L'estensione in forma matrice di un numero reale a due dimensioni è il prodotto di uno scalare ossia il numero reale per la matrice unita di ordine due, ossia per righe : a : = A = a*((1 0)(01)) Essendo poi l'unità immaginaria una rotazione di angolo Pi/2 nel piano, la sua matrice rappresentativa sarà per righe : i := I = ((cos(Pi/2) sin(Pi/2) (-sin(Pi/2) cos(Pi/2)) = ((0 1) (-1 0)) e risulta ovviamente i^2 = ((0 1) (-1 0))* ((0 1) (-1 0)) = -((1 0)(01)) = -I Quindi il numero complesso z = a+i*b avrà per righe la rappresentazione matrice seguente : z : = Z = a*((1 0)(01))+b*((0 1) (-1 0)) Allora la rappresentazione matrice del numero complesso sarà per righe : z : = Z =((a b)(-b a))
Una domanda: se non sbaglio il prodotto di due numeri complessi è commutativo, quindi ad esempio z1•z2 = z2•z1. Però se ricordo bene il prodotto tra matrici non è, in generale, commutativo. Quindi io mi chiedo: se A è la rappresentazione matr. del num. compl. z1 e B quella di z2, come può essere che BA=AB? C'entra qualcosa il fatto che se faccio la trasposta di una di quelle matrici ottengo la stessa con i termini extra-diagonale cambiati di segno?
Domanda molto interessante .Vero che il prodotto tra matrici in generale non è commutativo , ma qui siamo in una di quelle rare eccezioni in cui il prodotto è commutativo grazie alla particolare struttura della matrice che rispetto la diagonale principale ha gli elementi cambiato di segno . Quindi in questo caso funziona tutto .
Buongiorno partiamo dal presupposto che una matrice associata ad un numero complesso è una matrice reale nella cui diagonale principale ci sta la parte reale e nella diagonale secondaria i coefficienti dell'immaginario di cui uno con il segno opposto . Una qualsiasi matrice di ordine 2 aventi elementi numeri complessi non ha relazione con la matrice da me esposta nel video .Ad esempio al numero complesso 1+i4 si associa la matrice (1 4 ). (-4 1) Se adesso penso a caso una matrice ad elementi complessi come (1+i6. 5-i8) (2. 5+i5) non noto alcun legame a meno di scegliere una matrice che abbia gli elementi proporzionali . Forse non ho capito la domanda ? 🙂
Complimenti per la chiarezza con cui spiega procedimenti di calcolo di solito faticosi e spesso soggetti a errori o confusione
Complimenti. Non sapevo che le matrici servissero anche per rappresentare i numeri complessi!
Si le matrici servono a tantissime cose .Sono strumenti matematici che purtroppo alle scuole superiori non vengono considerati .
Ottimo canale con video utilissimi
Sarebbe interessante la dimostrazione della forma matriciale, comunque ottima spiegazione :)
L'estensione in forma matrice di un numero reale a due dimensioni è il prodotto di uno scalare ossia il numero reale per la matrice unita di ordine due, ossia per righe :
a : = A = a*((1 0)(01))
Essendo poi l'unità immaginaria una rotazione di angolo Pi/2 nel piano, la sua matrice rappresentativa sarà per righe :
i := I = ((cos(Pi/2) sin(Pi/2) (-sin(Pi/2) cos(Pi/2)) = ((0 1) (-1 0))
e risulta ovviamente
i^2 = ((0 1) (-1 0))* ((0 1) (-1 0)) = -((1 0)(01)) = -I
Quindi il numero complesso z = a+i*b avrà per righe la rappresentazione matrice seguente :
z : = Z = a*((1 0)(01))+b*((0 1) (-1 0))
Allora la rappresentazione matrice del numero complesso sarà per righe :
z : = Z =((a b)(-b a))
Ma perché un numero reale si rappresenta in questo modo, con la matrice?
Una domanda: se non sbaglio il prodotto di due numeri complessi è commutativo, quindi ad esempio z1•z2 = z2•z1. Però se ricordo bene il prodotto tra matrici non è, in generale, commutativo. Quindi io mi chiedo: se A è la rappresentazione matr. del num. compl. z1 e B quella di z2, come può essere che BA=AB? C'entra qualcosa il fatto che se faccio la trasposta di una di quelle matrici ottengo la stessa con i termini extra-diagonale cambiati di segno?
Domanda molto interessante .Vero che il prodotto tra matrici in generale non è commutativo , ma qui siamo in una di quelle rare eccezioni in cui il prodotto è commutativo grazie alla particolare struttura della matrice che rispetto la diagonale principale ha gli elementi cambiato di segno .
Quindi in questo caso funziona tutto .
@@salvoromeo grazie mille professore della risposta!
Ottima spiegazione. Che relazione c'è tra un numero complesso in forma matriciale e una matrice di numeri complessi?
Buongiorno partiamo dal presupposto che una matrice associata ad un numero complesso è una matrice reale nella cui diagonale principale ci sta la parte reale e nella diagonale secondaria i coefficienti dell'immaginario di cui uno con il segno opposto .
Una qualsiasi matrice di ordine 2 aventi elementi numeri complessi non ha relazione con la matrice da me esposta nel video .Ad esempio al numero complesso 1+i4 si associa la matrice
(1 4 ).
(-4 1)
Se adesso penso a caso una matrice ad elementi complessi come
(1+i6. 5-i8)
(2. 5+i5) non noto alcun legame a meno di scegliere una matrice che abbia gli elementi proporzionali .
Forse non ho capito la domanda ? 🙂
@@salvoromeo ha capito benissimo :) grazie