1. 놀랍고 강력하다. 1.25 허근을 보려면 F(x) 함수의 변수x자리에 애초에 허수가 들어가야 허근을 볼수 있다라는 것이다. 실수가 들어가는데 허근을 볼수 없다는 것이다. 이 얼마나 놀라운 직관인가! 1:00 2. 이렇게해서 실수->실수로 가는 함수가 아닌 복소수->실수로 가게 해야 한다는 것이다. 1.5 이말이 중요하다 허수Y측과 실수X측의 좌표(3,2)위치에 3+2i라는 복소수를 "대응"시키는 평면을 복소평면이라 하자! 그렇게 정의하기로 했다는 것이다. 좌표를 더하기로 표시하기로 정의하기로 했다는 것이다. 1:40 1.75 그리고 절대값 개념도 정의돼 있다. 원점에서의 거리를 절대값으로 하기로 한것이다. 그러면 복소수가 a+bi 일때 루트(a^2+b^2)가 된다. 눈치챘겠지만 절대값이 실수에서처럼 작대기 양옆에 붙인값이 아니다. 거리가 절대값 개념이란게 중요하다. 이게 바로 복소수가 ' 위치'이자 '상대값'이라고 생각하는 또다른 단서이다. 2. 세상에 복소수 그래프 보고만 있어도 영감이 쏟아진다. 3. 복소수값의 절대값이 거리라는 개념을 이용한다. 그러면 근을 구할때 복소수에서 허수를 빼고 다시 그래프를 실수함수처럼 만들수 있다. 이 아이디어를 이용한 것이다. 단 그러면 변수가 2개인 이변함수가 된다. 3 F(z)=0의 필요충분조건이 절대값F(z)인 IF(z)I=0이라는 것이 무슨말이냐면 2:45 4. 이말이 무슨말이냐면 여기서 F(x)는 실수함수이고 그 변수에 X에 복소수를 넣은 함수 F(z)는 복소수 함수고 IF(z)I는 절대값복소수 함수라는 것을 구별해야 한다. 그런데 복소수함수 F(z)=0 이되려면 절대값 복소수 함수 IF(z)I가 반드시 0이 되야 한다는 것이다. 이게 중요하다. 이게 무슨말이냐면 그말이 그말같지만 그냥 복소수함수와 그것의 절대값 복소수 함수가 생긴게 완전히 다르기 때문이다. 복소수의 정의 때문에 말이다. 즉 절대값 복소수 함수값(즉 거리값)이 0이 되면 복소수함수값은 무조건 0밖에 못나온다는 것이다. 5. 그래서 절대값(거리)이 '0'이 되는 복소수는 '0'밖에 없다 라는 말을 한것이다. 2:50 6. 즉 그 절대값 복소수 함수값이 0이 되면 복소수 함수값이 0이 될수 밖에 없기 때문이다. 7. 그리고 복소수 함수에 절대값을 씌우면 그 복소수 함수는 정의상 실수 이변수를 가진 함수가 되기 때문이다. 즉 복소수-> 실수로 바뀌기 때문이다.
4 그래서 절대값을 씌우는 목적은 복소수에 복소수로 가지 말고 복소수에서 실수로 대응되는 함수를 그리기 위해서이다. 3:20 복소수에서 실수로 대응되는 함수가 무슨 말이냐 하면 절대값을 안씌운 복소수 함수 F(z)는 근이 복소수가 된다. 즉 x=a+bi에서 a,b값이 모두 복소수가 된다는 것이다. 5. 그렇게 a,b 근이 복소수가 되면 그러면 허수축이 사라지지가 않아서 실수 함수인 이변수 함수를 그릴수 없게 된다. 6. 실수 함수인 이변수 함수를 그릴 수 있었던 것은 복소수함수의 미지수 a,b,i 3개 중에서 허수i가 사라졌기 때문에 가능한 것이었기 때문이다. 7. 즉 복소수함수에 절대값을 씌우므로써 복소수함수를 이변수 실수함수로 복소수 함수임에도 실수함수처럼 표현이 가능하게 된 것이다. 8. 다 그리고 나면 y=f(x)=X^2+1은 이변수 함수(그래프가 공간상의 곡면인 함수, 즉 X축변수가 두개라서 3차원이 되는 그래프)가 된다 4:05 이걸 복소수 함수로 만들면 x=a+bi를 삽입 F(z)=(a+bi)^2+1 = a^2-b^2+1+2ab*i 가 된다. 9. 이걸 복소수의 절대값만 취하면 허수가 없는 그래프를 만들수 있다. 여기서 F(x)는 실수함수이고 그 변수 X에 복소수 a+bi를 넣은 함수 F(z)는 복소수 함수고 IF(z)I는 절대값복소수 함수라는 것을 구별해야 한다. 그런데 복소수함수 F(z)=0 이되려면 절대값 복소수 함수 IF(z)I가 반드시 0이 되야 한다는 것이다. 이게 중요하다. 2:50 10. IF(z)I = Ia^2-b^2+1+2ab*iI 가 아니라 IF(x)I=√((a^(2 )-b^2+1)^2+(2ab)^2 ) 가 되야된다는거다. 이걸 지오지브라에서 풀면 이변함수 그래프에서 a=0, b=+1,-1 이된다. 11. 즉 If(z)I=0 이 되는 지점은 f(z)=0이 되는 지점이고 이는 다시 F(x)=0인 지점이고 x가 이 방정식의 근이고 x=a+bi , a=0, b=+1,-1 이므로 X=0+1*i, 0+(-1)*i 가 된다. 12. 역시나 복소수 영상이 예사롭지 않아서 더 둘러봤는데 허수 관련해서 큰거 한개 건졌다. ruclips.net/video/WvsLhMBNQFQ/видео.html 13. 그래프 그리는 방법은 밑에서 설명해주셨는데 좀 해매서 다시 풀어서 써놓는다. 14. 지오지브라 사이트에 들어간다. www.geogebra.org/ 15. 오른쪽위에 3x3 큐브 클릭한다. 3차원 계산기 클릭한다. 16. 다음함수를 복사해 붙인다. f(x,y)=sqrt((x^(2)-y^(2)+1)^(2)+(2 x y)^(2)) 17. 놀라운 3차원그래프가 나타난다. 22.09.05(월) 18. 다 살펴보고 나서 내린 결론은 이것이다. 19. 이 그래프는 엄밀히 말하며 y=x^2+1의 복소수 근을 보여주는 그래프라기 보다는 20. 변수 x를 x=a+bi를 삽입해서 식을 실수뿐 아니라 복소수로 확장시켰을때 그 복소수함수(즉 원래 실수함수가 아닌)의 '절대값'의 그래프이다. 21. 절대값으로 표시함으로써 허수를 없애고 복소수함수를 실수가 2개인 이변수 실수함수에 그릴 수 있었다. 21. 즉 절대값이 아닌 복소수 전체값에 대한 그래프는 그래프에 복소수 변수까지 들어가 이변수로 표현이 어려우므로 단순화시킨 그래프이다. 22.09.5(월)
영상 내용을 "복소수를 평면에 표현하는 복소평면을 고민하여 복소평면에서 실수로 가는 2변수 함수를 생각함. 함수의 절댓값이 0이 되는 것과 원래의 함수가 0되는 것이 필요충분조건임을 이용하여 절댓값을 넣어 계산한 값을 함숫값으로 나오게 하는 이차함수를 고려함. 복소평면에서 실수로 가는 함수를 공학적 도구를 이용하여 3차원 그래프로 표현하여 허수를 그래프와 복소평면과 만나는 점으로 표현함." 이렇게 스스로 정리해봤는데 맞는 내용인가용??
영상을 보다가 3가지 의문이 들었는데요.. 1) 복소평면에서 f(x)= x²+1 일때 f(x) 함수와 x축의 교점이 그 함수의 근이라는 것을 보여주고 싶은데요, 저기서 왜 파란색 초록색 빨간색이 각각 Y축 허수축 실수축인지 모르겠어요. 2) 그리고 f(x)=0이면 |f(x)|=0 이니까 전체잭인 함수의 모양은 다르지만 근만 볼 때는 |f(x)| 라고 두어도 괜찮잖아요 근데 왜 |f(a+bi)|= 루트 (a²-b²+1)²+(2ab)² 인지 모르겠어요. 굳이 루트 (a²-b²+1+2ab)² 이 아니라 따로따로 떨어뜨려놓은 이유가 있나요? 3) 마지막으로 f(x)에 절댓값을 씌우는 이유가 허수를 넣으면 복소수에서 복소수로 표현하는 게 어려워서라고 알고 있는데, 절댓값을 씌웠을 때 복소수수에서 실수로 가게 한다는 게 예를 들어 a+bi를 넣으면 a²-b²+2abi 가 나오고, i는 x²=-1 의 근이니까 어쨌든 -1 과 같은 역할을 할 테고 그래서 절댓값을 씌우면 1의 역할을 하는 그런건가요...? 아무튼 이 부분도 모르겠어요
제대로 이해한게 맞는지는 모르겠지만 제가 이해한대로 설명해드리면 1) 1:28초에서 설명하듯이 실수축과 허수축으로 이루어진 복소평면에서 표현한 좌표가 복소수를 나타낸것이고 ∣f(x)∣에서 복소수에서 실수로 가는 함수로 만들거기때문에 함수에서 복소평면에서 찍힌 점의 좌표에 대응되는 값인 y값을 그래프에서 표현하기 위해서 복소평면에 수직인 직선을 y축이라고 한 것 같아요. 2) ∣f(a+bi)∣= ∣ (a+bi)² + 1∣= ∣ a²-b²+1 +2abi ∣ 이기때문에 a²-b²+1부분이 실수 부분이고 2abi에서 2ab가 허수 부분이기 때문에 1:50, 2:03 에서 설명하시는 것처럼 복소수의 절댓값은 원점에서부터의 거리이기 때문에 ∣f(a+bi)∣를 루트 (a²-b²+1+2ab)² 로 나타내는게 아니라 루트 (a²-b²+1)²+(2ab)² 로 나타낸거에요. 3) 절댓값을 씌우지 않으면 f(a+bi)=(a+bi)²+1= a²-b²+1 +2abi가 되어서 f(a+bi)값이 실수부분과 허수부분으로 이루어진 복소수가 나오기 때문에 복소수에서 복소수로 가는 함수가 되게되요. 복소수의 절댓값은 원점에서부터의 거리이기때문에 그 값은 실수가 되요. 예를 들으신 것에서 a+bi를 넣으면 a²-b²+2abi가 나오는 것은 제곱을 했을 경우이고 a+bi에 절댓값을 씌우면 루트 a²+b² 이라는 값이 나오게 됩니다. 그리고 i가 x²=-1의 근이여서 -1과 같은 역할을 하는것이 아니라 i는 복소수로 표현했을때 0+ i이고 실수부분은 0 허수부분은 1이기 때문에 복소평면에서 (0,1) 이라 표현하는 것이고 그때 원점에서의 거리가 1이기 때문에 절댓값을 씌웠을 때 그 값이 1인거에요
안녕하세요 설레는 수학님 채널에 있는 영상이 너무 유익해서 정주행하다보니 여기까지 왔네요. 궁금한 점이 생겨서 댓글을 남기게 됐는데요, 영상 마지막 부분에서 3차원 공간상의 함수 z = l f(z)l = l f(a+bi) l 에서 z는 어떤 것을 나타내는 건가요? 구체적으로 설명해 주신다면 감사하겠습니다! 좋아요 구독완료 했습니다 ^^ 항상 응원하겠습니다 !
허수은 2차원인 복소평면에 나타낼 수 있습니다. 지금 영상에서는 방정식의 실근이 함수의 그래프와 x축의 교점이라는걸 허근의 경우도 해보자는 거지요~ 그러면 그래프와 복소평면의 교점이 되야할 것이기 때문에 결국 3차원에 그래프를 그려야하는 상황입니다. 그리고 이렇게하면 실근일 때와 마찬가지로 허근은 그래프와 xy평면(복소평면 ) 의 교점이라는 성질이 성립합니다.
허수를 그래프에 나타낼때 저게 가능하다는걸 증명하기 위해서 미분,다변수함수를 사용하던데 이해가 안되더라구요ㅠ 고1 범위에서 또는 조금 쉬운 고2,3학년 심화개념을 사용해서 증명할 수는 없나요..? 그리고 저 개념을 조사한 후 후속활동으로 저 개념을 사용하여 오일러공식을 증명(?)해보고 이해했다라고 대충 스토리를 만들었는데 오일러공식을 증명하는건 더 이해가 안되더라구요ㅠㅠ 오일러 공식도 고1 범위에서 또는 조금 쉬운 고2,3학년 심화개념을 사용해서 이해 할 방법이 없을까요..?ㅠ
![[지식in] 허수, 복소수의 역사와 복소평면](http://i.ytimg.com/vi/seYuDaowSQY/mqdefault.jpg)
1. 놀랍고 강력하다.
1.25 허근을 보려면 F(x) 함수의 변수x자리에 애초에 허수가 들어가야 허근을 볼수 있다라는 것이다. 실수가 들어가는데 허근을 볼수 없다는 것이다.
이 얼마나 놀라운 직관인가! 1:00
2. 이렇게해서 실수->실수로 가는 함수가 아닌 복소수->실수로 가게 해야 한다는 것이다.
1.5 이말이 중요하다 허수Y측과 실수X측의 좌표(3,2)위치에 3+2i라는 복소수를 "대응"시키는 평면을 복소평면이라 하자! 그렇게
정의하기로 했다는 것이다. 좌표를 더하기로 표시하기로 정의하기로 했다는 것이다. 1:40
1.75 그리고 절대값 개념도 정의돼 있다. 원점에서의 거리를 절대값으로 하기로 한것이다. 그러면 복소수가 a+bi 일때 루트(a^2+b^2)가 된다.
눈치챘겠지만 절대값이 실수에서처럼 작대기 양옆에 붙인값이 아니다. 거리가 절대값 개념이란게 중요하다. 이게 바로 복소수가 ' 위치'이자 '상대값'이라고
생각하는 또다른 단서이다.
2. 세상에 복소수 그래프 보고만 있어도 영감이 쏟아진다.
3. 복소수값의 절대값이 거리라는 개념을 이용한다.
그러면 근을 구할때 복소수에서 허수를 빼고 다시 그래프를 실수함수처럼 만들수 있다. 이 아이디어를 이용한 것이다.
단 그러면 변수가 2개인 이변함수가 된다.
3 F(z)=0의 필요충분조건이 절대값F(z)인 IF(z)I=0이라는 것이 무슨말이냐면 2:45
4. 이말이 무슨말이냐면 여기서 F(x)는 실수함수이고 그 변수에 X에 복소수를 넣은 함수 F(z)는 복소수 함수고 IF(z)I는 절대값복소수 함수라는
것을 구별해야 한다. 그런데 복소수함수 F(z)=0 이되려면 절대값 복소수 함수 IF(z)I가 반드시 0이 되야 한다는 것이다. 이게 중요하다.
이게 무슨말이냐면 그말이 그말같지만 그냥 복소수함수와 그것의 절대값 복소수 함수가 생긴게 완전히 다르기 때문이다. 복소수의 정의 때문에 말이다.
즉 절대값 복소수 함수값(즉 거리값)이 0이 되면 복소수함수값은 무조건 0밖에 못나온다는 것이다.
5. 그래서 절대값(거리)이 '0'이 되는 복소수는 '0'밖에 없다 라는 말을 한것이다. 2:50
6. 즉 그 절대값 복소수 함수값이 0이 되면 복소수 함수값이 0이 될수 밖에 없기 때문이다.
7. 그리고 복소수 함수에 절대값을 씌우면 그 복소수 함수는 정의상 실수 이변수를 가진 함수가 되기 때문이다. 즉 복소수-> 실수로 바뀌기 때문이다.
4 그래서 절대값을 씌우는 목적은 복소수에 복소수로 가지 말고 복소수에서 실수로 대응되는 함수를 그리기 위해서이다. 3:20
복소수에서 실수로 대응되는 함수가 무슨 말이냐 하면 절대값을 안씌운 복소수 함수 F(z)는 근이 복소수가 된다. 즉 x=a+bi에서 a,b값이
모두 복소수가 된다는 것이다.
5. 그렇게 a,b 근이 복소수가 되면 그러면 허수축이 사라지지가 않아서 실수 함수인 이변수 함수를 그릴수 없게 된다.
6. 실수 함수인 이변수 함수를 그릴 수 있었던 것은 복소수함수의 미지수 a,b,i 3개 중에서 허수i가 사라졌기 때문에 가능한 것이었기 때문이다.
7. 즉 복소수함수에 절대값을 씌우므로써 복소수함수를 이변수 실수함수로 복소수 함수임에도 실수함수처럼 표현이 가능하게 된 것이다.
8. 다 그리고 나면 y=f(x)=X^2+1은 이변수 함수(그래프가 공간상의 곡면인 함수, 즉 X축변수가 두개라서 3차원이 되는 그래프)가 된다 4:05
이걸 복소수 함수로 만들면 x=a+bi를 삽입 F(z)=(a+bi)^2+1 = a^2-b^2+1+2ab*i 가 된다.
9. 이걸 복소수의 절대값만 취하면 허수가 없는 그래프를 만들수 있다. 여기서 F(x)는 실수함수이고 그 변수 X에 복소수 a+bi를 넣은 함수 F(z)는 복소수 함수고
IF(z)I는 절대값복소수 함수라는 것을 구별해야 한다. 그런데 복소수함수 F(z)=0 이되려면 절대값 복소수 함수 IF(z)I가 반드시 0이 되야 한다는 것이다. 이게 중요하다. 2:50
10. IF(z)I = Ia^2-b^2+1+2ab*iI 가 아니라 IF(x)I=√((a^(2 )-b^2+1)^2+(2ab)^2 ) 가 되야된다는거다. 이걸 지오지브라에서 풀면 이변함수 그래프에서
a=0, b=+1,-1 이된다.
11. 즉 If(z)I=0 이 되는 지점은 f(z)=0이 되는 지점이고 이는 다시 F(x)=0인 지점이고 x가 이 방정식의 근이고 x=a+bi , a=0, b=+1,-1 이므로
X=0+1*i, 0+(-1)*i 가 된다.
12. 역시나 복소수 영상이 예사롭지 않아서 더 둘러봤는데 허수 관련해서 큰거 한개 건졌다.
ruclips.net/video/WvsLhMBNQFQ/видео.html
13. 그래프 그리는 방법은 밑에서 설명해주셨는데 좀 해매서 다시 풀어서 써놓는다.
14. 지오지브라 사이트에 들어간다. www.geogebra.org/
15. 오른쪽위에 3x3 큐브 클릭한다. 3차원 계산기 클릭한다.
16. 다음함수를 복사해 붙인다. f(x,y)=sqrt((x^(2)-y^(2)+1)^(2)+(2 x y)^(2))
17. 놀라운 3차원그래프가 나타난다. 22.09.05(월)
18. 다 살펴보고 나서 내린 결론은 이것이다.
19. 이 그래프는 엄밀히 말하며 y=x^2+1의 복소수 근을 보여주는 그래프라기 보다는
20. 변수 x를 x=a+bi를 삽입해서 식을 실수뿐 아니라 복소수로 확장시켰을때 그 복소수함수(즉 원래 실수함수가 아닌)의 '절대값'의 그래프이다.
21. 절대값으로 표시함으로써 허수를 없애고 복소수함수를 실수가 2개인 이변수 실수함수에 그릴 수 있었다.
21. 즉 절대값이 아닌 복소수 전체값에 대한 그래프는 그래프에 복소수 변수까지 들어가 이변수로 표현이 어려우므로 단순화시킨 그래프이다. 22.09.5(월)
와우... 정말 대단하십니다. 생각 정리해주셔서 감사합니다.
영상 내용을 "복소수를 평면에 표현하는 복소평면을 고민하여 복소평면에서 실수로 가는 2변수 함수를 생각함. 함수의 절댓값이 0이 되는 것과 원래의 함수가 0되는 것이 필요충분조건임을 이용하여 절댓값을 넣어 계산한 값을 함숫값으로 나오게 하는 이차함수를 고려함. 복소평면에서 실수로 가는 함수를 공학적 도구를 이용하여 3차원 그래프로 표현하여 허수를 그래프와 복소평면과 만나는 점으로 표현함." 이렇게 스스로 정리해봤는데 맞는 내용인가용??
와우 깔끔합니다!
실근도 갖고 허근도 갖는 삼차함수의 경우는 절댓값을 씌우면 형태가 달라지는데 어떻게 그릴 수 있나요? 복소수를 대입한 삼차함수와 복소평면의 교점, 그리고 x축에서 하나를 갖게 되나요?
x축에서 하나 갖고 나머지 2개 갖습니다. 모든 계수가 실수인 삼차함수라면 켤레근이므로 x축에 대칭인 xy평면 위의 두 점을 지나게 되겠습니다.
진짜 너무 감사합니다 정말 좋은 영상이네요~
보람차네요ㅎㅎ 좋은 댓글 감사드려요!
영상을 보다가 3가지 의문이 들었는데요..
1) 복소평면에서 f(x)= x²+1 일때 f(x) 함수와 x축의 교점이 그 함수의 근이라는 것을 보여주고 싶은데요, 저기서 왜 파란색 초록색 빨간색이 각각 Y축 허수축 실수축인지 모르겠어요.
2) 그리고 f(x)=0이면 |f(x)|=0 이니까 전체잭인 함수의 모양은 다르지만 근만 볼 때는 |f(x)| 라고 두어도 괜찮잖아요
근데 왜 |f(a+bi)|= 루트 (a²-b²+1)²+(2ab)² 인지 모르겠어요.
굳이 루트 (a²-b²+1+2ab)² 이 아니라 따로따로 떨어뜨려놓은 이유가 있나요?
3) 마지막으로 f(x)에 절댓값을 씌우는 이유가 허수를 넣으면 복소수에서 복소수로 표현하는 게 어려워서라고 알고 있는데, 절댓값을 씌웠을 때 복소수수에서 실수로 가게 한다는 게 예를 들어 a+bi를 넣으면 a²-b²+2abi 가 나오고, i는 x²=-1 의 근이니까 어쨌든 -1 과 같은 역할을 할 테고 그래서 절댓값을 씌우면 1의 역할을 하는 그런건가요...? 아무튼 이 부분도 모르겠어요
제대로 이해한게 맞는지는 모르겠지만 제가 이해한대로 설명해드리면
1) 1:28초에서 설명하듯이 실수축과 허수축으로 이루어진 복소평면에서 표현한 좌표가 복소수를 나타낸것이고
∣f(x)∣에서 복소수에서 실수로 가는 함수로 만들거기때문에
함수에서 복소평면에서 찍힌 점의 좌표에 대응되는 값인 y값을
그래프에서 표현하기 위해서 복소평면에 수직인 직선을 y축이라고 한 것 같아요.
2) ∣f(a+bi)∣= ∣ (a+bi)² + 1∣= ∣ a²-b²+1 +2abi ∣ 이기때문에
a²-b²+1부분이 실수 부분이고 2abi에서 2ab가 허수 부분이기 때문에
1:50, 2:03 에서 설명하시는 것처럼
복소수의 절댓값은 원점에서부터의 거리이기 때문에
∣f(a+bi)∣를 루트 (a²-b²+1+2ab)² 로 나타내는게 아니라 루트 (a²-b²+1)²+(2ab)² 로 나타낸거에요.
3) 절댓값을 씌우지 않으면 f(a+bi)=(a+bi)²+1= a²-b²+1 +2abi가 되어서 f(a+bi)값이 실수부분과 허수부분으로 이루어진 복소수가 나오기 때문에 복소수에서 복소수로 가는 함수가 되게되요.
복소수의 절댓값은 원점에서부터의 거리이기때문에 그 값은 실수가 되요.
예를 들으신 것에서 a+bi를 넣으면 a²-b²+2abi가 나오는 것은 제곱을 했을 경우이고
a+bi에 절댓값을 씌우면 루트 a²+b² 이라는 값이 나오게 됩니다.
그리고 i가 x²=-1의 근이여서 -1과 같은 역할을 하는것이 아니라 i는 복소수로 표현했을때 0+ i이고 실수부분은 0 허수부분은 1이기 때문에 복소평면에서 (0,1) 이라 표현하는 것이고 그때 원점에서의 거리가 1이기 때문에 절댓값을 씌웠을 때 그 값이 1인거에요
안녕하세요 설레는 수학님 채널에 있는 영상이 너무 유익해서 정주행하다보니 여기까지 왔네요. 궁금한 점이 생겨서 댓글을 남기게 됐는데요, 영상 마지막 부분에서 3차원 공간상의 함수 z = l f(z)l = l f(a+bi) l 에서 z는 어떤 것을 나타내는 건가요? 구체적으로 설명해 주신다면 감사하겠습니다! 좋아요 구독완료 했습니다 ^^ 항상 응원하겠습니다 !
감사합니다!! 3차원 공간상의 함수로 보고자 한 것이여서 z=(a, b에 대한 함수)로 둔 것입니다.
2차원에서 y=f(x)라고 두는 것 처럼 축 하나 당 하나의 문자를 사용하여 나타낸 것입니다!
@@1200math z=|f(z)| 에서 좌변의 z는 공간상에서 z축에 대응되는 함수의 치역을, 우변의 z는 복소수 z=a+bi를 의미한다고 이해해도 될까요?
4:05 마지막 결과값이 저렇게 되는 이유가 뭔가요?? ㅠㅠ 루트 씌워진 부분이요
좋은 영상 감사합니다~~
댓글 감사드려요~~
1학년 수학교과서 단원중에서 선택하라고 하셨는데.. 혹시 저 내용들이 다 고1 과정인가요??
고1 수학 안에서만 준비한다기보단 관련있는 걸 준비하라고 한거에요~ 방정식의 실근이 x축과의 교점이라는걸 1학년때 다루니까 이 주제도 관련있다고 할 수 있죠~
답변해주셔서 감사합니다!! 복소수개념에서 미분까지 확장된거가요??
좌표평면에서 좌표공간으로 확장되었다고보면 됩니다~ 채널에서 다변수함수 1강 '다변수함수의그래프는어떻게 그릴까?' 를 참고해주세요~
저 근데 제가 이 내용으로 수학과제 탐구 작성중인데.. 방정식에서 허근은 복소평면에 2차원으로도 나타낼수 있는거 아닌가요? 3차원으로 나타내는건 첨봐서 이해가 잘 안되네요 ㅠㅠ..
허수은 2차원인 복소평면에 나타낼 수 있습니다.
지금 영상에서는 방정식의 실근이 함수의 그래프와 x축의 교점이라는걸
허근의 경우도 해보자는 거지요~
그러면 그래프와 복소평면의 교점이 되야할 것이기 때문에 결국 3차원에 그래프를 그려야하는 상황입니다.
그리고 이렇게하면 실근일 때와 마찬가지로
허근은 그래프와 xy평면(복소평면 ) 의 교점이라는 성질이 성립합니다.
복소평면이라는 말을 어디서 들어보기만 하고 뭔지는 몰랐는데 이렇게 영상을 만들어 주시네요. 시험공부 해야되는데..ㅠㅠ
열공! 댓글 고마워요~
f(z)=0 일 필요충분조건이 |f(z)|=0이라는 것이 무슨 얘기인가요? 그래프 개형에 영향을 주지 않나요..?
f(z)가 0이면 절댓값도 0이고, 그 역도 성립합니다
그래프 그리는 앱 지오지브라 사용하신것 같은데 제가 그리면 안나와서 그래프 그림 어떻게 만드신지 알려주실수있나요?ㅠㅠ
3차원 기하창 키신 후
f(x,y)=sqrt((x^2-y^2+1)^2+(2xy)^2)
를 입력하시면 될거에요~
설레는 수학 감사합니다!!!
허수를 그래프에 나타낼때 저게 가능하다는걸 증명하기 위해서 미분,다변수함수를 사용하던데 이해가 안되더라구요ㅠ 고1 범위에서 또는 조금 쉬운 고2,3학년 심화개념을 사용해서 증명할 수는 없나요..?
그리고 저 개념을 조사한 후 후속활동으로 저 개념을 사용하여 오일러공식을 증명(?)해보고 이해했다라고 대충 스토리를 만들었는데 오일러공식을 증명하는건 더 이해가 안되더라구요ㅠㅠ 오일러 공식도 고1 범위에서 또는 조금 쉬운 고2,3학년 심화개념을 사용해서 이해 할 방법이 없을까요..?ㅠ
위 질문은 이해를 못해서 답변을 못드리겠네요ㅠ (허수를 그래프에 나타낸다? 허근을 말하시는거라면 제가설명한대로 하면 됩니다.)
오일러공식은 네이버수학산책에서 검색해보셔요. 고등수준에서 이해할수있는 증명이 있습니다.
3:14 y축에 허수축 그려줘야 하니 4차원 그래프여야 하는건가요? ㄷ
복소수에서 복소수집합으로의 함수를 온전히 그려내려면 4차원 공간이 필요하다고 볼 수 있습니다. 그래서 보통은 정의역과 치역을 각각 2차원에 그려함수의특징을분석합니다~
근데 3:51초에 나오는 마지막 파란색 글씨로 쓰여진 저 공식 4번째가 갑자기 어디서 나온거죠 ? X제곱+1에 대입한건가요 ?
네 x=a+bi 로 두고 대입하여 계산한것입니다~
지오지브라에서도 허근을 가지는 그래프 그릴 수 있나요?
영상에 나온 것처럼 3차원에 나타낼 수 있습니다~
@@1200math 제가 해냈습니다
감사합니다!
그럼 복소수의 절댓값끼리는 크기 비교가 가능한 건가요?
절댓값은 실수가 되므로 크기 비교가 가능합니다~
함수에 절댓값을 씌워도 상관없는 이유는 치역에서 나오는 각도를 고려하지 않기 때문인가요?
그렇다기 보단, f(z)=0 일 필요충분조건이 |f(z)|=0이기 때문입니다.
그렇다면 실근을 갖는 2차 방정식에 절대값을 취해서 2변수 그래프에 그리면? 어케 될까요?
x축에 2개 찍힐겁니다!
사실 평면에서는 만날 수는 없지만 허수값만큼 축을 움직여서 억지로 만날 수 있죵
안녕하세요 선생님 고1 학생입니다
제가 학교에서 있는 수학탐구보고서 작성에 이 영상의 내용을 활용하려는데 보고서 내용이 너무 이 영상과 유사할 것 같아서요
혹시 실례가 안된다면 이 영상의 내용을 보고서 작성에 활용해도 될까요?
이 그래프를 왜 2차원에 나타낼수가 없죠???
2차원에 나타낼 수있는 함수는 실수에서 실수로의 함수여야 합니다~
기말고사 끝나고 맛있게 보는 중입니다
잘지내지? 마무리잘해~~
만약 fz 절댓값 안씌우면 4차원으로 그려지나요??
4:26
빨간글씨입력했는데그래프가안나와요 ㅠㅜ 지오지브라 3차원으로 했어요
a b대신 x y
y대신z를 쓰면 되는걸 확인했습니다~
4:06 마지막 식이 어떻게 나오는지 이해가 안 가요😢
복소수의 절댓값 공식에 대입만 한 것입니다~
아하 이해됐어요!! 빠른 답변주셔서 감사합니다~
y=f(x)와 y=lf(x)l 가 왜 필요충분 조건인지 알려주세요
둘이 필요충분조건이라는것이 아니고,
f(x)=0 과 |f(x)|=0 이 필요충분조건입니다~
저 이게 잘 이해가 안돼서 그런데 왜 3:52에서 4:06으로 가는 거죠...?
복소수 절댓값의 정의를 생각해보시면 될 것 같고, a,b에 대한 식의 값이 실수 y로 대응되기 때문에 이변수함수라고 할 수 있습니다.
복소 평면 상에서 절대값 a+bi = a+bi의 크기 = 루트 a제곱 + b제곱인거를 저거랑 비교해보시면 좋아요
엄...결국 이해는 못했지만 하려던 건 잘 마무리됐어요! 답해 주셔서 감사합니다^^
안녕하세요? 지오지브라를 이용해서 그래프를 그리려고 하는데, 허근을 보는 함수라서 따로 설정해야하는게 있나요? 식을 입력해도 저 모양이 안 나와요ㅠㅠ 어떻게해야하나요?ㅠㅠ급해서 빠른 답변 부탁드려요🙏
3차원에서 입력하셔야 가능합니다. 3차원 지오지브라를 실행하여 입력해보세요~
e^(ix)는 어떤 식으로 그리면 될까요..? ㅎㅎ
x를 (cosx, sinx)로 보내는 함수라고 보면
3차원에도 그릴수있습니다.
그런데 통상 복소함수(함수값이 복소수인)는
정의역이 변함에따라 함수값만 따로 복소평면에 그려 관찰합니다.
@@1200mathX값이 라디안 값이므로 라디안값이 커지면 e^(ix)는 계속 원을 그리게 됩니다. 그런데 x축의 x값이 증가하므로 복소평면에서 나선형을 그리며 원을 그리는 형태가 됩니다. 안그런가요? 설수 선생님?^^
@@isaaclee6719 댓글 감사합니다. z축을 오히려 x로 두게 되면 그렇습니다~~
(cosx, sinx, x) 가 그리는 곡선이 되지요~
@@1200math 네 정확히 표현하면 그렇게 되겠네요. 저는 개념적으로만 생각했는데 말씀하신대로 x값이 라디안값이라 했을때 z축값을 x라고 놓으면
z 축을 중심으로 나선형으로 돌며 뻗어나가는 모습이 되겠네요. 알려주셔서 감사합니다.
고1세특에쓰면 너무 심화라고 감점받거나 하진 않을까요?
괜찮을듯한데 선생님마다, 수행평가 기준마다는 다를듯합니다. 대학에서 특별히 안좋게 생각할리는 없다고 생각합니다.
𝑓(𝑧) |𝑓(𝑧)| 에서 복소수를 대입한 함수 f(z)도 결국 복소수이기에 절댓값을 취한다는 거 같은데 절댓값을 취하면 왜 실수가 되나요? 복소수에 절댓값을 취하면 왜 실수가 되는지 모르겠습니다
두개가 필요충분이 아니고, 함수값이 0이라는 것과 절댓값이 0이라는게 필요충분입니다.
그리고 복소수의 절댓값 정의를 다시 확인해보시면 이해가 되실 듯 합니다!
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