5:03 ale możesz umieścić jaką kolwiek liczbę większą od zera nie tylko 1 dlaczego akurat jedynka a nie 3 20 73 hmm? chyba że możesz używać symboli które miałeś w poprzednich krokach, hmm a może taka symbolika |2 > == {1,2,3,4} albo taki przykład| >< | = 0 a co jesli bym dał tak < * | * > albo w rozważnej notacji | * > < *| czyli jakiejkolwiek liczba większa do jakiejkolwiek liczby i mniejszej od jakiejkolwiek liczby
Tak, możemy używać tylko liczb zdefiniowanych w kroku poprzednim, więc zanim zdefiniujemy 3,20, czy 73 musimy zdefiniować 2,19,czy 72. Idąc w dół w końcu i tak zatrzymamy się na 1ce.
@@phy6132 no ok to dlaczego akurat 1/2 a nie np 1/3 skąd taki wybór skoro np pomiędzy 0 a 1 można dowolną wstawić i iść inną ścieżką to nie jest jednoznaczne
@@maciej12345678 Nie wiem, czy o tym wspomniałem, czy nie, ale nowa liczba musi leżeć dokładnie pomiędzy poprzednikiem, a następnikiem. Innymi słowy, jeżeli rozpatrywalibyśmy to w odległościach, to szukamy liczby x między 0 a 1 takiej, że odległość od 0 do x jest taka sama jak od x do 1. Jeżeli nie byłoby tej restrykcji, to oczywiście masz rację i nie można byłoby jednoznacznie określić żadnej liczby.
@@maciej12345678 To zastanówmy się co by było, gdyby to była 1/3 drogi od 0 i 2/3 drogi od 1? Zadałbym wtedy pytanie takie: w czym 0 jest lepsze od 1,że nie traktujemy liczb na równi?
Film jak zawsze świetny. Wiem, że np liczby zespolone mają zastosowanie przy liczeniu prądów przemiennych, pytanie czy takie liczby mają jakieś praktycznie zastosowania czy są po prostu takim dziwolągiem matematycznym?
Bardzo Ci dziękuję! Masz rację w kwestii liczb zespolonych. Co prawda da się mówić o prądach bez liczb zespolonych, ale miałoby to tyle gracji, co mówienie o debecie na koncie bez liczb ujemnych. Ogólnie liczby zespolone znajdują zastosowanie wszędzie tam, gdzie występują obroty, przesunięcia fazowe itd., dlatego, że mają tak prostą interpretację geometryczną. Przy liczbach nadrzeczywistych wachlarz zastosowań jest z pewnością znacznie skromniejszy, bo sama ich konstrukcja (w tym nazwa) sugeruje, iż istnieją one "nad rzeczywistością". Nie zmienia to jednak faktu, iż zastosowania istnieją, mimo, że są to raczej narzędzia opisu subtelnych zjawisk fizycznych, bądź też aparat specyficznych gałęzi matematyki. Będąc bardziej konkretnym polecam Ci artykuł "SOME MATHEMATICAL AND PHYSICAL REMARKS ON SURREAL NUMBERS" autorstwa J. A. Nieto, z którego lektury możesz dowiedzieć się o zastosowaniach w teoretycznym opisie czarnych dziur, kosmologii, algebrze abstrakcyjnej oraz teorii fraktali. Zwłaszcza ostatni przykład wydaje mi się najbardziej oczywistym zastosowaniem tego typu liczb, gdyż patrząc na fraktale możemy "spojrzeć w oczy nieskończoności" (tak na marginesie przyznam się, że uwielbiam oglądać zbiory Mandelbrota na yt- coś pięknego). Poza przykładami powyżej istnieje też zastosowanie takich liczb w teorii gier. Chyba najbardziej słynnym przykładem z zakresu teorii gier będzie próba formalnego opisu bardzo starej chińskiej gry Go. Warto też podkreślić, że liczby zespolone zanim doczekały się swoich pięciu minut, długi czas spędziły na matematycznych peryferiach, jako niezbyt udany, aczkolwiek ciekawy koncept. Mam nadzieję, że liczby nadrzeczywiste również doczekają się swojego renesansu, póki co będąc matematyczną ciekawostką, a z czasem potężnym narzędziem do opisu otaczającego nas świata. Pozdrawiam serdecznie :)
To pytanie w zasadzie sprowadza się do innego pytania : Czy istnieje tylko jeden rodzaj nieskończoności? Ku naszemu zaskoczeniu odpowiedź brzmi nie, gdyż "rozmiar" zbioru liczb naturalnych, które łatwo można uporządkować (1,2,3,4,...)jest mniejszy niż "rozmiar" zbioru liczb rzeczywistych,których to nie da się uporządkować w żaden sposób. Dlatego też rozmiar liczb rzeczywistych określany jest jako continuum, w odróżnieniu od rozmiaru zbioru liczb naturalnych (alef zero).
Wrocmy do liczby 1/3. Zalozenie jest takie, ze dokonujemy jednej operacji dziennie i wtedy potrzebujemy nieskonczonej ilosci dni by dojsc do obliczenia tej liczby. A co jesli pierwszego dnia dokonalibysmy jednej operacji, deugiego dwoch, trzeciego czterech i podwajali liczbe operacji kazdego dnia. Czy qtedy tez trwaloby to nieskonczona ilosc dni?
A co się pojawi w nieskończenie odległej lewej gałęzi ω (lub analogicznie w prawej gałęzi -ω)? Czy będzie to ω-ω? Z grafu wynika, że taka liczba wciąż jest większa od wszystkich liczb rzeczywistych i jest różne od 0, ale co w przypadku, gdy powtórzymy taki krok, ω-ω-ω? Wydaje się być trochę paradoksalne, że taka liczba jest większa od 0.
Świetne pytanie. Niestety intuicyjne podejście nieco tutaj zawodzi. Liczba, która powstanie po lewej stronie ω nie będzie wynosić ω-ω tylko 1/2ω. Zwróć uwagę, że konstruując liczby nieskończone żądamy, by te były większe niż każda liczba rzeczywista. ω jest zdefiniowana w taki sposób , natomiast ω-1 możemy zapisać w nieco bardziej rozwinięty sposób, co zdaje się, że na filmie podałem w sposób uproszczony. Mianowicie ω-1 =, co czytamy tak: liczba większa od każdej skończonej liczby rzeczywistej, ale mniejsza od ω. Idąc dalej ω-2 =, co czytamy jako liczba większa od każdej skończonej liczby, ale mniejsza od ω oraz ω-1. Przy kolejnej iteracji takiego algorytmu wciąż będziemy zaczynać zdanie od słów “liczba większa od każdej skończonej liczby, ale mniejsza, niż... " dlatego to co będziesz otrzymywał z lewej strony od ω, to będą ulamki ω. Po nieskończonej liczbie (ω) dni dostaniesz 1/2ω. Potem znowu 1/4ω, potem 1/8ω i tak dalej :)
@@phy6132 Ok, rozumiem :) Może film o ich własnościach i jak się mają do innych nieskończoności w matematyce (granic ciągów, mocy zbiorów), bo temat bardzo ciekawy :)
W tym przypadku Twoja intuicja się sprawdza 1/ω = ε. Inny symbol to tylko kosmetyka zapisu. Polecam lekturę artykułu na angielskojęzycznej Wikipedii o liczbach porządkowych (szczególny przypadek liczb nadrzeczywistych, coś w rodzaju liczb nadnaturalnych) en.m.wikipedia.org/wiki/Ordinal_number Tam jest sporo na temat różnych typów nieskończoności, potęgach ω, różnych typach liczb kardynalnych (א). O kolejnym filmie pomyślę. Będę musiał zebrać materiały i wybrać najciekawsze rzeczy, bo jak sam widzisz temat jest bardzo obszerny. Pozdrawiam :)
Zaspany jeszcze byłem i źle zrozumiałem zapis 1/2ω [mianowicie jako 1/(2ω)], a zgłębiałem temat i się zorientowałem, dlatego edytowałem komentarz. Dzięki, za materiały i również pozdrawiam :)
Fajnie jest słuchać człowieka mówiącego zrozumiale o abstrakcji. Dzięki piękne
Kolejny świetny film! Balsam dla mózgu w zalewającym nas morzu głupoty 😉. Proszę kontynuować serię!
Dziękuję :)
Dzieki za film!
Bardzo proszę :)
Szkoda ze juz nie ma filmow:(
Dzieci uczone liczb na pieskach przeżywają traumę przy wprowadzaniu ułamków.
5:03 ale możesz umieścić jaką kolwiek liczbę większą od zera nie tylko 1 dlaczego akurat jedynka a nie 3 20 73 hmm? chyba że możesz używać symboli które miałeś w poprzednich krokach, hmm a może taka symbolika |2 > == {1,2,3,4} albo taki przykład| >< | = 0 a co jesli bym dał tak < * | * > albo w rozważnej notacji | * > < *| czyli jakiejkolwiek liczba większa do jakiejkolwiek liczby i mniejszej od jakiejkolwiek liczby
Tak, możemy używać tylko liczb zdefiniowanych w kroku poprzednim, więc zanim zdefiniujemy 3,20, czy 73 musimy zdefiniować 2,19,czy 72. Idąc w dół w końcu i tak zatrzymamy się na 1ce.
@@phy6132 no ok to dlaczego akurat 1/2 a nie np 1/3 skąd taki wybór skoro np pomiędzy 0 a 1 można dowolną wstawić i iść inną ścieżką to nie jest jednoznaczne
@@maciej12345678 Nie wiem, czy o tym wspomniałem, czy nie, ale nowa liczba musi leżeć dokładnie pomiędzy poprzednikiem, a następnikiem. Innymi słowy, jeżeli rozpatrywalibyśmy to w odległościach, to szukamy liczby x między 0 a 1 takiej, że odległość od 0 do x jest taka sama jak od x do 1. Jeżeli nie byłoby tej restrykcji, to oczywiście masz rację i nie można byłoby jednoznacznie określić żadnej liczby.
@@phy6132 a dlaczego tak która z zasad aksjomatów założeń to ustala ?
@@maciej12345678 To zastanówmy się co by było, gdyby to była 1/3 drogi od 0 i 2/3 drogi od 1? Zadałbym wtedy pytanie takie: w czym 0 jest lepsze od 1,że nie traktujemy liczb na równi?
Film jak zawsze świetny. Wiem, że np liczby zespolone mają zastosowanie przy liczeniu prądów przemiennych, pytanie czy takie liczby mają jakieś praktycznie zastosowania czy są po prostu takim dziwolągiem matematycznym?
Bardzo Ci dziękuję! Masz rację w kwestii liczb zespolonych. Co prawda da się mówić o prądach bez liczb zespolonych, ale miałoby to tyle gracji, co mówienie o debecie na koncie bez liczb ujemnych. Ogólnie liczby zespolone znajdują zastosowanie wszędzie tam, gdzie występują obroty, przesunięcia fazowe itd., dlatego, że mają tak prostą interpretację geometryczną.
Przy liczbach nadrzeczywistych wachlarz zastosowań jest z pewnością znacznie skromniejszy, bo sama ich konstrukcja (w tym nazwa) sugeruje, iż istnieją one "nad rzeczywistością". Nie zmienia to jednak faktu, iż zastosowania istnieją, mimo, że są to raczej narzędzia opisu subtelnych zjawisk fizycznych, bądź też aparat specyficznych gałęzi matematyki.
Będąc bardziej konkretnym polecam Ci artykuł "SOME MATHEMATICAL AND PHYSICAL REMARKS
ON SURREAL NUMBERS" autorstwa J. A. Nieto, z którego lektury możesz dowiedzieć się o zastosowaniach w teoretycznym opisie czarnych dziur, kosmologii, algebrze abstrakcyjnej oraz teorii fraktali. Zwłaszcza ostatni przykład wydaje mi się najbardziej oczywistym zastosowaniem tego typu liczb, gdyż patrząc na fraktale możemy "spojrzeć w oczy nieskończoności" (tak na marginesie przyznam się, że uwielbiam oglądać zbiory Mandelbrota na yt- coś pięknego). Poza przykładami powyżej istnieje też zastosowanie takich liczb w teorii gier. Chyba najbardziej słynnym przykładem z zakresu teorii gier będzie próba formalnego opisu bardzo starej chińskiej gry Go.
Warto też podkreślić, że liczby zespolone zanim doczekały się swoich pięciu minut, długi czas spędziły na matematycznych peryferiach, jako niezbyt udany, aczkolwiek ciekawy koncept. Mam nadzieję, że liczby nadrzeczywiste również doczekają się swojego renesansu, póki co będąc matematyczną ciekawostką, a z czasem potężnym narzędziem do opisu otaczającego nas świata.
Pozdrawiam serdecznie :)
Przykład zastosowania liczb nadrzeczywistych w teorii gier:
ruclips.net/video/ZYj4NkeGPdM/видео.html
Świetny film. A czy na końcu drzewa omegowego znajduje się inna liczna nadrzeczywista, większa od wszystich rzeczywistych i omegowych?
To pytanie w zasadzie sprowadza się do innego pytania : Czy istnieje tylko jeden rodzaj nieskończoności? Ku naszemu zaskoczeniu odpowiedź brzmi nie, gdyż "rozmiar" zbioru liczb naturalnych, które łatwo można uporządkować (1,2,3,4,...)jest mniejszy niż "rozmiar" zbioru liczb rzeczywistych,których to nie da się uporządkować w żaden sposób. Dlatego też rozmiar liczb rzeczywistych określany jest jako continuum, w odróżnieniu od rozmiaru zbioru liczb naturalnych (alef zero).
Wrocmy do liczby 1/3. Zalozenie jest takie, ze dokonujemy jednej operacji dziennie i wtedy potrzebujemy nieskonczonej ilosci dni by dojsc do obliczenia tej liczby. A co jesli pierwszego dnia dokonalibysmy jednej operacji, deugiego dwoch, trzeciego czterech i podwajali liczbe operacji kazdego dnia. Czy qtedy tez trwaloby to nieskonczona ilosc dni?
Niezla korba z tymi liczbami ale film bardzo fajny. Pozdrawiam.
Dziękuję. Również pozdrawiam :)
A co się pojawi w nieskończenie odległej lewej gałęzi ω (lub analogicznie w prawej gałęzi -ω)? Czy będzie to ω-ω? Z grafu wynika, że taka liczba wciąż jest większa od wszystkich liczb rzeczywistych i jest różne od 0, ale co w przypadku, gdy powtórzymy taki krok, ω-ω-ω? Wydaje się być trochę paradoksalne, że taka liczba jest większa od 0.
Świetne pytanie. Niestety intuicyjne podejście nieco tutaj zawodzi. Liczba, która powstanie po lewej stronie ω nie będzie wynosić ω-ω tylko 1/2ω. Zwróć uwagę, że konstruując liczby nieskończone żądamy, by te były większe niż każda liczba rzeczywista. ω jest zdefiniowana w taki sposób , natomiast ω-1 możemy zapisać w nieco bardziej rozwinięty sposób, co zdaje się, że na filmie podałem w sposób uproszczony. Mianowicie ω-1 =, co czytamy tak: liczba większa od każdej skończonej liczby rzeczywistej, ale mniejsza od ω. Idąc dalej ω-2 =, co czytamy jako liczba większa od każdej skończonej liczby, ale mniejsza od ω oraz ω-1. Przy kolejnej iteracji takiego algorytmu wciąż będziemy zaczynać zdanie od słów “liczba większa od każdej skończonej liczby, ale mniejsza, niż... " dlatego to co będziesz otrzymywał z lewej strony od ω, to będą ulamki ω. Po nieskończonej liczbie (ω) dni dostaniesz 1/2ω. Potem znowu 1/4ω, potem 1/8ω i tak dalej :)
@@phy6132 Ok, rozumiem :) Może film o ich własnościach i jak się mają do innych nieskończoności w matematyce (granic ciągów, mocy zbiorów), bo temat bardzo ciekawy :)
W tym przypadku Twoja intuicja się sprawdza 1/ω = ε. Inny symbol to tylko kosmetyka zapisu. Polecam lekturę artykułu na angielskojęzycznej Wikipedii o liczbach porządkowych (szczególny przypadek liczb nadrzeczywistych, coś w rodzaju liczb nadnaturalnych) en.m.wikipedia.org/wiki/Ordinal_number
Tam jest sporo na temat różnych typów nieskończoności, potęgach ω, różnych typach liczb kardynalnych (א). O kolejnym filmie pomyślę. Będę musiał zebrać materiały i wybrać najciekawsze rzeczy, bo jak sam widzisz temat jest bardzo obszerny. Pozdrawiam :)
Zaspany jeszcze byłem i źle zrozumiałem zapis 1/2ω [mianowicie jako 1/(2ω)], a zgłębiałem temat i się zorientowałem, dlatego edytowałem komentarz.
Dzięki, za materiały i również pozdrawiam :)
czemu na prawo od eps jest 2*eps ?
jak się te liczby dodaje, mnoży etc ?