Respondendo: a (1, -1, 0) + b (0, 1 ,1) = ∅ ⇒ a (1, -1, 0) + b (0, 1 ,1) = (0, 0, 0) a + 0 = 0 -a + b = 0 0 + b = 0 a = 0 e b = 0 Então esse conjunto é L.I. Adicionando mais um vetor para formar a base em R³ vamos testar essa combinação: (0, 1, 0) ∉ (1, -1, 0) , (0, 1 ,1) Testando temos: (0, 1, 0) = a (1, -1, 0) + b (0, 1 ,1) a = 0 -a + b = 1 b = 0 Se a = 0 e b = 0 então -a + b não pode ser 1, o sistema é impossível S.I. Agora para ele ser base, basta ver se ele gera o campo R³ [ (1, -1, 0) , (0, 1 ,1) , (0, 1, 0) ] = R³ Basta escolher quaisquer valores de R³ (x, y, z) ∈ R³ (x, y, z) = a (1, -1, 0) + b (0, 1 ,1) + c (0, 1, 0) a = x -a + b + c = y b = z Substituindo -x + z + c = y ⇒ c = y + x - z a = x , b = z , c = y + x - z (x , y, z) = x (1, -1, 0) + z (0, 1 ,1) + (y + x - z) (0, 1, 0) Então: [ (1, -1, 0) , (0, 1 ,1) , (0, 1, 0) ] = R³ e { (1, -1, 0) , (0, 1 ,1) , (0, 1, 0) } é LI O conjunto é Base de R³
O caminho de sua resolução está correto. Muito bem! Eu só preciso fazer algumas pontuações: 1) eu entendi que você quis usar ∅ para representar o vetor nulo em ℝ³, mas eu não recomendo esse uso pois essa notação é usada para representar o conjunto vazio. É uma pena que aqui nos comentários não dá para escrever "0 barra" como eu faço na videoaula. Aí no caso o jeito é usar 0 mesmo e contar que a pessoa deve entender pelo contexto quando esse "0" é o "vetor nulo do espaço vetorial" em questão ou quando é o "número real 0"; 2) você escreveu (0, 1, 0) ∉ (1, -1, 0) , (0, 1 ,1), mas deveria ser (0, 1, 0) ∉ [(1, -1, 0) , (0, 1 ,1)] (isto é, faltou os "[ ]" para indicar o gerador [(1, -1, 0) , (0, 1 ,1)]); 3) você falou em "campo ℝ³", mas deveria ser "espaço vetorial ℝ³". Sobre os tensores, geralmente eles não são abordados em um curso de Álgebra Linear. Neste meu curso também não serão abordados.
Aquino, se fosse preciso adicionar dois vetores para completar uma base para IR3, eu precisaria mostrar que dois vetores quaisquer não são combinação linear do conjunto LI que o enunciado me forneceu? Ou seja, se o enunciado tivesse fornecido {(1,-1,0)} (nesse caso, não precisa mostrar que é LI, pois só tem um vetor, certo?) e pedisse para completar uma base para IR3, eu precisaria chutar dois vetores quaisquer que não sejam combinação linear de (1,-1,0)?
Se o enunciado do exercício fornece o conjunto B = {(1, -1, 0)}, então você já sabe que B é LI pois ele é um conjunto formado por apenas um vetor não nulo. Para completar uma base para ℝ³ você precisa agora escolher dois vetores v1 e v2 e MOSTRAR que B = {(1, -1, 0), v1, v2} é LI. Você vai precisar mostrar que B é LI, pois NÃO NECESSARIAMENTE a sua escolha de v1 e v2 vai fazer B ser LI. Por exemplo, vamos supor que sejam escolhidos v1 = (1, 0, 0) e v2 = (0, 1, 0). Note que B = {(1, -1, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0)} é LD e portanto não é uma base para ℝ³. Por outro lado, sendo escolhidos v1 = (1, 0, 0) e v2 = (0, 0, 1) temos que B = {(1, -1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} é LI e portanto é uma base para ℝ³. Ficou mais claro agora? Comente aqui.
@@LCMAquino ficou professor. Eu perguntei pro meu professor de álgebra ontem e ele disse que seria melhor fazer por matriz. Só que eu achei esse seu jeito mais fácil. Do jeito que ele disse como matriz, eu teria que escalonar a matriz e depois completar com a base canônica, por exemplo.
Eu também acho que nesse caso o mais fácil é completar usando (1, 0, 0), (0, 1, 0) ou (0, 0, 1) conforme o caso do enunciado. Aí a gente só tem que mostrar que nossa escolha de fato é LI (já que qualquer conjunto com 3 vetores LI em ℝ³ será uma base de ℝ³).
@@LCMAquino Aquino, uma ajuda, por favor. Tô fazendo um exercício onde T: IR3 ----> IR4 e tem imagem gerada por Im(T) = [(1,1,2,1),(2,1,0,1)]. A questão me pede para achar T. Eu usei o Teorema Núcleo-Imagem para encontrar a dimN(T) = 1, assim, tomei N(T) = {(0,1,1)} (pois há um vetor no núcleo dai escolhi esse vetor dentre vários, né) e acrescentei dois vetores a mais para formar uma base para IR3: v1 = (0,1,2) e v2 = (1,0,1), portanto, B = {(0,1,1),(0,1,2),(1,0,1)} e é LI. Daí, impus que: T(0,1,1) = (0,0,0,0) T(0,1,2) = (1,1,2,1) T(1,0,1) = (2,1,0,1) daí, fiz: existe (x,y,z) pertencente a IR3, t.q.: (x,y,z) = a*(0,1,1)+b*(0,1,2)+c*(1,0,1) (H) achei: a = -z+x+2y b = z-x-y c = x Substitui a, b e c na equação H e obtive: T(x,y,z) = (z+x-y, z-y, 2z-2x-2y, z-y) Só que quando eu fiz: (z+x-y, z-y, 2z-2x-2y, z-y) = z*(1,1,2,1)+x*(1,0,-2,0)+y*(-1,-1,-2,-1) Não deu Im(T) = [(1,1,2,1),(2,1,0,1)] Será que está errado? Perdão pelo texto longo.
![Felix "Unfair" | [Stray Kids : SKZ-PLAYER]](http://i.ytimg.com/vi/Oswujxm2Ag0/mqdefault.jpg)
Respondendo:
a (1, -1, 0) + b (0, 1 ,1) = ∅ ⇒ a (1, -1, 0) + b (0, 1 ,1) = (0, 0, 0)
a + 0 = 0
-a + b = 0
0 + b = 0
a = 0 e b = 0
Então esse conjunto é L.I.
Adicionando mais um vetor para formar a base em R³ vamos testar essa combinação:
(0, 1, 0) ∉ (1, -1, 0) , (0, 1 ,1)
Testando temos:
(0, 1, 0) = a (1, -1, 0) + b (0, 1 ,1)
a = 0
-a + b = 1
b = 0
Se a = 0 e b = 0 então -a + b não pode ser 1, o sistema é impossível S.I.
Agora para ele ser base, basta ver se ele gera o campo R³
[ (1, -1, 0) , (0, 1 ,1) , (0, 1, 0) ] = R³
Basta escolher quaisquer valores de R³
(x, y, z) ∈ R³
(x, y, z) = a (1, -1, 0) + b (0, 1 ,1) + c (0, 1, 0)
a = x
-a + b + c = y
b = z
Substituindo
-x + z + c = y ⇒ c = y + x - z
a = x , b = z , c = y + x - z
(x , y, z) = x (1, -1, 0) + z (0, 1 ,1) + (y + x - z) (0, 1, 0)
Então:
[ (1, -1, 0) , (0, 1 ,1) , (0, 1, 0) ] = R³
e
{ (1, -1, 0) , (0, 1 ,1) , (0, 1, 0) } é LI
O conjunto é Base de R³
Professor, no seu curso o senhor pretende falar sobre tensores?
O caminho de sua resolução está correto. Muito bem! Eu só preciso fazer algumas pontuações:
1) eu entendi que você quis usar ∅ para representar o vetor nulo em ℝ³, mas eu não recomendo esse uso pois essa notação é usada para representar o conjunto vazio. É uma pena que aqui nos comentários não dá para escrever "0 barra" como eu faço na videoaula. Aí no caso o jeito é usar 0 mesmo e contar que a pessoa deve entender pelo contexto quando esse "0" é o "vetor nulo do espaço vetorial" em questão ou quando é o "número real 0";
2) você escreveu (0, 1, 0) ∉ (1, -1, 0) , (0, 1 ,1), mas deveria ser (0, 1, 0) ∉ [(1, -1, 0) , (0, 1 ,1)] (isto é, faltou os "[ ]" para indicar o gerador [(1, -1, 0) , (0, 1 ,1)]);
3) você falou em "campo ℝ³", mas deveria ser "espaço vetorial ℝ³".
Sobre os tensores, geralmente eles não são abordados em um curso de Álgebra Linear. Neste meu curso também não serão abordados.
Excelente aula. Didática digital e elegância nas explicações.
voltando a estudar álgebra linear, seus vídeos sempre ajudando. Parabéns pelo trabalho, professor!
Aula incrível. Na minha graduação n tinha uma aula dessa.
Excelente aula professor Aquino!!!
Mto bom, traga uns exemplos de polinomios, matrizes, sobre IR e sobre C para ver a diferença, parabens pela aula
Melhor professor do youtube!
Top, obrigado :D
A letra é feia mas o conteúdo é impressionante, melhor curso de algebra do youtube.
The best
Mt boa aula
Aquino, se fosse preciso adicionar dois vetores para completar uma base para IR3, eu precisaria mostrar que dois vetores quaisquer não são combinação linear do conjunto LI que o enunciado me forneceu? Ou seja, se o enunciado tivesse fornecido {(1,-1,0)} (nesse caso, não precisa mostrar que é LI, pois só tem um vetor, certo?) e pedisse para completar uma base para IR3, eu precisaria chutar dois vetores quaisquer que não sejam combinação linear de (1,-1,0)?
Se o enunciado do exercício fornece o conjunto B = {(1, -1, 0)}, então você já sabe que B é LI pois ele é um conjunto formado por apenas um vetor não nulo.
Para completar uma base para ℝ³ você precisa agora escolher dois vetores v1 e v2 e MOSTRAR que B = {(1, -1, 0), v1, v2} é LI. Você vai precisar mostrar que B é LI, pois NÃO NECESSARIAMENTE a sua escolha de v1 e v2 vai fazer B ser LI.
Por exemplo, vamos supor que sejam escolhidos v1 = (1, 0, 0) e v2 = (0, 1, 0). Note que B = {(1, -1, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0)} é LD e portanto não é uma base para ℝ³. Por outro lado, sendo escolhidos v1 = (1, 0, 0) e v2 = (0, 0, 1) temos que B = {(1, -1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} é LI e portanto é uma base para ℝ³.
Ficou mais claro agora? Comente aqui.
@@LCMAquino ficou professor. Eu perguntei pro meu professor de álgebra ontem e ele disse que seria melhor fazer por matriz. Só que eu achei esse seu jeito mais fácil. Do jeito que ele disse como matriz, eu teria que escalonar a matriz e depois completar com a base canônica, por exemplo.
Eu também acho que nesse caso o mais fácil é completar usando (1, 0, 0), (0, 1, 0) ou (0, 0, 1) conforme o caso do enunciado. Aí a gente só tem que mostrar que nossa escolha de fato é LI (já que qualquer conjunto com 3 vetores LI em ℝ³ será uma base de ℝ³).
@@LCMAquino Obrigado, Aquino
@@LCMAquino Aquino, uma ajuda, por favor. Tô fazendo um exercício onde T: IR3 ----> IR4 e tem imagem gerada por Im(T) = [(1,1,2,1),(2,1,0,1)]. A questão me pede para achar T. Eu usei o Teorema Núcleo-Imagem para encontrar a dimN(T) = 1, assim, tomei N(T) = {(0,1,1)} (pois há um vetor no núcleo dai escolhi esse vetor dentre vários, né) e acrescentei dois vetores a mais para formar uma base para IR3: v1 = (0,1,2) e v2 = (1,0,1), portanto, B = {(0,1,1),(0,1,2),(1,0,1)} e é LI. Daí, impus que:
T(0,1,1) = (0,0,0,0)
T(0,1,2) = (1,1,2,1)
T(1,0,1) = (2,1,0,1)
daí, fiz: existe (x,y,z) pertencente a IR3, t.q.:
(x,y,z) = a*(0,1,1)+b*(0,1,2)+c*(1,0,1) (H)
achei:
a = -z+x+2y
b = z-x-y
c = x
Substitui a, b e c na equação H e obtive:
T(x,y,z) = (z+x-y, z-y, 2z-2x-2y, z-y)
Só que quando eu fiz:
(z+x-y, z-y, 2z-2x-2y, z-y) = z*(1,1,2,1)+x*(1,0,-2,0)+y*(-1,-1,-2,-1)
Não deu Im(T) = [(1,1,2,1),(2,1,0,1)]
Será que está errado?
Perdão pelo texto longo.
Há aulas de mudança de base?
No momento, não tem.