Fehlerabschätzung bei der Interpolation von Funktionen, Numerische Methoden #13

Wie groß ist der Fehler, wenn eine gegebene reelle Funktion durch ein einziges Interpolationspolynom approximiert wird und wie lässt sich dieser Fehler nach oben hin abschätzen? Was ist die Runge-Funktion und was versteht man unter dem Runge-Phänomen?
Dipl. Physiker Dietmar Haase beweist in diesem Video eine Formel für den Fehler, der entsteht, wenn man eine (n+1) - mal stetig differenzierbare reelle Funktion durch ein einziges Interpolationspolynom approximiert. Dabei wird das Interpolationspolynom an n+1 gegebenen paarweise verschiedenen Stützstellen betrachtet. Es zeigt sich dabei, dass der Fehler, der sich als Differenz der Funktion und dem Interpolationspolynom beschreiben lässt, einerseits von dem Wert der (n+1) - ten Ableitung der betrachteten Funktion abhängt und andererseits vom Betrag des (n+1) - ten Newtonschen Basispolynoms. Weiterhin wird gezeigt, dass bei Wahl einer äquidistanten Stützstellenverteilung das sogenannte Runge Phänomen auftritt. Dieses führt bei einer kontinuierlichen Erhöhung der Stützstellenzahl zu erheblichen Oszillationen des Interpolationspolynoms an den Rändern des betrachteten Intervalls, was zu unvertretbaren großen Fehlern in der Approximation führt. Daher ist es im Allgemeinen nicht zu empfehlen eine Funktion durch ein Interpolationspolynom durch eine große Anzahl von äquidistanten Stützstellen zu approximieren.
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