аааааааааааааааааааааааааааааааааааа наконец то нормальный перевод матана блииииииииииииииииииииииин я столько этого ждал черт возьми!!!!!!!!!! аааааааааааааааааааааааааааааааа
@@kostya1306абсолютно согласен! Каждый имбицил, который пишет хуйню, типа "А-а-а! Почему в школе так не объясняли?" Просто расписывается в собственной ебанутости! Ладно, я бы понял это в начале 2000-х, когда не то, что интернета почти не было, комп был у 1 % семей... Но, блин! 20-ые годы 21 века... Сука, безлимитный интернет уже лет как 15! Карл... Что этим дегенратом мешало погуглить учась в школе?
Поправочка: без пределов можно, но тогда нужно введение актуальных бесконечностей разных порядков, то бишь гипервещественных чисел. Из бонусов: можно почти что делить на ноль. Но это все уже другой раздел математики
Согласен с оратором выше. Именно это и примерно так же и преподают. Главная проблема - лень студентов и смежных преподов, что не показывают приложение этого к практике
За свою жизнь я успел сходить на экзамен по вышке 16 раз (я родился в прошлом столетии). За все эти годы я встретил только 1 бабульку математика которая простым языком смогла объяснить например перемножение матриц и ряды Фурье. Здесь материал даётся так же просто.
@@КириллХ-з4в В принципе вывод уже написан. Умных преподов много, все сами много чего знают, а вот донести до народа сложные вещи простыми словами не в состоянии. Тех кто в состоянии это сделать - единицы на тысячу. Поверьте, народ у нас не тупой, весьма способный. Только донесите до него то что хотите и они подхватят. Основываюсь на своём опыте. В конце 90х я был зав.лаб.ЭВМ в нашем техникуме. Пусть я недолго там проработал, но шороху навести успел. Зависть страшная сила и наши "заслушанные преподаватели (20-25 лет стажа)" меня просто "сожрали"))) Я смог то, что не смогли они. Рассказать студентам сложные вещи простыми словами. Они не могли понять, как так в группах все всё знают. Ни одной двойки я никому не поставил, не за что. Если кто то справился на 3 мы восполняли пробел в знаниях и я обоснованно ставил 4-5. Когда наставал момент сдачи зачёта или экзамена ко мне всегда была очередь, к ним - единицы. Не потому что я "добренький", потому что адекватный. Тут то жаба их всех и задавила окончательно))) Я ушёл из этого серпентария)))
@@КириллХ-з4в Даже на смежных специальностях (прикладная физика, например) каждую сессию сдают два экзамена по вышке. Например, мат. анализ и аналитическая геометрия. А если человек учился на математическом факультете, то там могло быть и три экзамена каждую сессию. А может, и четыре)
Это говорит о том, что только эта бабулька понимала то, о чем она говорит. Все остальные просто долдонили зазубренную информацию, на самом деле ничегошеньки не соображая. Когда человек понимает что-то, он всегда хочет объяснить это простыми словами, проецируя информацию на примеры из реального мира. Это свойство человека. Так что бабулька молодец, а все остальные по сути шарлатаны.
АААААААААААААААААААААААААААААААААААААаааааааааааааААААААААААААААААААА ДДДДДДДДДДДДААААААААААААА УУУУУУУРРУРУУРААААААААААААААААААААААА!!!!!!!!!!!!! Это СВЕРШИЛООСЬ!!!!!! не забрасывай это дело, очень ждал ^_^
То же самое, разве что замечу, что только когда я стал читать книги в дополнение к лекциям, начало приходить понимание сути. И это касается не только матанализа. Каким бы ни был гением преподаватель - он не может объять необъятное за ограниченное время, при этом не каждый студент может построить в голове верную модель, когда в подаваемом материале есть определенные пропуски.
Вот такие уроки должны быть в школе!!! Теперь по теме. Проще было бы понять к чему стремится ds/dt это использовать математическое понятие LIMIT функции. Тем более оно в школе проходится раньше, чем производная и лучше понимается. Автору ролика Респект и Уважение!
С момента ознакомления себя с производными и их формулами на уроках математики по типу x² -> 2x или x³ -> 3x², я задавался вопросом: А откуда такие формулы, откуда оно взялось?... И, только сейчас, в 20 лет я, посмотрев сие чудесное видео, наконец прозрел во всем этом. Спасибо большое за объяснение, я еще больше понял как работают интеграллы и производные. Настолько подробных уроков я еще не видел. 20 минут - и уже ты математик. 😏
Поздно Вы "прозрели". Формулы производных от x² и x³ на уроках в школе нам вовсе не давались как аксиома. На уроках математики еще в самом начале изучения производных мы сами выводили эти формулы. Также формулу для других степеней нетрудно вывести самому имея понятие о биноме Ньютона или о математической индукции. А этот ролик - это какой -то философский бред. Причем бред не потому что тут что-то неверно. Наоборот, вроде как все верно, но все 16 минут ролика - это бессмысленная вода, т.е. тупо переливание из пустого в порожнее.
Пример с машиной - классика. Позволяет понять производную, а не просто поверить каким-то магическим формулам. Кстати, математика - это именно о понимании процесса. Для себя первую производную представлял, как скорость изменения функции (скорость машины), а вторая производная -- ускорение изменения функции (ускорение машины в каждый момент времени, показанный в виде графика).
Автор, прекрасное видео, большое спасибо! Это был мëд. Теперь если не дëготь, то пожелание: приведите пример применения производных! Если это возможно, не отнекивайтесь фразами типа: "Производные зарыты глубоко в алгоритмах, применяемых для управления полётом космических кораблей". Это конечно так, без математики не получится сделать гораздо более простые вещи, чем космические полëты. Но нам бы пример попроще; не все видят прекрасное в чистой науке так ясно, как Вы, автор, нам бы "потрогать")) С уважением.
Да ради бога: лежит сугроб, нужно вычислить его объем как можно более точно. Всё, вам нужна производная, потому что шапку сугроба (заметьте, похожую на линию на графике) вы будете измерять именно ей. Если объем сугроба измерять не хотите, то можете измерить объем горы, целиком состоящей из золота. Вам нужен ответ вплоть до граммов. И снова добро пожаловать к производной.
Самое лучшее объяснение парадокса, описанного в конце видео в том, что в математике часто используют абсолютный ноль, а на деле абсолютного нуля не бывает.
В математике используют бесконечно малые, математически машина начала двигаться бесконечно близко от нуля, но в самом нуле она еще не двигалась. В реальном мире передача энергии ограничена скоростью света, и там тоже нет парадоксов, вначале машина стояла, на нее подействовала сила и она поехала уже через конечное мгновение.
Я когда-то в школе, когда еще Windows не вошел в моду, и начинающие юные -хакеры- программисты писали под DOS, сделал такую программку, которая рисует график заданной формулой функции, а также ее 1 и 2 производную (а вскоре дошел и до первообразной). Естественно, производные находились чисто численным методом, похожим на описанный здесь. Попутно выяснил, что не все такие способы одинаково хороши ) Например, "лобовой" ( f(x+dx) - f(x) ) / dx не слишком хорош. И не хорошо бесконечно уменьшать dx
Случайно заглянул сюда. РЕСПЕКТ автору. Замечание: предлагаю в лекции сделать ударение на том, что под словом "производная" в первую очередь понимаем функцию f'(x), построенную (произведенную из другой функции) по заданной функции f(x), представляющую интенсивность ее изменения с изменением аргумента, или просто скорость изменения заданной функции, если аргументом выступает время. Значение производной в конкретной точке аргумента, -- это мгновенная скорость, как и изложено в подкасте. Этого будет достаточно для студента. Никакого парадокса здесь нет. Анимация и представление лекции просто ИЗУМИТЕЛЬНОЕ. Не поделитесь ли секретом, в каком редакторе это сделано? Или в каком редакторе можно сделать подобное? Буду благодарен. Для слушателей подкаста: Не следует пренебрежительно относиться к "разжовыванию" базовых понятий, -- практика показывает, что "великие ученые" зачастую являются просто недоучками, по большому счету непрофессионалами, и неграмотность выставляют как "великий интеллект". Я имею в виду теорию относительности, квантовую теорию (вероятностновщину), теорию твердого тела и многое другое. В жизни тех "интеллектуалов" просто не было преподавателя, который бы изложил им суть науки, как автор этого подкаста. Близкаяпоблема имеется в физике микромира, в квантовой теории. Там используется понятие "потенциальная функция", которое на самом деле имеет два значения: 1) функция потенциальной энергии объекта в силовом поле (в поле другой частицы); 2) Функция распределения потенциала поля. Эти кривые могут совпадать по форме, если совместить цены делений на ординате энергии и потенциала, плюс объект в силовом поле должен быть точечным. На непонимании этого факта построено очень много ахинеи...
Сделано на питоне. Но если хочется такие вещи молотить быстро и наглядно, не очень заботясь о производительности, то можно быстро рубить на графиках desmos, которые уже давно перестали быть просто графиками.
@@kvach9403 **Сделано на питоне** . -- Спасибо за ответ. Если бы я еще понял, что к чему. Я как-то пробовал освоить Блендер... не смог, а хочется создать мультики по модели атомов. Я давно уже предложил модель атомов, многие с трудом понимают, что и к чему, а мультик упростил бы дело. На этот питон смотрю с завистью...
В старых машинах, где был полностью механический спидометр, то отображение скорости было сделано следущим образом. Есть стрелка, она прикреплена к металлической чашке, к этой же чашке прикреплена пружина. Внутрь чашки вставлен постоянный вращающийся вокруг своей оси магнит, вращение на который передается из коробки передач. таким образом скорость по факту отображает силу магнитного поля, которе развивает вращающийся магнит, соотвественно задержка корреклирует с иннерционностю системы.
дело не в объяснениях и не в таланте преподавателя, а в способностях самого человека. Кому-то сразу понятно, кому-то нужно долго и терпеливо вникать, кому-то это не дано в принципе. И это нормально. Поздравляю тех, кому этот ролик помог, но я уверен, что для них изучение высшей математики было бы непреодолимым мучением в отличие от тех, кто еще в школе понял физический смысл производной.
Спидометр не считает расстояние. Он считает частоту вращения выходного вала КПП. Буквально, обороты в секунду, по магнитному датчику. Но за секунду или за другой интервал, произволитель не уточняет. И уже потом частота импульсов переводится в скорость с каким-то коэффициентом, зависящим от радиуса колеса и передаточного числа главной пары. И да, именно поэтому спидометр врет, если установлены колеса нештатного размера, потому что ему (спидометру) никто об этом не сообщил 🙂
До сих пор не понимаю :( 12:30 - машина за 2 секунды проехала 8 метров (пусть средняя скорость равна 4 метра в секунду). Посчитали производную - мгновенная скорость изменения, получили число 12. Не понимаю, 12 чего? 12 метров? 12 секунд? 12 метров в секунду? Что такое 12 ? Что это 12 означает???
Хорошо, при изменении секунд условно с 2 до 2,01 машины (t = 0,01 с) машина проедет расстояние t^3, то есть 0,000001 метров, тогда скорость = 0,0001 м/с. Производная в нашем случае 3t^2 = 3*(0,01)^2 = 0,0003. И что это значит ?????
Ну и возьмем пример из следующего видео. Есть квадрат со стороной x, площадь это х^2. Увеличим квадрат на оооочень маленькое значение, получим 2х * dx. То есть производная (мы ее знаем и так из таблицы производных) df/dx = 2x. Берем квадрат со стороной 5, значит производная = df/dx = 10. Что такое 10 ?????
@@vladk3111 >> *при изменении секунд условно с 2 до 2,01 машины (t = 0,01 с) машина проедет расстояние t^3, то есть 0,000001 метров* Нет. Машина проедет расстояние 2,01^3 - 2^3 = 0,120601 метров. И производная в точке 2 будет 3*(2)^2 = 12 метров в секунду. В точке 2,01: 3*(2,01)^2 = 12,1203 метров в секунду. Твоя ошибка в том, что ты *разность времени* 0,01 секунд подставляешь в формулы, в которые нужно подставлять *время.*
Производное это определение то есть в каждой сфере или работе есть свой смысл производных распределений в схеме работы и участия в её необходимой теории то есть Производное это теория принципа и взаимодействия между начальной фразой и заключительным решением, возьмём к примеру часы есть стрелки есть механизм, но чтобы им дать ход их надо завести вот этот этап называется производное
все это базируется на пределах, представленных как приближение 0,0001 стремящееся к нулю, понятие производная раскрывается и доказывается на основе Lim пределов функций, видео соответствует школьному уровню понимания производной как некоторой дельты приращения функции, доказательство производных на основе пределов это мат. анализ который изучают на высшей математике
А я вот вспоминаю, как мне преподавали это в вузе. Какие же все-таки напышенные были эти преподаватели и на сколько убого они нам это рассказывали. как буд-то сразу зайдя в аудиторию крест на нас поставили. А тут прекрасное и наглядное объяснение.
По сути происходит подмена значения изменения функции в окрестности точки графика, где точка не имеет размера, на точку,(ноль), что по сути является нарушением логики или обманом.
@@vasylich3936 ты забыл, это мы решаем что определимо, а что нет. чьи понятия то подменяются? при чем, никто и не говорит что придел функции в точке равен функции в этой точке. если предел функции в точке совпадает со значением функции в этой точке - то функция непрерывна, если нет - то имеет разрыв, вот и твое одз в целости. а при чем тут вообще одз в определении производной? ты понимаешь вообще что такое придел?
@@КириллБезручко-ь6э про придел ничо ни знаю :-) Остается вопрос, а что же такое точка и почему одз эпсилон определяет дельту. Ведь по сути это просто некая абстракция не связанная с реальностью.
@@vasylich3936 ну пардон, предел. так а подмена понятий то где, и главное каких? если я скажу что предел функции sin(x)/x при x->0 равен 1, какие понятия я подменю
Нет такого термина "бесконечно малое число". Число это не функция и не изменяемый параметр. Число - это один неизменяемый объект. Но зато существует определение "бесконечно малая функция". Простыми словами - это такая функция, значения которой всё ближе и ближе подходят к нулю, и ее значения будут "идти" к нулю бесконечно, и подходить к нему так близко, как бы нам хотелось (с любой заданной точностью), но никогда не станут нулём. Конкретно в видео имеется ввиду то, что dt НЕ является бесконечно малой функцией, и поэтому оно может принять ЛЮБЫЕ значения, как очень большие, так и очень маленькие, так и средние, то есть мы можем сами "регулировать" это dt как мы сами захотим (а если бы оно было бесконечно малым, оно бы устремилось к нулю и строго бы к нему приближалось, а нам такое не подходит), поэтому автор и акцентировал на это внимание.
@@ТОРТ-б2м Я не стану брать на себя ответственность утверждая, что объяснение не совсем корректное, если говорить не формально, но строго-говоря dt является функцией от t, так-как переходя к более строгому определению производной, мы рассматриваем предел отношения приращения функции к приращению аргумента(dt), где приращение аргумента стремится к нулю, т.е. мы рассматриваем окрестность некоторой точки t0, к которой стремится аргумент t, значит dt=t-t0 (некоторая функция от t).
в физике (природе) не бывает мгновенной скорости, это удобная математическая абстракция из теории пределов, но для достаточно малых интервалов времени dt разница между абстрактной мгновенной скоростью и «физической»средней скоростью на интервале времени dt численно исчезающе мала, вот и все, а поскольку мгновенную скорость вычислять проще (аналитически), этот математический аппарат оказался чрезвычайно полезным при описании реальных физических процессов
По фотографиям как раз видно движение. Понятие мгновенного сводится к бесконечно малому. В том и сила в стремлении к нулю, что это всегда различные значения, меняется масштаб. Понятие было введено сравнительно недавно, 19 век
По фотографиям видно движение как раз потому, что фотография - это не мгновенный снимок. Для того, чтобы ее сделать, нужно некоторое, НЕ бесконечно малое время. За которое объект может переместиться.
@@samedy00 ты не понял бесконечно малого, это всегда окрестность, всегда различимое. Выдержка миллисекунда - смаз на сантиметр. Выдержка на микросекунду - смаз на 10 микрон. Свежая нобелевка про атто порядки, кста
@@TheDM128 угу. А производная - это идеализация, при окрестности стремящейся к нулю. Но в реальном мире такого не бывает. Поэтому и возникает противоречие, которое указано автором видео
@@samedy00 именно что в реальном есть различия, мы оперируем размерами вселенной с одной стороны, и размерами протонов с другой. Но никто не утверждает, что в масштабе вселенной протон это точка. Это масштабы, но значимо различимы. А в части представлений делаем допущение - пренебрежимо малые воздействия отбрасываем.
Мне кажется если бы определение производной тоже показать, то сразу было бы понятно что производная считается для эпсилон стремящемуся к 0, но не равному ему
Как инженер-математик, 2 года изучавший мат. анализ скажу, что если бы все преподователи которые преподовали нам, излагали так просто эти знания, количество людей полюбивших математику возросло бы в разы!!! Мои одногруппники не дадут соврать😂😂
@@samedy00 в том смысле, что здесь выражена мысль о том, что скорости в конкретный момент времени не существует. Если же подойти к скорости как вектору, то существует. На то есть примеры в квантовой физике. Как-то так.
На мой взгляд, через графики объяснение не самое лучшее. Производная пришла из физики в математику, не наоборот. И понять производную проще как раз через физику. В математике мгновенная скорость - это предел отношения приращения функции к приращению аргумента в некий момент времени t. Парадокс, на который и обратил внимание автор ролика - в МОМЕНТ времени нет ни какого приращения, поскольку момент - это точка и не имеет протяженности. А измеряя приращение, даже очень маленькое, мы эту точку покидаем, и измерение происходит всегда РЯДОМ с точкой, в которой нам нужно узнать значение производной, а не в самой точке. В физике все проще. Мгновенная скорость - это скорость, с которой продолжит двигаться тело, если в момент t убрать все силовые воздействия на него. В этом физический смысл. На графике зависимости пройденного расстояния от времени если в некий момент "выключить" все силовые воздействия на тело, оно станет двигаться равномерно и прямолинейно, а график движения из этой точки станет прямой линией, угол наклона которой пропорционален скорости. В этой точке график зависимости расстояния от времени станет графиком линейной функции вида s(t) = k*t, где k - число. К слову, график этот будет в точности соответствовать касательной в этой точке к графику. Если рассмотреть зависимость пройденного расстояния от времени, то в приращении расстояния на некотором интервале времени есть вклад от скорости в начале этого интервала и есть вклад от изменения скорости на этом интервале (от ускорения). Вклад мгновенной скорости - линеен по времени. Предел позволяет "отбросить" нелинейную часть приращения, которая как раз и обусловлена силовым воздействием. В малой окрестности точки линейное приближение с высокой точностью описывает поведение функции. Именно по этой причине в математике дифференциал - это линейная часть приращения функции. А вот ряд Лорана, например, учитывает и линейные, и нелинейные вклады в изменения некоего параметра в зависимости от приращения аргумента. И "восстанавливает" функцию из её линейных, квадратичных, кубических и т.д. вкладов в приращение на некотором интервале.
"В физике все проще. Мгновенная скорость - это скорость, с которой продолжит двигаться тело, если в момент t убрать все силовые воздействия на него." Действительно проще. Всего-то надо мгновенно убрать все силовые воздействия и измерить скорость.
Ну да, просто перестать толкать тело, например. Не вижу в этом проблемы. После прекращения действия силы тело станет двигаться с постоянной скоростью, которую измерять умеем. @@АндрейП-з8ц
Производная функции t^3 в точке (2) - 3*2^2=12. А геометрический смысл произведной - тангенс угла наклона касательной. Соответственно нарисована касательная функция t^3 в точке (2).
Видимо, данный материал полезен для математиков. С физической точки зрения понятие "мгновенной скорости" никаких парадоксов не содержит и очевидным образом согласуется с производной по времени от перемещения.
Именно с физической точки зрения - содержит. Просто все так привыкли считать производные, что мало кто об этом задумывается:) Физически нельзя неограничено устремлять промежутки времени к нулю. Поэтому и понятие "мгновенной скорости", строго говоря, не имеет смысла в плане реальных физических измерений.
@@samedy00 Возможно и так. Но с другой стороны - слово "мгновенное" и является тем самым маркером почти нулевого интервала! "Мгновение" это очень малый промежуток времени, почти нулевой, но всё же отличный от нуля. Вот и получается как и должно быть v=dr/dt (dt
@@rusa5990 в определении производной написано, что dt должно стремиться к нулю. Это значит, что dt - не какой-то конкретный, очень маленький интервал. Это функция, неограничено приближающаяся к нулю. А то, что написали вы (dr/dt при dt
@@samedy00 всё верно. Но в физических величинах всегда имеется дискретность! Она связанна либо с погрешностью измерения величин, либо с сутью явлений (постоянная планка, ограничения на соотношения величин и пр), либо с применяемой вычислительной моделью. Вот и получается естественность формулировки для физиков и парадоксальность для математиков!
@@rusa5990 так наоборот же, у математиков никаких проблем нет. Они могут устремлять любые величины к нулю неограниченно. А физики не могут. Поэтому именно с физической точки зрения, производная, которая оперирует бесконечно малыми функциями, - выглядит парадоксально.
Стоп! 08:01 Красиво но неверно. Не dS/dS, а приращение/dt (недоступен символ дельта). dS - знак дифференциала, а дифференциал - лишь линейная часть приращения.
ну я без криков просто выражу признательность за проделанную работу)
Видео просто великолепное! Автор достоин самой высокой оценки за свою работу! Большое спасибо за Ваш труд!
Великолепная подача, особенно примеры изменения графика производной. Именно примеры очень помогают понять эти абстракции
... В каждый дискретный момент непрерывного времени... 800 часов мат.анализа. Жму крепко руку, кто всё это прошел.
Хочу сказать огромное спасибо автору!! Потрясающая подача такой сложной вещи, как матанализ! Продолжайте в том же духе!
аааааааааааааааааааааааааааааааааааа наконец то нормальный перевод матана блииииииииииииииииииииииин я столько этого ждал черт возьми!!!!!!!!!! аааааааааааааааааааааааааааааааа
Лучший комментарий! Поддерживаю!
😂😂👍 да, хорошее видео!
В школе именно так и рассказывали. Вам просто похер было.
@@kostya1306не пизди,нихуя так не объясняли,было какое то стрёмное объяснение от которого только больше вопросов
@@kostya1306абсолютно согласен! Каждый имбицил, который пишет хуйню, типа "А-а-а! Почему в школе так не объясняли?" Просто расписывается в собственной ебанутости! Ладно, я бы понял это в начале 2000-х, когда не то, что интернета почти не было, комп был у 1 % семей... Но, блин! 20-ые годы 21 века... Сука, безлимитный интернет уже лет как 15! Карл... Что этим дегенратом мешало погуглить учась в школе?
Ребята, спасибо за проделанную работу!! Наверное, это лучше доступное объяснение матанализа, что я видел и испытывал в своей жизни
Именно это нужно преподавать в ВУЗах, перед тем как направить ураган новой информации в головы ни в чём (еще) не повинных студентов.
Поправочка: без пределов можно, но тогда нужно введение актуальных бесконечностей разных порядков, то бишь гипервещественных чисел. Из бонусов: можно почти что делить на ноль. Но это все уже другой раздел математики
Именно это и преподают
@@slonbeskonechen8310 если даже в вузе не все выкупают что такое производная, то можете себе представить, что там в школе творится:)
Вы бы всё равно пошли пить пиво с однокурсницами, кого вы обманываете
Согласен с оратором выше. Именно это и примерно так же и преподают. Главная проблема - лень студентов и смежных преподов, что не показывают приложение этого к практике
Давно ждал перевод этого сезона.Спасибо. Надеюсь на другие переводы этой темы.
какой же человек, подаривший это видео, гениальный преподаватель
Лучшее объяснение, что я когда-либо слышал. Жаль, что это произошло не в молодые годы... Но лучше поздно, чем никогда 😊
солидарен, то же самое...
За свою жизнь я успел сходить на экзамен по вышке 16 раз (я родился в прошлом столетии). За все эти годы я встретил только 1 бабульку математика которая простым языком смогла объяснить например перемножение матриц и ряды Фурье. Здесь материал даётся так же просто.
И какой же вывод напрашивается от 16 экзаменов?
@@КириллХ-з4в В принципе вывод уже написан. Умных преподов много, все сами много чего знают, а вот донести до народа сложные вещи простыми словами не в состоянии. Тех кто в состоянии это сделать - единицы на тысячу.
Поверьте, народ у нас не тупой, весьма способный. Только донесите до него то что хотите и они подхватят. Основываюсь на своём опыте. В конце 90х я был зав.лаб.ЭВМ в нашем техникуме. Пусть я недолго там проработал, но шороху навести успел. Зависть страшная сила и наши "заслушанные преподаватели (20-25 лет стажа)" меня просто "сожрали"))) Я смог то, что не смогли они. Рассказать студентам сложные вещи простыми словами. Они не могли понять, как так в группах все всё знают. Ни одной двойки я никому не поставил, не за что. Если кто то справился на 3 мы восполняли пробел в знаниях и я обоснованно ставил 4-5.
Когда наставал момент сдачи зачёта или экзамена ко мне всегда была очередь, к ним - единицы. Не потому что я "добренький", потому что адекватный. Тут то жаба их всех и задавила окончательно))) Я ушёл из этого серпентария)))
@@КириллХ-з4вне в коня корм. 😅
@@КириллХ-з4в Даже на смежных специальностях (прикладная физика, например) каждую сессию сдают два экзамена по вышке. Например, мат. анализ и аналитическая геометрия. А если человек учился на математическом факультете, то там могло быть и три экзамена каждую сессию. А может, и четыре)
Это говорит о том, что только эта бабулька понимала то, о чем она говорит. Все остальные просто долдонили зазубренную информацию, на самом деле ничегошеньки не соображая. Когда человек понимает что-то, он всегда хочет объяснить это простыми словами, проецируя информацию на примеры из реального мира. Это свойство человека. Так что бабулька молодец, а все остальные по сути шарлатаны.
Очень доходчиво!!! Такие занятия нужны школе!
ты просто такой красавчик👍👍👍 как жаль, что этого не было 15 лет назад
Слишком простой контент, от этого канала ждал большего
АААААААААААААААААААААААААААААААААААААаааааааааааааААААААААААААААААААА ДДДДДДДДДДДДААААААААААААА УУУУУУУРРУРУУРААААААААААААААААААААААА!!!!!!!!!!!!!
Это СВЕРШИЛООСЬ!!!!!!
не забрасывай это дело, очень ждал ^_^
Господи, на сколько всё понятно. Я всегда считал себя математическим инвалидом, но тут... тут у меня будто озарение пришло.
То же самое, разве что замечу, что только когда я стал читать книги в дополнение к лекциям, начало приходить понимание сути. И это касается не только матанализа. Каким бы ни был гением преподаватель - он не может объять необъятное за ограниченное время, при этом не каждый студент может построить в голове верную модель, когда в подаваемом материале есть определенные пропуски.
Вот такие уроки должны быть в школе!!!
Теперь по теме. Проще было бы понять к чему стремится ds/dt это использовать математическое понятие LIMIT функции. Тем более оно в школе проходится раньше, чем производная и лучше понимается.
Автору ролика Респект и Уважение!
С момента ознакомления себя с производными и их формулами на уроках математики по типу x² -> 2x или x³ -> 3x², я задавался вопросом: А откуда такие формулы, откуда оно взялось?... И, только сейчас, в 20 лет я, посмотрев сие чудесное видео, наконец прозрел во всем этом. Спасибо большое за объяснение, я еще больше понял как работают интеграллы и производные. Настолько подробных уроков я еще не видел. 20 минут - и уже ты математик. 😏
нет)
x³ -> 3x²
Поздно Вы "прозрели". Формулы производных от x² и x³ на уроках в школе нам вовсе не давались как аксиома. На уроках математики еще в самом начале изучения производных мы сами выводили эти формулы. Также формулу для других степеней нетрудно вывести самому имея понятие о биноме Ньютона или о математической индукции.
А этот ролик - это какой -то философский бред. Причем бред не потому что тут что-то неверно. Наоборот, вроде как все верно, но все 16 минут ролика - это бессмысленная вода, т.е. тупо переливание из пустого в порожнее.
@@glukmaker лучше поздно, чем никогда (с)
@@glukmakerв советских школах таких детей называли умственно отсталыми. Сейчас - альтернативно одаренными.
Наконец-то я начинаю что-то именно понимать. Спасибо!!!
Спасибо, что вы вернулись!
Огромное спасибо за перевод 🙏
потрясающее видео. Спасибо огромное за перевод!
Пример с машиной - классика. Позволяет понять производную, а не просто поверить каким-то магическим формулам. Кстати, математика - это именно о понимании процесса.
Для себя первую производную представлял, как скорость изменения функции (скорость машины), а вторая производная -- ускорение изменения функции (ускорение машины в каждый момент времени, показанный в виде графика).
Спасибо тебе, Николай) Ученики Ирины Сергеевны Баранович передают привет!
Спасибо за хороший перевод. Математека топ, автор гений
Спасибо за перевод!
огромное спасибо за перевод, с английским у меня плоховато, но зато теперь с матанализом все будет хорошо)
Не могу сказать, что было что-то новое, но изложение замечательное.
Автор, прекрасное видео, большое спасибо! Это был мëд. Теперь если не дëготь, то пожелание: приведите пример применения производных! Если это возможно, не отнекивайтесь фразами типа: "Производные зарыты глубоко в алгоритмах, применяемых для управления полётом космических кораблей". Это конечно так, без математики не получится сделать гораздо более простые вещи, чем космические полëты. Но нам бы пример попроще; не все видят прекрасное в чистой науке так ясно, как Вы, автор, нам бы "потрогать"))
С уважением.
Да ради бога: лежит сугроб, нужно вычислить его объем как можно более точно. Всё, вам нужна производная, потому что шапку сугроба (заметьте, похожую на линию на графике) вы будете измерять именно ей.
Если объем сугроба измерять не хотите, то можете измерить объем горы, целиком состоящей из золота. Вам нужен ответ вплоть до граммов. И снова добро пожаловать к производной.
Если бы это показали в школе, я бы был математиком
Сто процентов согласен.!
Если понятно только такое объяснение, то математиком бы ты точно не стал.
врядли
Если бы в школе ты был внимательным ты был бы математиком.
Лучшее объяснение! :)
Самое лучшее объяснение парадокса, описанного в конце видео в том, что в математике часто используют абсолютный ноль, а на деле абсолютного нуля не бывает.
У тебя не может быть ноль яблок?
@@БезручкоКирилл 🤔 воспоминание о вкусном яблоке и желание съесть ещё одно - уже не ноль😁
@@НиколайМалинкин-щ4с воспоминание о яблоке - это не яблоко. Яблок у тебя строго ноль.
В математике используют бесконечно малые, математически машина начала двигаться бесконечно близко от нуля, но в самом нуле она еще не двигалась. В реальном мире передача энергии ограничена скоростью света, и там тоже нет парадоксов, вначале машина стояла, на нее подействовала сила и она поехала уже через конечное мгновение.
мат анализ есть упрощение(приближение) сложных уравнений(функций) с помощью свойств пределов.
Если функция дифференцируема(интегрируема), то решение точное, а не приближённое.
Где были вы вместе с ютубом когда я учился в школе...жизнь была б гораздо проще....
Всё отлично. Браво.
Огрооооомное спасибо!!!!!!!!!
я очень люблю вас вы потрясные !!!!!!!!!!
спасибо за перевод!
Это шедевр...
Отличное видео, коллега!)
Наконец понял 😊
Спасибо❤
Спасибо вам. Покажу сыну когда подрастет :) это видео или оригинал!
Браво, автор!
Превосходно!
Я когда-то в школе, когда еще Windows не вошел в моду, и начинающие юные -хакеры- программисты писали под DOS, сделал такую программку, которая рисует график заданной формулой функции, а также ее 1 и 2 производную (а вскоре дошел и до первообразной). Естественно, производные находились чисто численным методом, похожим на описанный здесь. Попутно выяснил, что не все такие способы одинаково хороши )
Например, "лобовой" ( f(x+dx) - f(x) ) / dx не слишком хорош. И не хорошо бесконечно уменьшать dx
Производная это КОЭФФИЦИЕНТ -- лаконично и ясно.
Класс! Очень здорово!
прекрасно! спасибо большое.
Спасибо ,Автор
Шикарно!
Случайно заглянул сюда. РЕСПЕКТ автору.
Замечание: предлагаю в лекции сделать ударение на том, что под словом "производная" в первую очередь понимаем функцию f'(x), построенную (произведенную из другой функции) по заданной функции f(x), представляющую интенсивность ее изменения с изменением аргумента, или просто скорость изменения заданной функции, если аргументом выступает время. Значение производной в конкретной точке аргумента, -- это мгновенная скорость, как и изложено в подкасте. Этого будет достаточно для студента. Никакого парадокса здесь нет.
Анимация и представление лекции просто ИЗУМИТЕЛЬНОЕ. Не поделитесь ли секретом, в каком редакторе это сделано? Или в каком редакторе можно сделать подобное? Буду благодарен.
Для слушателей подкаста: Не следует пренебрежительно относиться к "разжовыванию" базовых понятий, -- практика показывает, что "великие ученые" зачастую являются просто недоучками, по большому счету непрофессионалами, и неграмотность выставляют как "великий интеллект". Я имею в виду теорию относительности, квантовую теорию (вероятностновщину), теорию твердого тела и многое другое. В жизни тех "интеллектуалов" просто не было преподавателя, который бы изложил им суть науки, как автор этого подкаста.
Близкаяпоблема имеется в физике микромира, в квантовой теории. Там используется понятие "потенциальная функция", которое на самом деле имеет два значения: 1) функция потенциальной энергии объекта в силовом поле (в поле другой частицы); 2) Функция распределения потенциала поля.
Эти кривые могут совпадать по форме, если совместить цены делений на ординате энергии и потенциала, плюс объект в силовом поле должен быть точечным. На непонимании этого факта построено очень много ахинеи...
Это просто перевод и озвучка забугорного канала. Вопросы лучше задавать на оригинальном канале.
Сделано на питоне. Но если хочется такие вещи молотить быстро и наглядно, не очень заботясь о производительности, то можно быстро рубить на графиках desmos, которые уже давно перестали быть просто графиками.
@@kvach9403 **Сделано на питоне** .
-- Спасибо за ответ. Если бы я еще понял, что к чему. Я как-то пробовал освоить Блендер... не смог, а хочется создать мультики по модели атомов. Я давно уже предложил модель атомов, многие с трудом понимают, что и к чему, а мультик упростил бы дело. На этот питон смотрю с завистью...
Благодарю, автор!
Супер подача. Смотрю, как фильм.
А как ты делаешь визуализацию? В чём? Это отдельный вид искусства.
это перевод, на оригинале видео сделано другими людьми
Спасибо
У меня только один вопрос к этой прекрасной работе - в чем делалалась мультипликация. Хочу для себя побаловаться подобным. Спасибо.
Язык Python + библиотека Manim
СУПЕР!
шедеврально
В старых машинах, где был полностью механический спидометр, то отображение скорости было сделано следущим образом.
Есть стрелка, она прикреплена к металлической чашке, к этой же чашке прикреплена пружина. Внутрь чашки вставлен постоянный вращающийся вокруг своей оси магнит, вращение на который передается из коробки передач.
таким образом скорость по факту отображает силу магнитного поля, которе развивает вращающийся магнит, соотвественно задержка корреклирует с иннерционностю системы.
вы просто гений.
Благодарю
Отлично. 👍
Круто
спасибо, но гораздо интересней вычислить не скорость в начале движения, а время (момент) внезапной остановки, скажем при наезде на препятствие
дело не в объяснениях и не в таланте преподавателя, а в способностях самого человека. Кому-то сразу понятно, кому-то нужно долго и терпеливо вникать, кому-то это не дано в принципе. И это нормально.
Поздравляю тех, кому этот ролик помог, но я уверен, что для них изучение высшей математики было бы непреодолимым мучением в отличие от тех, кто еще в школе понял физический смысл производной.
объясните мне эту формулу пж я не понял s(t+dt)-s(t) 7:08
Спидометр не считает расстояние. Он считает частоту вращения выходного вала КПП. Буквально, обороты в секунду, по магнитному датчику. Но за секунду или за другой интервал, произволитель не уточняет.
И уже потом частота импульсов переводится в скорость с каким-то коэффициентом, зависящим от радиуса колеса и передаточного числа главной пары. И да, именно поэтому спидометр врет, если установлены колеса нештатного размера, потому что ему (спидометру) никто об этом не сообщил 🙂
До сих пор не понимаю :( 12:30 - машина за 2 секунды проехала 8 метров (пусть средняя скорость равна 4 метра в секунду). Посчитали производную - мгновенная скорость изменения, получили число 12. Не понимаю, 12 чего? 12 метров? 12 секунд? 12 метров в секунду? Что такое 12 ? Что это 12 означает???
Ну скорость же. Значит 12 метров в секунду.
Хорошо, при изменении секунд условно с 2 до 2,01 машины (t = 0,01 с) машина проедет расстояние t^3, то есть 0,000001 метров, тогда скорость = 0,0001 м/с. Производная в нашем случае 3t^2 = 3*(0,01)^2 = 0,0003. И что это значит ?????
Ну и возьмем пример из следующего видео. Есть квадрат со стороной x, площадь это х^2. Увеличим квадрат на оооочень маленькое значение, получим 2х * dx. То есть производная (мы ее знаем и так из таблицы производных) df/dx = 2x. Берем квадрат со стороной 5, значит производная = df/dx = 10. Что такое 10 ?????
@@vladk3111 >> *при изменении секунд условно с 2 до 2,01 машины (t = 0,01 с) машина проедет расстояние t^3, то есть 0,000001 метров*
Нет. Машина проедет расстояние 2,01^3 - 2^3 = 0,120601 метров. И производная в точке 2 будет 3*(2)^2 = 12 метров в секунду. В точке 2,01: 3*(2,01)^2 = 12,1203 метров в секунду.
Твоя ошибка в том, что ты *разность времени* 0,01 секунд подставляешь в формулы, в которые нужно подставлять *время.*
Производное это определение то есть в каждой сфере или работе есть свой смысл производных распределений в схеме работы и участия в её необходимой теории то есть Производное это теория принципа и взаимодействия между начальной фразой и заключительным решением, возьмём к примеру часы есть стрелки есть механизм, но чтобы им дать ход их надо завести вот этот этап называется производное
все это базируется на пределах, представленных как приближение 0,0001 стремящееся к нулю, понятие производная раскрывается и доказывается на основе Lim пределов функций, видео соответствует школьному уровню понимания производной как некоторой дельты приращения функции, доказательство производных на основе пределов это мат. анализ который изучают на высшей математике
ну блин, я думал будет парадокс, а тут напомянание того, что производная является приделом.
А я вот вспоминаю, как мне преподавали это в вузе. Какие же все-таки напышенные были эти преподаватели и на сколько убого они нам это рассказывали. как буд-то сразу зайдя в аудиторию крест на нас поставили. А тут прекрасное и наглядное объяснение.
@@non1684 что, препод сагрился?:)
@@non1684 а я не люблю людей, которые раздают диагнозы по аватаркам и комментариям, но я же молчу:)
@@non1684 тебя не спросил, что мне делать:)
очевидно вам просто не повезло с преподами.
Шикарно
По сути происходит подмена значения изменения функции в окрестности точки графика, где точка не имеет размера, на точку,(ноль), что по сути является нарушением логики или обманом.
это является определением предела функции в точке
@@КириллБезручко-ь6э как подмену не назови она от этого другой не станет, да и определение - суть подмена или введение границ на неопределимую одз.
@@vasylich3936 ты забыл, это мы решаем что определимо, а что нет. чьи понятия то подменяются?
при чем, никто и не говорит что придел функции в точке равен функции в этой точке. если предел функции в точке совпадает со значением функции в этой точке - то функция непрерывна, если нет - то имеет разрыв, вот и твое одз в целости. а при чем тут вообще одз в определении производной? ты понимаешь вообще что такое придел?
@@КириллБезручко-ь6э про придел ничо ни знаю :-) Остается вопрос, а что же такое точка и почему одз эпсилон определяет дельту. Ведь по сути это просто некая абстракция не связанная с реальностью.
@@vasylich3936 ну пардон, предел. так а подмена понятий то где, и главное каких? если я скажу что предел функции sin(x)/x при x->0 равен 1, какие понятия я подменю
8:30
кто-нибудь может подсказать, в чем разница между "бесконечно малое число" и "конечное число, стремящееся к нулю"?
Нет такого термина "бесконечно малое число". Число это не функция и не изменяемый параметр. Число - это один неизменяемый объект. Но зато существует определение "бесконечно малая функция". Простыми словами - это такая функция, значения которой всё ближе и ближе подходят к нулю, и ее значения будут "идти" к нулю бесконечно, и подходить к нему так близко, как бы нам хотелось (с любой заданной точностью), но никогда не станут нулём. Конкретно в видео имеется ввиду то, что dt НЕ является бесконечно малой функцией, и поэтому оно может принять ЛЮБЫЕ значения, как очень большие, так и очень маленькие, так и средние, то есть мы можем сами "регулировать" это dt как мы сами захотим (а если бы оно было бесконечно малым, оно бы устремилось к нулю и строго бы к нему приближалось, а нам такое не подходит), поэтому автор и акцентировал на это внимание.
@@ТОРТ-б2м спасибо!
@@ТОРТ-б2м Я не стану брать на себя ответственность утверждая, что объяснение не совсем корректное, если говорить не формально, но строго-говоря dt является функцией от t, так-как переходя к более строгому определению производной, мы рассматриваем предел отношения приращения функции к приращению аргумента(dt), где приращение аргумента стремится к нулю, т.е. мы рассматриваем окрестность некоторой точки t0, к которой стремится аргумент t, значит dt=t-t0 (некоторая функция от t).
Презентация огонь. В какой программе можно делать такие презентации?
Еще Latex нужен
Спасибо за перевод.)) 👍 Вопрос!!!!
А почему я никогда не видел этого пояснения даже в книгах??? О_о
в Фенмановских лекциях в книге про механику хорошо объясняется производная)) как бы странно это не звучало
Именно так её и объясняют в учебнике Фихтенгольца, по которому вероятно все в России и учатся.
Это же один из трёх парадоксов Зенона!😊
в физике (природе) не бывает мгновенной скорости, это удобная математическая абстракция из теории пределов, но для достаточно малых интервалов времени dt разница между абстрактной мгновенной скоростью и «физической»средней скоростью на интервале времени dt численно исчезающе мала, вот и все, а поскольку мгновенную скорость вычислять проще (аналитически), этот математический аппарат оказался чрезвычайно полезным при описании реальных физических процессов
СПАСИБО!!!!
У нас на уроках говорили, что «в сумме дают ноль»
По фотографиям как раз видно движение. Понятие мгновенного сводится к бесконечно малому. В том и сила в стремлении к нулю, что это всегда различные значения, меняется масштаб.
Понятие было введено сравнительно недавно, 19 век
По фотографиям видно движение как раз потому, что фотография - это не мгновенный снимок. Для того, чтобы ее сделать, нужно некоторое, НЕ бесконечно малое время. За которое объект может переместиться.
@@samedy00 ты не понял бесконечно малого, это всегда окрестность, всегда различимое.
Выдержка миллисекунда - смаз на сантиметр. Выдержка на микросекунду - смаз на 10 микрон.
Свежая нобелевка про атто порядки, кста
@@TheDM128 угу. А производная - это идеализация, при окрестности стремящейся к нулю. Но в реальном мире такого не бывает. Поэтому и возникает противоречие, которое указано автором видео
@@samedy00 именно что в реальном есть различия, мы оперируем размерами вселенной с одной стороны, и размерами протонов с другой. Но никто не утверждает, что в масштабе вселенной протон это точка. Это масштабы, но значимо различимы.
А в части представлений делаем допущение - пренебрежимо малые воздействия отбрасываем.
Гениально , но вот в этом моменте( 6:50) я призадвмался почему S(t-dt)-t а не S(s+ds)?
Мне кажется если бы определение производной тоже показать, то сразу было бы понятно что производная считается для эпсилон стремящемуся к 0, но не равному ему
Здравствуйте. Кто может объяснить как может число приближаться к нулю, но не быть бесконечно малым.
Потому что мы не поставляем волшебное число, а смотрим что будет если подставлять все более маленькие числа
Как инженер-математик, 2 года изучавший мат. анализ скажу, что если бы все преподователи которые преподовали нам, излагали так просто эти знания, количество людей полюбивших математику возросло бы в разы!!! Мои одногруппники не дадут соврать😂😂
Как инженер-математик, который начал изучать матан 30 лет назад, скажу что - нет, не возросло бы
Как алгебраически отличаются 0 и переменная стремящийся к нулю?
На положительную величину, меньшую любого положительного числа.
@@TheElSonador такой нет
первое ноль, а второе предел
Спасибо!
👍👍👍
За перевод спасибо! А оригинал - где?
По ссылке в описании
Brilliant!
Ну вроде как бы мы представляем скорость/производную в виде вектора и ВСЁ. И большая часть этих эмпирические рассуждения идут лесом. Или я не прав?
В смысле? А как еще можно определить вектор скорости, кроме как через эти рассуждения?
@@samedy00 в том смысле, что здесь выражена мысль о том, что скорости в конкретный момент времени не существует. Если же подойти к скорости как вектору, то существует. На то есть примеры в квантовой физике. Как-то так.
@@fedotstrelcov2254 а как задать этот вектор, если не через производную?
На мой взгляд, через графики объяснение не самое лучшее. Производная пришла из физики в математику, не наоборот. И понять производную проще как раз через физику. В математике мгновенная скорость - это предел отношения приращения функции к приращению аргумента в некий момент времени t. Парадокс, на который и обратил внимание автор ролика - в МОМЕНТ времени нет ни какого приращения, поскольку момент - это точка и не имеет протяженности. А измеряя приращение, даже очень маленькое, мы эту точку покидаем, и измерение происходит всегда РЯДОМ с точкой, в которой нам нужно узнать значение производной, а не в самой точке.
В физике все проще. Мгновенная скорость - это скорость, с которой продолжит двигаться тело, если в момент t убрать все силовые воздействия на него. В этом физический смысл. На графике зависимости пройденного расстояния от времени если в некий момент "выключить" все силовые воздействия на тело, оно станет двигаться равномерно и прямолинейно, а график движения из этой точки станет прямой линией, угол наклона которой пропорционален скорости. В этой точке график зависимости расстояния от времени станет графиком линейной функции вида s(t) = k*t, где k - число. К слову, график этот будет в точности соответствовать касательной в этой точке к графику.
Если рассмотреть зависимость пройденного расстояния от времени, то в приращении расстояния на некотором интервале времени есть вклад от скорости в начале этого интервала и есть вклад от изменения скорости на этом интервале (от ускорения). Вклад мгновенной скорости - линеен по времени. Предел позволяет "отбросить" нелинейную часть приращения, которая как раз и обусловлена силовым воздействием. В малой окрестности точки линейное приближение с высокой точностью описывает поведение функции. Именно по этой причине в математике дифференциал - это линейная часть приращения функции.
А вот ряд Лорана, например, учитывает и линейные, и нелинейные вклады в изменения некоего параметра в зависимости от приращения аргумента. И "восстанавливает" функцию из её линейных, квадратичных, кубических и т.д. вкладов в приращение на некотором интервале.
"В физике все проще. Мгновенная скорость - это скорость, с которой продолжит двигаться тело, если в момент t убрать все силовые воздействия на него."
Действительно проще. Всего-то надо мгновенно убрать все силовые воздействия и измерить скорость.
Ну да, просто перестать толкать тело, например. Не вижу в этом проблемы. После прекращения действия силы тело станет двигаться с постоянной скоростью, которую измерять умеем. @@АндрейП-з8ц
А что означает наклон=12 на 12:43?
Производная функции t^3 в точке (2) - 3*2^2=12. А геометрический смысл произведной - тангенс угла наклона касательной. Соответственно нарисована касательная функция t^3 в точке (2).
Аркус тангенс с 12 вычисли, и получишь угол касательной.
Круто!
Видимо, данный материал полезен для математиков.
С физической точки зрения понятие "мгновенной скорости" никаких парадоксов не содержит и очевидным образом согласуется с производной по времени от перемещения.
Именно с физической точки зрения - содержит. Просто все так привыкли считать производные, что мало кто об этом задумывается:) Физически нельзя неограничено устремлять промежутки времени к нулю. Поэтому и понятие "мгновенной скорости", строго говоря, не имеет смысла в плане реальных физических измерений.
@@samedy00 Возможно и так. Но с другой стороны - слово "мгновенное" и является тем самым маркером почти нулевого интервала! "Мгновение" это очень малый промежуток времени, почти нулевой, но всё же отличный от нуля. Вот и получается как и должно быть v=dr/dt (dt
@@rusa5990 в определении производной написано, что dt должно стремиться к нулю. Это значит, что dt - не какой-то конкретный, очень маленький интервал. Это функция, неограничено приближающаяся к нулю. А то, что написали вы (dr/dt при dt
@@samedy00 всё верно. Но в физических величинах всегда имеется дискретность! Она связанна либо с погрешностью измерения величин, либо с сутью явлений (постоянная планка, ограничения на соотношения величин и пр), либо с применяемой вычислительной моделью. Вот и получается естественность формулировки для физиков и парадоксальность для математиков!
@@rusa5990 так наоборот же, у математиков никаких проблем нет. Они могут устремлять любые величины к нулю неограниченно. А физики не могут. Поэтому именно с физической точки зрения, производная, которая оперирует бесконечно малыми функциями, - выглядит парадоксально.
Любопытно.
Только причем тут матанализ?
Материал больше к "Численным методам" подходит...
Или это для школьников?
Весь матанализ вырос из численных методов. Возвращение к истокам:)
Законы Математики это Законы Математики. Она менять их не будет ни для Эйнштейна, ни для Рубенштейна )
Вообще-то, спидометр автомобиля никакие ds/dt не вычисляет
Столько времени на об'яснение элементарных вещей!
Стоп! 08:01 Красиво но неверно. Не dS/dS, а приращение/dt (недоступен символ дельта). dS - знак дифференциала, а дифференциал - лишь линейная часть приращения.