. 혹시 제가 선생님의 질문을 잘못 이해하였거나, 또 궁금하신 점이 있다면 언제든 또 말씀해주시기 바랍니다 😊

앗, 일단 지금 보니 주어진 일단 곡면은 g(x,y,z)=1이 아니라 g(x,y,z)=0이군요... 혹시 이것을 지적하신걸까요? 아니면 식을 g(x,y,z)=2x^2+3y^2-z=0으로 쓰지 않고, (이와 같은 식인) z=2x^2+3y^2으로 쓰신 것을 말씀 하신걸까요? 만약 후자를 말씀하신 거면 사실 큰 이유는 없고 어차피 같은 식이기 때문에 문제에서 보이는 z=2x^2+3y^2을 편하게 보면서 적은 것 같습니다 🤣 혹시 선생님의 질문을 제가 잘 못 파악한거라면 언제든 다시 질문 주시기 바랍니다!

@@snu7244 아아 넵 후자였습니다! 보통과는 좀 다른 형태로 적으셨는데 사실 연립을 위해 사용하는 식이니까 어떻게 써도 상관없을 것 같네요 답글 감사합니다!

제가 시각적 직관에 의존하여 설명하느라 자세히 설명을 못드린 것 같습니다ㅠㅠ R^n의 부분집합으로서의 영역의 내부라 함은 R^n의 열린 집합이어야 합니다. 즉, 영역 내부 상의 한 점을 잡았을 때 그 점을 중심으로 하는 R^n상의 충분히 작은 ball이 존재하여 그 ball 전체가 온전히 영역에 속해있어야 합니다. (이 정의에 입각하여 생각할 때 2차원 상의 영역 x^2+y^2<=1에서 왜 내부가 x^2+y^2<1 이고, 경계가 x^2+y^2=1인지 파악할 수 있습니다.) 자 그러면 여기서 2차원 상에 놓인 선분 {(t,0), 0 <=t<=1} 을 생각할 때, 이 선분의 내부는 어디일까요? 얼핏 생각하면 마치 1차원 상의 선분과 동일시하여 양 끝의 두 점을 제외한 {(t,0), 0 <t<1} 이라고 생각할 수 있지만, 위 정의에 입각하여 생각해보면 {(t,0), 0 <=t<=1} 상의 어느 점을 중심으로 아무리 작은 2차원의 원을 그리더라도 그 원들은 선분 {(t,0), 0 <=t<=1} 에 포함될 수 없기 때문에 {(t,0), 0 <=t<=1}의 내부는 공집함임을 알 수 있습니다. 따라서 2차원 상의 정의된 함수를 영역 {(t,0), 0 <=t<=1}에 제한했을 때 극점을 구하는 문제에 대해서는 임계점 정리나 헤세판정법을 쓸 수가 없고 라그랑주 승수법을 적용해주어야 합니다. 지금까지 설명의 편의를 위해 2차원 상에 놓여있는 선분 {(t,0), 0 <=t<=1}을 예시로 들었지만, 같은 설명이 해당 문제와 같은 3차원 상에 놓여있는 곡면에도 적용이 됩니다! 위상수학적인 내용이라 조금 어렵긴 한데, 혹시 어려운 부분이 있다면 언제든 또 질문 주시기 바랍니다 😊

@@snu7244자세한 설명 감사합니다! 항상 수연도우미 보면서 많은 도움 받고 있어요!

네 안녕하세요! 아마 F=F1+F2로 쪼갠 벡터장 중 F1벡터장에 대해 질문 주신 것 같아 이를 기준으로 설명드리겠습니다. F1벡터장은 말씀하신대로 원점이 특이점이어서 푸앵카레 도움정리를 적용할 수 없지만, 이 문제에서 이를 극복하는 아이디어는 반지름의 길이가 1인 원 상에서만 적분하고 있기 때문에 곡선에서 F1벡터장을 적분한 것이랑 곡선에서 새로운 벡터장 F1'=(2020^x, y^2020)을 적분한 것이랑 값이 같다는 사실을 이용하는 것입니다. 그런데 F1' 벡터장은 평면 전체에서 특이점이 없는 벡터장이므로 여기에 푸앵카레 도움정리를 적용하여 F1'이 잠재함수를 가짐을 보일 수 있고 이를 통해 곡선에서의 적분값이 0임을 보인 것입니다! 혹시 또 궁금한 점이 생기시면 언제든 질문 주시기 바랍니다 😊

@@snu7244기출문제 풀이에서는 새로운 함수를 정의하기 전에 잠재함수를 정의히면 0점이라고 되어있는데 새로운 f1프라임을 적용하면 상관없는 건가요??

네, 애초에 원래 벡터장은 원점에서 정의가 안되기 때문에 푸앵카레 도움정리를 적용할 수 없는데도 불구하고 적용하는 실수를 했기 때문에 0점인 반면, 제가 만든 (F1의 적분과 값이 같은) 벡터장 F1'은 정의역에 구멍이 없기 때문에 푸앵카레 도움 정리를 잘 적용할 수 있어 문제가 없습니다!

추가로 R^3, R^2는 열린 볼록집합인가요?

음, 우선 두 집합 모두 임의의 두 점을 찍었을 때 두 점 사이에 있는 모든 점들이 다시 그 집합에 속해있으므로 볼록집합인 것은 쉽게 확인하실 수 있습니다. 다만 어떤 집합이 열린 집합인지, 닫힌 집합인지는 어떤 집합의 부분집합으로서 묻는지가 중요합니다. 예를들어 R^2의 부분집합으로써 R^2는 열린집한인데(전체집합은 항상 열린집합입니다!) R^3의 부분집합으로서 R^2(즉, xy평면)는 닫힌집합입니다. 그런데 아마 맥락상 선생님께서는 R^3의 부분집합으로서 R^3, R^2의 부분집합으로서 R^2를 물어보신 것 같으므로, 질문주신 집합은 열린 볼록집합인 것이 맞습니다!

앗, 별꼴집합이라는 용어는 교재 13장 부록에 있는 푸앵카레 도움정리의 증명 바로 뒤에 나와있습니다! 그리고 별꼴집합은 인터넷에 영어로 star shaped domain혹은 star domain이라고 검색하시면 정보를 얻으실 수 있을 것 같습니다. 아마 그렇게 자주 쓰이는 수학 용어가 아니다보니 제대로된 한국말 번역이 없어서 그런 것 같습니다 😂 답변이 도움이 되었길 바랍니다!

@@snu7244 항상 감사드립니다🫡🫡

정의역에 구멍이 없으면 푸앵카레 도움정리에 의해 닫힌형식인것만 확인해도 잠재함수가 존재함을 바로 알 수 있지만, 말씀하신대로 해당 백터장은 원점에서 정의되지 않기에 잠재함수가 존재함을 보이려면 영상의 1:07:20부터 설명되어있는 바와 같이 직접 계산을 통해 잠재함수를 찾음으로써 (잠재함수를 직접 찾는 과정은 2학기 7주차 영상을 참고해주세요!) 보일 수 밖에 없습니다. 한편 어떤 벡터장이 잠재함수를 가지지 않음을 보이기 위해서는 직접 계산하는 것 외에도, 선적분의 기본 정리의 대우를 이용하여 특정 닫힌 곡선을 잡아 선적분의 값이 0이 되지 않음을 보이는 방법이 있을 것 같습니다! 답변이 도움이 되었길 바라며, 혹시 또 궁금하신 점이 있으시면 언제든 또 질문해주시기 바랍니다!

⁠@@snu7244헉 그럼 각원소벡터장은 -arctan(x/y)를 편미분하면 나오지만 잠재함수를 가진다고 하지는 않지 않나요..?

각원소 벡터장은 -arctan(x/y)를 편미분하면 나오기 때문에 이 함수는 각원소 벡터장의 잠재함수가 맞지만, 여기서 중요한 포인트이자 조심해야 할 것은 0으로 나누면 안되다는 규칙에 의해 함수 -arctan(x/y)의 정의역은 y>0, 또는 y<0으로 한정되어야 된다는 것입니다. 즉, "y>0에서 각원소벡터장의 잠재함수는 -arctan(x/y)야"라고 하면 맞는 말이고, 실제로 주어진 곡선이 y>0에서만 논다고 하면 선적분의 기본 정리에 의해 이 잠재함수를 통해서 선적분의 값을 구해도 됩니다. 하지만 "원래 각원소벡터장의 정의역인 {평면-원점}에서 각원소벡터장은 -arctan(x/y)를 잠재함수를 가져"라고 말하면 이는 틀린 말이 됩니다. 말씀드렸듯 애초에 -arctan(x/y)가 {평면-원점} 전체에서 정의된 함수가 아니기 때문입니다. 그런데 보통 정의역에 대한 언급 없이 잠재함수가 존재한다 함은 벡터장의 정의역과 잠재함수의 정의역이 같은 것을 전제로 하므로 일반적으로 각원소벡터장은 잠재함수를 갖지 않는다고 말하는 것입니다. 하지만, 해당 기출 문제의 경우 우리가 구한 잠재함수가 실제로 {평면-원점} 전체에서 잘 정의된 함수이기 때문에 잠재함수를 갖는다고 말했던 것입니다!

@@snu7244아! 벡터장의 정의역과 잠재함수의 정의역이 같아야 되는 거였군요! 그 점을 잘 몰랐던 것 같아요.. 정말 감사합니다!

앗, 혹시 n차 테일러근사다항식을 구하는 공식 T_nf(x,y)=sigma(k=0 to n)D_(x,y)f(0,0)/k! 에서 k!로 나누는 것이 누락되어 문제가 발생한 것 아닐까요?!

@@snu7244 앗 그러네요 ㅋㅋㅋㅋ 2!을 나누지 않아서 생긴 문제였네요... ㅋㅋㅋ 잠시 정신이 가출했나봐요 😂 감사합니다 !!

안녕하세요, 죄송하지만 제가 교양수학 홈페이지에서 확인할 수 없어서 그런데 혹시 2016년 여름학기 수2 중간 1번문제가 뭔지 알려주실 수 있으신가요?

후자의 질문은 세번째 문제를 통해 알게된 거 같아요! 유사한 상황이니 0인거같네요

아, Y(t)앞의 계수는 3tcos(2t)가 아닌 3+cos(2t)입니다. cos은 아무리 날뛰어도 -1과 1사이에 있으니 계수가 음수가 안된다는 얘기를 하고 싶었는데, 제가 글씨가 안좋아 혼동을 일으킨 것 같습니다 😭 만약 계수가 3tcos(2t)였다면 곡선이 원점을 터치하게 되고, 그러면 아예 각원소벡터장과의 선적분이 정의가 되지 않는다는 점도 참고로 말씀드립니다! 혼동을 드려 죄송합니다.

@@snu7244 아이고 그렇네요 감사합니다 정말로 ㅠㅠㅠ 중간 공부에 얼마나 도움되는지 모릅니다

허걱 맞습니다... 위에까지 계산 잘 해놓고 마지막 줄에서 x를 빼먹는 어이없는 실수를 하고 말았네요. ㅠㅠ 잘못된 부분을 지적해주셔서 감사드립니다 😊 저야말로 시청해주시고 피드백 주셔서 감사드립니다!!!

네, 안녕하세요 선생님, 실제로 3차원 상의 xy평면에 놓여있는 곡면 S와 (사실상의 평면) 벡터장 X=(F(x,y,z), G(x,y,z),0)에 스토크스 정리를 적용하면 curlX = (-G_z, -F_z, G_x-F_y)이고 단위법벡터가 (0,0,1) 이기 때문에 curlF · n dS = G_x-F_y dxdy = rotH dxdy가 되는 것을 쉽게 확인하실 수 있습니다 😊

@@snu7244 정말 정말 감사합니다…!❤️ 올라온 영상 거의 전부 다 봤는데 이해는 물론 집중도 잘 돼요! 항상 많이 배워갑니다.

앗, 말씀하신대로 t를 0으로 보낼 때 좌극한인지 우극한인지에 따라 극한값이 달라져서 그냥 저렇게 쓰는 것은 정확하지 않은 풀이 같습니다. 그래서 풀이를 옳게 바꾸면, 어차피 저희는 극한값이 0이 아닌 접근 경로를 하나만 찾으면 되므로, t의 범위를 한정하여 [X(t)=(t,t) (t>=0)을 따라 원점으로 ...]로 풀이를 바꾸고 극한값을 계산할 때 모두 t->0+이라고 표기해야 맞을 것 같습니다. 잘못된 부분을 지적해 주셔서 감사드립니다 😊

@@snu7244 감사합니다. 덕분에 항상 잘 공부하고 있습니다🥸

어떤 두 함수 f(x,y), g(x,y)가 둘 다 다항식이라는 조건이 있을 경우 f(x,y)=g(x,y)이기 위해서는 모든 자연수 n에 대하여 [f의 n차항] = [g의 n차항]이어야 한다는 사실을 이용한 겁니다! 저희 문제의 경우 우선 근사다항식의 유일성을 이용하여 T_4f(a,b) = -(1+(a-b)+ ... +(a-b)^4) 임을 얻었는데, 좌우변이 모두 다항식이므로 T_4f(a,b)의 4차항과 -(1+(a-b)+ ... +(a-b)^4)의 4차항이 같아야 합니다. 그런데 T_4f(a,b)에서 4차항은 1/4! D_(a,b)^4f(0,0) 에서만 튀어나올 수 있고, -(1+(a-b)+ ... +(a-b)^4)에서 4차항은 -(a-b)^4에서만 튀어나올 수 있으므로 1/4! D_(a,b)^4f(0,0)=-(a-b)^4 이어야만 한다고 말씀드린 것입니다! 혹시 답변에서 이해가 안되시거나 또 궁금하신 점 있으면 언제든 말씀해주시기 바랍니다!

1/4!D_(a,b)^4f(0,0)에는 4차항 뿐아니라 3차항도 있을 거 같은데 이게 (a-b)^3 항에 있을 가능성은 없을까요??

57:32 경에 비슷한 내용이 설명되어 있는데요! 방향미분작용소 D_(a,b)도 마치 이항전개처럼 작용해서 D_(a,b)^4= a^4*d/dx^4 + 4a^3b d/dx^3dy^1 + 6a^2b^2 d/dx^2dy^2 + 4ab^3 d/dx^1dy^3 + b^4 d/dy^4 가 되고, 여기서 계수를 살펴보면 a,b에 대한 4차항만 포함되어 있음을 알 수 있습니다. 같은 논의로, 임의의 자연수 k에 대해 D_(a,b)^k 에는 k차 항만 포함되어 있음을 알 수 있습니다! 또 궁금하신 점 있으면 언제든 질문주시기 바랍니다 😊

@@snu7244 아 그러네요….진짜 항상 감사합니다 덕분에 이해 안되는 것들 다 해결하고 있어요 !!!

집합을 이용하여 포함관계를 서술하자면 서술하자면 {최댓값, 최솟값을 갖는 점} ⊂ {극점} ⊂ {라그랑주 승수법을 통해 연립방정식을 풀어서 얻은 점들} 이 됩니다! [점 P가 함수 f의 극점이다]의 정의는 [점 P의 적당한 근처에서만 본다면 P가 최대점이거나 최소점이다]로서, 고등학교 수학에서와 똑같이 다변수의 경우에도 global하게 봤을 때는 최대, 최소(즉, 함수의 최대, 최소)가 아니더라도 얼마든지 local하게 봤을 때 최대, 최소 (즉, 극점)일 수 있습니다. 제가 라그랑주 승수법을 사용하는 과정에서 '극점의 후보'를 구한다고 표현한 것은, 위의 포함관계에서도 보여지듯 라그랑주 승수법을 통해 얻은 여러 개의 점들은 함수를 등위면에 제한했을 때의 극점을 전부 포함하는 것은 맞지만, 그 점들 중에서도 사실 극점이 아닌 점들도 존재할 수 있기 때문에 '후보'라고 표현한 것입니다! 혹시 제 답변에서 잘 이해가 안되는 부분이 있거나 또 궁금하신 점이 있다면 언제든 말씀해주시기 바랍니다!

앗, 선생님이 아니라 제가 실수를 한겁니다 ㅠㅠ 엄밀히 따지면 D_1f를 D_2방향으로 미분해야 하니 D_2D_1f가 맞습니다! 굳이 변명을 하자면(?) 편미분 교환법칙 때문에 D_1D_2 = D_2D_1 이므로 순서가 중요하지 않다는걸 알고 있어서 무심코 그냥 D_1한 개 D_2 한 개 적느라 제가 막 적은 것 같습니다 🤣 실수를 지적해주셔서 감사드립니다!

앗, cosy의 2차 나머지항을 적을 때 o(|x|^2) 이라고 적은 것이 아니라 o(|X|^2)이라고 적은 것입니다! 여기서 X는 벡터 (x,y)를 줄여서 나타낸 것으로써 |X|=sqrt(x^2+y^2)이 됩니다. 1:27:45 경부터 이에대한 설명이 있는데요, 원래 cosy의 2차 나머지 항은 1학기 때도 배웠다시피 o(|y|^2)이 맞지만 |y|<=|X|가 성립하므로 little o 표기법의 정의상 cosy의 2차 나머지 항을 o(|X|^2)이라고 써도 되는 것입니다. (굳이 o(|y|^2)를 o(|X|^2)으로 바꾼 이유는 근사다항식의 유일성의 statement가 o(|X|^n)으로 되어 있기 때문입니다) 그리고 두 번째 질문에 대해 답변 드리자면 o(x^2)이랑 o(y^2)는 다른 의미 입니다! 애초에 전자는 함수가 변수 x에 대해 엄청(?) 작음을 나타내는 것이고 후자는 함수가 변수 y에 작음을 나타내는 것이기 때문입니다. 예를들어, f(x,y)=x^2 y은 o(|x|)이지만 o(|y|)는 아닙니다. 답변이 도움이 되었기를 바라며, 또 궁금하신 점이 있다면 언제든 질문주시기 바랍니다😊

네, 우선 곱의 미분법에 의하여 각 방향미분 작용소는 방향이 같은지 다른지와 상관 없이 f를 치는 선택지와 g를 치는 선택지 총 2개가 있어서 미분작용소가 n개라면 항이 '최대' 2^n개가 나오는 것은 맞는 말입니다. 하지만 항의 '최대' 개수가 아닌 '정확히' 몇개 나오는지를 묻는 다면 선생님의 말씀대로 같은 방향 작용소가 몇개인지가 중요한 것이 맞습니다. 예를들어 말씀하신 D1D1D2(fg)를 보면 첫번째 D1이 f를 치고, 두번째 D1이 g를 치는 것과 첫번째 D1이 g를 치고, 두번째 D1이 f를 치는것은 결과적으로 같은 항을 주기 때문입니다. 실제로 D1D1D2(fg)를 전개하면 총 항이 8개가 아닌 6개가 나오는 것을 어렵지 않게 확인하실 수 있습니다. 그러나 라그랑주 정리를 이용하여 오차를 컨트롤 할 때에는 정확한 오차를 구하는 것이 목적이 아닌 오차의 최댓값이 특정 값 이하임을 보이는 것이 목적이기에, 저는 굳이 경우의 수를 잘 세가며 항의 개수를 정확하게 구하려고 노력하지 않고 그냥 편하게 어떠한 경우라도 항의 개수가 최대 2^n개 임을 이용하여 그 값을 잘 제한 해주었던 것입니다. 혹시 설명이 잘 이해가 안되시는 부분이 있거나 또 궁금한 점 있으시면 언제든 다시 질문주시기 바랍니다!

​@@snu7244 아아 그렇군요 이해 됐습니다 친절하게 설명해 주셔서 정말 감사합니다!!

우선 명제 'A이면 B이다'가 참일때, 1. 만약 A가 참이면 B도 자동으로 참이된다. 2. 만약 A가 거짓이면 B에 대해서는 참과 거짓을 판단할 수 없다. 라는 논리적 사실을 리마인드 하겠습니다! 저희의 목적은 함수 f가 원점에서 미분 불가능 함을 보이는 것입니다. 그런데 38:26에도 써있는 것처럼 저희는 미분 불가능을 보일 때 쓸 수 있는 명제를 하나 배웠습니다: [D_vf(0)= gradf(0) · v가 성립 하지 않는 v가 하나라도 존재한다] -> [f는 원점에서 미분 불가능하다] 이 명제를 적용하여 원점에서 미분 불가능 함을 보이고자 한다면 저희는 위의 1번 논리 규칙을 이용하여 [D_vf(0)= gradf(0) · v가 성립 하지 않는 v가 하나라도 존재한다] 가 참임을 입증해야 합니다. 하지만 본 문제의 경우 모든 방향미분 계수가 0이기 때문에 [D_vf(0)= gradf(0) · v가 성립 하지 않는 v가 하나라도 존재한다] 가 거짓인 명제입니다. 이렇게 되면 위 2번 논리 규칙에 의해 f의 미분 가능성에 대해서는 아무말도 할 수 없기 때문에 문제가 된다는 것이었습니다. 따라서 우리는 미분 불가능성을 보이기 위해 다른 전략을 써야만 하고, 그 전략은 미분가능성의 정의로 돌아가서 정직하게 미분불가능 성을 입증하는 것임을 영상에서 말씀 드린 것입니다!

@@snu7244 늦은 시간에도 세심하게 답변주셔서 정말 감사합니다 바로 이해가 쏙 되었어요!

저도 궁금한 부분이었는데 감사합니다!

네, x에 대해 편미분해서 얻으신 식 자체가 (x,y)가 '원점이 아닐 때만' 성립하는 식이므로, 먼저 편미분을 한 후 (x,y)=(0,0)을 대입하는 것은 (말씀하신 것처럼 대부분의 경우 분모가 0이 되서 가능하지도 않을 뿐더러) 수학적으로 옳지 않은 것 같습니다. 만약 주어진 함수 f가 일급함수, 즉 gradf가 연속이라는 보장이 있다면, gradf(0) = lim(X->0) gradf(X)가 성립하기 때문에 그나마 말씀하신 방법과 비슷하게 먼저 X가 0이 아닌 점에서 gradf(X)를 계산하고 X를 0으로 보냈을 때 극한값을 구해도 되겠지만, 이 역시 f가 일급함수라는 보장이 있을 때이고, 보통 우리가 문제에서 보게되는 원점에서 특이점을 갖는 함수는 일급함수가 아니므로 이런 방법으로는 gradf(0,0)을 구하기 힘들 것 같습니다. 결국 gradf(0)을 구하기 위해서는 편미분의 정직한 정의를 이용하여 극한 (lim(t->0) (f(t,0)-f(0,0))/t, lim(t->0) (f(0,t)-f(0,0))/t)을 구하는 것이 거의 유일한 방법 같습니다! 질문 주셔서 감사드립니다. 혹시 제 답변에서 이해 안되는 부분이 있거나 또 궁금하신 부분 있으시면 언제든 다시 질문주시기 바랍니다.

앗 교재 11장 3절의 정리에서도 나와있다시피 M_(n+1)은 (n+1)계 도함수들의 합이 아니라 영상에서 설명드린 빨간 직선 상에서 (n+1)계 도함수(이변수 함수의 경우 총 2^(n+1)개가 존재할 것입니다)의 절댓값 중 가장 큰 것을 의미합니다. 그런데 2:03:00에서 풀고있는 문제의 함수 f(x,y)=cosx siny 는 x,y방향으로 아무리 편미분 한 것을 구해봐도 어차피 삼각함수 두개의 곱이라서 M_(n+1)이 1보다 작았던 것이고, 2:20:00에서 풀고 있는 문제의 함수 f(x,y)=cosx sin(x+y)는 x방향으로 편미분 하면 곱의 미분법 때문에 더해지는 항의 갯수가 증식하게되고, 각각의 항이 1보다 작기 때문에 항의 갯수의 최댓값인 16보다 작다고 한 것입니다! 혹시 제 답변에 이해가 안되는 부분이 있거나, 또 궁금하신 점이 있다면 언제든 말씀해주시기 바랍니다!

@@snu7244 앗 넵 이해했습니다!! 감사합니다!!!

저희는 고등학교 때 함수 f(t)의 그래프에서 t=a일 때 접선의 기울기를 구하기 위해서는 lim(h->0)(f(a+h)-f(a))/h 을 구해야 한다고 배운 바 있습니다. 한편 이변수 함수의 그래프 z=f(x,y)를 점 (x,y)=a에서 w 벡터 방향으로 칼을 대고 위에서 자르면 그래프의 단면이 생길텐데 이 그래프를 다시 점 a를 원점으로 하는 우리가 익숙한 좌표평면으로 옮겨 y=g(t)로 나타내면 이는 y=g(t)=f(a+[w/(w의 크기)]t)가 되는 것을 확인하실 수 있습니다. 한번 간단하게 a=(1,1), w=(2,0) 등을 대입해서 확인해보시고, w의 크기로 나누어 주지 않으면 무슨 일이 발생하는지 확인해보시면 좋을 것 같습니다. 그러면 여기서 [f(x,y)를 w방향으로 잘랐을 때 생기는 단면의 기울기]=[일변수 함수 y=g(t)의 원점에서의 접선의 기울기] 를 구해보면 순간변화율의 정의에 의해 lim(h->0) (f(a+[w/(w의 크기)]h)-f(a))/h 가 되는데, 이 값은 바로 다름아닌 이변수 함수 f(x,y)에서 (x,y)=a 에서의 w/(w의 크기) - 방향 미분계수 입니다. 여기서 w/(w의 크기)가 바로 다름아닌 w를 단위 벡터로 만든 것이기에, 단면의 기울기를 구할 때는 w를 단위 벡터로 만들어서 방향미분계수를 구해야 한다고 말씀드렸던 것입니다! 혹시 이해가 안되시거나 또 궁금하신 점 있으면 언제든지 말씀해 주시기 바랍니다!

(문제 자체가 해당 명제를 증명하라는 문제가 아닌 이상) 교재의 본문이나 연습문제에 나온 정리들은 증명 없이 바로 사용하여도 됩니다! 완전히 찝찝함을 제거하고 싶으시면 시험에 자주 쓸법한 정리나 연습문제는 해당 명제의 번호를 외워서 직접 인용하시는 것도 좋습니다. (예: 교재 0장 0절 0번 연습문제에 의하여~)

제가 f(x+h)라고 썼다가 바로 f(p+h)로 고쳤는데 혹시 왜 f(p+h)로 나온건지 물어보신 것 맞으실까요? 맞으시다면 그 바로 위에 식에서 x-p를 h로 치환해서, x가 p+h로 바뀐 것입니다!

@@snu7244 아이고 잘못봤네요...늘 감사합니다 ㅠㅠ

말씀하신대로 사실 단어자체로만 보면 방향미분계수는 벡터 v의 크기에는 의존하지 않고 v의 방향에만 의존해야 할 것 처럼 생겼으며, 그래서 실제로 다른 교재 들에서는 방향미분계수가 v의 방향에만 의존하도록 'v가 단위벡터일 때만' 방향미분계수를 정의하는 경우도 많습니다. 하지만 저희 교재에서는 점 P에서 함수 f의 벡터 v방향으로의(사실 여기서 v방향이라고 말하는 것도 좀 이상하긴 합니다. 방향은 크기를 무시하는데 말이죠...) 방향미분계수의 정의를 v의 크기를 신경쓰지 않고 그냥 lim(t->0)[(f(P+tv)-f(P))/t] 로 정의했기 때문에 v의 방향뿐 아니라 크기에도 의존하게 되는 것입니다. 정의만 봐도 v의 크기에도 의존하는 것이 꽤 그럴듯해 보이지만 왜 v에 크기에도 의존하는지 직관적으로 살펴보겠습니다. 함수 f(x,y)를 평면에 놓인 산의 높이라고 할 때, 방향미분계수 D_vf(P)는 선생님께서 평면상의 점 P로 부터 속도 v로 이동했을 때 산의 고도 변화율입니다. 그런데 같은 방향으로 가시더라도 선생님께서 천천히 걸어가시면 시간당 고도가 천천히 올라가는거 처럼 느껴지고, 빨리 뛰어가시면 시간당 고도 상승률이 크게 느껴질 것입니다. 이렇게 생각하면 저희 교재처럼 방향미분계수를 정의할 경우 방향미분계수가 왜 v의 방향뿐만아니라 크기에도 의존하는지 조금 더 분명하게 느껴지실 것 같습니다. 혹시 또 궁금한 점 있으시면 언제든 질문 주시길 바랍니다!

네, 제가 알려드린 판정 방법은 교과서에 나오는 것이 아니기 때문에 시험지 여백에 연속/불연속 여부를 확인하는 용도로만 끄적여봐야하고, 답안 적으실 때는 저 판정법에 의해 연속임을 확인했다고 기술하시면 안됩니다! 그래서 만약 선생님께서 판정법을 적용하여 연속임을 파악한 이후 답안지를 작성하실 때에는, 마치 처음부터 샌드위치정리를 이용하여 연속임을 확인한 것처럼 서술하셔야 합니다. 답변이 도움이 되었길 바랍니다 😊

안녕하세요, 선생님. 강의 시청해주시고 질문주셔서 감사드립니다. 우선 x성분으로 적분하셔서 -arctan(x/y)를 얻으신다면 이는 말씀주신대로 y=0에서는 정의가 안되는 함수이기 때문에 주어진 영역 x>0에서의 잠재함수가 아닙니다. 하지만 만약 문제에서 주어진 영역이 1사분면이나 4사분면이어서 문제가 되는 y=0인 부분이 제외되었다면 말씀하신대로 x성분으로 적분하셔서 -arctan(x/y)을 잠재함수로 얻더라도 전혀 문제가 없습니다! 그러면 잠재함수의 유일성에 대해서 걱정을 하실 수도 있을 것 같은데요, 만약 정의역을 1사분면으로 제한한다면 arctan(y/x)=-arctan(x/y)+π/2, 만약 정의역을 4사분면으로 제한한다면 arctan(y/x)=-arctan(x/y)-π/2, 가 성립하게 되어 (up to constant) 잠재함수의 유일성에도 문제가 없는 것 같습니다! 답변이 도움이 되었길 바라고, 혹시 이해가 안되는 부분이 있다면 언제든 다시 질문 주시길 바랍니다!

와 이해되었습니다. 답변 정말 감사드립니다! arctan(y/x)와 -arctan(x/y) 사이의 관계를 못찾고 있었는데 정의역을 1사분면 또는 4사분면으로 제한하니 잘 보이네요! 행복한 명절 연휴 보내시길 바랍니다!!

감사합니다. 선생님도 즐거운 추석 연휴 보내시길 바라겠습니다 😊

앗, 그러네요... 결과적으로 x에 0을 대입하게 되서 운좋게 답은 맞았지만 선생님께서 말씀하신대로 f(x,y)의 x에 대한 편미분은 지수에 -부호가 있는 것이 맞습니다! 계산 실수를 지적해주셔서 감사드립니다 😊

@@snu7244 감사합니다 ㅡㅜ 항상 덕분에 잘 공부하고 있어요 복받으세요🥹🥹🥹

네 선생님도 즐거운 추석 연휴 되시길 바랍니다! 감사합니다 ☺

허걱... 네 맞습니다! (p,q)와 (x,y)를 잇는 선분 상에서의 함숫값을 나타내야되서 f((1-t)p+tx, (1-t)q+ty)가 맞는데, 제가 무심코 벡터합 구하듯이 적어버렸네요 ㅠㅠ 잘못된 부분을 지적해주셔서 감사드립니다 ☺

@@snu7244 답변 감사드립니다! 영상 너무 잘 보고 있습니다 감사합니다!

편의상 integral(x=1 to pi) (sin(xy)/y)dx 을 F(y)라고 둘 때, 문제에서 구하라고 하는 양은 F(y) 자체가 아닌 이의 도함수인 F'(y)입니다. 그래서 말씀해주신 이유로 F(0)=0인 것은 맞지만, 이는 F'(0)=0임을 시사하지는 않는 것 같습니다! 혹시 제가 선생님의 질문을 잘못 이해하였다면 또 질문해주시기 바랍니다!

@@snu7244 확인 및 답변 감사드립니다! 영함수의 정적분값은 0이지만, 어떤 함수의 정적분값이 0이라고 해서 해당 함수가 반드시 영함수인 것은 아님을 이해했습니다. 그런데 아직 본래 질문을 해결하지는 못했습니다 ㅜㅜ 문제가 d/dy \int_{1}^{\pi} sin(xy)/x \, dx을 구하는 것인데 y=0이라면 d/dy \int_{1}^{\pi} sin(xy)/x \, dx = d/dy \int_{1}^{\pi} 0 \, dx = d/dy 0 = 0이 아닌가요? d/dy를 적분기호 속으로 넣더라도 d/dy \int_{1}^{\pi} sin(xy)/x \, dx = \int_{1}^{\pi} d/dy 0 \, dx = \int_{1}^{\pi} 0 \, dx = 0이 아닌지 여쭙습니다...!

문제에서는 y에 대한 함수 integral(x=1 to pi) (sin(xy)/y)dx의 도함수를 구할 것을 요구하고 있지만, 우선 저는 예시로서 y에 대한 함수 sin(y)의 y=0에서의 미분계수를 구하는 문제를 생각해보겠습니다. 사실 저희는 이미 sin(y)의 도함수는 cos(y)이고, 따라서 y=0에서의 sin(y)의 미분계수는 cos(0), 즉 1이 된다는 것을 알고 있습니다. 하지만 sin(y)의 y=0에서의 함숫값이 0이라는 것을 근거로, [y=0에서의 sin(y)의 미분계수] = d/dy sin(0) = d/dy 0 = 0 과 같은 결론을 얻을 수는 없습니다. 왜냐하면, 다시 일반적인 함수 f(y)로 돌아와서, 어떤 함수 f(y)의 y=0에서의 미분계수를 구한다는 것은 [f(y)의 도함수 f'(y)를 먼저 구한 다음 y=0을 대입]하는 것이지, [f(y)에 먼저 y=0을 대입해서 f(0)을 구한 다음 상수함수 f(0)을 미분한 것] 이 아니기 때문입니다. 그럼 혹시 선생님의 논의에서 어색한 부분을 이해하셨을까요? 아직 이해가 안되시는 부분이 있으면 또 질문 주시기 바랍니다!

@@snu7244 와 이제 명확히 이해되었습니다! 정말 감사합니다!!!

그렇게 비교하실 경우 sigma(log(n)/n^(3/2)) < sigma(n^(3/2)/n^(3/2)) = sigma(1)= infinity 과 같은 비교를 얻게되어 주어진 급수가 발산하는 급수보다 작다는 결론을 얻는 것 같습니다. 비교판정법은 간단히 말해 수렴하는 급수보다 작은 급수는 수렴하고, 발산하는 급수보다 큰 급수는 발산한다는 것이라서 만약 비교를 통해 주어진 급수가 수렴하는 급수보다 크거나, 발산하는 급수보다 작다는 결론을 얻으시면 비교판정법으로 말할 수 있는 것이 없습니다. 그래서 저는 1. log함수는 임의의 차수의 다항함수보다 약하므로 사실상 주어진 급수의 수렴여부는 sigma(1/n^(3/2))와 같을 것이라는 직관을 얻은 후, 2. sigma(1/n^(3/2))는 p-급수 판정법에 의해 수렴하므로, 3. 비교판정법을 적용하기 위해서 log(n)/n^(3/2) 보다 크되 수렴여부가 보장되어 있는 다른 급수를 찾아야한다 라는 사고과정을 바탕으로 log(n)과 n^(1/4)를 비교한 것입니다! 물론 log(n)과 n^(1/2024) 같은 것을 비교하더라도 결과적으로 수렴하는 급수를 얻어 상관없지만, 말씀하신 n^(3/2)과 비교를 할 경우 비교하는 급수가 발산하여 주어진 급수의 수렴성을 얻어내지 못하기 때문에 "급수의 수렴을 타겟팅"하는 우리로서는 다른 급수를 찾을 필요가 있는 것입니다. 답변이 도움이 되었길 바라며, 혹시 제가 선생님의 질문을 잘못 이해했거나 답변중 이해가 어려운 부분이 있다면 언제든 또 질문 주시기 바랍니다!

@@snu7244 감사합니다!

앗, 그러네요... 애초에 x가 음수이면 x^x자체가 정의가 안되는데 제가 잘못 생각했습니다 ㅠㅠ 그래서 문제 자체가 lim_(x->0) x^x이 아닌 lim_(x->0+) x^x로 출제되어야 하고, 이 때 풀이는 영상에서 푼 것과 같습니다. 잘못된 부분을 알려주셔서 감사드립니다☺

@@snu7244 답변 감사합니다 😄

앗 그렇군요, 그렇게 쉽게 계산 할 생각을 못하고 너무 쌩으로 계산했네요 🤣🤣 저도 좋은 방법 공유해주시고 좋은 말씀 해주셔서 감사드립니다😊

​@@snu7244 혹시라도 저처럼 독학으로 공부하시는 분들이 있을까봐 선생님이랑 다르게 풀이한 부분들 중에 혹시라도 다른 분들께 도움이 될 수 있는 부분들도 있을까 하여 가끔 이렇게 댓글 남겨보려 합니다 ㅎㅎ... 대학수학 공부를 학교 강의만 들어서는 1학기 내에 따라가기가 정말 버겁다고 생각되는데, 학생들을 위해서 바쁜시간 쪼개셔서 이렇게 좋은 강의 올려주셔서 정말정말 감사드립니다. 다른분들이 말씀해주셨듯 선생님께서는 수학 공부를 하는 학생들의 등대이자 빛이자 구원이세요. 정말정말 감사하다는 말로도 감히 표현할 수 없을만큼 많은 도움 받고있습니다 😄

일반적으로 지수를 조작하면 항상 다항함수와 지수함수의 크기 관계가 그대로 성립하지는 않는 것 같습니다. 예를 들어 e^n의 지수를 n에서 logn으로 조작하면 e^(logn)=n이 되어 다항함수의 증가율을 갖게 됩니다. 그래서 선생님이 예를 드신 루트n 같은 지수에 다항함수가 아닌 것이 오게 될 경우 원하는 크기관계가 바로 성립한다고 말하면 안되고 따로 증명을 해주셔야 감점을 피할 수 있을 것 같습니다!

@@snu7244 와 바로 이해했습니다. 정말 감사합니다 😄

오 완벽한 논리임은 두 말 할 것도 없고, 저의 방법보다 더 간단하고 명확한 풀이인 것 같습니다! 저야말로 좋은 테크닉 알려주셔서 감사드립니다 ㅎㅎ

@@snu7244 헉 바로 답변 주시다니 감동... 선생님의 명강의 덕에 수학 공부가 너무 즐겁네요. 정말 감사합니다 😄

​@@snu7244 그냥 이렇게 생각해도 되나요? {1- (1/n^2) )^(n^3)={1- (1/n^2) )^(n^2 * n)이고 {1- (1/n^2) )^(n^2)= 1/e 니까 {1- (1/n^2) )^(n^2 * n)= (1/e)^n이라서 n->inf 일때 {1- (1/n^2) )^(n^3)이 0으로 수렴한다고 보여도 되나요?

축하드립니다! 대학생활 하시면서 다른 과목들도 좋은 성적 받으시길 바라겠습니다😊