La solution est géniale !! J'allais proposer quelque chose de beaucoup plus méchant, en *une* question : La question ne précise pas si on doit évaluer P en un antécédent dans *N* Je choisis donc de demander P(π), car π est notoirement transcendant (ou on choisit n'importe quel réel transcendant comme e), et je sais que chaque réel de Q[π] s'écrit de manière unique comme somme de puissances de π ! Effectivement si F = (1, π, π², ...), alors par définition F est génératrice de Q[π] et par transcendance elle est libre, c'est donc une base. Je récupère donc les coefficients de votre polynôme X)
Merci beaucoup pour cette astuce incroyable ! La possibilité de déterminer un polynôme à coefficients entiers positifs en utilisant seulement deux évaluations . Je suis impressionné par la simplicité et l'efficacité de cette méthode.
Hi hi ! On peut même choisir pour b une puissance de 10 assez grande, comme ça les coefficients sont directement écrits "en toutes lettres". Même pas besoin de connaître la valeur exacte de P(1) : il suffit de savoir avec combien de chiffres il s'écrit.
Pour un polynôme dans ⟦-k;k⟧[X], on a le même résultat pour P(n)=y lorsque n⩾2k+1 : il suffit d'utiliser des chiffres négatifs ⟦-k;k⟧ dans la décomposition de y en base n (selon le principe de la soustraction posée). J'en ai fait un petit jeu de devinette-polynôme en python. L'algo de Horner d'évaluation des polynômes et l'algo de changement de base sont très proches, donc c'est normal, mais c'est très amusant et il fallait avoir l'idée. Merci Phil et l'équipe pour toutes les vidéos, si on avait eu des ressources comme celles-ci il y a 17 ans, ça aurait donné des idées pour les oraux (d'ailleurs, bon courage pour les oraux) !
Ô Maître Caldero ! Veuillez pardonner l'outrecuidance de votre humble serviteur, mais la question peut en théorie être résolue en une demande : "Quelle est la valeur de 2^P(P(1)+1)x3^P(1) ?"
Cela marche mais par contre N^N n'est pas dénombrable, en revanche N[X] est dénombrable et avec quelques modifications cette méthode permet de le démontrer.
Je pense que ce n'est pas possible en temps borné en demandant des valeurs en des points entiers ; je réfléchis bien et je demande P(u0). Pas de chance : c'est 0. je réfléchis bien et je demande P(u1). Pas de chance : c'est encore 0. je réfléchis bien et je demande P(u2). Pas de chance : c'est ENCORE 0. Pour tout algorithme demandant n valeurs entières d'affilée, il existe plusieurs polynômes de degré n qui s'annulent là. Même chose pour des rationnels, ou même des nombres algébriques (mais avec un degré plus élevé !)... Par contre si je demande P(pi) ou d'un autre nombre transcendant, il y a une unique solution P, mais après, comment fait-on pour la trouver ? On peut lister les polynômes entiers un à un et s'arrêter quand on a trouvé le bon :D, mais évidemment, on a besoin d'un algorithme pour dire si deux nombres réels sont égaux... Peut être avec un transcendant de la forme alpha = sum 10^{-n!}, les coefficients se lisent tout simplement dans P(alpha) suffisamment loin dans le développement décimal ; au bout d'un moment, une règle de formation se dégage qui donne l'écriture des coefficients, mais il là aussi, il faut de toutes façons lire la réponse jusqu'au bout de son infinité de chiffres...
Et si je connais une majoration du degré de P, alors peu importe les points demandé, je répondrai le polynôme d'interpolation de Lagrange. Si j'ai le droit à une infinité de requêtes, je demande tous les P(n), puis je calcule les différences finies itérées jusqu'à ce que je n'aie plus que des 0, et à ce moment-là, j'ai trouvé le degré. Une fois le degré connu ; interpolation (on peut utiliser la formule de primitivation discrète en utilisant les polynômes de Hilbert) Tout ça se programme ; c'est dénombrable, mais le programme ne s'arrête jamais, mais il finit bien par trouver et afficher la bonne réponse sans être capable de la prouver.
@@marsupilable Ce n'est d'ailleurs meme pas possible en un temps fini avec des entiers (meme pas borne a l'avance): en effet si le vrai polynome est 0, je ne pourrai jamais en etre sur. Je ne sais pas si on peut avec P(r) pour des rationels r.
@@josephmathmusic Ah oui je n'avais pas pensé à ça ! Merci. Même avec des rationnels ou des nombres algébriques, il faut une infinité de valeurs pour reconnaître le polynôme nul.
un transcendant ? Parce que par exemple y'a qu'une seule combinaison linéaire ∑a_n π^n = P(π) ? Alors que si on utilise un nombre algébrique ça devient faux par contre pourquoi deux évaluations ? 🤔il suffit de faire des divisions euclidiennes par π après pour retrouver les coefficients, non ?
@@philcaldero8964 La méthode avec un transcendant ce qui est pratique c'est qu'elle marche dans Q[X]… J'y avais jamais pensé comme ça, mais quelque part, si on a _e_ un transcendant, Q[e] c'est un Q espace vectoriel de dimension infinie et dont une base sont les (e^n)_n, enfaite c'est complètement isomorphe à Q[X]… du coup rendant triviale la validité de ma méthode (en théorie, encore une fois…)
@@philcaldero8964 bhein c'est sûr que faire de la division euclidienne par pi c'est pas forcément optimal 😂 Je rejoins le fait que pour résoudre l'énigme en pratique c'est pas vraiment la solution à prendre !
@@samy9751 le seul type de question qu'on t'autorise c'est "que vaut P(x) ?", où x est un nombre dont tu as donné explicitement une valeur. Donc non tu ne peux pas demander "quelles sont les racines de P ?"
La solution est géniale !!
J'allais proposer quelque chose de beaucoup plus méchant, en *une* question : La question ne précise pas si on doit évaluer P en un antécédent dans *N*
Je choisis donc de demander P(π), car π est notoirement transcendant (ou on choisit n'importe quel réel transcendant comme e), et je sais que chaque réel de Q[π] s'écrit de manière unique comme somme de puissances de π ! Effectivement si F = (1, π, π², ...), alors par définition F est génératrice de Q[π] et par transcendance elle est libre, c'est donc une base. Je récupère donc les coefficients de votre polynôme X)
Extrêmement astucieux. Merci pour le partage!
Merci beaucoup pour cette astuce incroyable ! La possibilité de déterminer un polynôme à coefficients entiers positifs en utilisant seulement deux évaluations . Je suis impressionné par la simplicité et l'efficacité de cette méthode.
Wow, merci pour cette devinette. Je vais en profiter pour jouer aux magiciens dès demain.
Un régal avant de dormir... je vais faire de beaux rêves !
Hi hi !
On peut même choisir pour b une puissance de 10 assez grande, comme ça les coefficients sont directement écrits "en toutes lettres".
Même pas besoin de connaître la valeur exacte de P(1) : il suffit de savoir avec combien de chiffres il s'écrit.
Parfait!
Génial ! Merci.
Pour une fois que j'ai l'impression de comprendre ce qui se passe sur cette chaîne haha
Faut un début à tout!
Je connaissais cette devinette, elle me fait toujours beaucoup rigoler. Et est beaucoup plus profonde qu'il n'y parait.
De toute façon si c est Daniel Juteau qui la propose, on peut s attendre à de la profondeur
Superbe...!
Magnifique découverte
Super vidéo, on pourrait aussi évaluer en 1/10^b avec b assez grand. On retrouverait les ai dans les décimales dû résultat
Quelle friandise ! Et ciaopeople9664 qui ajoute la cerise sur le gâteau !! On en redemande !!!
Salut daddy dandy, régale toi bien! 😁
Pour un polynôme dans ⟦-k;k⟧[X], on a le même résultat pour P(n)=y lorsque n⩾2k+1 : il suffit d'utiliser des chiffres négatifs ⟦-k;k⟧ dans la décomposition de y en base n (selon le principe de la soustraction posée).
J'en ai fait un petit jeu de devinette-polynôme en python. L'algo de Horner d'évaluation des polynômes et l'algo de changement de base sont très proches, donc c'est normal, mais c'est très amusant et il fallait avoir l'idée.
Merci Phil et l'équipe pour toutes les vidéos, si on avait eu des ressources comme celles-ci il y a 17 ans, ça aurait donné des idées pour les oraux (d'ailleurs, bon courage pour les oraux) !
Merci pour tes remarques et tes encouragements. Il faut faire comme si tout commençait aujourd'hui!
Ô Maître Caldero !
Veuillez pardonner l'outrecuidance de votre humble serviteur, mais la question peut en théorie être résolue en une demande :
"Quelle est la valeur de 2^P(P(1)+1)x3^P(1) ?"
J'ai inversé P(1) et P(P(1)+1) pour diminuer la valeur finale.
Ah oui bien sûr! C'est diabolique
Très mignon
Brilliant
énorme
Un exercice que je trouve assez sympa sur les polynomes: trouver tous les polynomes P dans R[X] tels que P(x) est irrationel pour tout x irrationel.
Ah oui c'est intéressant je l'avais déjà vu mais je sais plus comment on fait
P(1) et P(P(1)+1) et hop, P est déterminé. Magique. Je crois bien que cela démontre aussi que N^(N) est dénombrable.
Cela marche mais par contre N^N n'est pas dénombrable, en revanche N[X] est dénombrable et avec quelques modifications cette méthode permet de le démontrer.
On a une injection de N[X]=N^(N) dans N^2 : P |-> (P(1),P(P(1)+1)), or N^2 est dénombrable donc N[X] est dénombrable
@@celastus en faite N[X]
@@noeprevel4645 Je fais une distinction entre N^N et N^(N) (l'ensemble des suites à support fini)
Votre N^(N) c'est en fait N[X] du coup non ?
Et pour Z[X] ? A vous de chercher.
Je pense que ce n'est pas possible en temps borné en demandant des valeurs en des points entiers ;
je réfléchis bien et je demande P(u0). Pas de chance : c'est 0.
je réfléchis bien et je demande P(u1). Pas de chance : c'est encore 0.
je réfléchis bien et je demande P(u2). Pas de chance : c'est ENCORE 0.
Pour tout algorithme demandant n valeurs entières d'affilée, il existe plusieurs polynômes de degré n qui s'annulent là. Même chose pour des rationnels, ou même des nombres algébriques (mais avec un degré plus élevé !)...
Par contre si je demande P(pi) ou d'un autre nombre transcendant, il y a une unique solution P, mais après, comment fait-on pour la trouver ? On peut lister les polynômes entiers un à un et s'arrêter quand on a trouvé le bon :D, mais évidemment, on a besoin d'un algorithme pour dire si deux nombres réels sont égaux...
Peut être avec un transcendant de la forme alpha = sum 10^{-n!}, les coefficients se lisent tout simplement dans P(alpha) suffisamment loin dans le développement décimal ; au bout d'un moment, une règle de formation se dégage qui donne l'écriture des coefficients, mais il là aussi, il faut de toutes façons lire la réponse jusqu'au bout de son infinité de chiffres...
Et si je connais une majoration du degré de P, alors peu importe les points demandé, je répondrai le polynôme d'interpolation de Lagrange.
Si j'ai le droit à une infinité de requêtes, je demande tous les P(n), puis je calcule les différences finies itérées jusqu'à ce que je n'aie plus que des 0, et à ce moment-là, j'ai trouvé le degré.
Une fois le degré connu ; interpolation (on peut utiliser la formule de primitivation discrète en utilisant les polynômes de Hilbert)
Tout ça se programme ; c'est dénombrable, mais le programme ne s'arrête jamais, mais il finit bien par trouver et afficher la bonne réponse sans être capable de la prouver.
@@marsupilable Ce n'est d'ailleurs meme pas possible en un temps fini avec des entiers (meme pas borne a l'avance): en effet si le vrai polynome est 0, je ne pourrai jamais en etre sur. Je ne sais pas si on peut avec P(r) pour des rationels r.
@@josephmathmusic Ah oui je n'avais pas pensé à ça ! Merci.
Même avec des rationnels ou des nombres algébriques, il faut une infinité de valeurs pour reconnaître le polynôme nul.
@@marsupilable Maintenant je vois pourquoi. Alors qu'en theorie un seul transcendant determine uniquement le polynome...
Bonjour
Afin de prolonger ce très bel exercice, peut-on trouver aussi les racines de ce polynôme ?
Vincent
Pas à priori..
@@philcaldero8964 merci
un transcendant ? Parce que par exemple y'a qu'une seule combinaison linéaire ∑a_n π^n = P(π) ?
Alors que si on utilise un nombre algébrique ça devient faux
par contre pourquoi deux évaluations ? 🤔il suffit de faire des divisions euclidiennes par π après pour retrouver les coefficients, non ?
C est pas pratique avec un transcendant. C est juste en théorie que ça marche
@@philcaldero8964 c'est juste x')
L'avantage de prendre des coefficients positifs c'est de pouvoir utiliser la méthode présentée dans la vidéo !
@@philcaldero8964 La méthode avec un transcendant ce qui est pratique c'est qu'elle marche dans Q[X]…
J'y avais jamais pensé comme ça, mais quelque part, si on a _e_ un transcendant, Q[e] c'est un Q espace vectoriel de dimension infinie et dont une base sont les (e^n)_n, enfaite c'est complètement isomorphe à Q[X]… du coup rendant triviale la validité de ma méthode (en théorie, encore une fois…)
@@m9l0m6nmelkior7 Ok, on a "en théorie" les coefficients car on sait l'unicité, mais de la à les avoir a partir d'une évaluation...
@@philcaldero8964 bhein c'est sûr que faire de la division euclidienne par pi c'est pas forcément optimal 😂
Je rejoins le fait que pour résoudre l'énigme en pratique c'est pas vraiment la solution à prendre !
Si l'on demande ses racines dans C a-t-on le droit?
(Je sais que ca revient a demander le Polynome)
@@samy9751 le seul type de question qu'on t'autorise c'est "que vaut P(x) ?", où x est un nombre dont tu as donné explicitement une valeur. Donc non tu ne peux pas demander "quelles sont les racines de P ?"
Tu veux dire qu'on connaissait racines mais pas les multiplicités ?