R을 활용한 베이지안 통계 - (13) 무정보 사전분포(Non-Informative Prior Distribution)

무정보 사전분포(Non-Informative Prior Distribution)
기존 지식이나 정보가 미비한 경우
어떠한 분포를 가정하기 어려울 때
사용되는 것으로 우도함수에 비해
균일하게 나타나는 특징입니다.
이유불충분의 원칙이 대표적 예이며
관측치 포함 정보에 영향을 받습니다.
우도함수가 이항분포일 경우
사전확률은 다음과 같습니다.
Binomial(n, θ): p(y|θ) = (nCy)*(θ^(y))*((1-θ)^(n-y)) ∝ (θ^(y))*((1-θ)^(n-y))
Beta(0, 0): π(θ) ∝ (θ^(-1))*((1-θ)^(-1))
사후확률은 다음과 같으며
사전확률의 Beta(0, 0)입니다.
Beta(y, n-y): p(y|θ) ∝ (θ^(y+α-1))*((1-θ)^(n-y+β-1))
우도함수가 포아송분포일 경우
사전확률은 다음과 같습니다.
Poisson(θ): p(y1,…,yn|θ) ∝ ∏(i=1→n)(((θ^yi)*exp(-θ))/(yi!)) ∝ Σ(yi)*exp(-n*θ)
Gamma(0.5, 0): π(θ) ∝ (θ)^(-1/2)
사후확률은 다음과 같이 나타나며
사전확률의 Gamma(0.5, 0)입니다.
Gamma(Σ(i=1→n)(yi+1/2), n): p(θ|y1,…,yn) ∝ (θ^(Σ(yi+α-1)))*exp(-(n+b)*θ)
우도함수가 정규분포일 경우
사전확률은 다음과 같습니다.
Normal(θ, σ^2): p(y1,…,yn|θ) ∝ exp(-(1/(2*(θ^2)))*Σ(i=1→n)((yi-θ)^2))
Normal(large, large): π(θ) ∝ c
사후확률은 다음과 같으며
사전확률에서 평균/분산이
매우 큰 경우에 해당합니다.
Normal(E(y), σ^2/n), : p(θ|y1,…,yn) ∝ exp(-((n*(θ-E(y)))^2)/(2*(σ^2)))
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