Hi ich habe gerade eine Aufgabe, wo ich beweisen soll, dass a_n+1=1+1/a_n konvergent ist. (a_1 = 1) Ich habe versucht deinen Beweis auf die Folge zu übertragen aber es scheiterte, als ich die Monotonie beweisen wollte. Wie kann ich das Problem angehen?
Hi, das ist eine der typischen "Goldener Schnitt" Folgen. Die Monotone allgemein ist nicht zu zeigen bzw nicht ohne dass die Werte von a_n eingeschränkt werden. Was du aber machen kannst: Setze a_(n+1)=a_n, dann bekommst du eine quadratische Gleichung in a_n und kannst diese für a_n lösen. Dich interessiert hier nur die positive Lösung. Nun kannst du argumentieren, dass fast alle Folgenglieder (außer für n=1, aber endlich viele dürfen vernachlässigt werden) größer oder gleich dieser Lösung sind und im nächsten Schritt zeigen, dass für a_n die größer oder gleich dieser Lösung sind Monotonie herrscht.
@@algebraba2911 erstmal vielen Dank für die genialen Videos - die helfen wirklich sehr! Eine Frage bzgl. der angesprochenen "Goldener Schnitt" Folge. Ich bin an dem Punkt, dass ich als Lösung für die entstandene quadratische Gleichung "1" und "3" erhalten habe. Wie sind diese Werte in einen Kontext mit der Monotonie zu bringen. Du würdest mir damit wirklich sehr weiterhelfen!
Danke fürs Video
Hi ich habe gerade eine Aufgabe, wo ich beweisen soll, dass a_n+1=1+1/a_n konvergent ist. (a_1 = 1) Ich habe versucht deinen Beweis auf die Folge zu übertragen aber es scheiterte, als ich die Monotonie beweisen wollte. Wie kann ich das Problem angehen?
Hi,
das ist eine der typischen "Goldener Schnitt" Folgen. Die Monotone allgemein ist nicht zu zeigen bzw nicht ohne dass die Werte von a_n eingeschränkt werden. Was du aber machen kannst: Setze a_(n+1)=a_n, dann bekommst du eine quadratische Gleichung in a_n und kannst diese für a_n lösen. Dich interessiert hier nur die positive Lösung. Nun kannst du argumentieren, dass fast alle Folgenglieder (außer für n=1, aber endlich viele dürfen vernachlässigt werden) größer oder gleich dieser Lösung sind und im nächsten Schritt zeigen, dass für a_n die größer oder gleich dieser Lösung sind Monotonie herrscht.
@@algebraba2911 Vielen Dank!
@@algebraba2911 erstmal vielen Dank für die genialen Videos - die helfen wirklich sehr! Eine Frage bzgl. der angesprochenen "Goldener Schnitt" Folge. Ich bin an dem Punkt, dass ich als Lösung für die entstandene quadratische Gleichung "1" und "3" erhalten habe. Wie sind diese Werte in einen Kontext mit der Monotonie zu bringen. Du würdest mir damit wirklich sehr weiterhelfen!