福田の数学〜過去の入試問題(期間限定)〜京都大学2020理系第2問〜数学的帰納法と極限計算

[@medjed_kk]

最後の方、-α=1/βに変形してからのほうが短くすみますね

[@紅芋タルト-n4c]

sinx/xが1に収束することは証明しなくていいんですか？

[@peco633]

(2),sinを含む極限の公式を利用するため、lim [n→∞]β^n=0が導けることから、sinの中身をβで置き換えることを考える。そこで、α^n+β^nは、偶数より、2πの整数倍と分かり、また、αβ=-1より、α=-1/βとして、与式に代入すると、
(-α)^n•sin(α^nπ)
=(1/β)^n•sin{(α^n+β^n)•π-β^nπ}
=(1/β)^n•sin(-β^nπ)
=-(1/β)^n•sin(β^n π)
=-π•{sin(β^nπ)/β^nπ}これより、求める極限は、分数部分は、公式より、1になるので、-πである。