Ich bin Mathematikstudent im 2. Semester. Das ist die mit Abstand beste Veranschaulichung der Dualität eines Vektorraumes, die ich mir vorstellen kann. Das sollte jeder, der damit zutun hat, gesehen haben. Vielen Dank!
Jörn Loviscach Vielleicht doch noch eine Frage: Wieso stellen die Höhenlinien schiefe Ebenen dar? Ich kann mir nicht ganz vorstellen, wie diese "Höhe" mit dem R^2, indem wir uns befinden, kompatibel ist. Vielen Dank.
Die Kovektoren sind sozusagen schiefe Ebenen; die Höhenlinien stellen diese schiefen Ebenen nur dar. Die Kovektoren machen Vektoren zu Skalaren. Im R² kann man sich die Vektoren als Ortsvektoren vorstellen, so dass jeder Kovektor jedem Ort einen Skalar (die Höhe) zuordnet. Und das linear.
In der klassischen Mechanik gibt es ja ein Schema F, um Lagrangefunktionen/-dichten hinzuschreiben, und ganz am Anfang zeigt man, dass das immer funktionieren muss. Mit der Allgemeinen Relativitätstheorie werden aber die Karten neu gemischt. Da kann man erstmal lange darüber diskutieren, was denn überhaupt die "Felder" (also die veränderlichen Variablen) sind.
sehr hilfreichen Video! Gibt es denn ein Video, welches sich mit der Umwandlung von kontravarianten Vektoren in kovariante Vektoren beschäftigt? (40:25)
Wow, coole Serie an Videos. Die Erklärung zu den kovarianten (dualen) Vektoren mit den Höhenlinien fand ich zuerst etwas verwirrend, aber dann doch interessant. Wie weit wollen Sie mit den Videos gehen? ART auch noch, oder nur die mathematischen Voraussetzungen dafür?
Hervorragend Darstellung, endlich wird mal einigermassen klar was hier abgeht. Trotzdem stressig. Selbst Ihre Stimme klingt „ tense“ bei dem Thema. Der „ Karel Gott“ der Hochschulmathematik, das hat ja neulich jemand kommentiert..
Sehr geehrter Herr Loviscach! Als interessierter Laie habe ich bei 1:50 folgendes Verständnisproblem: Wenn es sich bei dem Produkt um das zweier Matrizen handelt, müsste doch das Ergebnis auch eine 1x1-Matrix sein, was aber bedeuten würde, dass alle reellen Zahlen dann nichts anderes als 1x1-Matrizen wären. Für diesen speziellen Typ von Matrix müssten dann auch alle Rechengesetze für reelle Zahlen gelten, was man sich leicht überlegen könnte. Oder sehe ich das falsch?
Herr Loviscach warum haben Sie den Convektor c als schiefe Linien dargestellt und warum nicht mit eine andere Winkel . Ist es willkürlich die neigung zu wählen oder gibt da zu ein Regel? besten Dank
Bei 6:00? Der Winkel und die Steilheit (also die Dichte der Höhenlinien) beschreiben einen bestimmten Kovektor, so wie Winkel und Länge einen bestimmten Vektor bestimmen.
würde ich auch bei der kontraktion von tensoren mit höherer ordnung, aber gleichen indizies auf ein skalar kommen? wenn ich also bspw. f^(a,b)f_(a,b) habe?
Ich hätte noch ein Frage abseits des Themas: Können Sie zu dem Thema vielleicht neben Ihren Videos auch Literatur, vllt. auch Ihre literarischen Quellen, empfehlen? Ich studiere selber Physik und uns wird in der Regel beigebracht, dass man mit den Tensoren spielchen machen kann, wie eben das ziehen der Indizes mit dem metrischen Tensor. Allerdings finde ich das keine besonders befriedigende "Erläuterung" (besonders für einen angehenden wissenschaftler). Allerdings muss ich auch sagen, dass mir reine "Mathematik" Literatur doch zu unanschaulich und abstrakt ist. Vielleicht kennen Sie da einen Mittelweg. Mit freundlichen Grüßen
Heinz Heinz Ich schöpfe aus vielen Büchern und Papern -- und vor allem habe ich mir viele dieser Erklärungen selbst ausgedacht (und vielleicht dabei einiges zum zweiten Mal erfunden). Eine Motivation für meine Videos ist, dass ich nur hier und da mal einzelne "vernünftige" Erklärungen in der Literatur gefunden habe. Da gebe ich dann im Video die Quellen an.
schönes Video! was mich aber verwirrt, ist dass die Basisvektoren des normalen V-Vektorraums Kovektoren sind. Wie können alle anderen Elemente von V, die selbst normale Vektoren sind, aus Linearkombination von Kovektoren gebastelt werden?
Nein, (Basis-)Vektoren von V sind keine Kovektoren zu V. Es sein denn, man hat eine Identifikation von V mit V*, zum Beispiel, indem eine Metrik gegeben ist. Siehe auch das Heben und Senken von Indizes in meinen auf dieses folgenden Videos: www.j3L7h.de/videos.html
@@JoernLoviscach dann kapiere ich die Schreibweise noch nicht ganz. Zum einen schreibt man die ganz normalen Ortsvektoren, die kontravariant transformieren, mit Indizes oben. Und gleichzeitig schreibt man die Kovektoren auch mit Indizes oben?
@@SuperMenders Ah, nein, eine Basis e_µ von "gewöhnlichen" Vektoren hat den Index unten. Wenn man aber aus dieser Basis einen neuen "gewöhnlichen" Vektor bildet, haben dessen Koeffizienten (also Komponenten, oder wie man heute in der Schule sagt: Koordinaten) a^µ die Indizes oben, damit die Summenkonvention klappt: a^µ e_µ ist ein gewöhnlicher Vektor. Im Physiklehrbuch schreibt man meist nur a^µ hin, nichts von wegen der Basis, und hat dann reine Zahlen (also Komponenten), keine Vektoren usw. Und noch zum Begriff "Ortsvektor": Den lieber nicht verwenden, weil er spätestens in der ART keinen Sinn mehr ergibt.
Ok also das was du im Video als a bzw. b ohne Index schreibst ist identisch mit a^k bzw. b_k wie es in in den Physikbüchern steht. Und das was du im Video als a^k bzw. b_k bezeichnest sind einfach nur Komponenten (aber keine "ganzen" Vektoren)? @Jörn Loviscach
@@SuperMenders Nicht identisch, sondern gleichbedeutend: Der Vektor lässt sich eindeutig durch seine Komponenten beschreiben und umgekehrt (wenn man eine Basis festgelegt hat). Mit a meine ich einen Vektor (siehe 20:53), nicht seine Komponenten a^µ. Inbesondere hängt a nicht vom Koordinatensystem ab, die a^µ dagegen schon.
Herr Loviscach, wäre es möglich nochmals mehr auf die geometrische Anschauung einzugehen, insbesondere wenn es um den Basiswechsel geht ( weiter unten ein Link - hier habe ich die für mich beste (relativ) Erklärung gefunden, jedoch gibt es noch ein paar Knackpunkte die sich nicht knacken lassen:( Da dachte ich mir, dieser Inhalt - wiedergegeben durch Ihre Kompetenz ... ein Traum:)) walter.bislins.ch/physik/index.asp?page=Kovariante+und+Kontravariante+Komponenten
Danke für die Blumen! :-) Die Themen aus dem Link kommen aber eigentlich alles bei mir vor. Bitte meine RUclips-Playliste "Reisen durch die Raumzeit" ansehen.
Ok, diese Ko-, Kontravarianz finde ich besonders schlimm :S Gibts dafür irgendwie Übungen oder dergleichen? Ich kann mir momentan noch nicht vorstellen, was das für einen Unterschied macht, ob ein Vektor nun kontra- oder kovariant ist. Apropos: Bzgl. der Kontraktion: Habe irgendwo aufgeschnappt, dass x'_nu = L_nu,mu mal x'^mu (L = Lambda). Kommt das irgendwie mit Summation über mu hin und ist der transfomierte Vierervektor x' kovariant?
Ist bestimmt absolut klar, aber zur Sicherheit nochmal nachgefragt: Mit Basiswechsel ist doch einfach der Vorgang, der bei bei der Lorentz-Transformation und Konsorten passiert?
Übungen: Hm, wüsste keine. Kontravariant: ein echter Pfeil. Kovariant: eine Messlatte, sozusagen. Mit dem metrischen Tensor kann man sowieso mühelose zwischen beiden Formen übersetzen. x`_nu = ... ja, aber L ist kein Tensor. Und es ist nicht "der transformierte Vierervektor" kovariant, sondern der Vektor als solcher (als ein Ding, das unabhängig vom Koordinatensystem existiert). Genauer sollte man sagen, dass die Komponenten des Vektors kovariant transformieren (wenn man in eine anderes Koordinatensystem geht).
Jörn Loviscach Gut, darüber werde ich wohl noch ein paar Minütchen nachdenken müssen... Ist fast so pfriemelig wie diese neue sogenannte "Kommentarfunktion" von 'Tube... Menschen machens sich meistens nur selbst schwerer als nötig.
Doch, viele Leute lassen in der theoretischen Physik Formeln vom Himmel fallen. "Was sind die Felder? Welche Terme könnten in der Lagrangedichte vorkommen, ohne die Kovarianz/Eichinvarainz/... zu ruinieren? Aha, also sieht die Lagrangedichte so aus: ..." (Beispiele z.B. Conformal Gravity, Yang-Mills-Eichtheorien, Higgs-Mechanismus) Das empfinde ich als abstrakten Nonsens. Ich muss handfest verstehen, was da wie und wodurch passiert.
Vielleicht sollte man sich die schiefe Ebene besser als Gitternetz vorstellen, welches in 2D wiederum 2 skalare Komponenten hat. Dieses dient nur zur Veranschaulichung der Abbildung Vektor(Vektor) -> Skalar. Oder liege ich da falsch ?
Komponenten eines Vektors können ja nicht skalar sein, denn sie müssen sich transformieren. Man kann sich einen dualen Vektor vorstellen als eine Landkarte, auf der für jeden Punkt, auf den ein (nicht dualer) Vektor vom Ursprung aus zeigt, ein Wert (quasi eine Höhe) steht. Ein Gitternetz ergibt sich mit einem einzigen dualen Vektor aber nicht, sondern nur die Höhenlinen der besagten schiefen Ebene.
Einfach gesagt, ja, fast schon zu einfach gesagt, weil einen das Wort "multiplizieren" auf den Gedanken bringen könnte, dass hier wie bei "4 * 5" zwei gleichartige Sachen (die Zahl 4 und die Zahl 5) einer Rechenoperation (Multiplikation) unterworfen werden. Es ist aber die Operation schon in die erste Sache eingebaut (jene ist quasi ein "4 * x"); es wird also eine (in diesem Fall lineare) Funktion auf die zweite Sache angewendet.
Mich hat schon sehr gewundert, dass der Kollege Susskind in einem seiner Videos sagt, er wisse nicht, was "kovariant" und "kontravariant" bedeuten. Nebenbei: "kovariant" = transformiert wie die Basis, "kontravariant" = transformiert andersherum.
Die _Komponenten_ eines physikalischen (!) Tensors an einem gegebenen Punkt (!) in einem gegebenen Koordinatensystem (!) kann man in einem n-dimensionalen Array abspeichern.
Ich bin verwirrt. Zu beginn wird gesagt, kontravariante Vektoren sind die mit Index unten und kovariante mit Index oben. Später bei den Tensoren ist es dann aber umgekehrt...
Vorsicht: zwischen den Komponenten und der Sammlung an Basisvektoren unterscheiden. Wenn die Komponenten den Index oben haben, haben die Basisvektoren den Index unten -- und umgekehrt.
Wenns um Tensoren geht, fühlt sich der Begriff "Matrix" wie ein Fremdkörper an. Es gibt einen Einheitstensor -- und dessen Komponenten sind in jeder Basis das Kronecker-Delta. Die Transposition und das Skalarprodukt sind nicht Teil der Definition eines Vektorraums. sondern Sonderausstattung. Alles aus diesem Video geht mit nackten Vektorräumen. Kommt alles noch im Video, das ich als nächstes mache, samt metrischem Tensor und Epsilon.
Das Video enthält im Prinzip Stoff für mehrere Videos, hat also eine sehr hohe Informationsdichte. Ich finde den Teil, der mit dem Tensor 5. Stufe A_ij_klm anfängt, echt krass, aber sehr gelungen! So kriegt man von Anfang an ein Gefühl für Handhabung von beliebigen Tensorstufen. Einen Begriff vermisse ich: *kovarianter Tensor*, d.h. die Indizes der Komponenten UND die Indizes der Basisvektoren stehen unten. In dem Bereich herrscht bei mir Konfusion. In Wikipedia wird als Beispiel für einen kovarianten Tensor der (mechanische) Spannungstensor genannt. Dass könnte ich akzeptieren, gäbe es nicht andere Quellen, die dem widersprechen. Ferner erhalte ich korrekte Resultate, wenn ich ihn als kontravarianten Tensor 2. Stufe verwende. Gibt es überhaupt kovariante Tensoren in der Anwendung (Physik) oder sind sie ein Konstrukt der Vollständigkeit halber?
* Der Begriff "kovarianter Tensor" ergäbe keinen Sinn (im Unterschied zu "kovarianter Vektor"). Man würde allenfalls von "2fach kovariant" sprechen. de.wikipedia.org/wiki/Vierertensor * "Ferner erhalte ich korrekte Resultate": Wenn man den richtigen Spezialfall herauspickt, kann aus einer falschen Rechnung das Richtige herauskommen. * Der Spannungstensor ist aus der klassischen Mechanik (3D ungekrümmt statt 4D gekrümmt). * In der Physik ist einem herzlich egal, ob die Indizes oben oder unten stehen. Wenns nicht passt, macht mans mit dem metrischen Tensor passend.
Zitat aus aktuellem de.Wikipedia/Tensor: "Ein Beispiel für einen kovarianten Tensor 2. Stufe ist der Trägheitstensor". Was heißt das denn? Tensokomponenten kovariant, Basisvektoren aber kontravariant? Oder beides kovariant?
In dem Zitat soll wohl in Kurzform "in allen Indizes kovariant" gemeint sein. Die Basisvektoren des Tangentialraums transformieren kovariant (daher der Name *ko*variant), die des Kotangentialraums kontravariant. Die Tensorkomponenten A^{\alpha \beta}_{\gamma \delta} transformieren in den Indizes \alpha und \beta kontravariant und in den Indizes \gamma und \delta kovariant.
Ein bisschen Spekulation ist wohl immer dabei - wäre ja auch erschreckend, wenn man alle Naturgesetze mit einem zusammenfassen könnte. Aber mit ein paar Schönheitsannahmen geht da doch erstaunlich viel. Ich finde es gut, dass z.B. der Landau in seinem Mechanik-Buch so vorgeht, denn das Hamiltonsche Prinzip ist einer der Grundpfeiler der theoretischen Physik, der ggT der verschiedenen Theorien. Bitte überdenken Sie doch Ihr Urteil über die Lagrangedichte nochmal unter diesem Gesichtspunkt!
Oh, ich meine: Das Produkt lambda a und die Summe a + b müssen für alle (alle!) Vektoren a, b und alle reellen Zahlen lambda definiert sein und den "üblichen" Gesetzen genügen (genaue Auflistung der Vektorraumgesetze siehe Wikipedia; nichts Überraschendes dabei). Es geht an dieser Stelle also nicht um das Aufspannen des Vektorraums aus a und b, sondern darum, dass die grundlegenden Operationen definiert sein müssen -- für alle Vektoren. Später im Video bei den Basen gehts ums Aufspannen
Die Lagrangedichte will ich gerade _nicht_ bringen. Die wirkt auf mich wie ein magischer Trick. Sozusagen deus ex machina. Ich werde in den kommenden Videos die Feldgleichungen der Allgemeinen RT vielmehr anschaulich motivieren. Daran bastele ich derzeit und bin ganz erschrocken, wie sehr in den üblichen Lehrbüchern die Gleichungen "vom Himmel fallen" statt begründet werden.
Immer wenn sie über den Vektorraum sprechen, sagen sie immer, dass 2a-vektor und a-vektor+b-vektor zum vektorraum gehören, wie ist es denn mit k*a-vektor+l*b-vektor? wenn der dazu gehören würde hieß es ja eifnahc, dass n vektor raum einfach nur aus 2 linear unabhängigen vektoren gebildet wird. ist dem so? (haben das selbst im lk nur sehr kurz besprochen) wäre k*a-vektor+l*b-vektor+m*c-vektor auch ein vektorraum, wenn a-vektor, b-vektor und c-vektor linear unabhängig zueinander sind?
die herleitung aus dem prinzip der kleinsten wirkung (welches selbst den guten feyneman erstaunt wie er in seinem lehrbuch schreibt) stell ich mir weswentlich abstrakter vor. mathematisch mag es ja schön sein aber betrachtet man den bezug zur realität ist der weg hier sehr viel eingängiger!
Heyho, mein Lehrer hat mir eine Frage gestellt. Nämlich, zweichne zwei Linien die NICHT parallel zueinnander sind und sich NICHT schneiden? Kann mir Jemand da weiterhelfen?
Ich verstehe ehrlich gesagt das mit dem Transformationsverhalten nicht genau. a^k ist doch eine Vektor Komponente und e'_l ein Vektor. Außerdem müßte man doch bei kontravariant mit der selben Logik wie bei kovariant statt a^k sowas wie e^k(a) schreiben und dann hätte es ja wieder eine ähnliche Form wie kovariant. (mit ^ meine ich hoch gestellt und mit _ tief gestellt) Ich hoffe ich hab mich verständlich ausgedrückt und jemand kann mir Helfen. Danke im Vorraus
Zu Satz 1: ja. Zu Satz 2: Ja, siehe die duale Basis in diesem Video, so um 16:00. Zu Satz 3: Die Basis e_k transformiert kovariant, die duale Basis e^k transformiert kontravariant, beides also jeweils andersherum als die jeweiligen Komponenten a^k bzw. a_k, so dass a^k e_k und a_k e^k sich nicht ändern, denn das ist ja ein fester Vektor bzw. Kovektor.
In manchen Erklärungen zu kovarianten und contravarianten Vektoren liest man, dass Die contravarianten Basen senkrecht auf den kovarianten Basen stehen. Das kann doch nicht richtig sein, Da kovariante Basen und contravariante Basen in verschiedenen Vektorräume sind. Außerdem sind covariante Basen doch Funktionen, oder?!
Ja (ist nicht richtig) und ja (sind Funktionen). Nur eine Sache: nicht "Basen", sondern "Basisvektoren", denn eine Basis ist eine Menge von Basisvektoren.
Nö. Mit einer Lagrange-Dichte kann man zwar eine Theorie hübsch zusammenfassen. Man kann aber kaum motivieren und verstehen, warum man das tut, was man tut. Aber genau darum geht es mir, siehe z.B. das Video zum Äquivalenzprinzip.
ich, selber physikstudent, muss hier leider widersprechen! bestenfalls gefällt eine solche herleitung dir und nicht allgemein, allen physikstudenten. mir jedenfalls liegt sehr viel daran, gerade bei solchen themen wie SRT und ART zu verstehen.
![Lil Uzi Vert - Chill Bae [Official Music Video]](http://i.ytimg.com/vi/D7F42F_JM3U/mqdefault.jpg)
Ich bin Mathematikstudent im 2. Semester. Das ist die mit Abstand beste Veranschaulichung der Dualität eines Vektorraumes, die ich mir vorstellen kann. Das sollte jeder, der damit zutun hat, gesehen haben. Vielen Dank!
Gern geschehen!
Jörn Loviscach Vielleicht doch noch eine Frage: Wieso stellen die Höhenlinien schiefe Ebenen dar? Ich kann mir nicht ganz vorstellen, wie diese "Höhe" mit dem R^2, indem wir uns befinden, kompatibel ist. Vielen Dank.
Die Kovektoren sind sozusagen schiefe Ebenen; die Höhenlinien stellen diese schiefen Ebenen nur dar. Die Kovektoren machen Vektoren zu Skalaren. Im R² kann man sich die Vektoren als Ortsvektoren vorstellen, so dass jeder Kovektor jedem Ort einen Skalar (die Höhe) zuordnet. Und das linear.
In der klassischen Mechanik gibt es ja ein Schema F, um Lagrangefunktionen/-dichten hinzuschreiben, und ganz am Anfang zeigt man, dass das immer funktionieren muss. Mit der Allgemeinen Relativitätstheorie werden aber die Karten neu gemischt. Da kann man erstmal lange darüber diskutieren, was denn überhaupt die "Felder" (also die veränderlichen Variablen) sind.
Man kann sich deine Videos wirklich extrem gut angucken.
sehr hilfreichen Video! Gibt es denn ein Video, welches sich mit der Umwandlung von kontravarianten Vektoren in kovariante Vektoren beschäftigt? (40:25)
Hier: j3l7h2.de/videos/v.php?v=ZJUmTkJDsZw
Wow, coole Serie an Videos.
Die Erklärung zu den kovarianten (dualen) Vektoren mit den Höhenlinien fand ich zuerst etwas verwirrend, aber dann doch interessant.
Wie weit wollen Sie mit den Videos gehen? ART auch noch, oder nur die mathematischen Voraussetzungen dafür?
Hervorragend Darstellung, endlich wird mal einigermassen klar was hier abgeht. Trotzdem stressig. Selbst Ihre Stimme klingt „ tense“ bei dem Thema. Der „ Karel Gott“ der Hochschulmathematik, das hat ja neulich jemand kommentiert..
Vielen Dank! Sehr gutes verständliches Video :)
Vielen Dank für das Video. Super erklärt.
Sehr geehrter Herr Loviscach! Als interessierter Laie habe ich bei 1:50 folgendes Verständnisproblem: Wenn es sich bei dem Produkt um das zweier Matrizen handelt, müsste doch das Ergebnis auch eine 1x1-Matrix sein, was aber bedeuten würde, dass alle reellen Zahlen dann nichts anderes als 1x1-Matrizen wären. Für diesen speziellen Typ von Matrix müssten dann auch alle Rechengesetze für reelle Zahlen gelten, was man sich leicht überlegen könnte. Oder sehe ich das falsch?
Das kann man so sehen. Für Matrizen gibt es allerdings nicht alle Rechenoperationen, die es für reelle Zahlen gibt.
Herr Loviscach
warum haben Sie den Convektor c als schiefe Linien dargestellt und warum nicht mit eine andere Winkel .
Ist es willkürlich die neigung zu wählen oder gibt da zu ein Regel?
besten Dank
Bei 6:00? Der Winkel und die Steilheit (also die Dichte der Höhenlinien) beschreiben einen bestimmten Kovektor, so wie Winkel und Länge einen bestimmten Vektor bestimmen.
Schon krass, wie schnell 35 Minuten umgehen können, obwohl man sich mit Tensoren beschäftigt.
Nicht "obwohl", sondern "weil"! ;-)
Zeit ist relativ
Wenn man kovariante Metrik tensor g_uv mit kontravariante Metrik tensor g^uv multiplizieren ist das Ergebnis 1 oder - 1?
Ist gemeint: multiplizieren und dann über u und v kontrahieren? Nein, dann ist das Ergebnis 4.
würde ich auch bei der kontraktion von tensoren mit höherer ordnung, aber gleichen indizies auf ein skalar kommen? wenn ich also bspw. f^(a,b)f_(a,b) habe?
Ja.
Ich hätte noch ein Frage abseits des Themas: Können Sie zu dem Thema vielleicht neben Ihren Videos auch Literatur, vllt. auch Ihre literarischen Quellen, empfehlen? Ich studiere selber Physik und uns wird in der Regel beigebracht, dass man mit den Tensoren spielchen machen kann, wie eben das ziehen der Indizes mit dem metrischen Tensor. Allerdings finde ich das keine besonders befriedigende "Erläuterung" (besonders für einen angehenden wissenschaftler). Allerdings muss ich auch sagen, dass mir reine "Mathematik" Literatur doch zu unanschaulich und abstrakt ist.
Vielleicht kennen Sie da einen Mittelweg.
Mit freundlichen Grüßen
Heinz Heinz Ich schöpfe aus vielen Büchern und Papern -- und vor allem habe ich mir viele dieser Erklärungen selbst ausgedacht (und vielleicht dabei einiges zum zweiten Mal erfunden). Eine Motivation für meine Videos ist, dass ich nur hier und da mal einzelne "vernünftige" Erklärungen in der Literatur gefunden habe. Da gebe ich dann im Video die Quellen an.
schönes Video!
was mich aber verwirrt, ist dass die Basisvektoren des normalen V-Vektorraums Kovektoren sind. Wie können alle anderen Elemente von V, die selbst normale Vektoren sind, aus Linearkombination von Kovektoren gebastelt werden?
Nein, (Basis-)Vektoren von V sind keine Kovektoren zu V. Es sein denn, man hat eine Identifikation von V mit V*, zum Beispiel, indem eine Metrik gegeben ist. Siehe auch das Heben und Senken von Indizes in meinen auf dieses folgenden Videos: www.j3L7h.de/videos.html
@@JoernLoviscach dann kapiere ich die Schreibweise noch nicht ganz. Zum einen schreibt man die ganz normalen Ortsvektoren, die kontravariant transformieren, mit Indizes oben. Und gleichzeitig schreibt man die Kovektoren auch mit Indizes oben?
@@SuperMenders Ah, nein, eine Basis e_µ von "gewöhnlichen" Vektoren hat den Index unten. Wenn man aber aus dieser Basis einen neuen "gewöhnlichen" Vektor bildet, haben dessen Koeffizienten (also Komponenten, oder wie man heute in der Schule sagt: Koordinaten) a^µ die Indizes oben, damit die Summenkonvention klappt: a^µ e_µ ist ein gewöhnlicher Vektor. Im Physiklehrbuch schreibt man meist nur a^µ hin, nichts von wegen der Basis, und hat dann reine Zahlen (also Komponenten), keine Vektoren usw. Und noch zum Begriff "Ortsvektor": Den lieber nicht verwenden, weil er spätestens in der ART keinen Sinn mehr ergibt.
Ok also das was du im Video als a bzw. b ohne Index schreibst ist identisch mit a^k bzw. b_k wie es in in den Physikbüchern steht. Und das was du im Video als a^k bzw. b_k bezeichnest sind einfach nur Komponenten (aber keine "ganzen" Vektoren)? @Jörn Loviscach
@@SuperMenders Nicht identisch, sondern gleichbedeutend: Der Vektor lässt sich eindeutig durch seine Komponenten beschreiben und umgekehrt (wenn man eine Basis festgelegt hat). Mit a meine ich einen Vektor (siehe 20:53), nicht seine Komponenten a^µ. Inbesondere hängt a nicht vom Koordinatensystem ab, die a^µ dagegen schon.
Ah ok, tut mir leid, so weit war ich noch nicht :) herzlichen Dank für die Info =)
Herr Loviscach, wäre es möglich nochmals mehr auf die geometrische Anschauung einzugehen, insbesondere wenn es um den Basiswechsel geht ( weiter unten ein Link - hier habe ich die für mich beste (relativ) Erklärung gefunden, jedoch gibt es noch ein paar Knackpunkte die sich nicht knacken lassen:( Da dachte ich mir, dieser Inhalt - wiedergegeben durch Ihre Kompetenz ... ein Traum:))
walter.bislins.ch/physik/index.asp?page=Kovariante+und+Kontravariante+Komponenten
Danke für die Blumen! :-) Die Themen aus dem Link kommen aber eigentlich alles bei mir vor. Bitte meine RUclips-Playliste "Reisen durch die Raumzeit" ansehen.
Ok, diese Ko-, Kontravarianz finde ich besonders schlimm :S Gibts dafür irgendwie Übungen oder dergleichen? Ich kann mir momentan noch nicht vorstellen, was das für einen Unterschied macht, ob ein Vektor nun kontra- oder kovariant ist.
Apropos: Bzgl. der Kontraktion: Habe irgendwo aufgeschnappt, dass x'_nu = L_nu,mu mal x'^mu (L = Lambda). Kommt das irgendwie mit Summation über mu hin und ist der transfomierte Vierervektor x' kovariant?
Ist bestimmt absolut klar, aber zur Sicherheit nochmal nachgefragt: Mit Basiswechsel ist doch einfach der Vorgang, der bei bei der Lorentz-Transformation und Konsorten passiert?
HomerBeeSimpson Ja.
Übungen: Hm, wüsste keine. Kontravariant: ein echter Pfeil. Kovariant: eine Messlatte, sozusagen. Mit dem metrischen Tensor kann man sowieso mühelose zwischen beiden Formen übersetzen.
x`_nu = ... ja, aber L ist kein Tensor. Und es ist nicht "der transformierte Vierervektor" kovariant, sondern der Vektor als solcher (als ein Ding, das unabhängig vom Koordinatensystem existiert). Genauer sollte man sagen, dass die Komponenten des Vektors kovariant transformieren (wenn man in eine anderes Koordinatensystem geht).
Jörn Loviscach
Gut, darüber werde ich wohl noch ein paar Minütchen nachdenken müssen... Ist fast so pfriemelig wie diese neue sogenannte "Kommentarfunktion" von 'Tube... Menschen machens sich meistens nur selbst schwerer als nötig.
Doch, viele Leute lassen in der theoretischen Physik Formeln vom Himmel fallen. "Was sind die Felder? Welche Terme könnten in der Lagrangedichte vorkommen, ohne die Kovarianz/Eichinvarainz/... zu ruinieren? Aha, also sieht die Lagrangedichte so aus: ..." (Beispiele z.B. Conformal Gravity, Yang-Mills-Eichtheorien, Higgs-Mechanismus) Das empfinde ich als abstrakten Nonsens. Ich muss handfest verstehen, was da wie und wodurch passiert.
Sozusagen doppelte Buchführung für theoretische Physiker und solche, die es werden wollen.
Zufallsfund: "I don't know why it's called a contravariant index." (Leonard Susskind, of all people)
ruclips.net/video/aA88mND-9v4/видео.htmlm30s
eine exelent video...please translate to english it worth the effort!!!!
Thanks! If only I had time ...
sehr schön erklärt.
Vielleicht sollte man sich die schiefe Ebene besser als Gitternetz vorstellen, welches in 2D wiederum
2 skalare Komponenten hat. Dieses dient nur zur Veranschaulichung der Abbildung Vektor(Vektor) -> Skalar.
Oder liege ich da falsch ?
Komponenten eines Vektors können ja nicht skalar sein, denn sie müssen sich transformieren. Man kann sich einen dualen Vektor vorstellen als eine Landkarte, auf der für jeden Punkt, auf den ein (nicht dualer) Vektor vom Ursprung aus zeigt, ein Wert (quasi eine Höhe) steht. Ein Gitternetz ergibt sich mit einem einzigen dualen Vektor aber nicht, sondern nur die Höhenlinen der besagten schiefen Ebene.
Super erklärt ! Vielen Dank 😊
Gern geschehen!
ART auch und mehr.
Nur um sicher zu gehen. "Angewendet auf" bedeutet einfach gesagt " multipliziert mit"?
Einfach gesagt, ja, fast schon zu einfach gesagt, weil einen das Wort "multiplizieren" auf den Gedanken bringen könnte, dass hier wie bei "4 * 5" zwei gleichartige Sachen (die Zahl 4 und die Zahl 5) einer Rechenoperation (Multiplikation) unterworfen werden. Es ist aber die Operation schon in die erste Sache eingebaut (jene ist quasi ein "4 * x"); es wird also eine (in diesem Fall lineare) Funktion auf die zweite Sache angewendet.
schöne veranschaulichung!
Mich hat schon sehr gewundert, dass der Kollege Susskind in einem seiner Videos sagt, er wisse nicht, was "kovariant" und "kontravariant" bedeuten. Nebenbei: "kovariant" = transformiert wie die Basis, "kontravariant" = transformiert andersherum.
Ist ein Tensor n-ter Stufe wie ein n-dimensionales Array zu sehen (Wobei eine Matrix ein 2 dimensionales wäre)?
Die _Komponenten_ eines physikalischen (!) Tensors an einem gegebenen Punkt (!) in einem gegebenen Koordinatensystem (!) kann man in einem n-dimensionalen Array abspeichern.
Ich bin verwirrt. Zu beginn wird gesagt, kontravariante Vektoren sind die mit Index unten und kovariante mit Index oben. Später bei den Tensoren ist es dann aber umgekehrt...
Vorsicht: zwischen den Komponenten und der Sammlung an Basisvektoren unterscheiden. Wenn die Komponenten den Index oben haben, haben die Basisvektoren den Index unten -- und umgekehrt.
@@JoernLoviscach danke, jetzt habe ich es verstanden.
Dankeschön!
Wenns um Tensoren geht, fühlt sich der Begriff "Matrix" wie ein Fremdkörper an. Es gibt einen Einheitstensor -- und dessen Komponenten sind in jeder Basis das Kronecker-Delta.
Die Transposition und das Skalarprodukt sind nicht Teil der Definition eines Vektorraums. sondern Sonderausstattung. Alles aus diesem Video geht mit nackten Vektorräumen.
Kommt alles noch im Video, das ich als nächstes mache, samt metrischem Tensor und Epsilon.
Das Video enthält im Prinzip Stoff für mehrere Videos, hat also eine sehr hohe Informationsdichte. Ich finde den Teil, der mit dem Tensor 5. Stufe A_ij_klm anfängt, echt krass, aber sehr gelungen! So kriegt man von Anfang an ein Gefühl für Handhabung von beliebigen Tensorstufen. Einen Begriff vermisse ich: *kovarianter Tensor*, d.h. die Indizes der Komponenten UND die Indizes der Basisvektoren stehen unten. In dem Bereich herrscht bei mir Konfusion. In Wikipedia wird als Beispiel für einen kovarianten Tensor der (mechanische) Spannungstensor genannt. Dass könnte ich akzeptieren, gäbe es nicht andere Quellen, die dem widersprechen. Ferner erhalte ich korrekte Resultate, wenn ich ihn als kontravarianten Tensor 2. Stufe verwende. Gibt es überhaupt kovariante Tensoren in der Anwendung (Physik) oder sind sie ein Konstrukt der Vollständigkeit halber?
* Der Begriff "kovarianter Tensor" ergäbe keinen Sinn (im Unterschied zu "kovarianter Vektor"). Man würde allenfalls von "2fach kovariant" sprechen.
de.wikipedia.org/wiki/Vierertensor
* "Ferner erhalte ich korrekte Resultate": Wenn man den richtigen Spezialfall herauspickt, kann aus einer falschen Rechnung das Richtige herauskommen.
* Der Spannungstensor ist aus der klassischen Mechanik (3D ungekrümmt statt 4D gekrümmt).
* In der Physik ist einem herzlich egal, ob die Indizes oben oder unten stehen. Wenns nicht passt, macht mans mit dem metrischen Tensor passend.
Zitat aus aktuellem de.Wikipedia/Tensor: "Ein Beispiel für einen kovarianten Tensor 2. Stufe ist der Trägheitstensor". Was heißt das denn? Tensokomponenten kovariant, Basisvektoren aber kontravariant? Oder beides kovariant?
In dem Zitat soll wohl in Kurzform "in allen Indizes kovariant" gemeint sein. Die Basisvektoren des Tangentialraums transformieren kovariant (daher der Name *ko*variant), die des Kotangentialraums kontravariant. Die Tensorkomponenten A^{\alpha \beta}_{\gamma \delta} transformieren in den Indizes \alpha und \beta kontravariant und in den Indizes \gamma und \delta kovariant.
Die 42 stimmt immer. :D
Ein bisschen Spekulation ist wohl immer dabei - wäre ja auch erschreckend, wenn man alle Naturgesetze mit einem zusammenfassen könnte. Aber mit ein paar Schönheitsannahmen geht da doch erstaunlich viel. Ich finde es gut, dass z.B. der Landau in seinem Mechanik-Buch so vorgeht, denn das Hamiltonsche Prinzip ist einer der Grundpfeiler der theoretischen Physik, der ggT der verschiedenen Theorien. Bitte überdenken Sie doch Ihr Urteil über die Lagrangedichte nochmal unter diesem Gesichtspunkt!
Das klingt ja interessant... Ob sie nicht dazu auch was Schniekes zusammenbasteln wollen, irgendwann?
Oh, ich meine: Das Produkt lambda a und die Summe a + b müssen für alle (alle!) Vektoren a, b und alle reellen Zahlen lambda definiert sein und den "üblichen" Gesetzen genügen (genaue Auflistung der Vektorraumgesetze siehe Wikipedia; nichts Überraschendes dabei).
Es geht an dieser Stelle also nicht um das Aufspannen des Vektorraums aus a und b, sondern darum, dass die grundlegenden Operationen definiert sein müssen -- für alle Vektoren.
Später im Video bei den Basen gehts ums Aufspannen
Die Lagrangedichte will ich gerade _nicht_ bringen. Die wirkt auf mich wie ein magischer Trick. Sozusagen deus ex machina. Ich werde in den kommenden Videos die Feldgleichungen der Allgemeinen RT vielmehr anschaulich motivieren. Daran bastele ich derzeit und bin ganz erschrocken, wie sehr in den üblichen Lehrbüchern die Gleichungen "vom Himmel fallen" statt begründet werden.
Immer wenn sie über den Vektorraum sprechen, sagen sie immer, dass 2a-vektor und a-vektor+b-vektor zum vektorraum gehören, wie ist es denn mit k*a-vektor+l*b-vektor?
wenn der dazu gehören würde hieß es ja eifnahc, dass n vektor raum einfach nur aus 2 linear unabhängigen vektoren gebildet wird. ist dem so? (haben das selbst im lk nur sehr kurz besprochen)
wäre k*a-vektor+l*b-vektor+m*c-vektor auch ein vektorraum, wenn a-vektor, b-vektor und c-vektor linear unabhängig zueinander sind?
Oh, das ist noch eine eigene Geschichte für das nächste Video: Tensor_dichten_. Hat was mit Determinanten zu tun.
Bevor ich das machen würde, wäre erst mal die Quantenmechanik dran.
die herleitung aus dem prinzip der kleinsten wirkung (welches selbst den guten feyneman erstaunt wie er in seinem lehrbuch schreibt) stell ich mir weswentlich abstrakter vor. mathematisch mag es ja schön sein aber betrachtet man den bezug zur realität ist der weg hier sehr viel eingängiger!
Heyho, mein Lehrer hat mir eine Frage gestellt. Nämlich, zweichne zwei Linien die NICHT parallel zueinnander sind und sich NICHT schneiden? Kann mir Jemand da weiterhelfen?
Hmm, die Frage gehört nicht wirklich zu diesem Video. Zu Beantwortung mal "windschief" googlen.
Ich verstehe ehrlich gesagt das mit dem Transformationsverhalten nicht genau. a^k ist doch eine Vektor Komponente und e'_l ein Vektor. Außerdem müßte man doch bei kontravariant mit der selben Logik wie bei kovariant statt a^k sowas wie e^k(a) schreiben und dann hätte es ja wieder eine ähnliche Form wie kovariant. (mit ^ meine ich hoch gestellt und mit _ tief gestellt) Ich hoffe ich hab mich verständlich ausgedrückt und jemand kann mir Helfen. Danke im Vorraus
Zu Satz 1: ja.
Zu Satz 2: Ja, siehe die duale Basis in diesem Video, so um 16:00.
Zu Satz 3: Die Basis e_k transformiert kovariant, die duale Basis e^k transformiert kontravariant, beides also jeweils andersherum als die jeweiligen Komponenten a^k bzw. a_k, so dass a^k e_k und a_k e^k sich nicht ändern, denn das ist ja ein fester Vektor bzw. Kovektor.
Whow, das sind ja 100 Seiten aus der ART-Bibel 'Gravitation' von Wheeler et al. in 45 min!
In manchen Erklärungen zu kovarianten und contravarianten Vektoren liest man, dass Die contravarianten Basen senkrecht auf den kovarianten Basen stehen. Das kann doch nicht richtig sein, Da kovariante Basen und contravariante Basen in verschiedenen Vektorräume sind. Außerdem sind covariante Basen doch Funktionen, oder?!
Ja (ist nicht richtig) und ja (sind Funktionen). Nur eine Sache: nicht "Basen", sondern "Basisvektoren", denn eine Basis ist eine Menge von Basisvektoren.
Nein, im Englischen, aber nicht im Deutschen:
en wiktionary org/wiki/metric
de wiktionary org/wiki/Metrik
Nö. Mit einer Lagrange-Dichte kann man zwar eine Theorie hübsch zusammenfassen. Man kann aber kaum motivieren und verstehen, warum man das tut, was man tut. Aber genau darum geht es mir, siehe z.B. das Video zum Äquivalenzprinzip.
ich, selber physikstudent, muss hier leider widersprechen! bestenfalls gefällt eine solche herleitung dir und nicht allgemein, allen physikstudenten.
mir jedenfalls liegt sehr viel daran, gerade bei solchen themen wie SRT und ART zu verstehen.
warscheinlich total daneben aber wann nimmt man denn das levita cita symbol? das ist ja so eine 3D matrix