1:35 Je crois qu'on n'a pas besoin du polynôme annulateur si on fait les choses dans un autre ordre : si on remarque d'abord que E_1(Φ)=S_n(R) et E_{-1}(Φ)=A_n(R), la somme des dimensions vaut n² donc on a Φ diagonalisable, ses valeurs propres et leur multiplicité !
@@mehdielabdaoui1955 Tu regardes la matrice de l'application, évuentuellement après changement de l'ordre des éléments de la base canonique, elle est diagonale par bloc. f(E_ii) = E_ii donc on a 1 sur la diagonale, n fois. f(E_ij) = E_ji et f(E_ji)= E_ij donc on a [[0,1],[1,0]] sur la diagonale n(n-1)/2 fois. Ce qui donne Tr(f) = n Et det(f) = (-1)^(n(n-1)/2) Mais pas le polynome annulateur
Une autre solution à laquelle j'ai pensé pour calculer le determinant est d'utiliser la formule det(Φ(B))=det(Φ)×det(B). On remplace ici B par la base canonique de Mn(C) et il suffit de se rendre compte que pour passer de Φ(B) à B il suffit d'échanger n(n-1)/2 vecteurs (on peut s'en convaincre par le calcul d'une somme triangulaire par exemple) d'où directement det(Φ)=(-1)^(n(n-1)/2) par caractère n-linéaire alterné du déterminant. Pour la trace, pareil en passant par la base canonique on obtient immédiatement tr(Φ)=n en utilisant la représentation matricielle de Φ dans la base canonique. C'est moins élégant certes mais un peu plus rapide je trouve
Merci pour vos vidéos ! Serait-il possible de corriger les exercices publiés sur le site de centrale par exemple celui sur l'indicatrice d'euler (filière MP)
Une autre solution aurait été de considérer l'application comme une permutation sur n^2 éléments. Le déterminant d'une matrice de permutation est la signature de la permutation. La permutation est un produit de n(n-1)/2 transpositions donc la signature est de (-1)^(n(n-1)/2). Pour la trace, il suffit de regarder le nombre de points fixes: dans la matrice de permutation, les 1 sur la diagonale représentent les points fixes donc la trace est le nombre de points fixes. Pour l'application transposée, il y a n points fixes(la diagonale).
@@jesinvigneswaran2544 si tu prend une matrice de permutation, les points fixes seront sur la diagonale. Par exemple la permutation (1)(23) est représentée par la matrice M=[[1 0 0] [0 0 1] [0 1 0]], l'élément m1,1 est sur la digonale car il envoie la première composante d'un vecteur sur elle même. Si v=[a b c], alors Mv=[a c b].
Exo de la fin (i) ---> (ii). Remarquons que l'équation différentielle est linéaire et autonome. Donc le problème de Cauchy x(0) = x_0 a une solution unique définie sur R tout entier pour tout x_0 dans R^n. Donc G : Solutions ------> R^n ; x -----> x(0) est surjective. En dérivant ||x|| = constante par rapport à t et en substituant x'= A x on obtient 0 = xT x' = xT A x où xT est ma transposée du vecteur x. En spécialisant cette relation pour t = 0 et en tenant compte du résultat précédent, on a : XT A X =0 pour tout X dans R^n. En écrivant, pour tout b et c dans R^n, X =b+c, on a bT A c + cT A b = 0, en choisissant b et c parmi tous les vecteur de la base canonique on obtient A i,j + A j,i =0, donc A i,j = - A j,i, donc A est antisymétrique. (ii) ---> (i) Si x une solution de l'équation différentielle, on a ||x||' = 2 xT x' = 2 xT A x = 0 car A est antisymétrique, donc ||x|| est constante.
pour l'exercice de fin,le sens (i) => (ii) se fait assez bien simplement en exprimant exp(A*t)*exp(A*t)^T et le sens (ii) => (i) vient du fait que si A est antisymétrique alors A est diagonalisable sur C à vp imaginaires pures il me semble
Je te propose un exo sympa qui démontre ce résultat surement d'une manière différente que celles que tu connais: Soit A une matrice antisymétrique à coefficient réel: 1) Montrer que toutes solutions de l'equation X'=AX (E) est bornée 2) En déduire que sp(A) C i*R 3)Montrer que pour toutes valeurs propres u de A ker(A-uI)=ker(A-ui)^2 4)En déduire que A est diagonalisable sur C. 5)On suppose que A=([0,1,2],[-1,0,-3],[-2,3,0]) Montrer que toutes solution de (E) est contenu dans un cercle de R^3 indications: 2) choisir une solution qui vérifie X(0)=X0 ou X0 est un vecteur propre de A 3) Calculer exp(t(A-uI))Y avec Y appartenant à ker(A-uI)^2\ker(A-uI) 4) Récurrence + lemme des noyaux 5) n est pas une question de conclusion et est assez difficile et peu nécessiter du temp de recherche. Un cercle de R^3 est l'intersection d'une sphère et d'un plan. Que dire de dim(Ker(A))?Caractérisation d'un plan à l'aide de la normal au plan.
******* spoiler ******** pour l'exo de fin, d/dt|X|^2=2.X.X'=2.X.A.X, un scalaire. Si c'est toujours nul, ca doit l'etre en particulier a t=0 pour n'importe quelle condition initiale. En particulier pour tout X dans Rn, XAX =0. Comme c’est un scalaire sa transposee aussi et donc X(A+At)X=0. A+At est donc une forme bilinéaire symétrique nulle partout. Donc (on peut utiliser l’identité de polarisation pour ça) À+At=0 et A est antisymétrique. (a noter le lien avec la theorie de Lie, en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_rotation_matrix)
Bravo à celles et ceux qui ont torché l'exo dans les commentaires de la dernière vidéo 😉
1:35 Je crois qu'on n'a pas besoin du polynôme annulateur si on fait les choses dans un autre ordre : si on remarque d'abord que E_1(Φ)=S_n(R) et E_{-1}(Φ)=A_n(R), la somme des dimensions vaut n² donc on a Φ diagonalisable, ses valeurs propres et leur multiplicité !
J'aime particulièrement ce format, surtout avec les oraux de Centrale qui approchent, merci beaucoup!
Je l'avais fait en utilisant la base canonique mais votre solution est bien plus élégante.
Comment tu fais avec la base canonique ?
@@mehdielabdaoui1955 Tu regardes la matrice de l'application, évuentuellement après changement de l'ordre des éléments de la base canonique, elle est diagonale par bloc.
f(E_ii) = E_ii donc on a 1 sur la diagonale, n fois.
f(E_ij) = E_ji et f(E_ji)= E_ij donc on a [[0,1],[1,0]] sur la diagonale n(n-1)/2 fois.
Ce qui donne Tr(f) = n
Et det(f) = (-1)^(n(n-1)/2)
Mais pas le polynome annulateur
Merci Ferdinand je sais quoi donner pour la préparation aux oraux maintenant !
Une autre solution à laquelle j'ai pensé pour calculer le determinant est d'utiliser la formule det(Φ(B))=det(Φ)×det(B). On remplace ici B par la base canonique de Mn(C) et il suffit de se rendre compte que pour passer de Φ(B) à B il suffit d'échanger n(n-1)/2 vecteurs (on peut s'en convaincre par le calcul d'une somme triangulaire par exemple) d'où directement det(Φ)=(-1)^(n(n-1)/2) par caractère n-linéaire alterné du déterminant. Pour la trace, pareil en passant par la base canonique on obtient immédiatement tr(Φ)=n en utilisant la représentation matricielle de Φ dans la base canonique. C'est moins élégant certes mais un peu plus rapide je trouve
Je viens de l'avoir en colle de sup (j'ai utilisé une autre méthode) haha merci Maths* de m'avoir fait découvrir ça avant
Merci pour vos vidéos !
Serait-il possible de corriger les exercices publiés sur le site de centrale par exemple celui sur l'indicatrice d'euler (filière MP)
mentalement on peut effectivement trouver la solution exacte très rapidement mais au total quand on rédige la je compte trois feuilles de brouillon :)
Une autre solution aurait été de considérer l'application comme une permutation sur n^2 éléments. Le déterminant d'une matrice de permutation est la signature de la permutation. La permutation est un produit de n(n-1)/2 transpositions donc la signature est de (-1)^(n(n-1)/2).
Pour la trace, il suffit de regarder le nombre de points fixes: dans la matrice de permutation, les 1 sur la diagonale représentent les points fixes donc la trace est le nombre de points fixes. Pour l'application transposée, il y a n points fixes(la diagonale).
@@jesinvigneswaran2544 si tu prend une matrice de permutation, les points fixes seront sur la diagonale. Par exemple la permutation (1)(23) est représentée par la matrice M=[[1 0 0] [0 0 1] [0 1 0]], l'élément m1,1 est sur la digonale car il envoie la première composante d'un vecteur sur elle même. Si v=[a b c], alors Mv=[a c b].
Exo de la fin
(i) ---> (ii).
Remarquons que l'équation différentielle est linéaire et autonome. Donc le problème de Cauchy x(0) = x_0 a une solution unique définie sur R tout entier pour tout x_0 dans R^n. Donc G : Solutions ------> R^n ; x -----> x(0) est surjective.
En dérivant ||x|| = constante par rapport à t et en substituant x'= A x on obtient 0 = xT x' = xT A x où xT est ma transposée du vecteur x. En spécialisant cette relation pour t = 0 et en tenant compte du résultat précédent, on a : XT A X =0 pour tout X dans R^n.
En écrivant, pour tout b et c dans R^n, X =b+c, on a bT A c + cT A b = 0, en choisissant b et c parmi tous les vecteur de la base canonique on obtient A i,j + A j,i =0, donc A i,j = - A j,i, donc A est antisymétrique.
(ii) ---> (i)
Si x une solution de l'équation différentielle, on a
||x||' = 2 xT x' = 2 xT A x = 0 car A est antisymétrique, donc ||x|| est constante.
l'exo pour la video prochaine je l'ai eu l'année derniere aux Mines 😄
pour l'exercice de fin,le sens (i) => (ii) se fait assez bien simplement en exprimant exp(A*t)*exp(A*t)^T et le sens (ii) => (i) vient du fait que si A est antisymétrique alors A est diagonalisable sur C à vp imaginaires pures il me semble
c est vrai mais pas du cours donc à demontrer
en plus tu te trompes un peu prcq tu utilises dans les deux sens que A est antisymétrique
(i) => (ii) en prenant le dl à l'ordre 1 en t te donne X_0^T (A^T + A) X_0 = 0 pour tout X_0 et c'est plié
Je te propose un exo sympa qui démontre ce résultat surement d'une manière différente que celles que tu connais:
Soit A une matrice antisymétrique à coefficient réel:
1) Montrer que toutes solutions de l'equation X'=AX (E) est bornée
2) En déduire que sp(A) C i*R
3)Montrer que pour toutes valeurs propres u de A ker(A-uI)=ker(A-ui)^2
4)En déduire que A est diagonalisable sur C.
5)On suppose que A=([0,1,2],[-1,0,-3],[-2,3,0])
Montrer que toutes solution de (E) est contenu dans un cercle de R^3
indications:
2) choisir une solution qui vérifie X(0)=X0 ou X0 est un vecteur propre de A
3) Calculer exp(t(A-uI))Y avec Y appartenant à ker(A-uI)^2\ker(A-uI)
4) Récurrence + lemme des noyaux
5) n est pas une question de conclusion et est assez difficile et peu nécessiter du temp de recherche. Un cercle de R^3 est l'intersection d'une sphère et d'un plan. Que dire de dim(Ker(A))?Caractérisation d'un plan à l'aide de la normal au plan.
@@oliviers5822 tu peux preciser le DL de quoi stp
Dude , where did you post the tests questions?
Merci. C'est faisable par un PSI l'exo pour la semaine prochaine ?
Pour lexo de la semaine prochaine je me vois obliger d'introduire une norme de matrice pour pouvoir procéder à la démonstration..
******* spoiler ******** pour l'exo de fin, d/dt|X|^2=2.X.X'=2.X.A.X, un scalaire. Si c'est toujours nul, ca doit l'etre en particulier a t=0 pour n'importe quelle condition initiale. En particulier pour tout X dans Rn, XAX =0. Comme c’est un scalaire sa transposee aussi et donc X(A+At)X=0. A+At est donc une forme bilinéaire symétrique nulle partout. Donc (on peut utiliser l’identité de polarisation pour ça) À+At=0 et A est antisymétrique.
(a noter le lien avec la theorie de Lie, en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_rotation_matrix)