طريقة M الكبيرة (Big M Method) (4)

طريقة M الكبيرة (Big M Method) هي أسلوب يستخدم في البرمجة الخطية لحل مشاكل البرمجة الخطية المقيدة التي تتضمن متغيرات صناعية (artificial variables). وتستخدم بشكل خاص عندما لا يمكن البدء من حل أولي صالح للمشكلة. يمكن اعتبار هذه الطريقة امتدادًا لطريقة السمبلكس.
إليك خطوات طريقة M الكبيرة بشكل مبسط:
1. **إدخال المتغيرات الصناعية**: إذا كانت هناك قيود على الشكل "≥" أو "=", فسنحتاج إلى إضافة متغيرات صناعية للمساعدة في حل المشكلة.
2. **إضافة M إلى دالة الهدف**: يتم تعديل دالة الهدف بحيث يتم إضافة أو طرح متغيرات صناعية مضروبة في قيمة M كبيرة جدًا (عدد موجب كبير). الهدف من ذلك هو ضمان أن الحل الأمثل سيؤدي إلى إلغاء المتغيرات الصناعية، وبالتالي تقليل تأثيرها على الحل النهائي.
إذا كان المتغير الصناعي مضافًا، فإنه يتم إضافة \( +M \) مضروبًا في هذا المتغير إلى دالة الهدف.
إذا كان المتغير الصناعي مطروحًا، فإنه يتم إضافة \( -M \) مضروبًا في هذا المتغير.
3. **استخدام طريقة السمبلكس**: بعد إعداد المشكلة وفقًا للطريقة المذكورة أعلاه، يتم استخدام طريقة السمبلكس لحل المسألة.
4. **التأكد من التخلص من المتغيرات الصناعية**: في الحل النهائي، إذا كانت أي من المتغيرات الصناعية لها قيمة غير صفرية، فهذا يعني أن الحل غير ممكن أو أن هناك مشكلة في النظام.
مثال بسيط:
لنفترض أن لدينا المسألة التالية:
\[
\text{Maximize } z = 3x_1 + 2x_2
\]
مع القيود:
\[
x_1 + x_2 \geq 4
\]
\[
x_1 + x_2 \leq 6
\]
\[
x_1, x_2 \geq 0
\]
نحتاج إلى إدخال متغير صن
اعي في القيد الأول نظرًا لأنه من نوع "≥".
نضيف المتغير الصناعي \( A_1 \) في القيد الأول ونضربه في \( -M \) في دالة الهدف.