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謝謝老師❤️❤️
哇本尊!!!!
這裡竟然看到野生茶里！
誒不是 大家都用文字 為什麼你可以發語音???
是說 旁邊櫃子上的娃娃是不是茶里呀!
我是法国人, 我是学生在高中.我学习中文, 我爱数学课, 所以我找到你的视频的时候, 当时我很开心 😄
謝謝 我也很開心
你应该去台湾学中文
我是大陸仔，這個視頻成功勾起了我被理論力學支配的恐懼🤣當時的問題是這樣的:一質點受一與距離成反比的引力作用在一直線上運動，質點的質量為m，比例系數為k，如此質點從距原點O為a的地方由靜止開始運動，求其到達O點所需的時間。我的微積分屬於是老師抱著我跑過及格線的那種，自然也不會知道高斯積分，當時看到極坐標就害怕了(比起微積分我更害怕極坐標)，草草把結果背下來，結果期末考試重點考察分析力學更是讓我吐血，最後還是老師高擡貴手放我及格(哭).感謝您帶來的拉普拉斯解法，您的講解很詳細，即使是初學者也能順藤摸瓜地找到自己想要的知識點，您在學術上的謙遜令人敬佩。為您點贊👍
谢谢老师的指教. 这个解法我上学的时候学过. 毕业之后试着不用网上找到的极坐标做法去做, 但是失败了. 看了这个视频才又想起来, 还有这个富比尼定理, 基本全还给老师了.除了这个做法, 高斯积分还可以用复变函数里面的围道积分(contour integration)来做: 基本的做法就是在复数域对这个函数进行封闭图形求路径积分, 然后巧妙构造一个半圆形, 由留数定理(Residue Thm)可知, 整个半圆包括x轴在内的线积分等于这个半圆围成的留数值*2*i*pi; 并且可以证明在R->Inf的时候, 圆周上的积分值为0, 那么就是整个线积分就是实数轴上的线积分, 也就是高斯积分, 就正比于这个留数值, 故可以轻松求解
這方法不錯欸，不然每次都是用極座標或是常態分配反推
解釋很清楚，值得支持。
今天期中題目剛好出這題好險有看到這部影片雖然我最後步驟做錯了 很可惜😢但是感謝老師的影片 教的超好～
昨天就有看到英文版 覺得有比較好理解 比起工程數學課本寫的極座標更好懂一些 但當然算的過程可能比較偏好極座標XD 因為只要積分一次XD
重積分,看這種解法,是把外面那層一個一個乘進去(積鈖即是無限小的面積累加),所以外層的變數在解內層積分時,可看做只是一個特定值,即可看成常數!!
超級喜歡 謝謝老師的優質影片
謝謝！
好久沒看到老師了，哈哈
好酷的做法~謝謝老師分享
昨天在學e^(-a x^2)的傅立葉轉換，才剛學會笛卡爾座標轉極座標的積分法，因為轉過去J=r，剛好可以去積e^-r^2。
這方法比老師過去教的方法比較容易計算。
当年有一科叫“高数物理”，大概是一个学期也就是十三周就把calc1到3加上量子物理学完……我当时能过我现在都觉得有点神奇
老师太良心了吧 才发现有中文频道
相信答案 相信過程相信它不會傷害你XD
請問以後有沒有機會出微分方程版的極限挑戰？
極座標的計算比較簡單 相對地過程的代換要記一下 之後的L-T也會用到這東西的印象
每次看到那種題目跟圓沒關係的題目 答案出現pi都覺得很神奇
3:15 若改變了積分的約束變量,運算結果不變
為什麼會y=xt (linear relationship)? 不好意思太久沒接觸理解不了。
其實，高斯積分我當初在學的時候覺得最神(經病)，最無俚頭的做法是複變函數論；鬼才想得到這個傢伙是複空間的積分答案的某個分部，腦洞是有多大?
对于一般大学生而言，常规解法是通过第一积分换元法将定积分转换为伽马函数，得出结果，the integral = GAMMA(0.5) = sqrt(Π)。
Gamma(0.5)怎麼來的？就是先換元變成Gaussian intergral，再用換成極座標或影片中的方法求出來的，你怎麼會說常規解法是把他再換回去呢？
把此被积函数的负号去了，再一积一次看看！谢谢曹老师
才知道老师还有中文频道的谢谢老师😀
这个可以两种做法，一是正态分布去凑，另一个是二重积分
牛逼，先码住在看。我之前只会用极坐标
背后是茶里的玩偶！！！！！！！！
溫馨提示：如果想用中文講 "dummy variable"，可稱為「啞變量」。另外，看完這個積分後，我想問問統計學中的standard normal distribution表格是用定積分法製作的，還是用數值方法(numerical method)無限逼近的？
近似！
normal table里的值是使用MCMC(Monte Carlo)方法逼近的。
用泰勒吧 都是用泰勒的
好久不見
不考慮把領夾式麥克風夾在衣服上嗎？😂
那就會變得像我上課的時候一樣 左手插口袋
題外話，最近的影片，沒有放小叮噹的音樂了😀
很好的思路，感谢老师，但是有一点就是，这个富比尼定理的使用前提，也就是交换积分次序的前提，应该是被积函数连续吧，但是您视频中说的是，前提是函数大于零。
突然用中文，吓我一跳，上一看还是看你讲limit的题，好几年前了
好巧，我刚在khan academy上学完了multivariable calculus，现在用brilliant学linear algebra，请问老师有教那个范围吗？
沒欸 我不擅長linear algebra.
推荐3b1b 的essence of linear algebra
想問老師衣服都是哪裡買的🥺
Laplace=what?
t=y/x 那當x=0的時候怎麼辦
i am japanese. i love this lecture.
英文版: The most beautiful integral ruclips.net/video/tCPQSobqFh4/видео.html
突然听你说中文，好不习惯啊。
請問可以多解釋一下為何可以令 y = xt嗎? 因為兩個I 相乘，雖然一個是以x做積分，一個用y, 但實際上x就等於y吧?! 若y=xt 不就表示 x=xt ???
您还是没有理解定积分的真正意义。积分里的变量是可以用任意字母指代的，参与运算的是个函数并不是定数，与选取的字母无关。这里是把被积函数的变元用y替换x，而不是方程里的y＝x。
我數學系卻沒看過這做法
dummy variable 中文可以叫"魁儡變數"
維基百科說 Fubini's theorem 好像是20世紀提出的定理。滿好奇拉普拉斯是在不知道這定理的情況下去試出來的嗎? XD
估计Laplace做的时候没有严格讨论交换的前提，直接形式上就那么做了😂
freaking amazing
請問fubinis thm是高等微積分才會學到的嗎
Calc 3
如果是證明的部分 我記得應該是
你好老师，我想问一个基础问题。为什么在笛卡尔坐标系下的微元是矩形，而在极坐标系里面微元是扇形而不是等腰三角形。笛卡尔坐标系下可以把曲线在微元里近似成直线变成举行。为什么在极坐标里却要近似成弧线，变成扇形，而不是近似成直线变成等腰三角形。
在极坐标里也可以理解为长方形。想象极坐标中的这么一个面积单元，它的长度(径向）当然是 dr （极径之微小，实际上是无穷小的一个变化), 它的宽度(切向) ，理解为一个圆弧的一小段，这段圆弧对应的半径当然是r, 圆心角是 d\theta. 那么这段圆弧的长度显然是 r d\theta, 所以这个面积单元的面积自然是 r dr d\theta. 极坐标的径向和切向也是正交的，所以可以有这个直观的解释。对于复杂的情形还是用雅可比行列式算简单。
准确的说应该是横向而不是切向
我大學到底怎麼會這些東西的阿....現在全忘光了XD
看是看得懂，但是里面很多操作思路不是先知道正确答案，真的想不到想到也不确定是不是对的...
akhirnya ada yg pake bahasa mandarin...
二重积分，或者凑成标准正态分布
我怎麼在這裡
omg, you can speak Chinese, I thought you were Vietnamese...
不過用拉普拉斯的方法似乎沒辦法解決高斯係數問題，有一好沒兩好~
什麼是高斯係數？
@@bprptw 對不起，我確診胡言亂語。當初我學仿空間的時候遇到高斯係數覺得很順，可是學數學的都知道，冠上高斯名字的東西哪有可能這麼理所當然，所以就偷偷去查了一下，仿射空間這傢伙，是因為高斯認為所有定義域是開區間的積分函數，一定都可以映射到整個實數線的某個積分才發展出來的，其中就有高斯積分與高斯係數的部分關係，不是解決啦>.
看你視頻突然有中文版很奇怪!XD
沒關係 我們慢慢會習慣的
laplace 👍
❤
茶里😂
😆
對耶什麼時候跑出來的？ 🤣
我才發現老師會說中文
翔門弟子留
沒實力的老師.
謝謝老師❤️❤️
哇本尊!!!!
這裡竟然看到野生茶里！
誒不是 大家都用文字 為什麼你可以發語音???
是說 旁邊櫃子上的娃娃是不是茶里呀!
我是法国人, 我是学生在高中.我学习中文, 我爱数学课, 所以我找到你的视频的时候, 当时我很开心 😄
謝謝 我也很開心
你应该去台湾学中文
我是大陸仔，這個視頻成功勾起了我被理論力學支配的恐懼🤣當時的問題是這樣的:
一質點受一與距離成反比的引力作用在一直線上運動，質點的質量為m，比例系數為k，如此質點從距原點O為a的地方由靜止開始運動，求其到達O點所需的時間。
我的微積分屬於是老師抱著我跑過及格線的那種，自然也不會知道高斯積分，當時看到極坐標就害怕了(比起微積分我更害怕極坐標)，草草把結果背下來，結果期末考試重點考察分析力學更是讓我吐血，最後還是老師高擡貴手放我及格(哭).感謝您帶來的拉普拉斯解法，您的講解很詳細，即使是初學者也能順藤摸瓜地找到自己想要的知識點，您在學術上的謙遜令人敬佩。為您點贊👍
谢谢老师的指教. 这个解法我上学的时候学过. 毕业之后试着不用网上找到的极坐标做法去做, 但是失败了. 看了这个视频才又想起来, 还有这个富比尼定理, 基本全还给老师了.
除了这个做法, 高斯积分还可以用复变函数里面的围道积分(contour integration)来做: 基本的做法就是在复数域对这个函数进行封闭图形求路径积分, 然后巧妙构造一个半圆形, 由留数定理(Residue Thm)可知, 整个半圆包括x轴在内的线积分等于这个半圆围成的留数值*2*i*pi; 并且可以证明在R->Inf的时候, 圆周上的积分值为0, 那么就是整个线积分就是实数轴上的线积分, 也就是高斯积分, 就正比于这个留数值, 故可以轻松求解
這方法不錯欸，不然每次都是用極座標或是常態分配反推
解釋很清楚，值得支持。
今天期中題目剛好出這題
好險有看到這部影片
雖然我最後步驟做錯了 很可惜😢
但是感謝老師的影片 教的超好～
昨天就有看到英文版 覺得有比較好理解 比起工程數學課本寫的極座標更好懂一些 但當然算的過程可能比較偏好極座標XD 因為只要積分一次XD
重積分,看這種解法,是把外面那層一個一個乘進去(積鈖即是無限小的面積累加),所以外層的變數在解內層積分時,可看做只是一個特定值,即可看成常數!!
超級喜歡 謝謝老師的優質影片
謝謝！
好久沒看到老師了，哈哈
好酷的做法~謝謝老師分享
昨天在學e^(-a x^2)的傅立葉轉換，才剛學會笛卡爾座標轉極座標的積分法，因為轉過去J=r，剛好可以去積e^-r^2。
這方法比老師過去教的方法比較容易計算。
当年有一科叫“高数物理”，大概是一个学期也就是十三周就把calc1到3加上量子物理学完……我当时能过我现在都觉得有点神奇
老师太良心了吧 才发现有中文频道
相信答案 相信過程
相信它不會傷害你XD
請問以後有沒有機會出微分方程版的極限挑戰？
極座標的計算比較簡單 相對地過程的代換要記一下 之後的L-T也會用到這東西的印象
每次看到那種題目跟圓沒關係的題目 答案出現pi都覺得很神奇
3:15 若改變了積分的約束變量,運算結果不變
為什麼會y=xt (linear relationship)? 不好意思太久沒接觸理解不了。
其實，
高斯積分我當初在學的時候覺得最神(經病)，
最無俚頭的做法是複變函數論；
鬼才想得到這個傢伙是複空間的積分答案的某個分部，
腦洞是有多大?
对于一般大学生而言，常规解法是通过第一积分换元法将定积分转换为伽马函数，得出结果，the integral = GAMMA(0.5) = sqrt(Π)。
Gamma(0.5)怎麼來的？就是先換元變成Gaussian intergral，再用換成極座標或影片中的方法求出來的，你怎麼會說常規解法是把他再換回去呢？
把此被积函数的负号去了，再一积一次看看！谢谢曹老师
才知道老师还有中文频道的
谢谢老师😀
这个可以两种做法，一是正态分布去凑，另一个是二重积分
牛逼，先码住在看。我之前只会用极坐标
背后是茶里的玩偶！！！！！！！！
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用泰勒吧 都是用泰勒的
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很好的思路，感谢老师，但是有一点就是，这个富比尼定理的使用前提，也就是交换积分次序的前提，应该是被积函数连续吧，但是您视频中说的是，前提是函数大于零。
突然用中文，吓我一跳，上一看还是看你讲limit的题，好几年前了
好巧，我刚在khan academy上学完了multivariable calculus，现在用brilliant学linear algebra，请问老师有教那个范围吗？
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突然听你说中文，好不习惯啊。
請問可以多解釋一下為何可以令 y = xt嗎? 因為兩個I 相乘，雖然一個是以x做積分，一個用y, 但實際上x就等於y吧?! 若y=xt 不就表示 x=xt ???
您还是没有理解定积分的真正意义。积分里的变量是可以用任意字母指代的，参与运算的是个函数并不是定数，与选取的字母无关。这里是把被积函数的变元用y替换x，而不是方程里的y＝x。
我數學系卻沒看過這做法
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估计Laplace做的时候没有严格讨论交换的前提，直接形式上就那么做了😂
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請問fubinis thm是高等微積分才會學到的嗎
Calc 3
如果是證明的部分 我記得應該是
你好老师，我想问一个基础问题。为什么在笛卡尔坐标系下的微元是矩形，而在极坐标系里面微元是扇形而不是等腰三角形。笛卡尔坐标系下可以把曲线在微元里近似成直线变成举行。为什么在极坐标里却要近似成弧线，变成扇形，而不是近似成直线变成等腰三角形。
在极坐标里也可以理解为长方形。想象极坐标中的这么一个面积单元，它的长度(径向）当然是 dr （极径之微小，实际上是无穷小的一个变化), 它的宽度(切向) ，理解为一个圆弧的一小段，这段圆弧对应的半径当然是r, 圆心角是 d\theta. 那么这段圆弧的长度显然是 r d\theta, 所以这个面积单元的面积自然是 r dr d\theta. 极坐标的径向和切向也是正交的，所以可以有这个直观的解释。对于复杂的情形还是用雅可比行列式算简单。
准确的说应该是横向而不是切向
我大學到底怎麼會這些東西的阿....
現在全忘光了XD
看是看得懂，但是里面很多操作思路不是先知道正确答案，真的想不到想到也不确定是不是对的...
akhirnya ada yg pake bahasa mandarin...
二重积分，或者凑成标准正态分布
我怎麼在這裡
omg, you can speak Chinese, I thought you were Vietnamese...
不過用拉普拉斯的方法似乎沒辦法解決高斯係數問題，
有一好沒兩好~
什麼是高斯係數？
@@bprptw 對不起，
我確診胡言亂語。
當初我學仿空間的時候遇到高斯係數覺得很順，
可是學數學的都知道，
冠上高斯名字的東西哪有可能這麼理所當然，
所以就偷偷去查了一下，
仿射空間這傢伙，
是因為高斯認為所有定義域是開區間的積分函數，
一定都可以映射到整個實數線的某個積分才發展出來的，
其中就有高斯積分與高斯係數的部分關係，
不是解決啦>.
看你視頻突然有中文版很奇怪!XD
沒關係 我們慢慢會習慣的
laplace 👍
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茶里😂
😆
對耶什麼時候跑出來的？ 🤣
我才發現老師會說中文
翔門弟子留
沒實力的老師.