Professor, eu tenho uma dúvida: além de atestar que uma sequência é limitada e monótona; de utilizar o Teorema do Confronto ou perceber que é uma sequência de Cauchy, quais outras ferramentas existem para verificar a convergência de uma sequência? (É um assunto que tenho dificuldade, então estou tentando fazer uma lista com as técnicas disponíveis).
Ferramentas... Ferramentas... Não tem muitas. O que se faz é utilizar algumas estimativas já conhecidas e aplicar várias vezes. Sequência de Cauchy é mais utilizado para Séries Numéricas, principalmente para demonstrar critérios de convergências de séries (E só!). Para sequências... Se a função se estende para o conjunto dos reais, pode utilizar a regra de L'Hospital... Por exemplo, a sequência ln(n)/n converge para 0 pois a função ln(x)/x vai para 0 quando x tende ao infinito. O mesmo argumento procede para raíz enésima de n. Se aparecer o n! (n fatorial)... É na raça mesmo :P. Mas a estimativa e Stirling pode te ajudar muito. Se a sequência é dada por recorrência... Para o estágio que você provavelmente está, é provar por indução que a sequência é monótona a partir de um certo n. Ou na pior das hipóteses, a parte par da sequência é crescente... Os termos impares formam uma sequência decrescente... E ambas as subsequências convergem para o mesmo valor L... Método do ponto fixo pode te ajudar na parte do "pior das hipóteses" no parágrafo acima.. Essencialmente esta é a cartilha que sigo.
9:46 nessa parte eu não entendi a construção que você fez com esse conjunto. se X é um conjunto finito, os elementos de x são os n elementos da sequencia até um natural n ?
O conjunto X é o conjunto de todos os valores que a_n assume para algum n. Mais precisamente, f: N -> R a sequência, em que escrevemos f(n)=a_n. O conjunto X é definido por X=im(f). Na demonstração, devemos considerar dois casos: X é finito ou X é infinito. Se X é finito, existe um elemento x em X tal que a_n = x para infinitos valores de n. Foi essa a argumentação desta parte. Espero ter ajudado! :)
Este profe está a un nivel pro!!! No llego a entender ni la 1/4 parte de lo que habla.... es un crack....
Esta aula é um pouco mais complicada mesmo. Teorema com 2 nomes exige, normalmente, muita atenção! :)
Excelente Professor.
Fico feliz que tenha gostado da aula, Eduardo!
Professor, eu tenho uma dúvida: além de atestar que uma sequência é limitada e monótona; de utilizar o Teorema do Confronto ou perceber que é uma sequência de Cauchy, quais outras ferramentas existem para verificar a convergência de uma sequência? (É um assunto que tenho dificuldade, então estou tentando fazer uma lista com as técnicas disponíveis).
Ferramentas... Ferramentas... Não tem muitas.
O que se faz é utilizar algumas estimativas já conhecidas e aplicar várias vezes.
Sequência de Cauchy é mais utilizado para Séries Numéricas, principalmente para demonstrar critérios de convergências de séries (E só!).
Para sequências... Se a função se estende para o conjunto dos reais, pode utilizar a regra de L'Hospital...
Por exemplo, a sequência ln(n)/n converge para 0 pois a função ln(x)/x vai para 0 quando x tende ao infinito. O mesmo argumento procede para raíz enésima de n.
Se aparecer o n! (n fatorial)... É na raça mesmo :P. Mas a estimativa e Stirling pode te ajudar muito.
Se a sequência é dada por recorrência... Para o estágio que você provavelmente está, é provar por indução que a sequência é monótona a partir de um certo n.
Ou na pior das hipóteses, a parte par da sequência é crescente... Os termos impares formam uma sequência decrescente... E ambas as subsequências convergem para o mesmo valor L...
Método do ponto fixo pode te ajudar na parte do "pior das hipóteses" no parágrafo acima..
Essencialmente esta é a cartilha que sigo.
Excelente aula! Uma duvida. Onde o Teorema de Bolzano-Weierstrass não funciona?
POderia dar um exemplo onde o Teorema de Bolzano-Weierstrass não funciona!
Estava com problemas pessoais, não consegui responder o seu comentário. Conseguiu tirar a dúvida?
9:46 nessa parte eu não entendi a construção que você fez com esse conjunto.
se X é um conjunto finito, os elementos de x são os n elementos da sequencia até um natural n ?
O conjunto X é o conjunto de todos os valores que a_n assume para algum n. Mais precisamente,
f: N -> R a sequência, em que escrevemos f(n)=a_n.
O conjunto X é definido por X=im(f).
Na demonstração, devemos considerar dois casos: X é finito ou X é infinito.
Se X é finito, existe um elemento x em X tal que a_n = x para infinitos valores de n. Foi essa a argumentação desta parte.
Espero ter ajudado! :)