rastgele #43 - Eğrilerin Dolaylı Temsili - Fatmanur Yıldırım, Can Ozan Oğuz

Geometrik modellemede cebirsel eğriler genellikle parametrik yani rasyonel fonksiyonların görüntüsünün(image) kapanışı(closure) olarak ya da dolaylı ifadelerle(implicitly) polinom denklemlerinin ortak sıfırları olarak temsil edilir. Ben sizlere parametrik temsili verilmiş cebirsel bir eğrinin nasıl dolaylı temsilini elde edebileceğimizi anlatacağım. Anlatacağım yeni yaklaşım verilen bir eğrinin dolaylı ifadesi için yüksek dereceli bir çok polinom denklemleri kullanmak yerine lineer terimler içeren tek matris temsilleri üzerine olacaktır.

[@keremozay87]

Hocam merhabalar,benim bir sorum olacak:
Önceden matematiğin mutlak bir.şey olduğunu ve tamamen ispatlara dayalı olduğu için çok güçlü olduğunu düşünürdüm.Halen matematiğin güçlü olduğunu düşünüyorum ama aksiyomlar sanki matematiğin mutlakliğını baltalıyor gibi geldi ve bu soru aklıma çok takıldı.Biz bu aksiyomların doğruluğunu nereden biliyoruz?Bu varsayımlar matematiği de dogmatik yapmaz mı?

[@canozanoguz]

Matematikte bir mutlaklık, daha doğrusu kesinlik var, ancak bu sizin daha önce algılamış olduğunuzdan farklı. Aynı varsayımlar + aynı mantıksal çıkarım kurallarını kabul ettiğimiz zaman elimize geçecek matematik tektir. Her farklı aksiyom sistemi için ortada başka bir matematik var. Ancak bir aksiyom sistemini seçtiğiniz zaman elinize geçen şey tek. İkinci anlamda bir mutlaklık da matematikte kanıt yapabilmemizden gelir. Bu konuda biraz daha ayrıntılı yazdığımız şu yazıya bakabilirsiniz: matematiginpesinde.com/wp-content/uploads/ispat-yontemleri-01-giris.pdf
Aksiyomların doğru olup olmaması diye bir şey yok. Doğruluğunu sınamadan kabul ettiğimiz şeylerdir aksiyomlar. İsteyen birisi 1=2 önermesini aksiyom olarak alıp bunun üzerine bir matematik inşa etmeye çalışabilir. Öklid dışı geometrilerin keşfi ile insanlar aksiyomların doğruluk ile ilişkisi olmadığını fark ettiler, çünkü ellerinde birden fazla geometri vardı ve hepsi de farklı durumlarda çalışıyordu. Aksiyomlarda aradığımız özellik doğruluk değil, tutarlılık, birbirleri ile çelişki içinde olmamaları. Ve tabi akisyomları seçerken, sonuçlarının ne olacağını kestirmeye çalışıyoruz, ona göre bir seçim yapıyoruz. Örneğin zihnimizde var olan doğal sayılar fikrini matematiksel olarak formalize edecek aksiyomlar neyse onları seçip onlarla çalışıyoruz(Peano aksiyomları). Zihnimizdeki başka kavramlar için daha farklı aksiyomlar seçip onlarla çalışmak da isteyebiliriz. Bu anlamda matematikte bir özgürlük alanı var.

[@keremozay87]

@@canozanoguz tamam bu aksiyomları doğruluğunu sınamadan kabul ediyoruz ama biz aksiyomlardan inşaa ettiğimiz bu matematiği bilim yaparken kullanıyoruz.Onun için mesela 1=2 gibi bir aksiyomla yapılan matematik pek bir işe yaramaz gibi görünüyor.Bu nedenle aksiyomları kabul etmek için kendi aralarında tutarlı olması haricinde de bir özellik gerekmez mi?Bir de aksiyomların doğruluk ile ilişkisi olmaması derken ne demek istediniz?

[@canozanoguz]

​@@keremozay87 Her zaman bilim yaparken kullanmıyoruz matematiği. Aklımızda özel bir uygulama alanı varsa, o konuda sahip olduğumuz bilgi ve öngörüye dayalı olarak uygun aksiyomlar seçmeye çalışabiliriz tabi. 1=2'nin nerede faydalı olacağını bilmiyorum, ancak 0=2'den yola çıkarak elde edilen, yalnızca 0 ve 1'lerden oluşan sayı sistemleri sayesinde buradan yazışabilir hale geldik. Önceden kestirmesi neredeyse imkansız bir şey.
Aksiyomlar bir takım matematiksel ifadeler. Bu ifadeler tek başlarına doğru ya da yalnış olmazlar, bir sistem içine doğru ya da yanlış olurlar. Tek bir önerme bir sistem içinde doğru, başka bir sistem içinde yanlış olabilir. Aksiyom olarak aldığımız ifadeler otomatik olarak doğru olsunlar deriz. Dolayısıyla onlar doğru mu değil mi diye kontrol etmekten bahsedemeyiz demek istedim.

[@keremozay87]

@@canozanoguz yani aksiyomlar oyunun kuralıdır ve farklı kurallarla farklı oyunlar yaratabiliriz demek istiyorsunuz.Peki tanımlar da böyle mi ortaya çıkıyor

[@canozanoguz]

@@keremozay87 Oyunun kuralları mantık sistemidir, aksiyomlar oyunun başlangıç kosullaridir diye düşünüyorum ben aslında. Tanımlar bunlardan farklı, tanımlar bir fikri dile getirmek için ihtiyacımız olan kelimeler. Bir şeyi tanimlamadan onun hakkında konuşamıyoruz, onunla ilgili matematik adına bir şey söyleyemiyoruz.