今週の微分方程式 #62 難易度：★★★★☆
HTML-код
- Опубликовано: 5 фев 2025
- 毎週日曜日 朝9:00から、微分方程式の問題を投稿しています。
これまでの微分方程式一覧はこちらから
→ • 今週の微分方程式
#微分方程式
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
現役東大生が数学をメインに解説しています！ 編入試験対策動画もアップしています！
わんみんの動画への要望はこちら
→ forms.gle/Zs99...
わんみんを支援してくださる方はこちらからお願いします🙇
→ www.amazon.co....
わんみんに質問や要望ができる公式LINEはこちら👇
→ lin.ee/9tzWtx6
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
【わんみん 公式サイト】
1min.pro/
【わんみん公式 X（旧 Twitter）】
/ 1min_pro
【りつ(喋っている人) の X（旧 Twitter）】
/ ritsu_s_second
【Instagram】
/ 1min_pro
【TikTok】
/ 1min_onemin
【お仕事のご依頼はこちらまで】
contact@1min.pro
自分はy=z/xとして変数分離に帰着させました
1:18 において、x=1のとき、y=0を満たす。そのため、
(i)x≠1のとき
(ii)x=1のとき
のように場合分けをするべきでしょうか？
最終的に、x=1も解に含まれるので問題ないのですが、本番だと厳密に書くべきですよね？
どこで(なぜ)x=1 の場合分けの必要性が生じると思われるか詳しく教えていただきたいです！
@@1min.onemin
与式において、x=1を代入すると、log1=0より、
y^3･y'+y^4=0
となり、これを満たすyは0,Ce^-xとなる。
そのため、x=1のときy=0となるので、xy^3で割ることは出来ないと思います。
私もまだ初学者なので、間違っていたらすみません！
ありがとうございます！
今回のケースでは、問題で与えられた式に4を掛け算すれば、ベルヌーイ型の置換がすぐに使える形になり、（動画の解答では見やすさのために一度 y で割り算をしていますが）そもそもyで割る必要がなく、そうした議論は必要になりません。
また、もし y で割る可能性が出てきた場合も、大抵の微分方程式の問題では、解の1点での不連続性は見逃すことが多いです。（x=1は関数ではなく点）
もし連続性を課したい場合は、x≠1において解を求めて、x=1まで関数を連続的に拡張できるかどうかを議論することになります。
@@1min.onemin
わざわざありがとうございます！
微分方程式はこうした議論の細さが大変ですね！
これからも毎週楽しみに待ってます！！
xy³y‘+y⁴=xlogx
y⁴=u とおくと 4y³y‘=u‘
xu‘/4+u=xlogx
u‘+4/x·u=4logx
積分因子 e^(∫4/xdx)=e^(4logx)=x⁴
∴x⁴u‘+4x³u=4x⁴logx
(x⁴u)‘=4x⁴logx
x⁴u=∫4x⁴logxdx+C
=4/5·x⁵logx-∫4/5·x⁴dx+C
=4/5·x⁵logx-4/25·x⁵+C
∴u=y⁴=4/5·xlogx-4/25·x+C/x⁴