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讲得太好了，我一直在点头，一直在点头，最后就睡着了。
因爲你的點頭與正弦共振，用Taylor series 展開，頭幾項都有一定的幅度，到N項後，幅度太小，所以睡着了。 ：)
你的头收敛了
@@allandogreat 雖然收斂，但不一定有極限值。 ：P
@@gagadaddy8713 大佬太可怕了。。。
感觉是一种通过离散化来模拟连续过程的办法。试着搜了关键字果然是有应用的。当年高数学的时候完全没有意识到这点…… 羡慕现在的大学生能够有各种各样的资源可用，而且还可以通过网络来验证自己的想法。
这一堂课真是解了我十来年的疑惑。。。当年高中老师就写了一个拉格朗日中值定理让我们背。。。我根本一头雾水不知道那是个什么东西怎么来的。。。今天真是醍醐灌顶。
可以去编教材啦，我觉得比我上学时高数教材容易理解。😂
讲的太棒了，非常清晰生动，多谢分析。最后其实拉格朗日是出生在意大利都灵的。
我成功的被高数又虐了一次，来自一位211毕业5年的同志，当年没听懂，只在考试的时候记忆公式了，现在只知道泰勒虐了我，这玩意，在电学里面分析几次波也会用到，麻痹，被搞了两次，脑仁疼···我的智商也就这样了·····我不悲哀···算我手贱··尽然来找虐···
同样是九年义务教育，你咋那么优秀呢？我觉得你也是大神！非常感谢你的视频解答了我一直以来的疑惑：）
牛到家了！这么复杂的东东到了妈咪叔的手下，20分钟给讲清楚了！
Mingshuo Ji 叫你做题你依然不会
妈叔讲的太好了！泰勒展开的推导非常生动。想问问妈叔有没有兴趣讲讲傅立叶变换呢，感觉这个似乎概念上理解了，但是理论上还是含含糊糊的
求傅立叶变换+1
哈哈哈，李永乐老师刚讲泰勒展开，说实话，不太直观，还是书本上地老路，不说人话
非常谢谢你 看完这个对我的机器学习知识做了很好的补充
讲的太好啦！好清晰
建议文案工整规范，最好提前设计！！那样的话和李永乐讲的有的一拼！！
我們把一個例題引入微積分的完整、两駕飞機預飞行路經相關好像所有函數都用上和解釋了！
拉格朗日中值定理应该是有个前提叫函数在定义域内必须连续可导，所以小人变速跑的例子其实不恰当。假设我跑四公里前一半每小时六公里，后一半每小时三公里，平均速度四点五公里每小时，但我的实际速度并不存在这个值
你实际生活中变速跑 难道是直接从5m/s直接跳到8m/s？ 中间肯定存在一个加速的过程，这个加速的过程肯定是连续的
学高数时候这里完全是流水账地死记硬背，知其然不知其所以然，感谢妈咪书
今观汝视频，大悟，不知所报，一赞之。
解說得非常好
非常喜欢这个栏目，感谢作者的分享，希望有空讲讲拉普拉斯变换是怎么回事
十几年过去了，看到这期回想起当年的推导过程又历历在目。华罗庚老先生说把书从薄读到厚，再从厚读到薄，现在算是有些明白了。
非常好！！很多以前不懂的一下就懂了！
妈咪叔，有机会讲讲傅里叶展开，跟泰勒对比下
讲得很好
看着看着突然发现看不懂了。。。
赞，讲的好清楚！
太精彩了！鼓掌！
讲的通俗易懂，强
中国高校的一个很大问题就是不重视本科教育，老师都忙着写文章搞项目，上课对付一下就可以了，所以很多时候能照本宣科就不错了，没时间考虑是不是能够让学生容易理解。从另外一个角度说，其实是不能认识到教书和搞科研其实需要的是两种不同的人。此外，一般来说搞科研的待遇更好，所以每人愿意花时间精力提高教书的水平。
这是实话，真正教书教的好的，需要把学生当作笨蛋教，笨蛋都能听懂那才牛逼。但是教授本身大部分是天才，只会教天才
谢谢，很清晰。能多讲讲数学么，tql！！
讲讲傅里叶变换吧
+1，求讲讲傅里叶变换和拉普拉斯变换！
@@skyli7711 傅里叶变换有两种理论，一种在L^1空间里，一种在L^2空间里
@@George-eh4pe 目前在工作上仅限于当成工具来使用，很想真的搞懂。。。
同求啊，讲讲傅里叶变换哈哈
哥，文組都聽懂了，有點厲害阿
讲的真好！
太厲害了 高中生完全可以理解 百看不厭
請問大神 你手寫部分是用甚麼軟體? 我一直在找 手寫白板這種功能的軟體(遠距教學要用)， google meet裡面的 白板 只能用滑鼠寫，很難寫，看你寫得很自然 就跟真的白板筆一樣，好奇問一下， 謝謝
除了拉格朗日还有其他展开式 都能说一下吗？
回顧這部影片 聽到結尾會心一笑xD 我還是喜歡多聽點數學 希望下期不聊物理 改聊數學吧：P
数学听听也不错
后半段的两次求导，逻辑关系没看明白，等下再看一下，不过整体感觉讲的还是蛮清晰。
这个皮亚诺演算起来有我的风格，哈哈，就突出一个简单化
一直有个小问题个人觉得应该说明:比如f'(x1)，它代表的是先对f(x)求导后再令x=x1从而求得在x1处的值。正确的写法应该是f'(x)|x=x1
那 f 的 n+1 次導 of ξ 該怎麼求呢？
本来很多情况下数学跟物理就是有本质联系，分开讨论已经不是让数学抽象而是逻辑上就不理解。看着的确理解部分，但是我还是不懂，这个怎么用他
讲的很好，就是后面有点听不懂😷
如果用matlab画个曲线就更直观了
棒棒哒！
太棒了，最近被金融课上的数学定理虐的不要不要的，这是救命视频哇😭。
大神，bilibili有没有开通，强烈建议开通，国内看不到那么精彩有趣的故事！！！
貌似是以这篇知乎陈二喜的回答www.zhihu.com/question/25627482/answer/313088784 为脉络的，如果是的话麻烦post一下，说明一下来源 谢谢。
啊啊啊啊，没有罗尔定理，直接一元微积分复习完了，哈哈哈
讲的好，我高二都听懂了
你这种证明法，劳伦特展开咋办，写本书么？
这个余项有啥作用呢
very good !
时间和时间累积的举例不准确吧，时间走的快的话，横坐标t也会快的，结果函数图像还是一条直线。不如就说成时间-距离函数关系得了。
我有个惊人的发现，你推导了这么多，最后的R(x)就等于f(x)的第n+1项啊，这不是说明第n+1项就等于从第n+1项一直加到最后一项吗，可是这怎么可能相等??
你没发现里面变量变掉了么。里面变成了ksi。
f(\ksi)不是f(a)你看好，其实你说的意思没错，用中值定理可以推导出一个叫做zeroth order Taylor expansion的东西，只把f的argument换掉就可以省略之后的一堆项
我觉得数学不仅难在推导，更难的是怎么想到这个方法的
非常好，在讲物理的时候带上数学吧，让大家用逻辑去窥探神秘
当年被数学老师给耽误了。。。
数学系大一的课程
所以有什么含义呢？有什么用呢？
17:40哪里为什么可以把x变成ksi?
Swa1n Suen 用柯西中值定理找到ksi這個點，再由R(x)=f(x)-P(x)求n+1導，再把ksi代進去
@@civanhang5643 谢谢
太硬核了！
万物皆可洛必达 洛洛洛洛洛洛洛
推… 推油吗
救了我的命，被迫拾起放下了好几年的高数
头痛，听到一半听不懂了
如果x=a的時候，整個泰勒展開式不就會變成f(a)+f'(a)(x-a)/1!+f''(a)(x-a)^2/2!+ ........那你中間全部(x-a)變0了，整個泰勒展開就變成只有f(a)，不就沒有意義了？
你在看微分推導的時候肯定也一臉懵這什麼狗屁東西沒事 大家都一樣
展開式的x-a意義簡單說就是把原本過原點的x多項式平移到x=a的位子換句話說 另a為新的原點因為不可能一直以（0.0）為原點出發替換為a的話相當於以a為（0.0）只要套點進去就能直接運算了當x=a的時候 f(a)還是有意義的就像x多項式函數x代0 你不會說得出來的f(x)=y沒意義吧
再者很多情況x=a沒意義的時候都會用x->a x趨近a來求近似值當年我也覺得這樣真的在瞎扯蛋非專業淺見有錯煩請指正
陳鋤 我是說，如果把泰勒展開式代x=a那麼泰勒展開式的餘項肯定是（X-a）=0那麼你最後推出來的餘項公式是建立在X=A上那麼你代X發現餘項公式的答案還是零零當然等於0阿，沒意義阿
@@醉月南山 你是搞錯了,不是把x代成a而是把0代成S'(a),當中那些所有FUNCTION都是這樣代這是找出R(n)時數學家想出的方法,由於他們原來相除只有2個FUNCTION的其中一點他們把減0代成那些FUNCTION的A點由1點變成2點再用那2條定理就推出答案你說的是新增的第2點而不是泰勒展開原本那一點總之,就是原本你想要的f(x)>f(x)-0(新增)>f(x)-f(a)(新增的)你說的f(x)那個多項式Function是從來都沒代過a入去當中他搞了很多個FUNCTION我忘了,連那個R(n)一看完也忘了,我猜就是這你的問題了,不過你別問我他們是如何想到這神奇的方法,我不知道
留個位明年高2聽
头疼
为啥一定要讲推导，讲一下应用不好吗
妈咪叔用物理的概念去解释柯西均值定理，脑洞好大。
禁止套娃
下面一群上学时没好好读书的人
牛逼不用解释
证明太过繁复，抄书了吧
有木有额，还好额，这不太客观额、
一些的额，扯淡，有木有额，还好额，这不太客观额、
扯淡,
有没有人知道为啥sinx的拉格朗日余项πn/2去哪了
![Felix "Unfair" | [Stray Kids : SKZ-PLAYER]](http://i.ytimg.com/vi/Oswujxm2Ag0/mqdefault.jpg)
讲得太好了，我一直在点头，一直在点头，最后就睡着了。
因爲你的點頭與正弦共振，用Taylor series 展開，頭幾項都有一定的幅度，到N項後，幅度太小，所以睡着了。 ：)
你的头收敛了
@@allandogreat 雖然收斂，但不一定有極限值。 ：P
@@gagadaddy8713 大佬太可怕了。。。
感觉是一种通过离散化来模拟连续过程的办法。试着搜了关键字果然是有应用的。当年高数学的时候完全没有意识到这点…… 羡慕现在的大学生能够有各种各样的资源可用，而且还可以通过网络来验证自己的想法。
这一堂课真是解了我十来年的疑惑。。。当年高中老师就写了一个拉格朗日中值定理让我们背。。。我根本一头雾水不知道那是个什么东西怎么来的。。。今天真是醍醐灌顶。
可以去编教材啦，我觉得比我上学时高数教材容易理解。😂
讲的太棒了，非常清晰生动，多谢分析。最后其实拉格朗日是出生在意大利都灵的。
我成功的被高数又虐了一次，来自一位211毕业5年的同志，当年没听懂，只在考试的时候记忆公式了，现在只知道泰勒虐了我，这玩意，在电学里面分析几次波也会用到，麻痹，被搞了两次，脑仁疼···我的智商也就这样了·····我不悲哀···算我手贱··尽然来找虐···
同样是九年义务教育，你咋那么优秀呢？我觉得你也是大神！非常感谢你的视频解答了我一直以来的疑惑：）
牛到家了！这么复杂的东东到了妈咪叔的手下，20分钟给讲清楚了！
Mingshuo Ji 叫你做题你依然不会
妈叔讲的太好了！泰勒展开的推导非常生动。想问问妈叔有没有兴趣讲讲傅立叶变换呢，感觉这个似乎概念上理解了，但是理论上还是含含糊糊的
求傅立叶变换+1
哈哈哈，李永乐老师刚讲泰勒展开，说实话，不太直观，还是书本上地老路，不说人话
非常谢谢你 看完这个对我的机器学习知识做了很好的补充
讲的太好啦！好清晰
建议文案工整规范，最好提前设计！！那样的话和李永乐讲的有的一拼！！
我們把一個例題引入微積分的完整、两駕飞機預飞行路經相關好像所有函數都用上和解釋了！
拉格朗日中值定理应该是有个前提叫函数在定义域内必须连续可导，所以小人变速跑的例子其实不恰当。假设我跑四公里前一半每小时六公里，后一半每小时三公里，平均速度四点五公里每小时，但我的实际速度并不存在这个值
你实际生活中变速跑 难道是直接从5m/s直接跳到8m/s？ 中间肯定存在一个加速的过程，这个加速的过程肯定是连续的
学高数时候这里完全是流水账地死记硬背，知其然不知其所以然，感谢妈咪书
今观汝视频，大悟，不知所报，一赞之。
解說得非常好
非常喜欢这个栏目，感谢作者的分享，希望有空讲讲拉普拉斯变换是怎么回事
十几年过去了，看到这期回想起当年的推导过程又历历在目。华罗庚老先生说把书从薄读到厚，再从厚读到薄，现在算是有些明白了。
非常好！！很多以前不懂的一下就懂了！
妈咪叔，有机会讲讲傅里叶展开，跟泰勒对比下
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看着看着突然发现看不懂了。。。
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讲的通俗易懂，强
中国高校的一个很大问题就是不重视本科教育，老师都忙着写文章搞项目，上课对付一下就可以了，所以很多时候能照本宣科就不错了，没时间考虑是不是能够让学生容易理解。从另外一个角度说，其实是不能认识到教书和搞科研其实需要的是两种不同的人。此外，一般来说搞科研的待遇更好，所以每人愿意花时间精力提高教书的水平。
这是实话，真正教书教的好的，需要把学生当作笨蛋教，笨蛋都能听懂那才牛逼。但是教授本身大部分是天才，只会教天才
谢谢，很清晰。能多讲讲数学么，tql！！
讲讲傅里叶变换吧
+1，求讲讲傅里叶变换和拉普拉斯变换！
@@skyli7711 傅里叶变换有两种理论，一种在L^1空间里，一种在L^2空间里
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哥，文組都聽懂了，有點厲害阿
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太厲害了 高中生完全可以理解 百看不厭
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这个皮亚诺演算起来有我的风格，哈哈，就突出一个简单化
一直有个小问题个人觉得应该说明:比如f'(x1)，它代表的是先对f(x)求导后再令x=x1从而求得在x1处的值。正确的写法应该是f'(x)|x=x1
那 f 的 n+1 次導 of ξ 該怎麼求呢？
本来很多情况下数学跟物理就是有本质联系，分开讨论已经不是让数学抽象而是逻辑上就不理解。
看着的确理解部分，但是我还是不懂，这个怎么用他
讲的很好，就是后面有点听不懂😷
如果用matlab画个曲线就更直观了
棒棒哒！
太棒了，最近被金融课上的数学定理虐的不要不要的，这是救命视频哇😭。
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貌似是以这篇知乎陈二喜的回答www.zhihu.com/question/25627482/answer/313088784 为脉络的，如果是的话麻烦post一下，说明一下来源 谢谢。
啊啊啊啊，没有罗尔定理，直接一元微积分复习完了，哈哈哈
讲的好，我高二都听懂了
你这种证明法，劳伦特展开咋办，写本书么？
这个余项有啥作用呢
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时间和时间累积的举例不准确吧，时间走的快的话，横坐标t也会快的，结果函数图像还是一条直线。不如就说成时间-距离函数关系得了。
我有个惊人的发现，你推导了这么多，最后的R(x)就等于f(x)的第n+1项啊，这不是说明第n+1项就等于从第n+1项一直加到最后一项吗，可是这怎么可能相等??
你没发现里面变量变掉了么。里面变成了ksi。
f(\ksi)不是f(a)你看好，其实你说的意思没错，用中值定理可以推导出一个叫做zeroth order Taylor expansion的东西，只把f的argument换掉就可以省略之后的一堆项
我觉得数学不仅难在推导，更难的是怎么想到这个方法的
非常好，在讲物理的时候带上数学吧，让大家用逻辑去窥探神秘
当年被数学老师给耽误了。。。
数学系大一的课程
所以有什么含义呢？有什么用呢？
17:40哪里为什么可以把x变成ksi?
Swa1n Suen 用柯西中值定理找到ksi這個點，再由R(x)=f(x)-P(x)求n+1導，再把ksi代進去
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太硬核了！
万物皆可洛必达
洛洛洛洛洛洛洛
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救了我的命，被迫拾起放下了好几年的高数
头痛，听到一半听不懂了
如果x=a的時候，整個泰勒展開式不就會變成
f(a)+f'(a)(x-a)/1!+f''(a)(x-a)^2/2!+ ........
那你中間全部(x-a)變0了，整個泰勒展開就變成只有f(a)，不就沒有意義了？
你在看微分推導的時候肯定也一臉懵
這什麼狗屁東西
沒事 大家都一樣
展開式的x-a意義
簡單說就是把原本過原點的x多項式平移到x=a的位子
換句話說 另a為新的原點
因為不可能一直以（0.0）為原點出發
替換為a的話相當於以a為（0.0）
只要套點進去就能直接運算了
當x=a的時候 f(a)還是有意義的
就像x多項式函數
x代0 你不會說得出來的f(x)=y沒意義吧
再者
很多情況x=a沒意義的時候
都會用x->a x趨近a來求近似值
當年我也覺得這樣真的在瞎扯蛋
非專業淺見
有錯煩請指正
陳鋤 我是說，如果把泰勒展開式代x=a
那麼泰勒展開式的餘項肯定是（X-a）=0
那麼你最後推出來的餘項公式是建立在X=A上
那麼你代X發現餘項公式的答案還是零
零當然等於0阿，沒意義阿
@@醉月南山 你是搞錯了,不是把x代成a
而是把0代成S'(a),當中那些所有FUNCTION都是這樣代
這是找出R(n)時數學家想出的方法,由於他們原來相除只有2個FUNCTION的其中一點
他們把減0代成那些FUNCTION的A點
由1點變成2點再用那2條定理就推出答案
你說的是新增的第2點而不是泰勒展開原本那一點
總之,就是原本你想要的f(x)>f(x)-0(新增)>f(x)-f(a)(新增的)
你說的f(x)那個多項式Function是從來都沒代過a入去
當中他搞了很多個FUNCTION我忘了,連那個R(n)一看完也忘了,我猜就是這你的問題了,不過你別問我他們是如何想到這神奇的方法,我不知道
留個位明年高2聽
头疼
为啥一定要讲推导，讲一下应用不好吗
妈咪叔用物理的概念去解释柯西均值定理，脑洞好大。
禁止套娃
下面一群上学时没好好读书的人
牛逼不用解释
证明太过繁复，抄书了吧
有木有额，还好额，这不太客观额、
一些的额，扯淡，有木有额，还好额，这不太客观额、
扯淡,
有没有人知道为啥sinx的拉格朗日余项πn/2去哪了
有木有额，还好额，这不太客观额、
扯淡,
有木有额，还好额，这不太客观额、