福田のおもしろ数学357〜シグマで表された式の定積分の計算

[@peco633]

わかりやすい良問でした。ありがとうございました。

[@人浪-t6q]

フーリエ級数展開みたいだな〜と思ったらやっぱり

[@tk-c5v]

∫{Σsin(kx)}^2dx
=Σ_iΣ_j∫sin(ix)sin(jx)dx
=(1/2)Σ_iΣ_j∫cos(|i-j|x)-cos((i+j)x)dx
ここで
i≠j
⇒∫cos(|i-j|x)dx
=1/|i-j|[sin(|i-j|x)]_0^π
=0
i=j
⇒∫cos(|i-j|x)dx=π
∴
∫cos(|i-j|x)dx=πδi,j
ここで, δi,jはKroneckerのDelta.
∴
∫{Σsin(kx)}^2dx
=(1/2)Σ_iΣ_j∫cos(|i-j|x)-cos((i+j)x)dx
=(1/2)Σ_i π
=nπ/2.
∴(答)nπ/2.
関数解析に於ける
三角関数の直交性を勉強した人には
スラスラ解けますね.

[@paruh7774]

イージーですな