tambien se puede probar usando la monotonia de la integral, integrando x^k y viendo que esta acotada por la funcion evaluada en los extremos de integracion.
En el minuto 3:14: n^k < (n+1)^k. En el minuto 3:33: - Para k=1 se cumple que n < n+1, para todo número entero positivo n. - Suponiendo que para k=p, siendo p un número entero positivo, se cumple que n^p < (n+1)^p, para todo número entero positivo n, debemos demostrar que n^(p+1) < (n+1)^(p+1), para todo número entero positivo n. - Puesto que n^p > 0 para cualquier valor de n, aplicando la suposición inductiva y el resultado obtenido en el video anterior, titulado '"Producto" de desigualdades de números positivos', obtenemos que (n^p)n < [(n+1)^p](n+1). Es decir, que n^(p+1) < (n+1)^(p+1), para todo número entero positivo n. En el minuto 5:11: - Para m=0 n^k < (n+1)^k. - Para m=1 n^(k-1) < (n+1)^(k-1). ------------------------------------------------------ - Para m=k-2 n^2 < (n+1)^2. - Para m=k-1 n < n+1. En el minuto 6:18: - Para m=0 n^k < (n+1)^k. - Para m=1 n^k < [(n+1)^(k-1)]n. -------------------------‐--‐------------------------------- - Para m=k-2 n^k < [(n+1)^2][n^(k-2)]. - Para m=k-1 n^k < (n+1)[n^(k-1)]. En el minuto 10:00: - Para m=1 [(n+1)^(k-1)]n < (n+1)^k. - Para m=2 [(n+1)^(k-2)](n^2) < (n+1)^k. -----‐--------------------------------------------------------- - Para m=k-1 (n+1)[n^(k-1)] < (n+1)^k. - Para m=k n^k < (n+1)^k.
Excelente presentación
Interesante.
tambien se puede probar usando la monotonia de la integral, integrando x^k y viendo que esta acotada por la funcion evaluada en los extremos de integracion.
En el minuto 3:14: n^k < (n+1)^k.
En el minuto 3:33:
- Para k=1 se cumple que n < n+1, para todo número entero positivo n.
- Suponiendo que para k=p, siendo p un número entero positivo, se cumple que n^p < (n+1)^p, para todo número entero positivo n, debemos demostrar que n^(p+1) < (n+1)^(p+1), para todo número entero positivo n.
- Puesto que n^p > 0 para cualquier valor de n, aplicando la suposición inductiva y el resultado obtenido en el video anterior, titulado '"Producto" de desigualdades de números positivos', obtenemos que (n^p)n < [(n+1)^p](n+1). Es decir, que n^(p+1) < (n+1)^(p+1), para todo número entero positivo n.
En el minuto 5:11:
- Para m=0 n^k < (n+1)^k.
- Para m=1 n^(k-1) < (n+1)^(k-1).
------------------------------------------------------
- Para m=k-2 n^2 < (n+1)^2.
- Para m=k-1 n < n+1.
En el minuto 6:18:
- Para m=0 n^k < (n+1)^k.
- Para m=1 n^k < [(n+1)^(k-1)]n.
-------------------------‐--‐-------------------------------
- Para m=k-2 n^k < [(n+1)^2][n^(k-2)].
- Para m=k-1 n^k < (n+1)[n^(k-1)].
En el minuto 10:00:
- Para m=1 [(n+1)^(k-1)]n < (n+1)^k.
- Para m=2 [(n+1)^(k-2)](n^2) < (n+1)^k.
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- Para m=k-1 (n+1)[n^(k-1)] < (n+1)^k.
- Para m=k n^k < (n+1)^k.