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空間図形はおいらも苦手。高校に入って数式で表す様になってから得意になった。
CをMNと平行に移動させC'ANが立方体の面と一致するように等積変形立方体の体積の1/6なので9√2
M、Nの真上で上面にある点をK、Lとします。またA、Cの真下で下面にある点をB、Dとします。そうすると求める図形の体積は四角柱AKCL-BMDNから三角錐A-BMN、M-AKC、N-ALC、C-DMNの体積を除いたものになります。まず底面、上面の正方形の面積は18です。それを利用して、△BMN=9/4、△AKC=△ALC=9/2、△DMN=27/4で、4つの三角錐の高さ3√2は共通なので、体積の和は(9/4+9/2+9/2+27/4)*(3√2)/3 =18*√2一方四角形BMDNの面積は9なので四角柱の体積は 9*(3√2)=27*√2したがって求める図形の体積は27*√2 - 18*√2 = 9*√2となりました。
予告の時点ではMN=3しか見えてませんでしたが、なんか他の動画を見ててサムネが目に入ったときに急に見えて暗算できました。ちなみに後者の方法でした。
立方体の底面の一辺上の点M'、N'を□MNN'M'が正方形となるように取る(ACMM'、ACNN'は立方体を面ACM、面ACNで切ったときの断面で等脚台形)。AMとCM'の交点をP、ANとCN'の交点をP'ととる(P、P'は同立方体格子上の点)。△ACPと立方体の手前の頂点でできる三角錐の体積を大三角錐、△AMNと立方体の最左の頂点でできる三角錐の体積を小大三角錐、とすると、求める体積VはV=立方体-2*(大三角錐-小三角錐)-2*小三角錐-四角錐[MNN'M'-C]=立方体-2*大三角錐-四角錐[MNN'M'-C]=(3√2)^3*(1-2*1/3-1/2*1/3)=9√2いろんな解き方がありそうですね
計算が超絶面倒ですが解けました。四面体の体積を直接計算する方法です。三平方の定理を駆使すれば、CS=3/2*√17、AS=9/2、AC=6となり、AからCSに垂線を下ろしたときの交点をHとし（Hは対称性よりCS上にある）、AH=hとすれば、△ASCに三平方の定理を適用して、√(AS^2 - h^2) + √(AC^2 - h^2) = CS√(81/4 - h^2) + √(36 - h^2) = 3/2√17これを解くと（面倒！）、h = 12√(2/17) となり、△CNM =9/4√17よりV= h * △CNM * 1/3 = 9√2
LMNとACが垂直だからAとCを下の平面まで等積変形で持っていき、その面積が半分だから3√2 * 3√2 * 1/ 2 * 3√2 * 1/3 = 9√2で暗算で解けました。
この難易度なら早慶受ける層なら1分もかからずに暗算で解けそう
切り取りの体積問題は、やったことないと難しい。
早稲田佐賀受かりましたー
次3754
何で2025早稲田佐賀続くのだろう？
入試問題手に入ったから。
四角錐の底面を計算しやすいところに取れば良かったのか。ダイレクトにCから底面AMNへの垂線を求めるという面倒くさいこと（計算間違いしやすい）をしてしまった。次、新聞の日曜日の読者蘭に出てくるような問題ですね。他の方がエレガントな方法を示されています通り、入試本番ではさっさと片付けたいですね。でも日曜日の朝の新聞の問題でこういうタイプの解き方をすると、子供たちに「面白くない解き方」と言われちょっとがっかり。もし思い付かずにパズル的にやる羽目になったとしても、元の数の上から2桁目は自動的に決まります。あとは二倍して35を足したときに下一桁目を比べると下一桁目の候補が2つに絞られ、それに対応する二桁目もそれぞれ候補が2つに絞れる。あとは実際に計算すれば決定。
次回のヒント下3桁をひとつの文字でおくとすんなり解けますね
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高校に入って数式で表す様になってから得意になった。
CをMNと平行に移動させC'ANが立方体の面と一致するように等積変形
立方体の体積の1/6なので9√2
M、Nの真上で上面にある点をK、Lとします。
またA、Cの真下で下面にある点をB、Dとします。
そうすると求める図形の体積は四角柱AKCL-BMDNから三角錐A-BMN、M-AKC、N-ALC、C-DMNの体積を除いたものになります。
まず底面、上面の正方形の面積は18です。それを利用して、
△BMN=9/4、△AKC=△ALC=9/2、△DMN=27/4で、4つの三角錐の高さ3√2は共通なので、体積の和は(9/4+9/2+9/2+27/4)*(3√2)/3 =18*√2
一方四角形BMDNの面積は9なので四角柱の体積は 9*(3√2)=27*√2
したがって求める図形の体積は27*√2 - 18*√2 = 9*√2となりました。
予告の時点ではMN=3しか見えてませんでしたが、なんか他の動画を見ててサムネが目に入ったときに急に見えて暗算できました。
ちなみに後者の方法でした。
立方体の底面の一辺上の点M'、N'を□MNN'M'が正方形となるように取る(ACMM'、ACNN'は立方体を面ACM、面ACNで切ったときの断面で等脚台形)。
AMとCM'の交点をP、ANとCN'の交点をP'ととる(P、P'は同立方体格子上の点)。
△ACPと立方体の手前の頂点でできる三角錐の体積を大三角錐、
△AMNと立方体の最左の頂点でできる三角錐の体積を小大三角錐、
とすると、求める体積Vは
V=立方体-2*(大三角錐-小三角錐)-2*小三角錐-四角錐[MNN'M'-C]
=立方体-2*大三角錐-四角錐[MNN'M'-C]
=(3√2)^3*(1-2*1/3-1/2*1/3)
=9√2
いろんな解き方がありそうですね
計算が超絶面倒ですが解けました。四面体の体積を直接計算する方法です。
三平方の定理を駆使すれば、CS=3/2*√17、AS=9/2、AC=6となり、AからCSに垂線を下ろしたときの交点をHとし（Hは対称性よりCS上にある）、AH=hとすれば、△ASCに三平方の定理を適用して、
√(AS^2 - h^2) + √(AC^2 - h^2) = CS
√(81/4 - h^2) + √(36 - h^2) = 3/2√17
これを解くと（面倒！）、h = 12√(2/17) となり、△CNM =9/4√17より
V= h * △CNM * 1/3 = 9√2
LMNとACが垂直だからAとCを下の平面まで等積変形で持っていき、その面積が半分だから3√2 * 3√2 * 1/ 2 * 3√2 * 1/3 = 9√2で暗算で解けました。
この難易度なら早慶受ける層なら1分もかからずに暗算で解けそう
切り取りの体積問題は、やったことないと難しい。
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四角錐の底面を計算しやすいところに取れば良かったのか。ダイレクトにCから底面AMNへの垂線を求めるという面倒くさいこと（計算間違いしやすい）をしてしまった。
次、
新聞の日曜日の読者蘭に出てくるような問題ですね。他の方がエレガントな方法を示されています通り、入試本番ではさっさと片付けたいですね。でも日曜日の朝の新聞の問題でこういうタイプの解き方をすると、子供たちに「面白くない解き方」と言われちょっとがっかり。
もし思い付かずにパズル的にやる羽目になったとしても、元の数の上から2桁目は自動的に決まります。あとは二倍して35を足したときに下一桁目を比べると下一桁目の候補が2つに絞られ、それに対応する二桁目もそれぞれ候補が2つに絞れる。あとは実際に計算すれば決定。
次回のヒント
下3桁をひとつの文字でおくとすんなり解けますね