Мне на днях в голову пришла такая задача, кое-чем (но это совсем отдалённая деталь) схожая с этой: AB = 5, AC = 3, BC = 4, AD = 5sqrt(3), BD = 10. Через центры окружностей вписанных в треугольники ABC и ABD проходит окружность w с центром O, лежащим на прямой AB. w пересекает луч AO в точке E. требуется найти длину AE.
*Г.М.Т., из которых отрезок АС виден под углом 15°, представляет собой дугу окружности: (x-a/2)^2+(y-a/(2p))^2 = (a^2/4)*(1+1/(p^2)), где p=tg15°= 2 - √3 , а = АС.* Ещё два уравнения получаются из данных расстояний точки М от точек В и С: (x-a)^2+y^2=2, (x-a/2)^2+(y-a*sqrt(3)/2)^2=4. Решая систему, получим: а = √2. Этот подход хорош тем, что задавая р = tg∡AMC и расстояния ВМ и СМ, можно быстро получить сторону треугольника!
Большое уважение автору канала! Похоже, что он взял паузу (отпуск/каникулы), и это - правильно... Во-первых, зрители уже «подсели» и ждут новых задач, но, не имея таковых, они продолжают разбирать последний ролик, увеличивая его рейтинг) Во-вторых, предложенная задача действительно оказалась очень непростой, несмотря на свою кажущуюся простоту и очевидность ответа… только все требует доказательств, а с ними при заданных условиях, возникают большие проблемы… Поэтому решение, предложенное автором, (судя по комментариям) все же является самым оптимальным: коротко, аргументировано, красиво геометрически. В-третьих, повисает вопрос: как натаскивают японских школьников, чтобы они в ограниченное время нашли полностью обоснованный ответ к задаче? Подозреваю, что не менее половины экзаменуемых должны были «побороть» эту задачу… Кстати, есть ли у автора статистика? Очень длинным получается комментарий, но нужно же предложить и что-то свое) Предлагаю: использовать теорему синусов для тр-ка ВСМ (у которого обозначим угол при вершине В - β, при вершине С - γ, при вершине М - α), тогда имеем: 2*sin(β) = √2*sin(γ), что преобразуем в вид sin(90)*sin(β) = sin(45)*sin(γ). Вот тут я не уверен, нужно ли доказывать, что такое тождество выполняется только при значениях углов β = 45, γ = 90? Подозреваю, что строгая тригонометрия даст только такой ответ (с учетом заданных чертежом условий). Тогда угол α = 45, и мы имеем рассматриваемый тр-к как прямоугольный и равнобедренный.
Ни строгая, ни нестрогая тригонометрия ничего подобного не дадут. Возьмите β =44.5. Получите γ = 82.41... . И на это никакие, заданные чертежом, условия повлиять не смогут. Доказать, что β =45, а γ = 90 можно, конечно, но для этого нужно решить тригонометрическое уравнение с одним неизвестным углом. Или систему. Вот одно из возможных уравнений: (sin15°/sinα)^2-2∙√2∙(sin15°/sinα)∙cos(105° - α) = 1. Я его решил и отметил это ещё 4 дня назад, α= 15, но решение довольно сложное. Приведенное Вами соотношение само по себе ничего не даёт. Нужно ещё одно уравнение.
Да, задачки огонь. Но в идеале хотелось бы чуть другой формат, который в рунете практикуют некоторые математики - даем задачу и неделю любопытным на ее решение. А потом уже выкладываем варианты решения.
Можно слегка расширить рамки задачи. Пусть треугольник будет не равносторонний, а равнобедренный с заданным углом при основании. Используя ГМТ , из которых АС виден под заданным углом АМС (это решение я приводил 4 дня назад), удается решить в общем случае и эту задачу. Так, если ∡АМС =15°, ∡ВСА = 65°, МС = √2, МВ = 2, то основание равнобедренного треугольника равно 1.32705... . Решение проверено построением в графическом редакторе. Если задать условия исходной задачи(∡АМС =15°, ∡ВСА = 60°, МС = √2, МВ = 2), то получается равносторонний треугольник со стороной ровно √2.
Я так думаю, что в Японии проходят точку Торичелли, поэтому эта конструкция им хорошо знакома и не вызывает шока. Я довольно легко (хотя и не так изящно, как в ролике) решил, достроив эту картинку до полной "торичелливой". Если кратко, не доказывая то, что есть в учебниках. На сторонах треугольника BM и CM тоже строятся правильные треугольники BMN и CMP, их описанные окружности (все три, вокруг правильных треугольников ABC, BMN и CMP) которые пересекаются в одной точке T, а также BP и CN, равные AM. Получается всем известная полная картинка про точку Торичелли. Вся сложность была в том, как соединить значение угла и отношение сторон. Там возникает угол ∠MCN = 45°, то есть известно отношение MT/MC = √(2/3) Я попробую объяснить это так, хотя на бумаге это "сразу видно". Это отношение длин сторон вписанного квадрата и вписанного правильного треугольника в окружность (CMP) (и все из за этого угла :)) Но MT - хорда и в окружности (BMN), у которой размеры в 2/√2 = √2 раз больше, то есть MT/MN = 1/√3, то есть угол TMN прямой, что сразу заканчивает решение - там мгновенно находятся все нужные углы. Кто заинтересовался, я очень рекомендую найти книжку Зетеля С.И. "Новая геометрия треугольника", Лучше издание 1962 года, а не 1940. Название популярное, ищите по автору. Там на двух страницах (144-145) очень ясно, просто и подробно изложена вся теория точки Ферма-Торичелли. Ютуб вроде теперь будет позволять делать шорты к комментам, надо будет попробовать.
не, первый способ мне не понравился... я даже расстроился немного.... Маэстро начал предполагать... рассуждать... окружность... я тоже это заметил - и что... но вторая часть - супер! рэмбо вернулся! полный разгром противника по всем правилам ведения боя... спасибо
Да, геомтерия очень пластиная и позволяет практически бесконечно придумывать красивые задачи на базе семи нот! Музыка геометрии вечна. Думаю, Евклид был бы рад.
Напугали первым способом решения! Вот если бы Вы сказали: задача решается элементарно! Моим любимым поворотом. Сморите и учитесь! А так возникают сомнения о невозможности пробить сию стену))
Перенесем отрезок ВС так, что точка С попадет в точку М. Получится параллелограм со сторонами \|2 и х и диагональю 2. Начинают появляться подозрения, что это прямоугольник и, даже более того, квадрат. Если АС=СМ=\|2, то треугольник АСМ имеет углы 150° (60 + 90) и 2х15. Получается-таки это был квадрат...
Единственность есть только если угол ориентированный, есть второе решение, когда AM пересекает прямую BC вне отрезка BC, тогда угол равен (-15) если рассматривать его как ориентированный. Но так как в условии не было сказано про ориентированность и про то, что отрезки AM и BC пересекаются, то решения два. Я второе не искал, вероятно там ничего красивого, хотя кто знает.
@@AndreyDanilkin 1. Если условие задачи не запрещает такое решение, то доказательство его отсутствия обязательная часть решения. Попробуйте доказать. 2. Доказать не получится, потому что оно всё-таки есть. Но поскольку там всякая дрянь вылезает, то надо формулировать так, чтоб это решение было запрещено условием.
Второе решение: сторона треугольника = 2sqrt(2)/sqrt(7+3sqrt(3)+sqrt(60+34sqrt(3))). Действительно, не очень красиво,нужно формулировать так, чтобы это решение не подходило. Как это найдено: 1. Селекционируем попугая равного половине AB, дальнейшие измерения производим этим попугаем. 2. Пусть P - центр окружности p, из точек которой AC виден под углом 15 нужной ориентации, в тругольнике PBC
@@sergeykitov2760 Такое решение, конечно, есть. Вы его позже привели. Я его проверил и даже построил. Всё сходится. А формулировка для запрета такого решения проста: АМ пересекает ВС.
Я, может, глупость скажу, но разве одна сторона не является квадратом другой? У нас одна сторона 2, вторая корень из 2. Это возможно только в том случае, если треугольник прямоугольный. Следовательно, искомая сторона корень из 2.
Нет, конечно. Речь идет конкретно о 2 и корне из 2. Ваш пример - это натуральные числа, для них такого решения не существует. А вот для иррационального числа корень из 2 как раз такое решение есть.
@@SB-7423 Уважаемый коллега! По объективным причинам сразу ответить не смог. Но лучше поздно, чем никогда. Дополнительные построения: 1. Опишем вокруг тр-ка АВС окружность. 2. Из т.В тр-ка АВС опустим перпендикуляр на основание АС и продолжим его до пересечения с окружностью в т.D. BD - диаметр описанной окружности. Дополнительные обозначения: т.Е - точка пересечения отрезка АМ с дугой ВС; т.Р - точка пересечения отрезка ВМ с дугой ВС. Соединим точки D и С отрезком прямой. Проверка на легитимность отрезка DM (вертикаль из т.С вниз). Угол DCM =
Удалось решить задачу для произвольного треугольника. В качестве тестового примера взяты данные: ∡BAC = 45°, ∡ACB = 120°, ∡AMC = 15°, CM = √2, BM = 2. Основание этого треугольника при этих данных должно быть *√(10 - 5∙√3) = √10∙(√3 - 1)/2 ≈1.15747… .*
@@Олег-ц5и4г Два решения. 1) а = 7.2186... , АМ = 14.3905... 2) а = 6.77007... , АМ = 1.30588... . Во втором случае точка слева от треугольника, близко к А.
@@Олег-ц5и4г Проверил только 5.763926... . Подходит точка М слева, внизу. Но это -18 градусов. Эти случаи я не рассматриваю. Проверил и 2.481598656. Тоже угол -18. При правильной ориентации не подходит.
Предположим, что ∠BCM=90° Тогда... BC=AC=√[2²-(√2)²]=√(4-2)=√2=CM, ∠MAC=15°, ∠ACM=180°-2•15°=150°, ∠ACB=150°-90°=60°, что соответствует условию задачи. Вывод: AC=√2
Спасибо. На экзамене, конечно, идею не зачтут. Это версия, гипотеза. Дальше нужно доказывать все, двигаться от вашего предположения. Все же понятно, что прямой угол и \/2. Вопрос, как к этому прийти? Я же в ролике об этом как раз и рассказал (см. 1 -й способ).
@@YardenVokerol Преставьте, что задача звучит так: "Доказать, что угол BCM - прямой". Если задача с выбором ответа (без решения), то ваше предвиденье - гениальное, а если с решением, то "угадывания" не проходят. Но угадывания - это гипотензы, понятно куда двигаться, они очень полезны.
@@GeometriaValeriyKazakov В общем виде доказательство можно сформулировать так: 1) предположим, что выполняется некое условие 2) в этом предположении, опираясь на аксиомы/теоремы предметной области, должно быть справедливо такое-то утверждение 3) если в постановке задачи это утверждение не выполняется, то исходное предположение ложно. 4) если же утверждение подтверждено условием задачи, то предположение доказано. 5) из доказанного предположения формулируется ответ задачи. Не вижу противоречий в этой цепочке... Или они все же есть? PS конечно, при этом ничего не говорится о наличии/отсутствии других решений, то есть решение может оказаться частным.
То. АВМ расположен под углом к горизонтальной пл., довернем его по стороне АС , т. В займет новое положение в т. В1 ( она выше В) то. АВ1С будет иметь натуральный вид , линия СМ также лежит в гор. Плоскости .Построим тр.СМВ2 симмметрично тр.СМВ1 с общим катетом СМ . Тр.В1МВ2 равнобедренный и прямоугольный , т.к.СВ1=СВ2=^из 2 по т. Пифагора .
Выражаю Вам огромную благодарность за Вашу благородную работу на поприще Геометрии , почерпнул много нового . А Фудзияму , я думаю, с Вашей помощью, покорят многие любители Геометрии . Ученые утверждают , что за последние 10000 лет мозг человека не изменился , поэтому Пифагор и Евклид могли бы дать нам фору . Еще раз спасибо .
не уверен на 100% :) Может стоит достроить треугольник ACM1 равный ACM с общей стороной AC Далее проводим окружность с центром в точке С и радиусом СМ МС пересекает ее в какой-то точке К Угол АСК равен 30 градусов так как угол АМС равен 15 градусов, значит угол КСВ равен 90, а следовательно угол ВСМ=90 ну и Пифагор. ВС=СМ
Существуют две точки М. Они лежат на пересечении окружностей с центром и радиусом СМ и ВМ. Найдем эту точку.Из точки С проводим перпендикуляр СМ, а из точки А прямую под углом 15°. М точка их пересечения.Угол АМС=30-15=15. АС=СМ=√2 =ВС, ВМ=2. А вторая симметрична М по АС.
Вторая точка не годится! В этом случае угол между АМ и СМ будет 75°, но НЕ 15°.('Это если точки симметричны относительно ВС). А если симметрия по АС (как Вы написали), то тогда ВМ = 2.732..., а не 2. Если Вы переориентируете угол на -15, то изменится сторона треугольника, теперь она будет 0.588... .
Предположим, что угол MAC больше 15°. Тогда он больше угла AMC и CM > AC = BC, BC^2+CM^2 2CM^2 = 4 = BM^2, угол BCM острый, сумма углов в треугольнике AMC меньше 15°+15°+60°+90°=180°, противоречие. Значит, угол MAC равен 15°, и AC=CM=sqrt(2).
// Отличная последняя задача у Земскова. Там и т. косинусов и cos30°=3½/2 и построения дополнительные. Только решение неполное и поворотов нет. Стесняюсь спросить, а как бы вы решили? Геометрически? //
@@second3160 Земсков - действительно харизматичный учитель, и задачи, подбирает интересные. Тут я согласен. Просто не понял вашего предложения: а) разбрать эту задачу на нашем канале; б) просто посмотреть ее; в) парадоваться, что наш зритель такой информированный. Радуюсь, чесно. А хвастаться я не сибирался, действительно, несколько зрителей спрашивали. Есть разное кинно разных режиссеров, и то, и другое может быть интересно. P.S. На пишите условие той задачки, если нетрудно.
@@GeometriaValeriyKazakov Спасибо. Я без претензий. Вы зайдите на последний ролик Земскова - там делов-то на 10 минут. "... и всё поймёшь и всё увидишь там, ... и всё увидишь сам". Там тоже треугольник с хорошим углом, тоже нужно сторону найти, тоже некая точка определяет линейные размеры. В общем, ваше мнение?
Существует множество задач «хороших и разных»… Право каждого автора канала делать свою подборку. Пересекать авторов - дело неблагодарное… тем более, что под последним видео Земскова ему уже «насовали» в комментариях... Мое личное мнение: хочешь «чисто поржать» и почувствовать себя «самым умным» - смотри Земскова. Хочешь чему-то научиться - заходи к Казакову. Здесь я никоим образом не сравниваю Петра Земскова и Валерия Казакова. У каждого из них огромный опыт и свое видение математических проблем. У каждого из них свой взгляд на решение таких проблем, и на подачу своих вариантов решений… Дальше - выбирают зрители…
В начале ролика вы сказали о КНДР и Ю.Корее. Сегодня читала статью, оказывается в КНДР рабочий день 8ч 5дн в неделю + субботник по уборке вокруг своего дома, дворников нет. В Ю.Корее рабочий день 11--13ч 5--6 дн в неделю. В Ю.Корее большая безработица особенно среди молодёжи с высшим образованием. Образование дорогое, чаще в кредит. В КНДР нет безработицы, образование, в т.ч. высшее, бесплатное. Почему же тогда считают, что в Ю.Корее жить лучше, чем в КНДР? Ну да, зарплата выше, но зачем она, если до 13ч в сутки вкалываешь, на развлечения времени нет. В Ю.Корее высокий % депрессий и самоубийств, а в КНДР это редкие явления.
Решил проще, не глядя Ваше решение. Проведем высоту CD из вершины С на основание BM. Докажем, что DCM и BCD - равнобедренные прямоугольные треугольники, как и треугольник BCM. Если это справедливо, то 1. CD должно быть равно CМ = 2/2= 1. Это верно, т.к. в прямоугольном треугольнике DCM основание DM = 1 а гипотенуза корень из 2. Если верить Пифагору, то катет СD тоже равен 1. 2. Аналогично с треугольником BCD. Т.е. и BCD и DCM - прямоугольные равнобедренные. 3. Соответственно BC = СМ (это уже ответ но нужно еще доказать, что BCM прямоугольный равнобедренный, доказывается множеством способов). Напр. углы CBD и CMD по 45 гр. , то BCM 90. Или, по Пифагору - две стороны треугольника BCM по корень из двух, а третья - 2. значит она гипотенуза прямоугольного треугольника. Решение окончено. Юра, 48 годиков. Подсказкой должны были служить числа 2 и корень из 2, тогда задача решается в уме и не нужны никакие плоские перемещения.. И да, условие задачи избыточно. Можно опустить любое из чисел (величина угла, или длина любой из сторон) и задача все еще решается...
при всем уважении, но доказательств я не увидел... все - только предположения, которые "не противоречат условиям"... а где же единственность ответа? По моему автор канала пытается донести именно эту идею: при кажущемся очевидным решении необходимо привести "железобетонную" аргументацию... а в этой задаче при таким образом заданных условиях, это и есть проблема...
Измените угол с 15 на 20, и Вы получите сторону треугольника уже 1.61... , но не √2 ! При тех же длинах отрезков! В задаче нет ни одного избыточного данного! Измените длину отрезка с 2 на √3, и Вы получите сторону треугольника уже 1.11... , но не √2 !
@@sergeybezhenov7174 Ну так если "предположения" - то будьте добры опровергнуть. Докажите, что медиана из С на BM не совпадает с высотой. Делов то )) А Вам мое решение показалось очевидным ? И не смутило, что я назвал условие избыточным и не использовал одно из данных ?
@@yuriyyuriy9202 Ваше "решение" таковым не является. Поскольку не опирается на теоремы геометрии. Об избыточности данныхя уже Вам привёл примеры. Кстати, если угол не равен 15, то треугольники не будут ни равнобедренными, ни прямоугольными.
@@yuriyyuriy9202 Не нужно так эмоционально, на этом канале зрители просто общаются) Я не отношу себя к «гуру» математики, но попробую ответить на Ваши вопросы. 1) доказывать свою правоту должен автор решения, а не те, кто это решение анализирует, тем не менее отмечу, что медиана из С на BM будет совпадать с высотой только при условии равнобедренности тр-ка ВСМ, что никоим образом не следует из условий задачи (стороны с величинами 2 и √2 могут иметь место в тр-ке любого вида) 2) любые варианты доказательств, которые начинаются со слова «предположим», должны содержать аргументацию единственности решения… и тут начинаются основные проблемы, преодолеть которые, порой, сложнее, чем найти прямой метод решения 3) и об избыточности условий: если Вы на канале недавно, то посмотрите другие ролики и почитайте комменты под ними, если же Вы регулярно следите за каналом, то можно сделать вывод, что автор избыточных условий не задает, не тот у него уровень… хотя попадаются и задачи на «релакс»… с избыточными данными и кучей вариантов решения, но здесь не тот случай, здесь - выпускной экзамен! И тут я, практически впервые, абсолютно согласен с названием ролика: «харакири какое-то»…)
Построил 12угольник где АС грань , А=А1 С=А12 , центральный =30 , значит точка М на окружности , точка В пересечение диагоналей (оказалось А11,А3) значит М на вершине 12 угольника , ставим М в точку А11 и отношение МС/МВ=√2/2 , других вершин с таким отношением недолжно быть, значит АС=СМ=√2!
Поскольку даже после поворота применялись теоремы синусов и косинусов, то можно решить эту задачу при помощи тех же теорем напрямую.Обозначим АС = х, ∡МАС = α. Из треугольника АМС по теореме синусов: х = √2∙sin15°/sinα. Из треугольника ВСМ по теореме косинусов : x^2 - 2∙x∙√2∙cos(105° - α) = 2. Подставляя х из первого равенства во второе, получим тригонометрическое уравнение: (sin15°/sinα)^2-2∙√2∙sin15°/sinα∙cos(105° - α) = 1. Это уравнение можно свести к виду: (√3 + 1)/2 = 2∙sin15°∙cos(2α - 15°) + cos(2α). Слева - прямая линия, справа - функция, убывающая в положительной области . При этом, в точке α=0 график находится выше прямой. Поэтому в допустимой области есть только один корень! Как легко увидеть, это α = 15°. Поэтому х = МС = √2. Точное решение уравнения смысла не имеет. Тем не менее удалось точно решить тригонометрическое уравнение, а также, исключив угол α, удалось получить биквадратное уравнение относительно х. *P.S. Приведу биквадратное уравнение относительно стороны треугольника: x^4 - (10 - 2∙√3)∙x^2 + 16 - 4∙√3 = 0.* Его решения: x^2 = (5 - √3) ± √(12 - 6∙√3). Корень легко извлекается, откуда получим: *x^2 = (5 - √3) ± (3 - √3) ⟹ (x^2 = 2) или (x^2 = 8 - 2∙√3).* *Удовлетворяет условиям задачи только x^2 =2 ⟹ x = √2 .*
Единственность: 1. Пусть сторона треугольника ABC равна a 2. Построим окружность S₁, проходящую через точки A,C с центром O, расположенным выше линии (AC) такую, что угол AOC = 30°. Тогда точка M находится на этой окружности, т.е. M ∈ S₁ 3. Построим множество точек S₂ = {X: |BX|/|CX| = √̅2} Это окружность Аполлония. Центр окружности находится на прямой (BC) ниже точки C, радиус этой окружности R=a√̅2 (радиус не важен, главное что окружность единственна). Очевидно, что точка M находится и на этой окружности, т.е. M ∈ S₂ 4. Точка M, во-первых, находится на пересечении окружностей S₁ и S₂ и во-вторых, судя по чертежу, точка M находится выше линии (AC) и правее точки C Отсюда следует единственность точки M. Таким образом получается, что любой угаданный частный случай (если его угадали), является единственным решением. Но решение, приведенное автором, на мой взгляд является наилучшим.
Ето настоящая красота! Балшое СПАСИБО!
Отличная задача на закрепление темы поворота. Спасибо за подробное решение.
Согласен.
Спасибо!
Будем держаться!
Правильное решение!
Спасибо, что прилагаете столько усилий, чтобы дети могли познавать сей прекрасный мир через математику.
Мне на днях в голову пришла такая задача, кое-чем (но это совсем отдалённая деталь) схожая с этой:
AB = 5, AC = 3, BC = 4, AD = 5sqrt(3), BD = 10.
Через центры окружностей вписанных в треугольники ABC и ABD проходит окружность w с центром O, лежащим на прямой AB.
w пересекает луч AO в точке E.
требуется найти длину AE.
Замечательная.
*Г.М.Т., из которых отрезок АС виден под углом 15°, представляет собой дугу окружности: (x-a/2)^2+(y-a/(2p))^2 = (a^2/4)*(1+1/(p^2)), где p=tg15°= 2 - √3 , а = АС.*
Ещё два уравнения получаются из данных расстояний точки М от точек В и С: (x-a)^2+y^2=2, (x-a/2)^2+(y-a*sqrt(3)/2)^2=4. Решая систему, получим: а = √2. Этот подход хорош тем,
что задавая р = tg∡AMC и расстояния ВМ и СМ, можно быстро получить сторону треугольника!
Спасибо.
А разве после установления того, что ВМ - биссектриса в ▲АММ₁, ещё не ясно,
что тр-ки АВМ и ВММ₁ равны по двум сторонам и углу, ⇛, АВ = ВМ₁?
Концовки там любые могут быть, мне важна задача, чтобы т. синусов и т. косинусов вместе.
@@GeometriaValeriyKazakov Вопросов нет.
Большое уважение автору канала! Похоже, что он взял паузу (отпуск/каникулы), и это - правильно...
Во-первых, зрители уже «подсели» и ждут новых задач, но, не имея таковых, они продолжают разбирать последний ролик, увеличивая его рейтинг)
Во-вторых, предложенная задача действительно оказалась очень непростой, несмотря на свою кажущуюся простоту и очевидность ответа… только все требует доказательств, а с ними при заданных условиях, возникают большие проблемы… Поэтому решение, предложенное автором, (судя по комментариям) все же является самым оптимальным: коротко, аргументировано, красиво геометрически.
В-третьих, повисает вопрос: как натаскивают японских школьников, чтобы они в ограниченное время нашли полностью обоснованный ответ к задаче? Подозреваю, что не менее половины экзаменуемых должны были «побороть» эту задачу… Кстати, есть ли у автора статистика?
Очень длинным получается комментарий, но нужно же предложить и что-то свое)
Предлагаю: использовать теорему синусов для тр-ка ВСМ (у которого обозначим угол при вершине В - β, при вершине С - γ, при вершине М - α), тогда имеем:
2*sin(β) = √2*sin(γ), что преобразуем в вид
sin(90)*sin(β) = sin(45)*sin(γ).
Вот тут я не уверен, нужно ли доказывать, что такое тождество выполняется только при значениях углов β = 45, γ = 90? Подозреваю, что строгая тригонометрия даст только такой ответ (с учетом заданных чертежом условий). Тогда угол α = 45, и мы имеем рассматриваемый тр-к как прямоугольный и равнобедренный.
Ни строгая, ни нестрогая тригонометрия ничего подобного не дадут. Возьмите β =44.5. Получите γ = 82.41... . И на это никакие, заданные чертежом, условия повлиять не
смогут. Доказать, что β =45, а γ = 90 можно, конечно, но для этого нужно решить тригонометрическое уравнение с одним неизвестным углом. Или систему. Вот одно
из возможных уравнений: (sin15°/sinα)^2-2∙√2∙(sin15°/sinα)∙cos(105° - α) = 1. Я его решил и отметил это ещё 4 дня назад, α= 15, но решение довольно сложное. Приведенное
Вами соотношение само по себе ничего не даёт. Нужно ещё одно уравнение.
@@SB-7423 Спасибо, согласен, что без второго уравнения никак не обойтись… протупил, каюсь)
Да, задачки огонь. Но в идеале хотелось бы чуть другой формат, который в рунете практикуют некоторые математики - даем задачу и неделю любопытным на ее решение. А потом уже выкладываем варианты решения.
@@yuriyyuriy9202 Мы раньше так и делали иногда. Неделя очень - много, у нас куча олимпиадников, они за 1-2 ч все рвут. Но спасибо за идею.
Можно слегка расширить рамки задачи. Пусть треугольник будет не равносторонний, а равнобедренный с заданным углом при основании. Используя ГМТ , из которых
АС виден под заданным углом АМС (это решение я приводил 4 дня назад), удается решить в общем случае и эту задачу. Так, если ∡АМС =15°, ∡ВСА = 65°, МС = √2, МВ = 2, то
основание равнобедренного треугольника равно 1.32705... . Решение проверено построением в графическом редакторе. Если задать условия исходной задачи(∡АМС =15°,
∡ВСА = 60°, МС = √2, МВ = 2), то получается равносторонний треугольник со стороной ровно √2.
@@Олег-ц5и4г При -15( поворот от АМ к СМ по часовой стрелке) действительно 0,495427... .
@@Олег-ц5и4г Нет проблем решить для произвольного треугольника, только нужно задать уже два угла при основании.
Да, я просмотрел ваши идеи, они отличные. Спасибо.
Я так думаю, что в Японии проходят точку Торичелли, поэтому эта конструкция им хорошо знакома и не вызывает шока. Я довольно легко (хотя и не так изящно, как в ролике) решил, достроив эту картинку до полной "торичелливой".
Если кратко, не доказывая то, что есть в учебниках. На сторонах треугольника BM и CM тоже строятся правильные треугольники BMN и CMP, их описанные окружности (все три, вокруг правильных треугольников ABC, BMN и CMP) которые пересекаются в одной точке T, а также BP и CN, равные AM. Получается всем известная полная картинка про точку Торичелли. Вся сложность была в том, как соединить значение угла и отношение сторон. Там возникает угол ∠MCN = 45°, то есть известно отношение MT/MC = √(2/3) Я попробую объяснить это так, хотя на бумаге это "сразу видно". Это отношение длин сторон вписанного квадрата и вписанного правильного треугольника в окружность (CMP) (и все из за этого угла :)) Но MT - хорда и в окружности (BMN), у которой размеры в 2/√2 = √2 раз больше, то есть MT/MN = 1/√3, то есть угол TMN прямой, что сразу заканчивает решение - там мгновенно находятся все нужные углы.
Кто заинтересовался, я очень рекомендую найти книжку Зетеля С.И. "Новая геометрия треугольника", Лучше издание 1962 года, а не 1940. Название популярное, ищите по автору. Там на двух страницах (144-145) очень ясно, просто и подробно изложена вся теория точки Ферма-Торичелли.
Ютуб вроде теперь будет позволять делать шорты к комментам, надо будет попробовать.
Гениально! Спасибо. Торичелли не проходят, тольок на крутом факультативе, или в лицее. Но очень замечательно.
не, первый способ мне не понравился... я даже расстроился немного.... Маэстро начал предполагать... рассуждать... окружность... я тоже это заметил - и что... но вторая часть - супер! рэмбо вернулся! полный разгром противника по всем правилам ведения боя... спасибо
Такой приемчик был.
Как говорится: "Вот это поворот!"
Да, уж.
Задача для профессионалов, продолжающих в 21м веке выжимать все соки из Евклида).
Да, геомтерия очень пластиная и позволяет практически бесконечно придумывать красивые задачи на базе семи нот! Музыка геометрии вечна. Думаю, Евклид был бы рад.
Напугали первым способом решения! Вот если бы Вы сказали: задача решается элементарно! Моим любимым поворотом. Сморите и учитесь! А так возникают сомнения о невозможности пробить сию стену))
Как же выпускная задача для целоя Японии суперматематической может решаться элементарно. И так красиов получилось, думаю.
Я думаю, что в Японии решали по вашему первому способу.
Возможно, я взял услвоие без решения.
√2=2√2sin180*/n → R=a=√2 → т. С - центр окружности с R=√2 и стороной шестиугольника равной √2,
Отлично.
Перенесем отрезок ВС так, что точка С попадет в точку М. Получится параллелограм со сторонами \|2 и х и диагональю 2. Начинают появляться подозрения, что это прямоугольник и, даже более того, квадрат. Если АС=СМ=\|2, то треугольник АСМ имеет углы 150° (60 + 90) и 2х15. Получается-таки это был квадрат...
Спасибо за идею. Смотрите наши ранние ролики, там много интересного.
Единственность есть только если угол ориентированный, есть второе решение, когда AM пересекает прямую BC вне отрезка BC, тогда угол равен (-15) если рассматривать его как ориентированный. Но так как в условии не было сказано про ориентированность и про то, что отрезки AM и BC пересекаются, то решения два. Я второе не искал, вероятно там ничего красивого, хотя кто знает.
при -15 BM не равно 2
@@AndreyDanilkin 1. Если условие задачи не запрещает такое решение, то доказательство его отсутствия обязательная часть решения. Попробуйте доказать.
2. Доказать не получится, потому что оно всё-таки есть. Но поскольку там всякая дрянь вылезает, то надо формулировать так, чтоб это решение было запрещено условием.
Второе решение: сторона треугольника = 2sqrt(2)/sqrt(7+3sqrt(3)+sqrt(60+34sqrt(3))). Действительно, не очень красиво,нужно формулировать так, чтобы это решение не подходило. Как это найдено:
1. Селекционируем попугая равного половине AB, дальнейшие измерения производим этим попугаем.
2. Пусть P - центр окружности p, из точек которой AC виден под углом 15 нужной ориентации, в тругольнике PBC
@@sergeykitov2760 Такое решение, конечно, есть. Вы его позже привели. Я его проверил и даже построил. Всё сходится. А формулировка для запрета такого
решения проста: АМ пересекает ВС.
Ну, вы блин, крутые все. Нужно обязательно второй канал для группы А. или по 2 задачи шпарить: А и В.
Я, может, глупость скажу, но разве одна сторона не является квадратом другой? У нас одна сторона 2, вторая корень из 2. Это возможно только в том случае, если треугольник прямоугольный. Следовательно, искомая сторона корень из 2.
Спасибо. Есть много треугольников с такими двумя сторонами, угол между ними может быть любым. Разве все треугольники со стронами 2 и 4 прямоугольные?
Нет, конечно. Речь идет конкретно о 2 и корне из 2. Ваш пример - это натуральные числа, для них такого решения не существует. А вот для иррационального числа корень из 2 как раз такое решение есть.
Поворот не поддается. Решаю по старинке. Опишем окружность вокруг тр-ка АВС.
Ваша первая строчка: "
Спасибо.
@@SB-7423 Уважаемый коллега! По объективным причинам сразу ответить не смог. Но лучше поздно, чем никогда. Дополнительные построения: 1. Опишем вокруг тр-ка АВС окружность. 2. Из т.В тр-ка АВС опустим перпендикуляр на основание АС и продолжим его до пересечения с окружностью в т.D. BD - диаметр описанной окружности. Дополнительные обозначения: т.Е - точка пересечения отрезка АМ с дугой ВС; т.Р - точка пересечения отрезка ВМ с дугой ВС. Соединим точки D и С отрезком прямой. Проверка на легитимность отрезка DM (вертикаль из т.С вниз). Угол DCM =
Удалось решить задачу для произвольного треугольника. В качестве тестового примера взяты данные: ∡BAC = 45°, ∡ACB = 120°, ∡AMC = 15°, CM = √2, BM = 2. Основание этого
треугольника при этих данных должно быть *√(10 - 5∙√3) = √10∙(√3 - 1)/2 ≈1.15747… .*
Отлично.
@@Олег-ц5и4г Тоже подходит. а = √(2 -√3) = (√6 - √2)/2 ≈ 0,517638… . Я просто опираюсь на рисунок и беру ответ, при котором АМ пересекает ВС.
@@Олег-ц5и4г Два решения. 1) а = 7.2186... , АМ = 14.3905... 2) а = 6.77007... , АМ = 1.30588... . Во втором случае точка слева от треугольника, близко к А.
@@Олег-ц5и4г Проверил только 5.763926... . Подходит точка М слева, внизу. Но это -18 градусов. Эти случаи я не рассматриваю. Проверил и 2.481598656.
Тоже угол -18. При правильной ориентации не подходит.
Предположим, что ∠BCM=90°
Тогда...
BC=AC=√[2²-(√2)²]=√(4-2)=√2=CM, ∠MAC=15°, ∠ACM=180°-2•15°=150°, ∠ACB=150°-90°=60°, что соответствует условию задачи.
Вывод: AC=√2
Спасибо. На экзамене, конечно, идею не зачтут. Это версия, гипотеза. Дальше нужно доказывать все, двигаться от вашего предположения. Все же понятно, что прямой угол и \/2. Вопрос, как к этому прийти? Я же в ролике об этом как раз и рассказал (см. 1 -й способ).
@@GeometriaValeriyKazakovхмм.. А почему не зачтут, если прямота угла доказана? Не доказано отсутствие/наличие других решений
@@YardenVokerol Преставьте, что задача звучит так: "Доказать, что угол BCM - прямой". Если задача с выбором ответа (без решения), то ваше предвиденье - гениальное, а если с решением, то "угадывания" не проходят. Но угадывания - это гипотензы, понятно куда двигаться, они очень полезны.
@@GeometriaValeriyKazakov я тоже подумал о треугольной линейке 90°/45°/45°. Действительно всё сходится.
@@GeometriaValeriyKazakov
В общем виде доказательство можно сформулировать так:
1) предположим, что выполняется некое условие
2) в этом предположении, опираясь на аксиомы/теоремы предметной области, должно быть справедливо такое-то утверждение
3) если в постановке задачи это утверждение не выполняется, то исходное предположение ложно.
4) если же утверждение подтверждено условием задачи, то предположение доказано.
5) из доказанного предположения формулируется ответ задачи.
Не вижу противоречий в этой цепочке... Или они все же есть?
PS конечно, при этом ничего не говорится о наличии/отсутствии других решений, то есть решение может оказаться частным.
Не надо теорему синусов. В треугольнике M1BM провести высоту. Её длина будет 1. BM = 2. Значит, BMB1 = 30 градусов.
Да тут и теорема косинусов-то тоже лишняя...
@@OlegVlCh Мне кажется и я тут лишний?
То. АВМ расположен под углом к горизонтальной пл., довернем его по стороне АС , т. В займет новое положение в т. В1 ( она выше В) то. АВ1С будет иметь натуральный вид , линия СМ также лежит в гор. Плоскости .Построим тр.СМВ2 симмметрично тр.СМВ1 с общим катетом СМ . Тр.В1МВ2 равнобедренный и прямоугольный , т.к.СВ1=СВ2=^из 2 по т. Пифагора .
Отлично.
Выражаю Вам огромную благодарность за Вашу благородную работу на поприще Геометрии , почерпнул много нового . А Фудзияму , я думаю, с Вашей помощью, покорят многие любители Геометрии . Ученые утверждают , что за последние 10000 лет мозг человека не изменился , поэтому Пифагор и Евклид могли бы дать нам фору . Еще раз спасибо .
не уверен на 100% :)
Может стоит достроить треугольник ACM1 равный ACM с общей стороной AC
Далее проводим окружность с центром в точке С и радиусом СМ
МС пересекает ее в какой-то точке К
Угол АСК равен 30 градусов так как угол АМС равен 15 градусов, значит угол КСВ равен 90, а следовательно угол ВСМ=90
ну и Пифагор. ВС=СМ
Интересная идея.
только один вопрос: будет ли т.А принадлежать этой окр-ти?
Существуют две точки М. Они лежат на пересечении окружностей с центром и радиусом СМ и ВМ. Найдем эту точку.Из точки С проводим перпендикуляр СМ, а из точки А прямую под углом 15°. М точка их пересечения.Угол АМС=30-15=15. АС=СМ=√2 =ВС, ВМ=2. А вторая симметрична М по АС.
Спасибо.
Вторая точка не годится! В этом случае угол между АМ и СМ будет 75°, но НЕ 15°.('Это если точки симметричны относительно ВС). А если симметрия по АС (как Вы написали), то тогда ВМ = 2.732..., а не 2. Если Вы переориентируете угол на -15, то изменится сторона треугольника, теперь она будет 0.588... .
Да, Вы правы. Действительно 75° и симметрия по ВС. К стати и доказательство хорошее. Спасибо.
Когда нашли два угла по 30 градусов, далее треугольники AMB и BMM1 одинаковы по первому признаку.
Да, можно и так. Спасибо.
Предположим, что угол MAC больше 15°. Тогда он больше угла AMC и CM > AC = BC, BC^2+CM^2 2CM^2 = 4 = BM^2, угол BCM острый, сумма углов в треугольнике AMC меньше 15°+15°+60°+90°=180°, противоречие.
Значит, угол MAC равен 15°, и AC=CM=sqrt(2).
Спасибо.
👍
//
Отличная последняя задача у Земскова.
Там и т. косинусов и cos30°=3½/2 и построения дополнительные.
Только решение неполное и поворотов нет.
Стесняюсь спросить, а как бы вы решили?
Геометрически?
//
И нам что до этого? Своих хороших 1000 штук.
@@GeometriaValeriyKazakov
Ну да, ну да.
Свои драники девать некуда, японьски.
У самих на 75см книжек найдётся, не считая хороших.
Ну да, ну да
@@second3160 Земсков - действительно харизматичный учитель, и задачи, подбирает интересные. Тут я согласен. Просто не понял вашего предложения: а) разбрать эту задачу на нашем канале; б) просто посмотреть ее; в) парадоваться, что наш зритель такой информированный. Радуюсь, чесно. А хвастаться я не сибирался, действительно, несколько зрителей спрашивали. Есть разное кинно разных режиссеров, и то, и другое может быть интересно. P.S. На пишите условие той задачки, если нетрудно.
@@GeometriaValeriyKazakov
Спасибо.
Я без претензий.
Вы зайдите на последний ролик Земскова - там делов-то на 10 минут.
"... и всё поймёшь и всё увидишь там,
... и всё увидишь сам".
Там тоже треугольник с хорошим углом, тоже нужно сторону найти, тоже некая точка определяет линейные размеры.
В общем, ваше мнение?
Существует множество задач «хороших и разных»… Право каждого автора канала делать свою подборку. Пересекать авторов - дело неблагодарное… тем более, что под последним видео Земскова ему уже «насовали» в комментариях...
Мое личное мнение: хочешь «чисто поржать» и почувствовать себя «самым умным» - смотри Земскова. Хочешь чему-то научиться - заходи к Казакову.
Здесь я никоим образом не сравниваю Петра Земскова и Валерия Казакова. У каждого из них огромный опыт и свое видение математических проблем. У каждого из них свой взгляд на решение таких проблем, и на подачу своих вариантов решений…
Дальше - выбирают зрители…
Класс
Согласен, хорошоая задача.
В начале ролика вы сказали о КНДР и Ю.Корее. Сегодня читала статью, оказывается в КНДР рабочий день 8ч 5дн в неделю + субботник по уборке вокруг своего дома, дворников нет.
В Ю.Корее рабочий день 11--13ч 5--6 дн в неделю. В Ю.Корее большая безработица особенно среди молодёжи с высшим образованием. Образование дорогое, чаще в кредит. В КНДР нет безработицы, образование, в т.ч. высшее, бесплатное.
Почему же тогда считают, что в Ю.Корее жить лучше, чем в КНДР? Ну да, зарплата выше, но зачем она, если до 13ч в сутки вкалываешь, на развлечения времени нет. В Ю.Корее высокий % депрессий и самоубийств, а в КНДР это редкие явления.
Да, везде свои сложности.
Решил проще, не глядя Ваше решение. Проведем высоту CD из вершины С на основание BM. Докажем, что DCM и BCD - равнобедренные прямоугольные треугольники, как и треугольник BCM.
Если это справедливо, то
1. CD должно быть равно CМ = 2/2= 1. Это верно, т.к. в прямоугольном треугольнике DCM основание DM = 1 а гипотенуза корень из 2. Если верить Пифагору, то катет СD тоже равен 1.
2. Аналогично с треугольником BCD. Т.е. и BCD и DCM - прямоугольные равнобедренные.
3. Соответственно BC = СМ (это уже ответ но нужно еще доказать, что BCM прямоугольный равнобедренный, доказывается множеством способов). Напр. углы CBD и CMD по 45 гр. , то BCM 90.
Или, по Пифагору - две стороны треугольника BCM по корень из двух, а третья - 2. значит она гипотенуза прямоугольного треугольника. Решение окончено.
Юра, 48 годиков.
Подсказкой должны были служить числа 2 и корень из 2, тогда задача решается в уме и не нужны никакие плоские перемещения..
И да, условие задачи избыточно. Можно опустить любое из чисел (величина угла, или длина любой из сторон) и задача все еще решается...
при всем уважении, но доказательств я не увидел... все - только предположения, которые "не противоречат условиям"... а где же единственность ответа? По моему автор канала пытается донести именно эту идею: при кажущемся очевидным решении необходимо привести "железобетонную" аргументацию... а в этой задаче при таким образом заданных условиях, это и есть проблема...
Измените угол с 15 на 20, и Вы получите сторону треугольника уже 1.61... , но не √2 ! При тех же длинах отрезков! В задаче нет ни одного избыточного данного!
Измените длину отрезка с 2 на √3, и Вы получите сторону треугольника уже 1.11... , но не √2 !
@@sergeybezhenov7174 Ну так если "предположения" - то будьте добры опровергнуть. Докажите, что медиана из С на BM не совпадает с высотой. Делов то )) А Вам мое решение показалось очевидным ? И не смутило, что я назвал условие избыточным и не использовал одно из данных ?
@@yuriyyuriy9202 Ваше "решение" таковым не является. Поскольку не опирается на теоремы геометрии. Об избыточности данныхя уже Вам привёл примеры. Кстати, если
угол не равен 15, то треугольники не будут ни равнобедренными, ни прямоугольными.
@@yuriyyuriy9202 Не нужно так эмоционально, на этом канале зрители просто общаются)
Я не отношу себя к «гуру» математики, но попробую ответить на Ваши вопросы.
1) доказывать свою правоту должен автор решения, а не те, кто это решение анализирует, тем не менее отмечу, что медиана из С на BM будет совпадать с высотой только при условии равнобедренности тр-ка ВСМ, что никоим образом не следует из условий задачи (стороны с величинами 2 и √2 могут иметь место в тр-ке любого вида)
2) любые варианты доказательств, которые начинаются со слова «предположим», должны содержать аргументацию единственности решения… и тут начинаются основные проблемы, преодолеть которые, порой, сложнее, чем найти прямой метод решения
3) и об избыточности условий: если Вы на канале недавно, то посмотрите другие ролики и почитайте комменты под ними, если же Вы регулярно следите за каналом, то можно сделать вывод, что автор избыточных условий не задает, не тот у него уровень… хотя попадаются и задачи на «релакс»… с избыточными данными и кучей вариантов решения, но здесь не тот случай, здесь - выпускной экзамен!
И тут я, практически впервые, абсолютно согласен с названием ролика: «харакири какое-то»…)
Построил 12угольник где АС грань , А=А1 С=А12 , центральный =30 , значит точка М на окружности , точка В пересечение диагоналей (оказалось А11,А3) значит М на вершине 12 угольника , ставим М в точку А11 и отношение МС/МВ=√2/2 , других вершин с таким отношением недолжно быть, значит АС=СМ=√2!
"не должно" - ключевое. Проблема в д-ве пересечения трех диагоналей в одной точке.
@@GeometriaValeriyKazakov Согласен , каотинка красивая , доказательство не строгое...
А не проще достроить м1с и доказать, что ам1с=мм1с?
Думаю, не проще.
Поскольку даже после поворота применялись теоремы синусов и косинусов, то можно решить эту задачу при помощи тех же теорем напрямую.Обозначим АС = х, ∡МАС = α.
Из треугольника АМС по теореме синусов: х = √2∙sin15°/sinα. Из треугольника ВСМ по теореме косинусов : x^2 - 2∙x∙√2∙cos(105° - α) = 2. Подставляя х из первого равенства во
второе, получим тригонометрическое уравнение: (sin15°/sinα)^2-2∙√2∙sin15°/sinα∙cos(105° - α) = 1. Это уравнение можно свести к виду: (√3 + 1)/2 = 2∙sin15°∙cos(2α - 15°) + cos(2α).
Слева - прямая линия, справа - функция, убывающая в положительной области . При этом, в точке α=0 график находится выше прямой. Поэтому в допустимой области есть только один корень! Как легко увидеть, это α = 15°. Поэтому х = МС = √2. Точное решение уравнения смысла не имеет.
Тем не менее удалось точно решить тригонометрическое уравнение, а также, исключив угол α, удалось получить биквадратное уравнение относительно х.
*P.S. Приведу биквадратное уравнение относительно стороны треугольника: x^4 - (10 - 2∙√3)∙x^2 + 16 - 4∙√3 = 0.* Его решения: x^2 = (5 - √3) ± √(12 - 6∙√3). Корень легко извлекается,
откуда получим: *x^2 = (5 - √3) ± (3 - √3) ⟹ (x^2 = 2) или (x^2 = 8 - 2∙√3).* *Удовлетворяет условиям задачи только x^2 =2 ⟹ x = √2 .*
Супер.
Как только вышли на угол 45 градусов нужно обратить внимание на ВМС, это половина квадрата, а значит сторона треугольника равна корень из 2
Да, продолжений там много, это хорошее.
@@GeometriaValeriyKazakov а можно как-то сразу выйти на этот квадрат?
Новых задач так не хватает(((
Услышал.
Единственность:
1. Пусть сторона треугольника ABC равна a
2. Построим окружность S₁, проходящую через точки A,C с центром O,
расположенным выше линии (AC) такую, что угол AOC = 30°.
Тогда точка M находится на этой окружности, т.е. M ∈ S₁
3. Построим множество точек S₂ = {X: |BX|/|CX| = √̅2}
Это окружность Аполлония. Центр окружности находится на прямой (BC) ниже точки C,
радиус этой окружности R=a√̅2 (радиус не важен, главное что окружность единственна).
Очевидно, что точка M находится и на этой окружности, т.е. M ∈ S₂
4. Точка M, во-первых, находится на пересечении окружностей S₁ и S₂
и во-вторых, судя по чертежу, точка M находится выше линии (AC) и правее точки C
Отсюда следует единственность точки M.
Таким образом получается, что любой угаданный частный случай (если его угадали), является единственным решением.
Но решение, приведенное автором, на мой взгляд является наилучшим.
Спасибо.