Видео

Vielen Dank für den Hinweis. Also, wann immer ich Modul auf der zweite Silbe betone, oder das Modul oder die Module sage, ist es falsch. Es ist der Modul und die Moduln mit Betonung auf dem o.

Vielen Dank!

Vielen Dank und und ein gutes 2025.

Ja, ich kann das nachvollziehen. Eine abstraktere Alternative könnte kovariant/kontravariant sein. Ich habe steigend/fallend gewählt, um zu betonen, dass \subseteq eben auch eine Ordnungsrelation ist.

@@kategory Ah, ja. Das gemeinsame Motiv ist Relation erhalten oder umkehren. Je nach Art der Relation haben sich dann Spezialwörter dafür etabliert. Bei Funktionen ko/kontravaiant, bei Ordnungsrelationen iso/antiton. Ich freue mich, dass du mich auf diesen Zusammenhang hingewiesen hast.

Vielen Dank 🙂

Danke. Gute Idee!

Zunächst Winkel und Seitenlängen vergleichen. Dann 1. Binance-Deposit-Adresse ermitteln: Melden Sie sich bei Ihrem Binance-Konto an. Gehen Sie zur "Wallet"-Sektion und wählen Sie "Fiat und Spot". Suchen Sie USDT und klicken Sie auf "Einzahlung". Wählen Sie das passende Netzwerk aus (z.B. ERC-20, wenn Sie USDT auf der Ethereum-Blockchain verwenden). Notieren Sie sich die angezeigte Deposit-Adresse. Diese Adresse ist einzigartig für jede Transaktion und jedes Netzwerk. 2. OKX-Wallet vorbereiten: Melden sich bei Ihrem OKX-Konto an. Gehen Sie zur "Wallet"-Sektion und wählen Sie USDT aus. Klicken Sie auf "Abheben". Geben Sie die von Binance erhaltene Deposit-Adresse genau ein. Überprüfen Sie die Netzwerk-Auswahl: Stellen Sie sicher, dass das in OKX ausgewählte Netzwerk mit dem in Binance gewählten übereinstimmt. Geben Sie den Betrag an USDT ein, den Sie transferieren möchten. 3. Transaktion bestätigen: Überprüfen Sie alle Details sorgfältig, bevor Sie die Transaktion bestätigen. Bestätigen Sie die Transaktion mit Ihrem 2FA (Zwei-Faktor-Authentifizierung) oder anderen Sicherheitsmaßnahmen. Transaktionsstatus überprüfen: Nach einigen Minuten (abhängig von der Netzwerklast) können Sie den Status Ihrer Transaktion sowohl in OKX als auch in Binance überprüfen. Aber wie Du schon sagtes "etwas" außerhalb des Themas. 😉

Vielleicht ist es ja nur verschüttet und nicht verloren. Viel Spaß mit der Mathematik ...

Danke, das freut mich.

Thank you very much. Maybe that's an occasion to learn German. I took french math-books (for example the books from Bourbaki) as a mean to learn some french.

Tja, das ist eine sehr gute Frage. Bei den (von mir gedachten) Zielgruppen gibt es zwei Ebenen: (A) Der Kanal Kategory insgesamt und (B) die Playlist “Grundschule. Ich liste sie: (A) Kanal Kategory: 1. Ich selber. Ich wollte schon immer mal meine vielen Gedanken und Ideen aufschreiben und habe dann Lust bekommen, sie in Videos umzuwandeln. 2. Lernende und Studierende aller Art, die verstehen wollen. Denen mathematische Erkenntnis an sich mindestens so wichtig ist, wie deren Anwendung. 3. Begeisterte der Mathematik. (B) Playlist “Grundschule” und “Mittelstufe” (die Gruppen von oben plus …): 4. Menschen, die über die Didaktik der Mathematik in der Schule nachdenken. Ich finde, dass der Mathematik-Unterricht viel zu sehr dem Erdkunde-Unterricht ähnelt. Ich verfolge in der Playlist “Grundschule” das Projekt, dass man am Ende die Logik und Korrektheit des schriftlichen Dividierens sieht. Dass sich der Algorithmus aufdrängt. Im Sinne einer Erleuchtung. Ob das klappt, werden wir sehn. Leute, die das Thema langweilt, die sich durchquälen, weil sie irgendwas bestehen wollen/sollen, sind nicht die primäre Zielgruppe. Es gibt ja schon viele Anleitungsvideos. (Aber es würde mich freuen, wenn der eine oder andere gequälte von meinen Filmen profitiert.) Ich überlege zurzeit, ob ich die nächsten Filme des Packungs-Rechnens kürzer mache.

Vielen Dank. A=B steht standardmäßig für "A enthält die gleichen Elemente wie B". Für "A hat gleich viele Elemente wie B" schreiben wir eigentlich |A|=|B|. Ich wollte den Anfang nicht mit Notationen überladen. Aber die Doppeldeutigkeit ist auch nicht gut, da hast du recht.

Schön, dass Dir die Filme gefallen. Beim Thema "Deutsch" bin ich allerdings keine Referenz. Das kann ich selber nicht so gut. Insbesondere bei der Rechtschreibung kann man sich nicht auf das verlassen, was ich anschreibe.

Ich bin schon nach 10 Sekunden ausgestiegen

@saschamm4864 Tiktocker?

Dies ist ein wichtiger Hinweis. Wobei für mich 22 Min schon schnell sind ;-) Ich werde bei den nächsten Videos prüfen, ob ich Dinge straffen kann, ohne Sachen wegzulassen, die ich sagen möchte. Die Frage ist, was müssen wir machen, damit bei Mathematik-Neueinsteigern ein noch nicht vorhandenes Verständnis geweckt wird?

Vielen Dank. In ZFC: Wenn wir "für alle Klassen ..." sagen, reden wir über Formeln, über Texte und nicht über mathematische Objekte. Das "für alle" ist somit ein Teekesselchen. Nur in der Bedeutung "für alle Mengen ..." ist es Teil der mathematischen Sprache und damit in Wirklichkeit ein Quantor. Das empfinden wir oft unbefriedigend, weil wir über Klassen so exakt reden, das es grammatisch vom Reden über Mengen nicht zu unterscheiden ist. Eine Lösung ist NBG (Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre, de.wikipedia.org/wiki/Neumann-Bernays-G%C3%B6del-Mengenlehre): hier können wir über Klassen quantifizieren. Da aber die gültigen Aussagen über MENGEN in ZFC und NGB die selben sind, da ZFC einfacher ist und da ZFC ein weit verbreiteter und akzeptierter Standard ist, fangen wir hier im Bachelor-Kurs mit ZFC an. Egal in welchem System wir uns bewegen: wir kommen nicht umhin, den Unterschied zwischen mathematischen Aussagen und Aussagen über mathematische Aussagen (auch meta-mathematische Aussagen genannt) gut auseinander halten zu können.

Danke. Die Gründe für mein "Sträuben": 1. Ich habe so angefangen. 2. Ihren Ansatz finde ich interessant, kenne ihn aber nicht gut. 3. Die gewählte Art findet sich an vielen Stellen (z.B. de.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6cher_(Mathematik)) und 4. (am wichtigsten) So wird es im Buch von Saunders Mac Lane gemacht, an dem ich mich entlang hangele.

@kategory Ja, ja, ich weiss! Eigentlich hätte ich die Frage "Warum sträuben Sie sich?" besser so schreiben sollen: "Warum sträuben sie sich?". Der Ansatz mit den degenerierten Abbildungen (sog. reflexive Graphen) ist in der Literatur tatsächlich spärlich vertreten, obwohl eleganter und "korrekter". Bei der Berechnung der Exponentialobjekte spielt es dann eine wichtige Rolle, welchen Ansatz Sie wählen. By the way: haben Sie schon mal überlegt, wie Sie Graphenprodukte machen? Das wird bei der Berechnung der Exponentialobjekte mitunter wichtig, vor allem, wenn Sie "schönfinkeln" (oder Currying anwenden). Überlegen Sie mal, was Sie als Produkt des Intervallgraphen mit sich selbst erwarten (als "Intervallgraphen" bezeichne ich den Graph mit zwei Knoten A und B und einer Kante e: A -> B; dieser Graph spielt im Yoneda-Yoga der Graphenprägarben eine gewichtige Rolle). In Ihrem und Descartes Fall werden Sie ein unbefriedigend-unzusammenhängendes Gebilde erhalten, das kaum Ihrer Vorstellung von IxI entspricht. Das bedeutet für mich, dass wir eine andere Produktdefinition für Graphen benötigen, als das kartesische.

Danke für Lob und Hinweis. Ich wollte das Filmen mit 8K in der Tat noch lange nicht anfangen. Ich werde versuchen an die Schriftgröße zu denken. Ich plane, wenn ich mit der Reihe "Berechenbarkeit" alles, was ich sagen wollte, fertig habe, eine Reihe "Mathematische Logik" nach Ebbinghaus, Flum, Thomas. Bei meinem jetzigen Tempo wird sich das allerdings noch etwas ziehen.

@@kategory Großartig!

Vielen Dank und schön, dass die Serien hilft. Das Buch kenne ich nicht und werde es mir ansehen.

Ja, das tut mir leid. Ich habe eine neue Kamera und dabei völlig vergessen, mich um die Audioeinstellungen zu kümmern. Ich arbeite daran ...

Schön, dass Dir das Video gefallen hat. Die aufgeworfenen Fragen finde ich sehr spannend und sie beschäftigen mich auch. Aber mein Einblick dort ist zurzeit nicht ausreichend für eine Beteiligung an einer Diskussion.

Danke für das Lob. Z. B. in meinem Video ruclips.net/video/tFEn2GoLLEQ/видео.html oder Wikipedia: de.wikipedia.org/wiki/%CE%9C-Rekursion. Es gilt folgender Satz: Eine Funktion ist genau dann μ-Rekursiv, wenn sie turing-Maschinen-berechenbar ist. Intuitiv sind es die, die wir mit normalen Programmiersprachen programmieren können.

Klar, den Wikipediaartikel kenne ich und habe ihn schon oft gelesen, vielleicht zum ersten Mal schon vor paar Jahren. Aber da bleibt ja vieles unklar, wenn man sich nicht hinein vertieft. Warum "rekursiv"? Warum "mü"? Was ist mit dem mü-Operator? Usw. Ihr diesbezügliches Video habe ich möglicherweise noch nicht gesehen. Danke für den Hinweis!

Oh ja, die Mü-Rekursion haben sie ja in einem anderen Video hervorragend erklärt. Das habe ich mir jetzt zu Gemüte geführt und es sehr genossen. Zusammen mit dem aktuellen Video zu Entscheidbarkeit, haben Sie da ein schönes Stück moderner Mathematik vorgestellt. Wie wäre es jetzt mit einem Video, das die Aequvalenz der mü-Rekursion mit dem Lambdakalkül aufzeigt?

@@addor2 Einem anderen Kommentar entnehme ich, dass Du das Video gefunden hast. Aber falls hier jemand mitliest: hier wird etwas zu dem mü erzählt ruclips.net/video/tFEn2GoLLEQ/видео.htmlsi=tulrgTcl3YWa162w

@@addor2 Tja, es gab schon jemanden, dem ein Video über lambda gefallen würde. Ich dachte ich mach das mal eben. Aber, die Äquivalenz bekommen wir nicht in einem Video unter. Da müssen wir schon ein wenig arbeiten. Das war mir nicht klar. Jetzt weiß ich aber, warum in den einfachen Büchern, dieser Teil ausgespart wird. Bei meinen Recherchen bin ich auf das Yellow Book gestoßen: Hendrik Pieter Barendregt, "The lambda calculus. Its syntax and semantics" von 2014. Eigentlich müsste ich da mal eine ganze Playlist draus machen. Gekauft habe ich es mir schon mal. Mal sehn.

Hallo, danke für die Frage. Ein Funktor ist eine Morphismus in der Kategorie der (kleinen) Kategorien und gleichzeitig ein 1-Morphismus in der 2-Kategorie der Kategorien. Eine natürliche Transformation ist ein Morphismus zwischen Morphismen und damit ein 2-Morphismus in der 2-Kategorie der Kategorien. (In Wirklichkeit gehören zu der Definition von 2-Kategorie noch weitere Eigenschaften, die hier aber erfüllt sind). Der Zusatz Endo wird verwendet, wenn Beginn und Ende eines Pfeils gleich sind. Zu 3-Kategorien kommen wir nicht so leicht. Sie passen hier noch nicht in den Kurs. ncatlab.org/nlab/show/3-category.

Wenn wir statt vieler Ableitungsregeln mehr Axiome (Tautologien) haben, reden wir vom Hilbert-Kalkül, de.wikipedia.org/wiki/Hilbert-Kalk%C3%BCl. Zu diesem sagt die WIkipedia-Seite: Die Beweisführung innerhalb eines Hilbert-Kalküls ist oftmals sehr aufwendig und es ist nicht trivial ersichtlich, wie eine aussagenlogische oder prädikatenlogische Formel aus dem Kalkül abgeleitet werden kann. Im Gegensatz dazu stehen Systeme des Natürlichen Schließens, unter anderem das von Gentzen entwickelte System oder der Fitch-Kalkül. In derartigen formalen Systemen ist die Beweisführung sehr viel ähnlicher der des üblichen deduktiv-mathematischen Argumentierens. Systeme des Natürlichen Schließens sind regelbasiert; sie haben keine Axiome, dafür allerdings eine große Anzahl von Schlussregeln. Konträr dazu haben Axiomensysteme in der Regel viele (möglicherweise sogar unendlich viele) Axiome und nur eine Schlussregel. Der zweite Unterschied besteht darin, dass Systeme des Natürlichen Schließens es erlauben, Aussagen zum Zwecke der Beweisführung kurzfristig anzunehmen und diese später wieder zu verwerfen. Nun zu deiner Argumentation: Was ist P? Es ist eine Variable für ein Prädikat. Etwas, was es in ZFC gar nicht gibt. Aus diesem Schlamassel kommen wir in ZFC so raus: Wir nennen ∃y∀x( x∈y ⇔P(x) ) ein Axiomen-Schema und meinen damit alle unendlich vielen Varianten aufgelistet, eins für jedes P: Axiomen-Schema (*) ∃y∀x( x∈y ⇔x=3 ) ∃y∀x( x∈y ⇔x∉x ) ∃y∀x( x∈y ⇔ x+3 > 4 ) … Da diese alle gelten, gilt auch ∃y∀x( x∈y ⇔x∉x ), Dein B. Das führt zu Deinem ¬C∧C. Da wir diesen Widerspruch nicht haben wollen, müssen wir das Schema (*) ausdünnen. Wir können auch weiter schließen zu ¬(∃y∀x( x∈y ⇔x∉x )). Ein weiterer Widerspruch, was die Sache aber nicht schlimmer macht. ¬(∃y∀x( x∈y ⇔P(x) ) ) gilt dann auch, einfach, weil im Falle eines Widerspruchs alle Aussagen ableitbar sind. Es gilt aber aus dem selben Grund auch ∃y∀x( x∈y ⇔P(x) ), und es war ja ein Axiom, und die gelten immer. Wir ändern die Mathematik, indem wir axiomatisch weniger fordern, um den Widerspruch zu vermeiden.

@@kategory Erlauben Sie mir das in meinen eigenen Worten zu formulieren um zu schauen ob ich es verstanden habe: Wir haben folgende aussagenlogische Beweisstruktur (A⇒B)∧(B⇒(C⇒¬C))∧(B⇒(¬C⇒C)) ⇒ (A⇒¬C∧C) (1) mit A: ∃y∀x( x∈y ⇔P(x) ) B: Es gibt die Menge R ∶= { x : x∉x } C: R∈R ¬C: R∉R . Wir können A⇒B und B⇒(C⇒¬C) und B⇒(¬C⇒C) beweisen. Daher muss laut (1) A⇒¬C∧C bzw. ∃y∀x( x∈y ⇔P(x) ) ⇒ R∉R ∧ R∈R gelten. Aus ∃y∀x( x∈y ⇔P(x) ) (als Schema) können wir einen Widerspruch folgern. Wir wollen aber nicht aus unseren Axiomen Widersprüche folgern können. Daher verwerfen wir ∃y∀x( x∈y ⇔P(x) ) als Axiomen-Schema bzw. modifizieren es bzw. schränken es ein zu ∀x∃y∀z( z∈y ⇔z∈x ∧ P(z) ). So richtig?

(A⇒B)∧(B⇒(C⇒¬C))∧(B⇒(¬C⇒C)) ⇒ (A⇒¬C∧C) (1) mit A: ∃y∀x( x∈y ⇔P(x) ) B: Es gibt die Menge R ∶= { x : x∉x } C: R∈R ¬C: R∉R . Wir können A⇒B und B⇒(C⇒¬C) und B⇒(¬C⇒C) beweisen. Daher muss laut (1) A⇒¬C∧C bzw. ∃y∀x( x∈y ⇔P(x) ) ⇒ R∉R ∧ R∈R gelten.

@@kategory RUclips scheint immer wieder meine Antwort (die ich schon vor 4 Monaten schrieb) auf Ihre Antwort zu löschen, daher zerstückel ich meinen Kommentar mal:

Erlauben Sie mir das was Sie sagten in meinen eigenen Worten zu formulieren um zu schauen ob ich es verstanden habe: Wir haben folgende aussagenlogische Beweisstruktur

Schön, dass Dir der Kanal gefällt. Die Videos von Richard E Borcherds sehe ich sehr gerne. Meine Nummerierung hat im Wesentlichen die Aufgabe, dass zwischen beliebigen zwei Videos immer noch eins eingefügt werden kann. Beim Organisieren der Reise ergeben sich dann für die linken Bestandteile gewisse Regeln.

Tja, das liegt am zu dieser Zeit von mir gewählten Autofocus. Der hat in dieser Situation keine gute Arbeit geleistet. Mittlerweile nehme ich einen festen Focus und bin mit dem Ergebnis zufriedener.

Nachdem ich begriffen haben, dass eine Yoneda-Einbettung von der anderen Richtung betrachtet eine Yoneda-Erweiterung ist, wollte ich eine Entsprechung der Erweiterung der reellen Zahlen zu den komplexen finden. Schön, dass es Dir gefällt.

Vielen Dank!

Aha, da gibt's ja bereits ein sehr schönes Video über Yoneda, wo Prägarben schon eingeführt werden. Wer also hier ist, sollte unbedingt auch das ansehen: ruclips.net/video/NjQjofK2PU0/видео.htmlsi=G12ROJAAS6zK5eOf

Du hast recht, es drängt sich auf. Das volle Yoneda-Yogaprogramm kommt nach meinem Plan später ich wollte Prägarben schon als Beispiele einführen. Auch damit man sich schon mal daran gewöhnen kann. Wenn dann Yoneda kommt, kennt man die dann schon ein wenig.

@@addor2 Danke für den Hinweis. Den hätte ich natürlich auch bringen können.

Ich kenne den Begriff degenerierte Kante nicht. Könntest Du eine Definition oder einen Verweis auf eine solche geben? Danke.

@@kategory Ach so! Leider eben gibt es wenig Literatur dazu, was ich überhaupt nicht verstehe. Je nachdem, mit welcher Basiskategorie du für deine Prägarben beginnst, hast du zwei Morphismen s und t von A nach N, sowie einen Morphismus d von N nach A so, dass s*d=t*d=id(N). Oder du beginnst schon mit der dualen Basiskategorie, dann sind die Morphismen umgekehrt. Intuitiv: d ordnet jedem "Knoten" (im Bild der Prägarbe von N) eine "degenerierte" Kante zu, die aber keine Schleife ist, sondern noch "kleiner", quasi ganz im Knoten drin verläuft. Das hat ein paar Vorteile: 1. es gibt mehr und natürlichere Graphenmorphismen. Stell dir nur schon vor, du möchtest den (gerichteten) Intervallgraph mit einer Kante und zwei Knoten auf sich selbst abbilden. In deinem Fall gibt es bloss den einen Isomorphismus. Mit degenerierten Kanten kannst du den Intervallgraph aber einmal isomorph abbilden, einmal auf den Anfangsknoten und einmal auf den Endknoten kollabieren lassen. Die Kante geht dann jeweils auf die entsprechende degenerierte Kante über. 2. Versuche einmal, das (kartesische) Produkt zweier Graphen zu konstruieren, z.B. zweier Intervallgraphen. Was kommt denn da für ein Krüppel heraus!? Ganz und gar nicht das, was wir uns unter einem Quadrat vorstellen. Aber genau das möchten wir doch! Mit Intervallgraphen mit degenerierten Kanten ist es etwas besser und wenigstens zusammenhängend, aber leider bleibt die verhasste Diagonale immer noch im Produkt drin. Da hilft nur ein neu zu definierendes (Tensor)produkt, das das kartesische ablöst. Das geht aber nur mit Graphen mit degenerierten Kanten. Du siehst, es gäbe viel zu erzählen. Aber das führt hier zu weit. Sebastiano Vigna hat ein interessantes Paper geschrieben (arxiv.org/pdf/math/0306394), das aber leider auch nur irreflexive Graphen betrachtet. Erst ganz am Schluss, in der Conculsion, erwähnt er reflexive Graphen, mit einem Pointer auf Lawvere. Herzlichst, Peter

Wir könnten ja auch versuchen ein mathematisches Model von Videos über Videos über Mathematik über Mathematik zu erstellen 😉

Es ist ein sehr interessanter Gedanke, Theoreme als Objekte (A, B, …) und Beweise, die aus einem Satz einen anderen herleiten (A -> B) als Homomorphismen einer Kategorie zu betrachten. Oder Beweise als Objekte und deren Umwandlung in andere Beweise als Homomorphismen. Die Ansätze, die ich kenne, passen nicht in eine Einführung in die Kategorientheorie, da sie sehr viel voraussetzen. Die sind zu finden in 1. Homotopy Type Theory, 2. Lambek and Scott: Introduction to higher order categorical logic und 3. John C. Baez, Mike Stay: Physics, Topology, Logic and Computation: A Rosetta Stone. Siehe math.stackexchange.com/questions/902506/the-category-of-theorems-and-proofs. Wenn ich auf einen einfacheren Ansatz stoße, nehme ich die Idee wieder auf.

@@kategory Danke. Mache nächstes Semester ein Hauptseminar über Kategorientheorie und bin schon gespannt, was ich da so lerne. Beweistheorie interessiert mich schon länger. Vielleicht finde ich ja noch was dazu heraus.

"Durch zählen kommen wir sicher nicht zu allen Zahlen und es gibt auch kein Verfahren, dass man verwenden könnte, um zu allen Zahlen zu gelangen, da jeder Schritt eine endliche Zeit lang dauert." Das ist der Mathematik egal. Da unendlich existiert, darf es auch unendlich Zeit dauern irgendwohin zu gelangen. Mathematik ist nicht Physik und auch keine Abstraktion der Realität.

@@rainerherrmann7025 Das waren die Gründe, die im Video für die Existenz genannt wurden. Wenn das der Mathematik egal ist, dann kann sie darüber auch nicht die Existenz der Unendlichkeit begründen. Was genau legitimiert die Mathematik die Existenz der aktualen Unendlichkeit zu behaupten? Axiome kommen zudem nicht ohne einen Realitätsbezug aus, da man sie sonst willkürlich formulieren würde, sofern sie nicht anderen Axiomen widersprechen.

@@gwlmtg1054 Das ist ein Mißverständnis. Die Mathematik definiert ihre Objekte und die Relationen bzw. Operationen mit ihnen. Mathematik beweist keine Wirklichkeit und ist keine Ontologie. Mathematik schert sich nicht um Wirklichkeit, auch wenn sie dort dauernd Anwendung findet. Ein Objekt kann zum Beispiel die Menge der natürlichen Zahlen sein und dann führen logische Schlüsse daß die Mächtigkeit ("Anzahl der Elemente") dieser Menge größer als jede natürliche Zahl sein muß. Das ist eine mögliche mathematische Definition von unendlich.

@@rainerherrmann7025 Ich habe nicht von Definitionen, sondern von Axiomen gesprochen. Ich empfehle ihnen das Buch Philosophie der Mathematik (2010) von Thomas Bedürftig und Roman Murawski diesbezüglich zu lesen.

@@gwlmtg1054 "Die Erweiterung der zweiten Auflage betrifft im Kern drei Themen: Die Differenz zwischen Wahrheit und Beweisbarkeit, das philosophische Problem der Anwendbarkeit der Mathematik und den Begriff des Kontinuums. Sie führte zu einer Überarbeitung weiter Teile des Buches. Der Rückblick ist neu geschrieben" Genau darum geht es in meiner Aussage. Es geht in der Mathematik immer um Beweisbarkeit, nicht um Wahrheit in der Realität im ontologischen Sinn. Die Mathematik ist extrem erfolgreich auch als Anwendung, aber eigentlich ist einem Mathematiker die Anwendbarkeit schnurz egal,

Danke für den Einwurf. Es kommt auf die Definition des Begriffs “natürliche Zahl” an. Kann sein, dass bei Adam Ries die 0 keine “zal” sondern nur eine der “zehen figurn” (zehn Ziffern) ist. So erscheint es mir beim Durchblättern von “Rechnung auff der Linihen und Federn / Auff allerley handthierung gemacht / durch Adam Risen (1522)”. Dann beginnen die Zahlen mit 1,2,3,4,5, … . Die 1 ist die erste Zahl und die Zehn die 10-te. In diesem Kurs werden die natürlichen Zahlen hingegen so definiert, dass sie mit der 0 beginnen. Die 0 ist damit eine natürliche Zahl, und zwar die erste. Damit ist die 1 die zweite Zahl und die Zehn die elfte. Diese Asymmetrie ist womöglich ein Grund für einige von uns, die Null wegzulassen. Die Idee, die 0 die nullte Zahl zu nennen, empfinde ich als schrullig. Außerdem enthält die Menge {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} definitiv 11 Elemente, was ja auch eine Art Symmetrie ist.

@@kategory Vielen Dank für Deine Antwort. Ich empfinde den klassischen Zählprozess eigentlich auch interpretierbar unter moderner, bourbakistischer Sichtweise. Ein Adam Riese hätte für die Null bei Eins anfangen zu zählen sollen und dann festgestellen sollen, dass er die Null nicht erreichen kann, also die leere Menge enumeriert. Ich bin aber absolut bei Dir die Null als natürliche Zahl zu sehen. Fast alle Definitionen und Sätze sind entsprechend interpretierbar und übliche Beweisverfahren wie noethersche, epsilon oder wohlfundierte Induktion sind häufig auf leere Anfangsbedingungen zurückzuführen. Das ist ja dann auch die Darstellung der Null. Interessant empfinde ich weiter, dass anscheinend schon damals Ansätze zu erkennen sind, die unterscheiden zwischen dem Konzept der zehnten Zahl auf Meta-Ebene und der Zahl auf Objektebene. Auch Endlichkeit an sich ist gar nicht so einfach zu definieren in der axiomatische Mengenlehre.

Danke für das Interesse. Ich werde schauen, wo sich das unterbringen lässt. Zumindest der Lambda-Kalkül passt in die Reihe über Berechenbarkeit.

Vielen Dank für die Korrektur. Ich gehöre auch zu den Verfechtern des 10er-Systems. Allerdings aus pragmatischen und nicht aus mathematischen Gründen. Du hast recht, historisch ist nicht nachgewiesen, dass das 10er-Systems auf Grund unserer Fingerzahl erfunden und sich durchgesetzt hat. Ich hätte das so nicht sagen sollen. Besser wäre: Weil wir 10 Finger haben, können wir sie beim Rechnen unter anderem im 10er-Systems gut einsetzen.

Gute Frage. Wir schreiben gerne ähnliche Objekte mit ähnlichen Buchstaben. Z.B. bei Zahlen einzelne Zahlen mit kleinen und Mengen von Zahlen mit großen Buchstaben. Oft verwenden wir kleine Buchstaben für Grundobjekte und große für komplexere. Welche Buchstabenart für was genommen wird, hängt von dem Bereich ab, in dem wir uns gerade befinden. In der Mengenlehre gibt es nur Mengen. Elemente sind selber immer auch Mengen. Mengen sind Grundobjekte. Deswegen nehmen wir gerne kleine Buchstaben für Mengen, wenn wir Mengenlehre betreiben.

Vielen Dank für das Platzieren dieser Schlussregeln. In dem hier genutzten Rahmen (ZFC mit klassischer Logik) sind beide Aussagen äquivalent zu tertium non datur. Sie sind jede für sich genommen wichtig, Grundlage vieler Beweise und interessant. Sie verdienen eventuell sogar ihre eigenen Videos.

was soll denn "<>" bedeuten?

Gern

Vielen Dank. Eine meiner Hoffnungen ist ja, dass diese Darstellung dem einen oder anderen hilft.

Ist das von Dir? Wow. Das werde ich mir speichern.

Du sprichst mir aus dem Herzen ❤

Vielen Dank für die motivierenden Worte.

Vielen Dank :-) Allerdings ertrage ich bei der Erstellung der Videos nicht stoisch ein Leid sondern bekomme Erfüllung und Zufriedenheit

Ich habe das Wort “Selbheit” genommen, damit wir darüber stolpern. Es geht darum, dass der Satz “Seien x und y zwei Zahlen mit 3x = 3y, dann sind x und y gleich” ein salopper Slang für “Seien x und y zwei Bezeichner von Zahlen mit 3x = 3y, dann bezeichnen sie die selbe Zahl”. Es ist in der Mathematik üblich, Wörter der Alltagssprache zu nehmen, ihnen eine präzise Bedeutung zu geben und sie damit von der Alltagsbedeutung zu entkoppeln.

@@kategory Tatsächlich finde ich "Selbheit" und "Selbung" passt sehr gut. Und das sehen auch andere Mathematiker so: ruclips.net/video/SGOxUmMitXE/видео.htmlsi=7b9a6V-yW8xgqb8i&t=1268 bei 21:08.

@@back2back135 Danke für den Link. Ich habe ihn in die Beschreibung des Videos aufgenommen.

@@kategory Auch folgendes Video von Herrn Weitz bietet sich in diesem Zusammenhang gut als Quelle für Ihre Videobeschreibung an: ruclips.net/video/gwuHxysZAvY/видео.html

@@back2back135 Danke. Habe den Link in die Beschreibung aufgenommen

In der Mathematik haben wir den Begriff “Axiom” zweimal: zum einen als Satz, den wir nicht beweisen und als wahr annehmen. Die Rechtfertigung dieser Axiome ist eine durchaus heikle Angelegenheit. In dieser Serie nehmen wir aus pragmatischen Gründen ZFC als Axiome. Zum anderen ist es eine Reihe von Eigenschaften, die einen Begriff definieren. So definieren z.B. die Gruppen-Axiome den Begriff “Gruppe”. Diese Axiome treffen auf einige mathematische Objekte zu, auf andere nicht. Diese Axiome sind völlig harmlos und sollten meiner Meinung nach anders genannt werden.

Meine erste Wahl im Bachelor: "Category Theory" von Steve Awodey. Von den Voraussetzungen kann man auch "Categories for the Working Mathematician" von Saunders Mac Lane verstehen. Aber der Text ist dichter und geht recht schnell voran. Eigentlich kein Bachelor-Text. Und dann noch „Abstract and Concrete Categories“ von Jiří Adámek. Das gibt es für umsonst als PDF unter katmat.math.uni-bremen.de/acc/.

Danke für den Hinweis. Ich geben Dir bei beiden Punkten recht. Die Begriffe links/rechts vollst/eindeutig sind ja sogar eingeführt. Im Nachhinein mag ich "links surjektiv" und "rechts injektiv" auch nicht mehr, aber irgendwie fand ich das zu der Zeit erleuchtend. Vielleicht wollte ich damit betonen, dass diese Begriffe ganz allgemein bei Relationen eingeführt werden können.

Hm, ich bin kein Historiker. Ich habe meine Informationen aus der "Universalgeschichte der Zahlen" von Georges Ifrah. Auch auf Wikipedia wird behauptet, dass die Europäer das indische System von den Arabern bekommen haben: The system was invented between the 1st and 4th centuries by Indian mathematicians. The system was adopted in Arabic mathematics by the 9th century. It became more widely known through the writings in Arabic of the Persian mathematician Al-Khwārizmī (On the Calculation with Hindu Numerals, c. 825) and Arab mathematician Al-Kindi (On the Use of the Hindu Numerals, c. 830). The system had spread to medieval Europe by the High Middle Ages, notably following Fibonacci's 13th century Liber Abaci; until the evolution of the printing press in the 15th century, use of the system in Europe was mainly confined to Northern Italy.