Дедуктивная система - это частный случай формальной системы, хотя, возможно, некоторые не осгласятся. Формальная система - это символы и правила текстостроения. Сюда попадают любые формальные языки. Дедуктивная система все-таки как-то должна оправдывать слово "дедуктивная". Это значит, что помимо правильно построенных термов и формул там еще есть выводимые формулы, т.е. теоремы. С другой стороны, если мы правила вывода зададим так, что у нас всякая правильно построенная формула будет выводимой по этим правилам, то тогда и любая формальная система станет дедуктивной. Поэтому я бы вообще не использовал термин дедуктивная система во избежание путаницы. Лучше говорить о формальных языках и формальных теориях.
Здравствуйте, У меня три вопроса: 1) Правильно ли я понял, что Булевы функции представляют собой Модель Теории Исчисления высказываний. 2) Таблицы Истинности представляют собой другую модель ИВ (хоть и похожую на булевы функции). 3) Любые функции, в частности булевы, определяются на основе множеств, в которую в конечном счёте входит и Исчисление Высказываний. С другой стороны, моделью ИВ являются Булевы функции. Не имеем ли мы здесь заколдованного круга: В теорию ИВ входят Булевы Функции и с другой стороны Булевы функции определяются на основе теории ИВ?
1) да, можно так считать. надо только помнить о том, что ИВ - это теория, т.е. некоторый текст на некотором языке, а функции - это внутреннее понятие другой аксиоматической теории - теории множеств ZF 2) Да, таблицы - в некотором роде тоже модель, точнее, это правила вычислений булевых функций и одновременно правила вычислений истинностных значений для высказываний 3) Действительно, может показаться, что есть порочный круг. Я об этом пишу в книжке (mathem.at/) разделе 4.1. Однако тут стоит помнить все же о том, что изначально математика не сводится только лишь к формальной логике. Это обычная наука. подобная естественным. И даже когда мы вводим язык и аксиоматику, мы предполагаем, что можем писать символы на каком-от материальном носителе, который не требует акисиоматичесого определения. То есть, исчисление высказываний рассматривается как вещь в себе, реализованная на бумаге или компьютере, а уже различные его модели в более других теориях - это лишь подтверждение работосопосбности ИВ. Поэтому. кстати, я считаю матлогику самой неточной из математических наук) Многие теоремы матлогики доказываются классическим способом - путем убедительных рассуждений, а не в рамках какого-то формализма. Хотя они и допускают формальную интерпретацию.
@@reisedurchdiemathe Я тут подумал на счёт моего третьего вопроса, и мне кажется что здесь всё таки никакого противоречия нет, так как внутри самого ИВ нет понятия функции. Оно появляется лишь в одной из его моделей. А модель является внешним понятием по отношению к ИВ.
@@vitalyglushchenko8112 Формально говоря - да. Дело в том, что без теории множеств (хотя бы наследственно-конечных) вообще непонятно, что такое модель и что такое функция или предикат. Но некоторое противоречие все-таки есть: мы строим ИВ, затем строим ИП, затем строим ZF, и тут появялестя возможность построить модель ИВ. Возникает вопрос: насколько можно доверять столь вторичной структуре в вопросах непротиворечивости? Я уж молчу о том, что многие теоремы ИВ и ИП (например, теорема о компактности) доказываются чисто теоретико-множественными методами и с помощью теорем, доказанных в формалимзме ZF. Поэтому в некотором смысле нужно считать, что ZF - это модель какой-то данной нам в ощущениях теории множеств, которую мы можем использовать для анализа логического аппарата, в том числе ИВ. Это как курица и яйцо: по отдельности их законность сомнительна, а вместе они образуют некую устойчивую структуру.
@@vitalyglushchenko8112 ну, во-первых, это не мешает обычной математике, а это процентов 99.99 от всего объема) а во-вторых, чтобы о чем-то говорить, надо получать значимые по новизне результаты, а в этой области на границе математики и философии нужен как минимум еще один Гильберт, чтобы что-то такое получить. Со временем что-то вскроется, и будет новая революция оснований. Вот тогда и поговорят) Что касается учебников - там вообще не принято излагать спорные философские суждения, если это не учебник по философии.
Спасибо за видео. Очень внятный и структурированный материал.
3:48 всякая переменная является формулой, это абдукция или доказательное рассуждение ?
это база рекурсивного определения
Здраствуйте, формальная система и дедуктивная система это суть одно и то же? ну типа как синонимы, обозначающую одну и ту же вещь.
Дедуктивная система - это частный случай формальной системы, хотя, возможно, некоторые не осгласятся.
Формальная система - это символы и правила текстостроения. Сюда попадают любые формальные языки.
Дедуктивная система все-таки как-то должна оправдывать слово "дедуктивная". Это значит, что помимо правильно построенных термов и формул там еще есть выводимые формулы, т.е. теоремы.
С другой стороны, если мы правила вывода зададим так, что у нас всякая правильно построенная формула будет выводимой по этим правилам, то тогда и любая формальная система станет дедуктивной.
Поэтому я бы вообще не использовал термин дедуктивная система во избежание путаницы.
Лучше говорить о формальных языках и формальных теориях.
@@reisedurchdiemathe Спасибо большое за внятный и исчерпывающий ответ!
Здравствуйте,
У меня три вопроса:
1) Правильно ли я понял, что Булевы функции представляют собой Модель Теории Исчисления высказываний.
2) Таблицы Истинности представляют собой другую модель ИВ (хоть и похожую на булевы функции).
3) Любые функции, в частности булевы, определяются на основе множеств, в которую в конечном счёте входит и Исчисление Высказываний. С другой стороны, моделью ИВ являются Булевы функции. Не имеем ли мы здесь заколдованного круга: В теорию ИВ входят Булевы Функции и с другой стороны Булевы функции определяются на основе теории ИВ?
1) да, можно так считать. надо только помнить о том, что ИВ - это теория, т.е. некоторый текст на некотором языке, а функции - это внутреннее понятие другой аксиоматической теории - теории множеств ZF
2) Да, таблицы - в некотором роде тоже модель, точнее, это правила вычислений булевых функций и одновременно правила вычислений истинностных значений для высказываний
3) Действительно, может показаться, что есть порочный круг. Я об этом пишу в книжке (mathem.at/) разделе 4.1. Однако тут стоит помнить все же о том, что изначально математика не сводится только лишь к формальной логике. Это обычная наука. подобная естественным. И даже когда мы вводим язык и аксиоматику, мы предполагаем, что можем писать символы на каком-от материальном носителе, который не требует акисиоматичесого определения. То есть, исчисление высказываний рассматривается как вещь в себе, реализованная на бумаге или компьютере, а уже различные его модели в более других теориях - это лишь подтверждение работосопосбности ИВ.
Поэтому. кстати, я считаю матлогику самой неточной из математических наук) Многие теоремы матлогики доказываются классическим способом - путем убедительных рассуждений, а не в рамках какого-то формализма. Хотя они и допускают формальную интерпретацию.
@@reisedurchdiemathe
Я тут подумал на счёт моего третьего вопроса, и мне кажется что здесь всё таки никакого противоречия нет, так как внутри самого ИВ нет понятия функции. Оно появляется лишь в одной из его моделей. А модель является внешним понятием по отношению к ИВ.
@@vitalyglushchenko8112 Формально говоря - да. Дело в том, что без теории множеств (хотя бы наследственно-конечных) вообще непонятно, что такое модель и что такое функция или предикат. Но некоторое противоречие все-таки есть: мы строим ИВ, затем строим ИП, затем строим ZF, и тут появялестя возможность построить модель ИВ. Возникает вопрос: насколько можно доверять столь вторичной структуре в вопросах непротиворечивости? Я уж молчу о том, что многие теоремы ИВ и ИП (например, теорема о компактности) доказываются чисто теоретико-множественными методами и с помощью теорем, доказанных в формалимзме ZF. Поэтому в некотором смысле нужно считать, что ZF - это модель какой-то данной нам в ощущениях теории множеств, которую мы можем использовать для анализа логического аппарата, в том числе ИВ. Это как курица и яйцо: по отдельности их законность сомнительна, а вместе они образуют некую устойчивую структуру.
@@reisedurchdiemathe
Интересно, а почему математики об этом особо не говорят, да и в учебниках я это не встреал.
@@vitalyglushchenko8112 ну, во-первых, это не мешает обычной математике, а это процентов 99.99 от всего объема) а во-вторых, чтобы о чем-то говорить, надо получать значимые по новизне результаты, а в этой области на границе математики и философии нужен как минимум еще один Гильберт, чтобы что-то такое получить. Со временем что-то вскроется, и будет новая революция оснований. Вот тогда и поговорят) Что касается учебников - там вообще не принято излагать спорные философские суждения, если это не учебник по философии.