Das Gleiche gilt übrigens auch für e+pi und e*pi (e = Eulersche Zahl). Eine von beiden könnte nach heutigem Wissensstand durchaus rational sein. [Aber nicht beide, denn sonst wäre (x-e)(x-pi) ein Polynom mit rationalen Koeffizienten aber transzendenten Nullstellen.] Interessanterweise, weiß man aber, dass e^pi irrational (sogar transzendent) ist. Alle diese Probleme wären mit einem Schlag gelöst, würde ein Beweis der sog. "Vermutung von Schanuel" (siehe Wikipedia) gelingen. Davon ist man jedoch noch weit entfernt.
Noch einen Fun-Fact könnte man hier erwähnen: Es ist nicht mal bekannt, ob pi hoch pi ein abbrechender Dezimalbruch ist. Selbst das könnte theoretisch sein. Wäre das wirklich so, dass pi hoch pi z.B. nach der billionsten Stelle abbricht, und wir das nicht wissen, dann könnten wir die billionste Nachkommaziffer und alle nachfolgenden Ziffern (die 0 wären) nicht algorithmisch bestimmen. Denn der numerische Algorithmus, der eine Folge von unteren und oberen rationalen Schranken liefert (Intervallschachtelung), würde für diese Ziffer nie zu einer Entscheidung kommen können, wäre also in einer Endlosschleife gefangen. Das ist als "Gleichheitsproblem" bekannt.
Ich oute mich mal als Fan der 0 als natürliche Zahl. Der Beweis fängt an wie ein Widerspruchsbeweis, ist aber keiner. Vielleicht kann man weder "pi hoch pi" ist ein Bruch, noch "pi hoch pi" ist kein Bruch beweisen. Es könnte ja sein, dass die Mathematik nicht ausreicht, um diese Frage zu klären.
Es muss a^b rational oder irrational sein( a,b >0 und reell) Er hat nur bewiesen, es muss irrationale zahlen a und b geben, so dass a^b rational ist , aber er kann sie nicht konkret angeben, da er nicht weiß ob a^b rational ist.. Er arbeitet mit a=Wurzel (3) und b= Wurzel(2) und dann a^b....
Tolle Videos, die du da machst! Interessant: 1. Zwischen 2 rationalen Zahlen gibt es unendlich viele irrationale Zahlen. 2. Zwischen 2 irrationalen Zahlen gibt es unendlich viele rationale Zahlen. 3. Die Menge der irrationalen Zahlen ist grösser als die Menge der rationalen Zahlen. Für alle 3 Behauptungen gibt es einfache Beweise, leider habe ich nicht genügend Platz, sie hier aufzuschreiben. ;-)
Wir spielen ein bisschen Fermat, was? 1. könnte man z.B. über die Cantor-Menge beweisen. Für 2. beweisen wir, dass die rationalen Zahlen überall dicht liegen. 3. beweisen wir mit dem Cantorschen Diagonalargument.
Also innerhalb der natürlichen Zahlen fehlt nach meinem Dafürhalten noch eine Zahlenmenge, zu der man dann auch die 0 zählen kann. Diese Zahlenmenge (U^=unnatürliche Zahlen) beinhaltet die imaginäre Einheit i (sqrt(-1)), 0, 1/0 und 0/0 (man beachte, dass man x/0 auch als x*1/0 ausdrücken kann) - sprich Zahlen, deren Wert nicht mit natürlichen Mitteln ausdrückbar ist (wozu genau deswegen auch die 0 gehört!). Auf dem äußersten Ring (C^=komplexe Zahlen - also dem, der hier fehlt) wäre dann eine ganze Menge mehr los (Im Mund dafür weniger Zähneknirschen).
Wie viele Bäume sehen Sie, wenn sie in einem kleinen Badezimmer ohne Fenster stehen? Vllt. ergibt 0 (oder umgangssprachlich keine) Bäume dann auch in dem Zusammenhang wieder Sinn.
@@Mathegym Das stimmt zwar, ist meines Erachtens als Argument aber sehr schwach. Wenn wir die Zahl 0 nicht kennen und in dem beschrieben Badezimmer ohne Fenster stehen und auf die Frage, wie viele Bäume man sehe, antworten müssten, würden wir dennoch mit „kein Baum“ antworten, was gleichbedeutend ist. Auch die positiven natürlichen Zahlen mussten in ihrer uns heute so vertrauten Form abstrahiert werden. Es gibt heute noch Kulturen in denen das nicht geschehen ist. Jedem ist frei überlassen, ob er/sie die Null für eine natürliche Zahl hält oder nicht. Wenn wir die natürlichen Zahlen aber als eine abstrahierte Menge beobachtbarer Dinge verstehen, dann gehört die Null für „nicht enthalten“ auch dazu.
Pi die Fläche des Einheitskreis. Gehen wir hin und stapeln in einen Würfel 10x10x10 125 Kugeln mit dem Radius 1. Dann stimmt zumindest die Bedingung, das Volumen von 1000 reicht aus.V=4/3 x pi x r hoch 3. Kugel oder Würfel komplett egal…….das Volumen 1000 bleibt 😀
ChatGPT sagt: π hoch π ist eine transzendente Zahl. Ein Beweis dafür, dass π hoch π transzendent ist, könnte auf dem Gelfond-Schneider-Theorem basieren. Und: Alle transzendenten Zahlen sind irrational, aber nicht alle irrationalen Zahlen sind transzendent. Irrationale Zahlen können algebraische oder transzendente sein, während transzendente Zahlen immer irrational sind. Hat ChatGPT Recht?
Bei dem Video habe ich einige Aha-Momente gehabt! Ärgere mich, dass ich nicht selbst drauf gekommen bin. 😕 Bitte die Teile benennen, damit ich überspringen kann, was ich schon weiß.
Ob 0 zu den natürlichen Zahlen gehört oder nicht ist Konvention. Da muss man immer in den ersten Seiten eines Buches schauen, wie der jeweilige Autor das hält. In der Mengenlehre ist 0 eine natürliche Zahl, in der Algebra oft nicht.
Dieser Rücksprung eine Ebene tiefer bei Potentierung innerhalb des „Energieniveaus“ erinnert sehr stark an Einsteins Photoelektrischen Effekt. Wobei man durchaus von einem „Energieniveau“ in einer Zahlenmenge sprechen kann, wenn man die Resonanzbereitschaft (kgV) der Zahl betrachtet. ABO!!!
Hilberts Hotel zeigt uns zwar anschaulich auf, was es mit unendlichen Mengen auf sich hat, jedoch erklärt nicht, warum es viel mehr irrationale als rationale Zahlen gibt. Stattdessen sollte dafür das zweite Diagonalargument von Cantor angeführt werden.
Sofern wir per Computerprogramm die Reihe mit Pi hoch Pi, immer weiter und weiter eine Nachkommastelle mehr, rechnen lasse, sehen wir, auch grafisch darstellbar, doch den Trend, sich einer rationalen Zahl zu nähern. Und mathematisch logisch wie auch der Sache nach, der Herkunft Pis, wäre in der unendlichen Fortsetzung dessen auch keine Abkehr dieses "Trendes" zu erklären. Generationen von immer leistungsstärkeren Computern lassen keine Abkehr erkennen, und auch logisch spricht nichts für ein in unendlich weiter ferne beginnendes Iterieren dieser Folge. Da das so ist, spräche es auf den ersten Blick für eine rationale Zahl. Da es sich aber der Sache nach im Unendlichen eben stets bloß weiter nähern wird, denn wir wissen, das es keine letzte Nachkommastelle geben kann, wäre das doch, wenn auch nur in der begründeten Folgerung, der Beweis, dass die Behauptung der rationalen Zahl unwahr ist. Oder spräche etwas dagegen? Doch nur der rechnerische Beweis, eine letzte Nachkommastelle von Pi wenn auch nicht gefunden zu haben, so doch potentiell finden zu können, und das steht nicht zu erwarten. Oder? Ich bin Philisophin, doch erscheint mir die Eindeutigkeit der Mathematik immer wieder ebenso faszinierend klar wie auch befremdend, sagen wir, alternativ- bis "gnadenlos"...
Bin auch gegen 0 als natuerliche Zahl. Als Schafhirte zaehle ich ja auch "1, 2, 3, 4,...." und nicht "0, 1, 2, 3, 4,....". Durch sowas kommen ja die natuerlichen Zahlen.
Nein, man fängt bei 0 an. Das ist den meisten nur nicht klar. 1 bedeutet die Differenz von 0 bis 1. Also angefangen bei 0. Z.B. wenn du 10 Sekunden warten willst, musst du bei 0 anfangen zu zählen. Wenn du mit 1 anfängst, sind es nur 9 Sekunden wenn man bis 10 zählt. Eine Stoppuhr fängt auch bei 0 an. Wenn man eine Packung Mehl auf ne Waage legt, zeigt die Waage erst 0 und dann 1 Kg an. Kurzum, der Schafhirte fängt bei 0 an und erhöht dann die Zahl mit jedem Schaf. Auch wenn er nicht dran denkt, dass er mit 0 anfängt.
Wenn man pi ^pi rechnet, wär unendlich eine Option ? Dann komm die nächste frage, ist unendlich eine natürliche Zahl oder rational Zahl oder irrational Zahl ? Wie ist die Definition von unendlich in der Mathematik?
Nein unendlich ist keine option, da dort ja eine Zahl herauskommen muss. Du kannst dich dem Wert ja ziemlich exakt nähren. unendlich existisert nur als grenzwert entsprechender funktionen. So zum beispiel von 1/x für x gegen 0. Da hier um so näher du an die 0 kommst die Werte immer größer werden und das ganze gegen unendlich läuft für jede bessere Nährung. Bei pi hoch pi tut sich das Ergebnis für bessere Nährungen nicht unendlich groß werden sonder nährt sich immer weiter einer Zah an.
unendlich ist in der mathematik keine zahl, sondern etwas eigenständiges. wäre unendlich eine zahl u, dann würde u+1=u gelten (in worten:unendlich plus eins gleich unendlich). dies führt auf die aussage 0=1, was offensichtlich falsch ist, weswegen u keine zahl sein kann.
@@nichtneu8867 die kurze antwort ist: weil es so definiert wurde. diese antwort ist vermutlich unbefriedigend ......und führt auf so fragen wie: was genau ist eigentlich eine zahl? viele rechnen und zählen damit, ohne so ganz genau sagen zu können, was eine zahl ist. in der mathematik sind zahlen elemente von mengen, die zusammen mit den grundrechenarten gewisse bedingungen (axiome) erfüllen, beispielsweise ist eine zahl plus eine zahl immer auch wieder eine zahl, weil das als bedingung so vorgeschrieben ist.... menschen haben also historisch betrachtet mal angefangen, schafe oder kinder....einfach objekte zu zählen. nach und nach wollte die menschheit mit den zahlen immer ausgefeiltere sachen machen. das führte zu immer neuen zahlenmengen, die immer mehr "konnten" und gipfelte in den komplexen zahlen, die mit dieser ominösen imaginären einheit i aufgebaut sind und zb in der elektrotechnik eine herausragende rolle spielen. i erfüllt alle notwendigen vorbedinungen (axiome) und kann daher problemlos als zahl verwendet werden.
Kann man Ihnen nicht verübeln, der Umgang damit ist alles andere als transparent. Siehe hier: www.isb.bayern.de/fileadmin/user_upload/Gymnasium/Kontaktbriefe/Mathematik/kontaktbrief_mathematik_2022.pdf
@@NikiokoBeide Lösungen sind richtig, weil man die beiden getrennten Wurzeln unter einer zusammenfassen kann, so dass W(-2 * -8)= W((-1 * -1) * 2 + 8)=4
Kann man so machen, ist halt didaktisch nicht gut, aber darauf legte Landau ja keinen Wert. Natürlicher würde man mit der Idee "Exponentiation ist iterierte Multiplikation" starten, was zu a^1=a und der Funktionalgleichung a^(x+y)=a^x*a^y führt. Bei a > 0 führt das praktisch zwingend zur bekannten Festlegung von a^x als positive Zahl für alle rationalen x. Die Fortsetzung auf alle reellen Zahlen unter Beibehaltung der Funktionalgleichung ist aber dann auf eine Unzahl verschiedener Arten möglich (so viele wie es reelle Funktionen gibt). Es gibt aber nur eine einzige stetige (oder auch nur monotone) darunter, was dann zur offiziellen Definition erhoben wird. Und pi ist historisch natürlich geometrisch definiert. Will man in der Analysis-Vorlesung schnell Stoff durchpeitschen, knallt man den Studenten einfach eine analytische Definition hin und eignet sich so mühelos die Früchte fremder Arbeit (Geometrie, Maßtheorie, Kurvenintegrale) an.
@@holzmaurer1319 Sehr schön formuliert! :). In meinen Augen ist es unwürdig, Pi in Absenz der Geometrie zu definieren, alleine schon Archimedes gegenüber. Natürlich sollten weitere Verfahren zur Ermittlung aufgezeigt werden, die wiederum alle auf den Schultern der Erkenntnisse von Archimedes stehen, aber so zu tun als würde diese Ursprungserkenntnis aus höherer Mathematik folgen ist nichts weiter als pervers.
Das schöne an dem Beweis ist, dass man nicht weiß ob sqrt(3)^sqrt(2) irrational oder rational ist 😂 (kenne das mit sqrt(2)^sqrt(2)) Und eigentlich sollte man noch transzendente Zahlen einführen und des gibt auch einen schönen Beweise das transzendent^transzendent was rationale ergeben kann (tipp: e, pi und i kommen vor)
"SO WIE UNTEN, SO AUCH OBEN." *Mathematische ESOTERIK 🦄* ... "So wie unten" (rationale Zahl hoch rationale Zahl ergibt ganze Zahl), "so auch oben" (Pi hoch Pi ergibt rationale Zahl).
@@Mathegym Danke für die Inspiration! Dann ist "Esoterik" ja vielleicht Prä-Heuristik. Sowie Alchemie Prä-Chemie ist. Oder Astrologie Prä-Astronomie. Die alten Griechen suchten ja in der Mathematik das Wirken der Götter, die göttliche Harmonie, zu finden. (Teleologie). Heureka.🤔🔨💡 PS: Heuristik ist eine tolle Sache. Ich beschäftige mich damit seit Anfang der 70er Jahre (sog. "Systematische Heuristk", Johannes Müller, Werner Gilde). Wurde damals sogar von Walter Ulbricht ("Niemand hat die Absicht eine Mauer zu errichten") persönlich gefördert. Honecker und einige seiner Mannen, später, waren für so etwas zu "blöd", und machten viele von diesen avantgardistischen Entwicklungen kaputt. Ähnlich war es mit Genrich Altschuller aus der Sowjetunion/Russland mit der "Theorie des erfinderischen Problemlösens" TRIZ. 🤓
PS: Ich bin jetzt bezüglich "HEURISTK" wohl nicht mehr auf dem letzten Stand und ich könnte mir gut vorstellen, dass dieses Methoden-Gebiet in Kombination mit der KI/AI einen wirklichen Höhenflug absolvieren könnte.
Ich mit komplettem Mathematikunvermögen würde einfach mal frech behaupten, dass Pi ,eine unendliche Zahl, soweit bis jetzt nachgewiesen, hoch einer unendlichen Zahl nicht berechnet werden kann. Da kann kein mathematischer Trick helfen, um auf ein anderes Ergebnis zu kommen.
Doch, das wird doch gerade am Ende gezeigt, dass es nicht so sein muss. Ich weiß sogar ein Beispiel, wo es offensichtlich berechnet werden kann: 1^1 = 1. Die Einsen kann man auch ausdrücken als 0, Periode 9 und da haben wir es.
@@ro-kg5vb Ähm, was? Klingt nach Unsinn. Du kannst einen Kreis nicht genau berechnen eben weil du zur Kreisberechnung Pi brauchst und Pi kann niemand genau ausrechnen, das ist immer was gerundetes, sprich Näherung aka Approximation ;)
@@sylaina6776 Ich rede von der Aussage "eine unendliche Zahl, (...), hoch einer unendlichen Zahl nicht berechnet werden kann" und das muss nicht so sein, denn ich habe sogar ein Beispiel genannt, wo das nicht so ist. Das klingt nicht nach Unsinn sondern höchstens hast du es nicht verstanden.
Ein mathematischer Beweis kommt im idealfall ohne einen einzigen rechenschritt aus. Man kann nie ausschließen dass mal ein Beweis gefunden werden kann. Es sei denn man kann beweisen dass es nicht geht.
Du hast bewiesen, dass algebraische Zahl hoch algebraische Zahl rational sein kann. Ich wage zu bezweifeln, dass das auch für transzendente Zahlen gilt.
Pi hoch Pi ist nicht als Bruch darstellbar, da es sich um eine irrationale Zahl handelt. Irrationale Zahlen können nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen dargestellt werden. Pi ist eine solche irrationale Zahl, und daher ist Pi hoch Pi auch irrational. SAGT DIE KI !!¡ Die Zahl 36.462159607207911770990826022433898 kann nicht exakt als Bruch dargestellt werden, da es sich um eine irrationale Zahl handelt. Irrationale Zahlen können nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen dargestellt werden. Daher ist es nicht möglich, diese Zahl genau als Bruch auszudrücken.
Keine Ahnung, welche KI Du gefragt hast, aber ChatGPT gibt die richtige Antwort auf diese Frage incl. eines Beispiels, das als Ergebnis eine rationale Zahl heraus kommt. Die endliche Dezimalzahl 36.462 ...., die Du aufgeschrieben hast und selbstverständliche eine rationale Zahl und kann als Bruch dargestellt werden. Jede Dezimalzahl mit endlich vielen Stellen hinter dem Komma ist eine rationale Zahl.
@@berndkru Nein, ChatGPT "lügt" mit der Behauptung, pi hoch pi sei eine irrationale Zahl. Dafür gibt es bis heute keinen Beweis, siehe Video und auch Kommentar von @leichter5865.
@@Mathegym Mir ist bekannt, dass es keinen Beweis für die Irrationalität von Pi^Pi gibt. Meine Antwort bezog sich auf die Behauptung, dass a^b immer irrational ist, wenn a und b irrational sind und da hat ChatGPT richtig geantwortet. Auch die Frage, ob Pi^Pi irrational ist, wird von ChatGPT richtig beantwortet, in dem es darauf verweist, dass es dafür keinen Beweis gibt. Ich verwende ChatGPT4.
@@Mathegym Ja, es ist absolut entsetzlich, dass viele Leute gar nicht verstehen, dass man den Ergebnissen der KI gar nicht trauen kann. Hier mal ein Beispiel, das alles andere als anspruchsvoll ist: (Antwort ChatGPT) Gerne berechne ich für Sie, wie viele Tage Sie noch arbeiten müssen, um in Rente gehen zu können, und berücksichtige dabei auch die Feiertage. Das gültige Rentenalter in Deutschland beträgt derzeit 67 Jahre. Da Sie am 28.12.1981 geboren sind, sind Sie zurzeit 41 Jahre alt. Das bedeutet, dass Sie noch bis zum 28.12.2022 arbeiten müssen, um das Rentenalter von 67 Jahren zu erreichen.
Das Gleiche gilt übrigens auch für e+pi und e*pi (e = Eulersche Zahl). Eine von beiden könnte nach heutigem Wissensstand durchaus rational sein. [Aber nicht beide, denn sonst wäre (x-e)(x-pi) ein Polynom mit rationalen Koeffizienten aber transzendenten Nullstellen.]
Interessanterweise, weiß man aber, dass e^pi irrational (sogar transzendent) ist. Alle diese Probleme wären mit einem Schlag gelöst, würde ein Beweis der sog. "Vermutung von Schanuel" (siehe Wikipedia) gelingen. Davon ist man jedoch noch weit entfernt.
Genial erklärt mit schönem Überblick über die logischen Schritte!
Noch einen Fun-Fact könnte man hier erwähnen: Es ist nicht mal bekannt, ob pi hoch pi ein abbrechender Dezimalbruch ist. Selbst das könnte theoretisch sein. Wäre das wirklich so, dass pi hoch pi z.B. nach der billionsten Stelle abbricht, und wir das nicht wissen, dann könnten wir die billionste Nachkommaziffer und alle nachfolgenden Ziffern (die 0 wären) nicht algorithmisch bestimmen. Denn der numerische Algorithmus, der eine Folge von unteren und oberen rationalen Schranken liefert (Intervallschachtelung), würde für diese Ziffer nie zu einer Entscheidung kommen können, wäre also in einer Endlosschleife gefangen. Das ist als "Gleichheitsproblem" bekannt.
pi ^ pi ist transzendent ^ transzendent, was schwieriger als irrational ^irrational ist.
Ich oute mich mal als Fan der 0 als natürliche Zahl.
Der Beweis fängt an wie ein Widerspruchsbeweis, ist aber keiner.
Vielleicht kann man weder "pi hoch pi" ist ein Bruch, noch "pi hoch pi" ist kein Bruch beweisen. Es könnte ja sein, dass die Mathematik nicht ausreicht, um diese Frage zu klären.
Es muss a^b rational oder irrational sein( a,b >0 und reell)
Er hat nur bewiesen, es muss irrationale zahlen a und b geben, so dass a^b rational ist , aber er kann sie nicht konkret angeben, da er nicht weiß ob a^b rational ist..
Er arbeitet mit a=Wurzel (3) und b= Wurzel(2) und dann a^b....
Tolle Videos, die du da machst!
Interessant:
1. Zwischen 2 rationalen Zahlen gibt es unendlich viele irrationale Zahlen.
2. Zwischen 2 irrationalen Zahlen gibt es unendlich viele rationale Zahlen.
3. Die Menge der irrationalen Zahlen ist grösser als die Menge der rationalen Zahlen.
Für alle 3 Behauptungen gibt es einfache Beweise, leider habe ich nicht genügend Platz, sie hier aufzuschreiben.
;-)
Wir spielen ein bisschen Fermat, was? 1. könnte man z.B. über die Cantor-Menge beweisen. Für 2. beweisen wir, dass die rationalen Zahlen überall dicht liegen. 3. beweisen wir mit dem Cantorschen Diagonalargument.
Also innerhalb der natürlichen Zahlen fehlt nach meinem Dafürhalten noch eine Zahlenmenge, zu der man dann auch die 0 zählen kann. Diese Zahlenmenge (U^=unnatürliche Zahlen) beinhaltet die imaginäre Einheit i (sqrt(-1)), 0, 1/0 und 0/0 (man beachte, dass man x/0 auch als x*1/0 ausdrücken kann) - sprich Zahlen, deren Wert nicht mit natürlichen Mitteln ausdrückbar ist (wozu genau deswegen auch die 0 gehört!). Auf dem äußersten Ring (C^=komplexe Zahlen - also dem, der hier fehlt) wäre dann eine ganze Menge mehr los (Im Mund dafür weniger Zähneknirschen).
Wie viele Bäume sehen Sie, wenn sie in einem kleinen Badezimmer ohne Fenster stehen? Vllt. ergibt 0 (oder umgangssprachlich keine) Bäume dann auch in dem Zusammenhang wieder Sinn.
@@Mathegym Das stimmt zwar, ist meines Erachtens als Argument aber sehr schwach. Wenn wir die Zahl 0 nicht kennen und in dem beschrieben Badezimmer ohne Fenster stehen und auf die Frage, wie viele Bäume man sehe, antworten müssten, würden wir dennoch mit „kein Baum“ antworten, was gleichbedeutend ist. Auch die positiven natürlichen Zahlen mussten in ihrer uns heute so vertrauten Form abstrahiert werden. Es gibt heute noch Kulturen in denen das nicht geschehen ist. Jedem ist frei überlassen, ob er/sie die Null für eine natürliche Zahl hält oder nicht. Wenn wir die natürlichen Zahlen aber als eine abstrahierte Menge beobachtbarer Dinge verstehen, dann gehört die Null für „nicht enthalten“ auch dazu.
Wie soll 3 komma irgendwas hoch 3 komma irgendwas 1/2 ergeben?
Untere Grenze ist 27, obere Grenze 64.
Eine interessante Frage ! Sie beinhaltet einige anspruchsvolle Schritte . Nur schon die Irrationalität von π selbst ist nicht einfach zu beweisen.
Pi die Fläche des Einheitskreis. Gehen wir hin und stapeln in einen Würfel 10x10x10 125 Kugeln mit dem Radius 1. Dann stimmt zumindest die Bedingung, das Volumen von 1000 reicht aus.V=4/3 x pi x r hoch 3. Kugel oder Würfel komplett egal…….das Volumen 1000 bleibt 😀
ChatGPT sagt:
π hoch π ist eine transzendente Zahl.
Ein Beweis dafür, dass π hoch π transzendent ist, könnte auf dem Gelfond-Schneider-Theorem basieren.
Und:
Alle transzendenten Zahlen sind irrational, aber nicht alle irrationalen Zahlen sind transzendent. Irrationale Zahlen können algebraische oder transzendente sein, während transzendente Zahlen immer irrational sind.
Hat ChatGPT Recht?
Das war sehr interessant!
Das ist mein erstes Video auf diesem Kanal, aber es gibt ja gar keine Begrüßung der Zuschauer.
Fun Fact: Laut Lambacher Schweizer Ausgabe NRW ist 0 eine natürliche Zahl. Laut Lambacher Schweizer Ausgabe Bayern ist 0 keine natürliche Zahl.
Bei dem Video habe ich einige Aha-Momente gehabt! Ärgere mich, dass ich nicht selbst drauf gekommen bin. 😕
Bitte die Teile benennen, damit ich überspringen kann, was ich schon weiß.
Ob 0 zu den natürlichen Zahlen gehört oder nicht ist Konvention. Da muss man immer in den ersten Seiten eines Buches schauen, wie der jeweilige Autor das hält. In der Mengenlehre ist 0 eine natürliche Zahl, in der Algebra oft nicht.
Im Schulbereich hat man sich, soweit ich das sehen kann, auf 0 als natürliche Zahl geeinigt. Länderübergreifend ;-)
@@Mathegym Das würde ich als Logiker begrüßen. Zu meiner Schulzeit war das nicht so.
@@Mathegym Länderübergreifend außer Bayern.
Nach der langen Vorrede hätte ich jetzt mehr erwartet als "Wir wissen es nicht" 😞
Dieser Rücksprung eine Ebene tiefer bei Potentierung innerhalb des „Energieniveaus“ erinnert sehr stark an Einsteins Photoelektrischen Effekt. Wobei man durchaus von einem „Energieniveau“ in einer Zahlenmenge sprechen kann, wenn man die Resonanzbereitschaft (kgV) der Zahl betrachtet.
ABO!!!
unterscheidet man heute nicht mehr zwischen irrationalen(Wurzel 2 usw) und transzendenten (e, pi) Zahlen?
Super Video 👍.
Kleine Anmerkung
Dein Wurzel Zeichen verleitet manchmal zur Annahme, das ein Minus vor der Wurzel steht.
Hilberts Hotel zeigt uns zwar anschaulich auf, was es mit unendlichen Mengen auf sich hat, jedoch erklärt nicht, warum es viel mehr irrationale als rationale Zahlen gibt. Stattdessen sollte dafür das zweite Diagonalargument von Cantor angeführt werden.
Hast recht, denke bei Hilberts Hotel immer den Beweis für die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen mit, aber der gehört gar nicht zur Story.
(2:35) Da wird der Zahnarzt aber beim nächsten Check tadelnd mit dem Kopf schütteln.
Haha, Pizza oder Torte gab es bei mir nie in Mathe, aber das wäre wirklich cool gewesen.
Wirklich gut erklärt und interessant
Sofern wir per Computerprogramm die Reihe mit Pi hoch Pi, immer weiter und weiter eine Nachkommastelle mehr, rechnen lasse, sehen wir, auch grafisch darstellbar, doch den Trend, sich einer rationalen Zahl zu nähern. Und mathematisch logisch wie auch der Sache nach, der Herkunft Pis, wäre in der unendlichen Fortsetzung dessen auch keine Abkehr dieses "Trendes" zu erklären. Generationen von immer leistungsstärkeren Computern lassen keine Abkehr erkennen, und auch logisch spricht nichts für ein in unendlich weiter ferne beginnendes Iterieren dieser Folge. Da das so ist, spräche es auf den ersten Blick für eine rationale Zahl. Da es sich aber der Sache nach im Unendlichen eben stets bloß weiter nähern wird, denn wir wissen, das es keine letzte Nachkommastelle geben kann, wäre das doch, wenn auch nur in der begründeten Folgerung, der Beweis, dass die Behauptung der rationalen Zahl unwahr ist. Oder spräche etwas dagegen? Doch nur der rechnerische Beweis, eine letzte Nachkommastelle von Pi wenn auch nicht gefunden zu haben, so doch potentiell finden zu können, und das steht nicht zu erwarten. Oder? Ich bin Philisophin, doch erscheint mir die Eindeutigkeit der Mathematik immer wieder ebenso faszinierend klar wie auch befremdend, sagen wir, alternativ- bis "gnadenlos"...
π ist genau 3. 😂
spannendes video, regt zum selberdenken an!
Bin auch gegen 0 als natuerliche Zahl. Als Schafhirte zaehle ich ja auch "1, 2, 3, 4,...." und nicht "0, 1, 2, 3, 4,....". Durch sowas kommen ja die natuerlichen Zahlen.
Nein, man fängt bei 0 an. Das ist den meisten nur nicht klar. 1 bedeutet die Differenz von 0 bis 1. Also angefangen bei 0. Z.B. wenn du 10 Sekunden warten willst, musst du bei 0 anfangen zu zählen. Wenn du mit 1 anfängst, sind es nur 9 Sekunden wenn man bis 10 zählt. Eine Stoppuhr fängt auch bei 0 an. Wenn man eine Packung Mehl auf ne Waage legt, zeigt die Waage erst 0 und dann 1 Kg an. Kurzum, der Schafhirte fängt bei 0 an und erhöht dann die Zahl mit jedem Schaf. Auch wenn er nicht dran denkt, dass er mit 0 anfängt.
@@ro-kg5vb Es ist der Unterschied zwischen ZÄHLEN und dem BEGINN DES ZÄHLENS.
nein @@xkm-thebasetecchannel3823
@@ro-kg5vb Man merkt, dass du keine Mathematik studiert hast.
@@dragileinchen1485 da hast du falsch gemerkt
Wenn man pi ^pi rechnet, wär unendlich eine Option ? Dann komm die nächste frage, ist unendlich eine natürliche Zahl oder rational Zahl oder irrational Zahl ? Wie ist die Definition von unendlich in der Mathematik?
Nein unendlich ist keine option, da dort ja eine Zahl herauskommen muss. Du kannst dich dem Wert ja ziemlich exakt nähren. unendlich existisert nur als grenzwert entsprechender funktionen. So zum beispiel von 1/x für x gegen 0. Da hier um so näher du an die 0 kommst die Werte immer größer werden und das ganze gegen unendlich läuft für jede bessere Nährung. Bei pi hoch pi tut sich das Ergebnis für bessere Nährungen nicht unendlich groß werden sonder nährt sich immer weiter einer Zah an.
@@percyjc.6146 😵💫😵💫😵💫
unendlich ist in der mathematik keine zahl, sondern etwas eigenständiges.
wäre unendlich eine zahl u, dann würde u+1=u gelten (in worten:unendlich plus eins gleich unendlich). dies führt auf die aussage 0=1, was offensichtlich falsch ist, weswegen u keine zahl sein kann.
@@KarlHeinzSpock Danke erst mal
Und warum ist i eine Zahl ?
@@nichtneu8867 die kurze antwort ist:
weil es so definiert wurde. diese antwort ist vermutlich unbefriedigend
......und führt auf so fragen wie: was genau ist eigentlich eine zahl? viele rechnen und zählen damit, ohne so ganz genau sagen zu können, was eine zahl ist.
in der mathematik sind zahlen elemente von mengen, die zusammen mit den grundrechenarten gewisse bedingungen (axiome) erfüllen, beispielsweise ist eine zahl plus eine zahl immer auch wieder eine zahl, weil das als bedingung so vorgeschrieben ist....
menschen haben also historisch betrachtet mal angefangen, schafe oder kinder....einfach objekte zu zählen. nach und nach wollte die menschheit mit den zahlen immer ausgefeiltere sachen machen. das führte zu immer neuen zahlenmengen, die immer mehr "konnten" und gipfelte in den komplexen zahlen, die mit dieser ominösen imaginären einheit i aufgebaut sind und zb in der elektrotechnik eine herausragende rolle spielen. i erfüllt alle notwendigen vorbedinungen (axiome) und kann daher problemlos als zahl verwendet werden.
Das ist mir neu, dass 0 zu den natürlichen Zahlen gehört. Als bayrischer Mathelehrer kenne ich kein Schulbuch, in dem das so stehen soll...
Kann man Ihnen nicht verübeln, der Umgang damit ist alles andere als transparent. Siehe hier: www.isb.bayern.de/fileadmin/user_upload/Gymnasium/Kontaktbriefe/Mathematik/kontaktbrief_mathematik_2022.pdf
Kronecker war im Vergleich zu Cantor bloß ein Hinterweltler.
Sie sind mathematik-laie...?
@@wolfbirk8295 Dann wüßte ich ja wohl nichts über Cantors Genialität in der Beweisführung.
@@keindunnbrettbohrer7756 haben Sie Kronecker gelesen...? Glauben Sie , Sie können die Qualität von Wissenschaftlern beurteilen....?
@@wolfbirk8295Als algebraischer Topologe mit Sicherheit ja.
Wenn man zwei komplexe Zahlen miteinander verrechnet, kann eine reelle Zahl herauskommen: √−2 ⋅ √−8 = −4
4 ist die Lösung.
Minus mal Minus ergibt plus
@@at7388 Nein.
@@ragnarlodenhose1759 Richtig. Und i mal i ergibt −1.
@@NikiokoBeide Lösungen sind richtig, weil man die beiden getrennten Wurzeln unter einer zusammenfassen kann, so dass W(-2 * -8)= W((-1 * -1) * 2 + 8)=4
pi^pi definiert man üblicherweise nicht als Grenzwert sondern über die Exponentialfunktion. Und pi definiert man ohne Geometrie - Landau.
Aber wie definierst du dann e^pi? Am Ende des Tages muss eine irrationale Hochzahl dann doch definiert werden.
Kann man so machen, ist halt didaktisch nicht gut, aber darauf legte Landau ja keinen Wert.
Natürlicher würde man mit der Idee "Exponentiation ist iterierte Multiplikation" starten, was zu a^1=a und der Funktionalgleichung a^(x+y)=a^x*a^y führt. Bei a > 0 führt das praktisch zwingend zur bekannten Festlegung von a^x als positive Zahl für alle rationalen x. Die Fortsetzung auf alle reellen Zahlen unter Beibehaltung der Funktionalgleichung ist aber dann auf eine Unzahl verschiedener Arten möglich (so viele wie es reelle Funktionen gibt). Es gibt aber nur eine einzige stetige (oder auch nur monotone) darunter, was dann zur offiziellen Definition erhoben wird.
Und pi ist historisch natürlich geometrisch definiert. Will man in der Analysis-Vorlesung schnell Stoff durchpeitschen, knallt man den Studenten einfach eine analytische Definition hin und eignet sich so mühelos die Früchte fremder Arbeit (Geometrie, Maßtheorie, Kurvenintegrale) an.
@@holzmaurer1319 Sehr schön formuliert! :). In meinen Augen ist es unwürdig, Pi in Absenz der Geometrie zu definieren, alleine schon Archimedes gegenüber. Natürlich sollten weitere Verfahren zur Ermittlung aufgezeigt werden, die wiederum alle auf den Schultern der Erkenntnisse von Archimedes stehen, aber so zu tun als würde diese Ursprungserkenntnis aus höherer Mathematik folgen ist nichts weiter als pervers.
Da bin ich ganz böse drauf reingefallen
Und dann kommen ja auch noch die komplexen Zahlen dazu.
Da pi ein irrationale reelle Zahl ist, kann pi hoch pi selbst wiederum kein Bruch seine.
Das schöne an dem Beweis ist, dass man nicht weiß ob sqrt(3)^sqrt(2) irrational oder rational ist 😂
(kenne das mit sqrt(2)^sqrt(2))
Und eigentlich sollte man noch transzendente Zahlen einführen und des gibt auch einen schönen Beweise das transzendent^transzendent was rationale ergeben kann (tipp: e, pi und i kommen vor)
"SO WIE UNTEN, SO AUCH OBEN."
*Mathematische ESOTERIK 🦄* ...
"So wie unten" (rationale Zahl hoch rationale Zahl ergibt ganze Zahl), "so auch oben" (Pi hoch Pi ergibt rationale Zahl).
Man nennt es Heuristik. Wie kommt man mathematischen Gesetzen auf die Spur wenn nicht über solche Betrachtungen.
@@Mathegym Danke für die Inspiration!
Dann ist "Esoterik" ja vielleicht Prä-Heuristik.
Sowie Alchemie Prä-Chemie ist.
Oder Astrologie Prä-Astronomie.
Die alten Griechen suchten ja in der Mathematik das Wirken der Götter, die göttliche Harmonie, zu finden. (Teleologie).
Heureka.🤔🔨💡
PS: Heuristik ist eine tolle Sache. Ich beschäftige mich damit seit Anfang der 70er Jahre (sog. "Systematische Heuristk", Johannes Müller, Werner Gilde). Wurde damals sogar von Walter Ulbricht ("Niemand hat die Absicht eine Mauer zu errichten") persönlich gefördert. Honecker und einige seiner Mannen, später, waren für so etwas zu "blöd", und machten viele von diesen avantgardistischen Entwicklungen kaputt.
Ähnlich war es mit Genrich Altschuller aus der Sowjetunion/Russland mit der "Theorie des erfinderischen Problemlösens" TRIZ. 🤓
PS: Ich bin jetzt bezüglich "HEURISTK" wohl nicht mehr auf dem letzten Stand und ich könnte mir gut vorstellen, dass dieses Methoden-Gebiet in Kombination mit der KI/AI einen wirklichen Höhenflug absolvieren könnte.
Guter Beweis!
Ich mit komplettem Mathematikunvermögen würde einfach mal frech behaupten, dass Pi ,eine unendliche Zahl, soweit bis jetzt nachgewiesen, hoch einer unendlichen Zahl nicht berechnet werden kann. Da kann kein mathematischer Trick helfen, um auf ein anderes Ergebnis zu kommen.
Im Grunde richtig, wenn sich Pi nicht raus kürzt hat man stets eine Approximation oder man schreibt sowas wie „Das Ergebnis sind 3 Pi.“ ;)
Doch, das wird doch gerade am Ende gezeigt, dass es nicht so sein muss. Ich weiß sogar ein Beispiel, wo es offensichtlich berechnet werden kann: 1^1 = 1. Die Einsen kann man auch ausdrücken als 0, Periode 9 und da haben wir es.
@@ro-kg5vb Ähm, was? Klingt nach Unsinn. Du kannst einen Kreis nicht genau berechnen eben weil du zur Kreisberechnung Pi brauchst und Pi kann niemand genau ausrechnen, das ist immer was gerundetes, sprich Näherung aka Approximation ;)
@@sylaina6776 Ich rede von der Aussage "eine unendliche Zahl, (...), hoch einer unendlichen Zahl nicht berechnet werden kann" und das muss nicht so sein, denn ich habe sogar ein Beispiel genannt, wo das nicht so ist. Das klingt nicht nach Unsinn sondern höchstens hast du es nicht verstanden.
Ein mathematischer Beweis kommt im idealfall ohne einen einzigen rechenschritt aus. Man kann nie ausschließen dass mal ein Beweis gefunden werden kann. Es sei denn man kann beweisen dass es nicht geht.
Du hast bewiesen, dass algebraische Zahl hoch algebraische Zahl rational sein kann. Ich wage zu bezweifeln, dass das auch für transzendente Zahlen gilt.
x2 ✌️
Ich kann beweisen dass (-pi)^pi nicht in IR existieren kann! 😂
Ich kenne 0 als N0 außerhalb der Menge N
Interessant ist auch, dass niemand weiß, ob pi hoch pi hoch pi hoch pi eine ganze Zahl ist: ruclips.net/video/BdHFLfv-ThQ/видео.html
"hoch Pi" muss Blödsinn sein, da nur rationale zahlen eine Exponenten abbilden , kann so nicht verarbeitet werden.
Pi hoch Pi ist nicht als Bruch darstellbar, da es sich um eine irrationale Zahl handelt. Irrationale Zahlen können nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen dargestellt werden. Pi ist eine solche irrationale Zahl, und daher ist Pi hoch Pi auch irrational.
SAGT DIE KI !!¡
Die Zahl 36.462159607207911770990826022433898 kann nicht exakt als Bruch dargestellt werden, da es sich um eine irrationale Zahl handelt. Irrationale Zahlen können nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen dargestellt werden. Daher ist es nicht möglich, diese Zahl genau als Bruch auszudrücken.
Ihre Antwort zeigt lediglich die Grenzen der KI im Bereich der Mathematik auf.
Keine Ahnung, welche KI Du gefragt hast, aber ChatGPT gibt die richtige Antwort auf diese Frage incl. eines Beispiels, das als Ergebnis eine rationale Zahl heraus kommt. Die endliche Dezimalzahl 36.462 ...., die Du aufgeschrieben hast und selbstverständliche eine rationale Zahl und kann als Bruch dargestellt werden. Jede Dezimalzahl mit endlich vielen Stellen hinter dem Komma ist eine rationale Zahl.
@@berndkru Nein, ChatGPT "lügt" mit der Behauptung, pi hoch pi sei eine irrationale Zahl. Dafür gibt es bis heute keinen Beweis, siehe Video und auch Kommentar von @leichter5865.
@@Mathegym Mir ist bekannt, dass es keinen Beweis für die Irrationalität von Pi^Pi gibt. Meine Antwort bezog sich auf die Behauptung, dass a^b immer irrational ist, wenn a und b irrational sind und da hat ChatGPT richtig geantwortet. Auch die Frage, ob Pi^Pi irrational ist, wird von ChatGPT richtig beantwortet, in dem es darauf verweist, dass es dafür keinen Beweis gibt. Ich verwende ChatGPT4.
@@Mathegym Ja, es ist absolut entsetzlich, dass viele Leute gar nicht verstehen, dass man den Ergebnissen der KI gar nicht trauen kann. Hier mal ein Beispiel, das alles andere als anspruchsvoll ist: (Antwort ChatGPT)
Gerne berechne ich für Sie, wie viele Tage Sie noch arbeiten müssen, um in Rente gehen zu können, und berücksichtige dabei auch die Feiertage. Das gültige Rentenalter in Deutschland beträgt derzeit 67 Jahre. Da Sie am 28.12.1981 geboren sind, sind Sie zurzeit 41 Jahre alt. Das bedeutet, dass Sie noch bis zum 28.12.2022 arbeiten müssen, um das Rentenalter von 67 Jahren zu erreichen.