【ミクロ経済学】ミクロ経済学についてグダグダ語る講義：包絡線定理とロワの恒等式【難易度：学部中級から上級】

[@tskcollege8694]

訂正: 08:30 辺りで言っている L を a で偏微分した式 (2) ですが、これは 0 になるとは限りませんでした。 = 0 の部分は消してください。（正確にいうと、一階条件: FOC と式(2)は関係ないので、「ちなみに L を a で偏微分すると（=0 を消して）式 (2) のようになる」と書くべきでした）
アドバイス: 間接効用関数などを考えるときの x(p, w) は「最適解 = 最適消費 = ワルラス / マーシャル需要」です。(p,w) が引数にあれば明らかに最適解と分かるのですが、特に初心者の間は x*(p,w) のようにアスタリスクをつけると、 もともとの直接効用関数 u(x) の x と区別できるのでよいです。
ロワの恒等式はスルツキー方程式を導出する過程でも登場します。その流れで習った人もいると思いますが、僕の動画でもいずれスルツキー方程式は扱います。
今回の内容は、かつて僕が Qiita というプログラマ向けのブログ的サイトに投稿したものの焼きまわしです。

[@lhwC0hFg4RqqgCD]

家計の動学的最適行動を勉強している途中で包絡線定理が出てきて、どうにも定義と証明を見ても理解ができなかったので参考にさせてもらいました。動画内ではミクロ経済学としての説明が中心だったのですが、「パラメータで微分をする」「最大値関数を考える」という部分が動学的最適化行動と重なりそうで楽しく見ることができました。
それと、最後のロワの恒等式の何が凄いのか、というトピックがとても興味深かったです。学部２年前期に中級のミクロ経済学を大学で受講し、効用関数の定義から需要関数の導出、価格弾力性までを通しで勉強したのですが、その時は「これらの何が凄いのか」という疑問を持つ余裕が僕にはなかったので、学部三年の後期にこの動画を見ると、この類のトピックに興味深さを感じられるくらいにはなれたなと少し成長を感じました。（それがどうしたという話にはなりますが）

[@wxmn9892]

直接効用関数は序数的なので演算できず、間接効用関数は基数的なので演算できるという理解でよいのでしょうか。このあたりでいつも躓いてしまいます。

[@tskcollege8694]

現代のミクロ経済学では、一部の期待効用理論などの例を除いて序数的効用が仮定されていると認識すればよいと思います。すなわち、基数的な効用は特殊例だと思ってよいでしょう。
ここで私が扱っている直接効用関数も間接効用関数も序数的です。
序数的というのは、「(りんご, みかん) = (2, 3) の消費よりも (りんご, みかん) = (1, 5) の方が好き 」という、選好の大小関係を表現するという意味です。大小関係のみ、つまり順番に並んでいればそれで O.K. という考えですので、その効用の数値自体には特に意味はなく、当然、他人の効用の数値との比較はできないというものです。
「直接」効用と「間接」効用の意味の違いについては、以下のように理解されるとよいと思います。
(1) そもそも、本来の効用（喜び、満足）は、財を消費することで得られる
(2) 従って、所得や財の価格が変化しても、それだけでは財の消費が起きないので「直接」効用には影響を与えないはず
(3) だから「直接」効用は財バンドル x にのみ依存する
(4) しかし、所得 w や財の価格ベクトル p は、財バンドル x の消費の在り方に影響を及ぼす
(5) だから、w と p は「間接的に」効用に影響を与える
(6) そこで、w と p に依存する効用を「間接」効用と呼ぶことにする
以下のような単純な影響の関係をイメージすれば理解しやすいと思います。
効用 U

[@wxmn9892]

@@tskcollege8694 ありがとうございます。序数的という概念は、高校までしか数学を習わなかった者にはかなり抽象的でハードルの高いものと思い知らされました。
また、包絡線定理とは「包み込んでいく定理」、制約条件の範囲をより狭めていく定理と考えてよいのでしょうか。
「社会科学なので」、「人間の行動なので」、「他人の考えることは分からないので」という点はおっしゃるとおりと存じます。
RUclipsなどで大学初年度レベルの微分積分、線形代数と勾配ベクトルは一通りかじりましたので式変形はなんとか分かるつもりですが、その式の経済学的含意がなかなか読み取れないので大変助かっております。