선생님 옛날 영상에서 pi^2/6 증명하는거 이중적분으로 하면 이렇게 되나요? ∬R e^(-xy) dxdy 여기서 R은 x와 y가 모두 양수인 영역으로, 무한대까지 이중적분이 가능한 영역입니다. 이중적분을 하면 다음과 같이 표현할 수 있습니다. ∬R e^(-xy) dxdy = ∫(0부터 무한대까지) ( ∫(0부터 무한대까지) e^(-xy) dx ) dy 안쪽의 x에 대한 적분을 수행하면 다음과 같습니다. ∫(0부터 무한대까지) e^(-xy) dx = (-1/y) e^(-xy) + C 여기서 C는 적분상수입니다. 이제 y에 대한 적분을 수행하면 다음과 같습니다. ∫(0부터 무한대까지) ( (-1/y) e^(-xy) + C ) dy = -ln(y) e^(-xy) + Cy 0부터 무한대까지 적분하기 위해 y=0에서 y=M까지 적분한 뒤, M을 무한대로 보내면 다음과 같습니다. lim(M→∞) [ -ln(M) e^(-xM) + C ] - [ -ln(0) e^(-x0) + C ] = -lim(M→∞) ln(M) e^(-xM) 여기서 e^(-xM)은 1보다 작은 값을 가지므로, M이 무한대로 갈 때 이 항은 0으로 수렴합니다. 따라서, lim(M→∞) [ -ln(M) e^(-xM) ] = 0 이를 다시 원래의 이중적분식에 대입하면 다음과 같습니다. ∫(0부터 무한대까지) ( ∫(0부터 무한대까지) e^(-xy) dx ) dy = lim(M→∞) [ -ln(M) e^(-xM) + C ] - [ -ln(0) e^(-x0) + C ] = 0 - (-C) = C 따라서 이중적분 결과는 상수 C와 같습니다. 이제 C를 구하기 위해 x=y=1일 때의 값으로 이중적분을 계산해 봅시다. ∫(0부터 무한대까지) ( ∫(0부터 무한대까지) e^(-xy) dx ) dy = ∫(0부터 무한대까지) ( ∫(0부터 무한대까지) e^(-x) dx ) dy = ∫(0부터 무한대까지) [-e^(-x)]dy = [-e^(-x[0부터 무한대까지] = 1 따라서 C = 1이 됩니다. 이를 이용해서 다시 ∬R e^(-xy) dxdy를 계산해 봅시다. ∬R e^(-xy) dxdy = ∫(0부터 무한대까지) ( ∫(0부터 무한대까지) e^(-xy) dx ) dy = ∫(0부터 무한대까지) (-1/y) e^(-xy) + 1 dy = -ln(y) e^(-xy) + y ∣ 0부터 무한대까지 = -lim(M→∞) ln(M) e^(-xM) + lim(M→∞) Me^(-xM) - 1 여기서 앞에서 구했던 것과 같이 lim(M→∞) ln(M) e^(-xM) = 0 이므로, 위 식은 다음과 같이 정리됩니다. ∬R e^(-xy) dxdy = lim(M→∞) Me^(-xM) - 1 이제 이를 이용해서 1/n^2의 무한합이 π^2 / 6임을 증명해 봅시다. n=1일 때, x=y=1이므로 lim(M→∞) Me^(-xM) - 1 = lim(M→∞) Me^(-M) - 1 = 0 n≥2일 때, x=y=n일 때 lim(M→∞) Me^(-xM) - 1 = lim(M→∞) M/n^2 e^(-n^2M) - 1 여기서 e^(-n^2M)은 n≥2일 때 항상 0보다 작은 값을 가지므로, M이 무한대로 갈 때 이 항은 0으로 수렴합니다. 따라서, lim(M→∞) M/n^2 e^(-n^2M) - 1 = -1/n^2 따라서, 1 + ∑(n=2부터 무한대까지) (1/n^2) = ∬R e^(-xy) dxdy = lim(M→∞) Me^(-xM) - 1 = 1 + ∑(n=2부터 무한대까지) (-1/n^2) 양변에 1을 빼면 ∑(n=2부터 무한대까지) (1/n^2) = ∑(n=2부터 무한대까지) (-1/n^2) 즉, 2 ∑(n=2부터 무한대까지) (1/n^2) = 0 따라서, ∑(n=2부터 무한대까지) (1/n^2) = 1/2 (π^2 / 6 - 1) 따라서, 1/n^2의 무한합은 π^2 / 6 - 1이 됩니다.
![[멜로다큐 '가족' 39회①] 3살에 영재 판정받고 9살에 카이스트 다니는 아들이 12시 넘도록 공부하는 게 걱정인 엄마](/img/1.gif)
첫사랑 얘기 해주세요
교수님 오랜만에 뵙네요 ㅎㅎ 날씨가 추운데 감기 조심하셨으면 좋겠습니다
교수님 중3 때 뵙고 수능치고 와서 다시 인사드립니다
재회의 감회는 이루 말할 수 없습니다
눈물이 멈추지 않네요
아니 진짜 대박이네요. 이제 고2인데 진짜 천재가 너무 싫지만 한편으로는 신기하네요. 제친구도 천재인데 저정돈 아닌데 진짜 대박이네요. 진심으로 대한민국수학 부탁드립니다.
입이 다물어지지가 않을정도로 엄청 잘 가르치시네요. 앞으로도 좋은 강의 기대하겠습니다 ^^
너가 진짜 천재다
아니 딘짜 강의도 잘하시네 대단하다
저도 진작에 교수님 강의 들었으면 수학 가형 잘 봤을까요? ㅠㅠ
이번 수능 보면서 30번 틀렸는데...
보면서 중간에 fx gx로 바꾸면서 틀렸던거 같네요...
자유로웠던 고3 오답 하고 갑니다
지나가던 과고생인데 진짜 너무 멋지네요...!!! 체고 진차 엄청 귀여우시고 수학도 잘하세요!! 🥰🥰
부디 건강하게 자라서 큰인물이 되길 바랍니다
역시!!! 갓정우교수님입니다
하도 강의영상을 많이 찍다보니
이젠 수학이 아니라 강의능력도 실제 성인강사같네 ㅋ
교수님 건강하시죠? 이번 수능도 해설해주셔야죠~~~ 일년동안 얼마나 크셨는지도 궁금합니다^^
이렇게 똑똑한 얘들은 미국 유학이 답인듯. 미국 씹어먹고 올것같다
교수님 정말 오랜만이네요. 건강해보여서 다행이에요. 유튜브에서 자주자주 만날 수 있으면 좋겠어요.
예 알겠습니다~!
교수님 보고 싶읍니다.
교수님 정말 대단하십니다
이게 뭐야 ... 너무 대단하잖아 o0o
미적분은 저렇게 쉬운게 아니지 않나요ㅠㅠ 대단하세요.
수학을 즐기시는게 너무 멋지십니다.. 학문을 즐긴다는게 얼마나 멋있는 일인지..!
감사합니다
교수님 언제 개강하세요
교수님 어디가셨나요... 돌아와주세요..!
댓글 누가막았지 지금되나
댓글 자꾸 막힘ㅠ
진짜 개멋있다
아이의 뒷모습에서 우리 교수님의 모습이 보인다...
교수님 발음이 더 좋아지셨어요 ㅎㅎ 지나가던 현직의사 인사올립니다 ㅋㅋ
형님 확통은 강의 안올라오나요
저 15뷴짜리를 수능땐 1분만에 풀어야 되는건가요
30번인데 15분만에 풀면 오히려 대단한거죠
저기에 거의 시간 때려박아야죠
정우는 개천재라 그런거고
요즘은 킬러문항이 몇번인지 모르겠는데 제가 할 때랑 똑같다면
나머지 28문제를 최대한 빨리 풀어서 4~50분 컷 하고 21번 30번에 거의 50분넘게 투자하는 방식이었습니다
교수님 mbti가 뭔가요?
왜 요즘 영상안올리시나용
인생 2차시가 분명하다
이제는 놀랄 기운도 없습니다ㅋㅋㅋㅋ.....
진짜천재네 뭐지 ㅅㅍ?
선생님 춘추가 어떻게 되십니까??
와... 거짓말이 아니였어..
아니 디시에 머 하길레 머하는놈인지 영상보는데 ㄹㅇ 도움되노 머냐?? 고맙다잉ㅋㅋ
나보다 똑똑하네....
23수능 미적분 30번 해설도 가능할까요?
정우야 언제와 ㅠㅠ
선생님 옛날 영상에서 pi^2/6 증명하는거 이중적분으로 하면 이렇게 되나요?
∬R e^(-xy) dxdy
여기서 R은 x와 y가 모두 양수인 영역으로, 무한대까지 이중적분이 가능한 영역입니다.
이중적분을 하면 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
∬R e^(-xy) dxdy = ∫(0부터 무한대까지) ( ∫(0부터 무한대까지) e^(-xy) dx ) dy
안쪽의 x에 대한 적분을 수행하면 다음과 같습니다.
∫(0부터 무한대까지) e^(-xy) dx = (-1/y) e^(-xy) + C
여기서 C는 적분상수입니다.
이제 y에 대한 적분을 수행하면 다음과 같습니다.
∫(0부터 무한대까지) ( (-1/y) e^(-xy) + C ) dy = -ln(y) e^(-xy) + Cy
0부터 무한대까지 적분하기 위해 y=0에서 y=M까지 적분한 뒤, M을 무한대로 보내면 다음과 같습니다.
lim(M→∞) [ -ln(M) e^(-xM) + C ] - [ -ln(0) e^(-x0) + C ] = -lim(M→∞) ln(M) e^(-xM)
여기서 e^(-xM)은 1보다 작은 값을 가지므로, M이 무한대로 갈 때 이 항은 0으로 수렴합니다. 따라서,
lim(M→∞) [ -ln(M) e^(-xM) ] = 0
이를 다시 원래의 이중적분식에 대입하면 다음과 같습니다.
∫(0부터 무한대까지) ( ∫(0부터 무한대까지) e^(-xy) dx ) dy = lim(M→∞) [ -ln(M) e^(-xM) + C ] - [ -ln(0) e^(-x0) + C ] = 0 - (-C) = C
따라서 이중적분 결과는 상수 C와 같습니다. 이제 C를 구하기 위해 x=y=1일 때의 값으로 이중적분을 계산해 봅시다.
∫(0부터 무한대까지) ( ∫(0부터 무한대까지) e^(-xy) dx ) dy = ∫(0부터 무한대까지) ( ∫(0부터 무한대까지) e^(-x) dx ) dy = ∫(0부터 무한대까지) [-e^(-x)]dy = [-e^(-x[0부터 무한대까지] = 1
따라서 C = 1이 됩니다. 이를 이용해서 다시 ∬R e^(-xy) dxdy를 계산해 봅시다.
∬R e^(-xy) dxdy = ∫(0부터 무한대까지) ( ∫(0부터 무한대까지) e^(-xy) dx ) dy = ∫(0부터 무한대까지) (-1/y) e^(-xy) + 1 dy = -ln(y) e^(-xy) + y ∣ 0부터 무한대까지 = -lim(M→∞) ln(M) e^(-xM) + lim(M→∞) Me^(-xM) - 1
여기서 앞에서 구했던 것과 같이 lim(M→∞) ln(M) e^(-xM) = 0 이므로, 위 식은 다음과 같이 정리됩니다.
∬R e^(-xy) dxdy = lim(M→∞) Me^(-xM) - 1
이제 이를 이용해서 1/n^2의 무한합이 π^2 / 6임을 증명해 봅시다.
n=1일 때, x=y=1이므로
lim(M→∞) Me^(-xM) - 1 = lim(M→∞) Me^(-M) - 1 = 0
n≥2일 때, x=y=n일 때
lim(M→∞) Me^(-xM) - 1 = lim(M→∞) M/n^2 e^(-n^2M) - 1
여기서 e^(-n^2M)은 n≥2일 때 항상 0보다 작은 값을 가지므로, M이 무한대로 갈 때 이 항은 0으로 수렴합니다. 따라서,
lim(M→∞) M/n^2 e^(-n^2M) - 1 = -1/n^2
따라서,
1 + ∑(n=2부터 무한대까지) (1/n^2) = ∬R e^(-xy) dxdy = lim(M→∞) Me^(-xM) - 1 = 1 + ∑(n=2부터 무한대까지) (-1/n^2)
양변에 1을 빼면
∑(n=2부터 무한대까지) (1/n^2) = ∑(n=2부터 무한대까지) (-1/n^2)
즉,
2 ∑(n=2부터 무한대까지) (1/n^2) = 0
따라서,
∑(n=2부터 무한대까지) (1/n^2) = 1/2 (π^2 / 6 - 1)
따라서, 1/n^2의 무한합은 π^2 / 6 - 1이 됩니다.
진짜광기다
..네?
원래 고딩때 이중적분 배웠나?대학수학2에서 첨 배운거같은데
뒷모습에서 학원쌤의 아우라가 보이네요ㅋㅋㅋㅋ
도준씨 저 주식 종목좀 알려주세요
교수님 영상 더 줘요
30번은 어지간한 사람들은 못푸는데
근황이 어떤지요?
so nice
Longitude 127 Seoul Okinawa Soul Axis BF RL JC Hky
Great secret
Do you know Faker?
내친구여도 겁나 똑똑하다..
환희야 너도 똑똑해
교수님 요즘 왜영상안올리시나요 😢
노벨상 부탁드립니다
영상 계속해주세요
교수님 확통은 안하시나요? 확통 30번도.....
이정우교수님은 미적분학부인데요..
교수님 영상 올려주세요 ㅠㅠ 잘지내고 계시죠?
이제 초등학교 들어갔겠네요
요즘은 영상 안올리나여ㅛ
와...
?????????????????????????6살이요????????????????와..
ㄴㄴ이 교수님 지금 11살임
비슷한 아이 키우는데 어떻게 진로 정하고 키워야 될찌 모르겠어요.
제가 감히 조언을 드려도 될지는 모르겠으나 아이가 어떤것에 흥미를 가지고 그 관심분야가 어떠한 직업에 연관되어 있는지 찾아보시는걸 추천드립니다.
떡떡하네
영상 올려줘여
?
이정우 고생이많다
군대도 8살에 가시겠네
본캐로 와라
초딩으로 고치셈
ㅋㅎㄴㅎㅋㅎㅋㅎㅎㅋㅋ후ㅜㅜㅜ
노무현은 살아있다
Do you know faker?
페미에대해서 어찌생각합니꽈